Ayrık Olasılık CC-59 Ayrık Yaılar Konstantin Busch - LU Ayrık Olasılığa Giriş Hilesiz zar Örnek uzay: {,,3,4,5,6} Olası tüm sonuçlar
olayının olasılığı: olay kümesinin buyuklugu örnek uzayin buyuklugu Not: 0 için 0 Konstantin Busch - LU 3 Zarın 3 gelme olasılığı nedir? Olay uzayı: Örnek uzay: Olasılık: {3} {,,3,4,5,6} 6 4
Zarın veya 5 gelme olasılığı nedir? Olay uzayı: Örnek uzay: {,5} {,,3,4,5,6} Olasılık: 6 5 İki adet hilesiz zar Örnek uzay: 36 olası sonuç vardır {,,,,,3,,6,6} Birinci zar İkinci zar Beklenen çift 6 3
Zarın, ikilisi gelme olasılığı nedir? Olay uzayı: {,} Örnek uzay: {,,,,,3,,6,6} Olasılık: 36 7 Zarın çift gelme olasılığı nedir? Olay uzayı: {,,,,3,3,4,4,5,5,6,6} Örnek uzay: {,,,,,3,,6,6} Olasılık: 6 36 8 4
Düzensiz sayılar oyunu Oyun yöneticisi 40 sayıdan kazanan 6 sayı kümesini seçer. eçim sayıları:,,3,,40 Örnek kazanan sayılar: 4,7,6,5,33,39 Oyuncunun seçtiği 6 sayının kümesi ıradan bağımsız Örnek kazanan sayılar: 8,3,6,3,33,40 Oyuncunun kazanma olasılığı nedir? Konstantin Busch - LU 9 Kazanan olay: {{4,7,6,5,33,39}} Kazanan 6 sayının bir tek kümesi Örnek uzay: {40 sayidan kazanan 6 sayi kümesinin tüm alt kümeleri} {{,,3,4,5,6},{,,3,4,5,7},{,,3,4,5,8}, } 40 3,838,380 6 Konstantin Busch - LU 0 5
Oyuncunun kazanma olasılığı: P 40 6 3,838,380 Konstantin Busch - LU Kart Oyunları Destede 5 kart vardır. 3 çeşit kartlar,3,4,5,6,7,8,9,0,a,k,q,j, Her bir türde 4 takım vardır h,d,c,s Oyuncu 4 kart verir. Oyuncunun kartlarının hesinin aynı tür olma olasılığı nedir? Konstantin Busch - LU 6
Olay: {,,, },{3,3,3,3 },,{j, j, j, j } { h d c s h d c s h d c s 3 4 kartın her bir kümesi aynı türdedir Örnek uzay: {5 kartin olası tüm 4 kartlarin kümesi} {{ h, d, c, s },{ h, d, c,3 h },{ h, d,,3 }, } 5 5! 555049 70,75 4 4!48! 43 c d Konstantin Busch - LU 3 lde aynı türde 4 kart olma olasılğı: 3 P 5 4 3 70,75 Konstantin Busch - LU 4 7
ıralı sayılar oyunu Oyun yöneticisi bir kutuda..50 ile etiketlenmiş tolardan 5 tane seçer eçim numaraları:,,3,,50 Örnek olarak kazanan numaralar: 37,4,6,33,9 Oyuncunun seçtiği 5 sayı kümesi ıralama önemli Örnek olarak oyuncunun sayıları: 40,6,3,5,33 Oyuncunun kazanma olasılığı nedir? Konstantin Busch - LU 5 Tekrar yerine koyma olmayan örneklem: Bütün tolar seildikten sonra, to geri kutuya atılmaz Örnek uzay büyüklüğü: 50 toun 5li ermitasyonları 50! 50 P50,5 50494847 46 45,5,00 50 5! 45! Kazanma olasılığı: P 45,5,00 Konstantin Busch - LU 6 8
Yerine koyarak örnekleme: Bir to seçildikten sonra, to tekrar kutuya konulur Örneklem uzayının büyüklüğü: Yinelemeleyle 50 toun 5 li ermitasyonu 50 5 3,500,000 Kazanma olasılığı: P 3,500,000 Konstantin Busch - LU 7 Ters olasılık: İsat: İsatın sonu Konstantin Busch - LU 8 9
0 Konstantin Busch - LU 9 Örnek: ekiz bitlik ikili dizide en az bir tanesinin 0 olma olasılığı nedir?,00000000},00, 0, 0, { {} 8 Konstantin Busch - LU 0 Olasılığın birleşimi: İsat: İsat sonu,
Örnek: ekiz bitlik binary dizinin 0 ile başlaması veya ile bitmesi olasılığı nedir? 0 ile başlayan diziler: {00000000, 0000000,,0} 7 all binary strings with 7 bits 0xxxxxxx ile biten diziler: {000000, 00000,,} 6 all binary strings with 6 bits xxxxxx Konstantin Busch - LU 0 ile başlayan ve ile biten diziler: {0000000, 00000, 5,0} all binary strings with 5 bits 0xxxxx 0 ile başlayan veya ile biten diziler: 7 6 5 5 8 8 8 4 8 8 Konstantin Busch - LU
Olasılık Teorisi Örnek uzay: { x, x,, x n } Olasıklık dağılım fonksiyonu: 0 x i n x x i Konstantin Busch - LU 3 Olası durumlar: xi x j Örnek: Hileli ara /3 olasılıkla tura T /3 olasılıkla yazı Y Örneklem uzayı: { Y, T} T 3 Y T Y 3 3 3 Konstantin Busch - LU 4
Düzgün olasılık dağılımı: x i n Örnek uzay: x, x,, x } { n Örnek: Hilesiz ara / olasılıkla Tura T veya Yazı Y { H, T} H T Konstantin Busch - LU 5 Olayın olasılığı: x, x,, xk} { k i x i Düzgün olasılık dağılımı için: Konstantin Busch - LU 6 3
Örnek: Hileli zar {,,3,4,5,6,6 } 3 4 5 6 7 7 Zarın veya 6 gelme olasılığı nedir? {,6} 6 7 7 3 7 Konstantin Busch - LU 7 Olayların kombinasyonları: Tümleyin: Birleşim: Ayrı olayların birleşimi: i i i i Konstantin Busch - LU 8 4
Şartlı Olasılık Hilesiz üç aranın atılışı Yazı Tura Yazı Şart: İlk ara yazı olsun oru: İlk aranın yazı olduğunu düşünerek, tek sayı atışlarının yazı olma olasılığı nedir? Konstantin Busch - LU 9 Örneklem uzayı: { YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, YYY} Verilen koşuldaki sınırlı örneklem: { YYY, YYT, YTY, YTT} Birinci ara Yazı Konstantin Busch - LU 30 5
Şart olmayan olaylar: { YYY, YTT, TYT, TTY} Yazıların tek sayıları için Şartlı olaylar: { YYY, YTT} Birinci ara yazı Konstantin Busch - LU 3 { YYY, YTT, TYT, TTY} { YYY, YTT} Verilen şartlarda, Örnek uzaya nin değişimi / /8 0.5 / 4 /8 ara hilesiz Konstantin Busch - LU 3 6
Şart ile olayın belirtimi: olayı yi belirtir. Konstantin Busch - LU 33 Şartlı olasılığın tanımı: rasgele olasılık dağılımı için ve olaylarıyla örneklem uzayı verilsin burada >0 ; ile verilen nin şartlı olasığılı: Konstantin Busch - LU 34 7
Örnek: İki çocuğun olan bir ailenin bir çocuğu erkek ise iki tanesinin erkek olma ihtimali nedir? rkek veya kızın eşit olasılıkta olacağını varsayalım Örnek Uzay: {, K, K,KK} Şart: {, K, K} Bir çocuk erkektir Konstantin Busch - LU 35 Durum: {} Her iki çocuk da erkek Durumun koşullu olasılığı: { } / 4 {, K, K} 3/ 4 3 Konstantin Busch - LU 36 8
Bağımsız Durumlar Durumlar ve ancak ve ancak bağımsız ise: 0 ş değer tanım ğer : Konstantin Busch - LU 37 Örnek: 4 bitlik düzgün rasgele katarlar: : ile başlayan katar : çift içeren katar {000,00,00,0,00,0,0,} {0000, 00, 00, 00, 00, 00, 00, } {, 00, 00, 00} 8 4 8 6 4 6 4 Durum ve bağımsızdır Konstantin Busch - LU 38 9
Bernoulli denemesi: İki sonuçlu deneyim: Başarı veya başarısızlık Başarı olasılığı: Başarısızlık olasılığı: q Örnek: Hileli ara Başarı = Tura T 3 Başarısızlık = Yazı q Y 3 Konstantin Busch - LU 39 Bağımsız Bernoulli Denemeler: Ardışık Bernoulli denemelerinin sonuçları birbirlerine bağlı değildir Örnek: Ardışık madeni aralar Konstantin Busch - LU 40 0
Hileli arayı 5 kere atın 3 tura yama ihtimali nedir? Tura olasılığı: Yazı olasılığı: q 3 3 başarı başarısız Konstantin Busch - LU 4 TTTYY TYTTY TYTYT 3 ü tura olan 5 bozuk ara silsilesindeki sıralamak için yolların tolam sayıları: YTTYT 5 3 Konstantin Busch - LU 4
Her habgi bir silsiledeki 3 tura ve yazı durumundaki olasılıklar: 3 q Örnek olarak: q q TTTYY qq 3 q q q TYTTY qq 3 q q q TYTYT qq 3 q Konstantin Busch - LU 43 3 tura olma olasılığı: 3 q 3 q 3 q 5 3 3 q nci Dizi başarısı 3 Tura nci Dizi başarısı 3 Tura 5 nci 3 Dizi başarısı 3 Tura Konstantin Busch - LU 44
Hileli bozuk aranın 5 kez atılması: Tam olarak 3 tura olma ihtimali: 5 3 3 q 5! 3!! 3 3 3 0.0086 Belirtilen silsileyerleşiminde 3 tura ve yazı elde etme olasılığı ilsilenin 5 aranın 3 nün tura olarak düzenlemek için mümkün olan tüm yollar Konstantin Busch - LU 45 Teorem: k n bağımsız Bernoulli denemesinde başarı elde etme olasılığı: n k Ayrıca şöyle bilinir binomial olasılık dağılımı: b k; n, k q n n k k k q n k Konstantin Busch - LU 46 3
İsat: n k k q n k k n k başarıları ve başarısızlığıyla tolam dizilim sayısı Örnek: BNBNNB BBN Bir dizilimin, belirtilen noktalarda k başarısı ve n k başarısızlığı ihtimali İsat sonu Konstantin Busch - LU 47 Örnek: Rasgele aynı ikili katarlar 0 bit için olasılık 0.9 bitlik olasılık 0. 0 bitten 8 bit 0'ın olasılığı nedir? 00000000 gibi 0.9 q 0. k 8 n 0 n b k; n, k k q nk 0 0.9 8 8 0. 0.9370445 Konstantin Busch - LU 48 4
Doğum günü roblemi Doğum günü çatışması: Aynı gün içinde iki kişinin doğum günü var Problem: Doğum günü çartışması ihtimalinin en az ½ olması için kaç kişi odada olmalıdır? Varsayım: her hengi bir günde doğma olasılığı eşittir Konstantin Busch - LU 49 Bir yılda 366 gün var ğer insanların sayısı 367 veya daha fazla ise doğum günü çatışması güvercin yuvası rensibiyle onaylanır İnsanları n 366 olduğunu varsayalım Konstantin Busch - LU 50 5
Hesalamalarda; n : n insanın hesinin farklı doğum gününe sahi olma olasılığı Yardımcı olası için; : n insan arasında doğum günü n çartışması olasılığı Konstantin Busch - LU 5 Örnek uzay: Kartezyen çarım {,,,366} {,,,366} {,,,366} inci kişinin doğum günü seçimleri inci kişinin doğum günü seçimleri n inci kişinin doğum günü seçimleri {,,,,,,,, 366,366,,366} Örnek uzay büyüklüğü: 366366366 366 n Konstantin Busch - LU 5 6
Olay kümesi: Her birinin doğum günü farklı {,,,366,366,,,365,,366,365,,} inci kişinin doğum günü inci kişinin doğum günü n inci kişinin doğum günü #seçim #seçim #seçim Örnek büyüklüğü: 366! P366, n 366365364366 n 366 n! Konstantin Busch - LU 53 Doğum günü çatışmasının olmama olasılığı n 366365364366 n n 366 Doğum günü çatışması olasılığı: n 0. 475 n n n 3 0. 506 n Konstantin Busch - LU 54 7
Doğum günü çatışması olasılığı: n 3 0. 506 n n Bu yüzden: n 3 kişinin doğum çatışmasının en az ½ olma ihtimali Konstantin Busch - LU 55 Doğum günü roblemi analizlerinde çatışmaları en aza indirmek için uygun Hash tablo boyutu tanımlamaları kullanılır Hash fonksiyon çatışması: h k h k Konstantin Busch - LU 56 8
Randomize algoritması: seçimlerin rasgele olduğu algoritmalar Örnek: quicksort Las Vegas algoritması: Çıktıları her zaman doğru olan randomize algoritmalar. quicksort gibi Monte Carlo algoritması: Çıktıları bazen doğru olan randomize algoritmalar yanlış çıktı üretebilir Konstantin Busch - LU 57 Primality_Test n,k { for i to k { b random_num ber,,n if Miller_Test n,b == failure } A Monte Carlo algoritması returnfalse // n is not rime } returntrue // most likely n is rime Konstantin Busch - LU 58 9
Miller_Test n,b { s n- t s, t 0, s log n, t is odd for j 0 to s- { if b t mod n or b j t mod n returnsuccess } returnfailure } Konstantin Busch - LU 59 n asal sayında her b geçer n için Miller testini n n birleşin sayıda sayıdan daha az için 4 b n aralığında Miller testini geçer Olasılık olarak yanlış ozitif: 4 Konstantin Busch - LU 60 30
ğer asallık test algoritması yanlış ise sayı kesin olarak asal değildir. ğer algoritma çalıştırılması doğru ise ceva yüksek olasılıkla doğrudur sayı asal: k 4 n k log4 n için Konstantin Busch - LU 6 Bayes Teorem 0 0 Uygulamalar: Makine öğrenmesi am iltreleri Konstantin Busch - LU 6 3
3 Konstantin Busch - LU 63 Bayes Teorem İsatı: Konstantin Busch - LU 64
33 Konstantin Busch - LU 65 İsatın sonu Konstantin Busch - LU 66 Kutu Kutu Örnek: Rasgele kutuyu seçtikten sonra kutudan rasgele tou seçin. ğer bir kırmızı to seçilmişse, bunun Kutu den olma olasılığı nedir? oru:
: Kırmızı to seçimi : Kutu seçimi : Yeşil to seçimi : Kutu seçimi oru olasılığı: P? oru: ğer bir kırmızı to seçilmişse, bunun Kutu den olma olasılığı nedir? Konstantin Busch - LU 67 Bayes Teoremi: Hesalamak için tek ihtiyacımız: Konstantin Busch - LU 68 34
: Kırmızı to seçimi : Kutu seçimi : Yeşil to seçimi : Kutu seçimi Kutu Kutu / 0.5 / 0. 5 Kutu seçme olasılığı Kutu seçme olasılığı Konstantin Busch - LU 69 : Kırmızı to seçimi : Kutu seçimi : Yeşil to seçimi : Kutu seçimi Kutu Kutu 7/9 0.777... Kutu den kırmızı to seçme olasılığı 3/ 7 0.48... Kutu den kırmızı to seçme olasılığı Konstantin Busch - LU 70 35
/ 0.5 / 0. 5 7/9 0.777... 3/ 7 0.48... 0.7770.5 0.777 0.644 0.7770.5 0.480.5 0.777 0.48 on sonuç Konstantin Busch - LU 7 Ya daha fazla kutuya sahi olsaydık? Genelleştirilmiş Bayes Theorem: j n i j i j i Örnek uzay: n Karşılıklı özel olaylar Konstantin Busch - LU 7 36
am iltereleri ğitim kümesi: am kötü eostalar İyi eostalar G B Bir kullanıcı eğitim kümesindeki her bir eostaları iyi veya kötü olarak sınıflandırır. Konstantin Busch - LU 73 G ve B den oluşan kelimeleri bulun. n B w w sözcüğü içeren sam eostaların sayısı n G w w sözcüğü içeren iyi eostaların sayısı w nb w B q w ng w G w sözcüğü içeren sam eostaların olasılğı w sözcüğü içeren iyi eostaların olasılğı Konstantin Busch - LU 74 37
38 Konstantin Busch - LU 75 Yeni bir X eosta geldiğinde : X sam olması durum sözcüğü içeren X in sam olma olasılığı nedir? w X in içermesi durumu w :? P ğer bu olasılık 0.9 den az ise ret edilir. Konstantin Busch - LU 76 Hesalamak için ihtiyacımız olan: 0.5 0.5 B w n w B G w n w q G Basitleştirilmiş varsayım ğitim kümesinden hesalanan
Örnek: Rolex kelimesi için eğitim kümesi: "Rolex" 000 sam e-ostalardan 50'sinde gerçekleşir. "Rolex" 000 iyi e-ostanın 5'inde görülür. ğer yeni e-osta "Rolex" kelimesini içeriyorsa, bunun sam olma olasılığı nedir? Konstantin Busch - LU 77 "Rolex" 000 sam e-ostalardan 50'sinde gerçekleşir. n B Rolex 50 nb Rolex 50 Rolex 0.5 B 000 "Rolex" 000 iyi e-ostanın 5'inde görülür. n G Rolex 5 ng Rolex 5 q Rolex 0.005 G 000 Konstantin Busch - LU 78 39
ğer yeni e-osta "Rolex" kelimesini içeriyorsa, bunun sam olma olasılığı nedir? : X in sam durum : Rolex kelimesi içeren X durumu P? Konstantin Busch - LU 79 Hesalamak için olan ihityacımız 0.5 0.5 Rolex 0. 5 q Rolex 0. 005 Basitleştirilmiş varsayım ğitim kümesinde hesalanan Konstantin Busch - LU 80 40
0.50.5 0.5 0.96... 0.50.5 0.0050.5 0.3 Yeni e-ostalar sam olarak kabul edilir. Çünkü: 0.96 0.9 sam eşiği Konstantin Busch - LU 8 Daha iyi sam filtreleri için iki kelime kullanır: Varsayım: ve bağımsızdır İki kelime bir birinden bağımsız görünür Konstantin Busch - LU 8 4