BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

Transkript

1 BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar 2. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar (x+y) 0 1 æ0ö ç = 1 0 (x+y) æ1ö ç = 1 0 æö 1 ç = 1 1 (x+y) æ2ö ç = 1 0 æ 2ö ç = 2 1 æ 2ö ç = 1 2 (x+y) æ3ö ç = 1 0 æ3ö ç = 3 1 æ3ö ç = 3 2 æ3ö ç = 1 3 Yukarıdaki tablo (x+y) 4, (x+y) 5,... kuvvetleri için devam ettirildiğinde birinci sütun da elde edilen katsayılar ile ikinci sütunda elde edilen katsayıların aynı olduğu görülür. O halde; (x+y) n ifadesinin açılımındaki katsayıları pascal üçgeni yerine, æ nö ænö ænö æ n ö ænö,,..., ç0 1 2 n 1 n è ø çè ø çè ø çè - ø çè ifadeleri ile bulabiliriz. Birinci terim x in kuvvetin den başlayıp azalarak, ikinci terim ø y nin kuvveti sıfırdan başlayıp artarak yukarıda yerleştirildiğinde, ænö ænö ænö æ n ö ænö (x + y) = x.y x y x y... x y x y n 1 n èç ø èç ø èç ø èç - ø èç ø n n o n-1 1 n n-1 o n elde edilir. (x+y) 2 açılımını bulunuz. (x+y) 2 ifadesinde n=2 dir. æ2 2 2 (x+y) 2 açılımında ö æ ö æ ö,, èç ø èç ø èç ø katsayılardır. x ve y nin kuvvetleri yukarıdaki ifadede yerlerine yerleştirildiğinde, æ 2 2ö æ 2 o 2ö æ 1 1 2ö o 2 (x + y) = x y x y + + x y ç0 1 2 è ø çè ø çè ø =1.x 2 y o +2.xy+1.x o y 2 =x 2 +2xy+y 2 Cevap: x 2 +2xy+y 2 (2x 3y) 3 açılımını bulunuz. (2x 3y) 3 ifadesinde n=3 tür. æ (2x 3y) açılımında ö æ ö æ ö æ ö,,, èç ø èç ø èç ø èç ø işareti belirlenmemiş katsayılardır. 2x ve 3y nin kuvvetlerini açılımda yerleştirelim. æ 0 3ö æ 3 0 3ö 2 1 (2x - 3y) = (2x) ( 3y) - + (2x) (-3y) ç0 1 è ç ø è ø æ3ö æ3ö + (2x).( 3y) - + (2x) (-3y) ç2 3 è ç ø è ø =1.8x x 2 ( 3y) x.9y ( 27y 3 ) =8x 3 36x 2 y+54xy 2 27y 3 Cevap: 8x 3 36x 2 y+54xy 2 27y 3

2 Binom Açılımı soru 1 (x+y) 4 ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden hangisidir? æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö A),, B),,, çè 1ø èç 2ø èç 3ø çè 1ø èç 2ø è ç3ø è ç4ø æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ C),, D) 4ö æ4ö æ4ö,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø çè0 ø çè1 ø è ç2ø è ç3ø æ 4ö æ4ö æ4ö æ4ö æ4ö E),,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø soru 5 (3x+1) 3 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) x 3 +3x 2 +3x+1 B) 9x 3 +9x 2 +3x+1 C) 27x 3 +9x 2 +3x+1 D) 27x 3 +27x 2 +3x+1 E) 27x 3 +27x 2 +9x+1 soru 2 soru 6 (a+b) 5 ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden (a 2b) 3 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 B) a 3 +6a 2 b+6ab 2 +8b 3 æ 5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö A),,,, B),,,,, çè0 ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç0ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø æ 5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö æ5ö C),,,, D),,, çè1 ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø æ 5ö æ5ö E), çè0 ø è ç5ø soru 3 æ 6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö æ6ö,,,,,, çè0 ø çè1 ø çè2 ø çè3 ø è ç4 ø çè5 ø è ç6ø Açılımındaki katsayıları yukarıdaki gibi olan ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) (a+b) 6 B) (x+y) 5 C) (a b) 4 D)(x y) 7 E) (x+y) 3 soru 4 (x+y) n açılımındaki katsayıları æ 8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö æ8ö,,,,,,,, è ç0ø è ç1ø è ç2ø è ç3ø è ç4ø è ç5ø è ç6ø è ç7ø è ç8ø olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI C) a 3 +6a 2 b+12ab 2 +8b 3 D) a 3 6a 2 b+12ab 2 8b 3 E) a 3 6a 2 b 12ab 2 8b 3 soru 7 (2x 1) 4 ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 16x 4 +32x 3 +24x 2 +8x+1 B) 16x 4 32x 3 +24x 2 8x+1 C) 16x 4 32x 3 24x 2 8x 1 D) 16x 4 +4x 3 +6x 2 +4x+1 E) x 4 4x 3 +6x 2 4x+1 soru 8 (5x+2y) 8 ifadesinin açılımındaki son terim aşağıdakilerden hangisi olabilir? æ 8ö æ8ö æ8ö A) (5x) (2y) B) (5x) (2y) C) (5x) (2y) è ç8ø è ç8ø è ç8ø æ8ö æ8ö D) (5x) (2y) E) (5x) (2y) çè8ø çè8ø E 2 B 3 A 4 C 5 E 6 D 7 B 8 C

3 Binom Açılımı æ n n ö æ n 0 n ö n n n-1 1 æ ö 1 n-1 æ ö 0 n (x + y) = x y x y... x y x y çè0 ø çè1 ø çèn- 1 ø çènø n+ 1 tane Yukarıdaki açılımda görüldüğü gibi (x+y) n ifadesinin açılımında n+1 tane terim vardır. Ayrıca açılımdaki x ve y nin kuvvetleri sırasıyla incelendiğinde, æ nö xy n 0 kuvvetler toplamı n+0=n ç çè0 ø ænö x ç çè1 ø ænö x ç çè2 ø... ç n-1 1 y ç n-2 y 2 kuvvetler toplamı n 1+1=n kuvvetler toplamı n 2+2=n ænö x y ç çèn ø ç 0 n kuvvetler toplamı 0+n=n olduğu görülür. (x+y) n açılımında her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n dir. (x+y) 7 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz. (x+y) n ifadesinin açılımında n+1 terim olduğundan (x+y) 7 ifadesinin açılımında, 7+1=8 terim vardır. Cevap: 8 (2x 3y) 6 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz. (2x 3y) 6 ifadesinde n=6 dır. 6+1=7 terim vardır. Cevap: 7 (x+y) n =...+A.x 4.y olduğuna göre, n kaçtır bulunuz. (x+y) n açılımındaki her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n olduğundan, Ax 4 y 3 den n=4+3=7 Cevap: 7 (a+2b) 10 =...+K.a 5.b m +... olduğuna göre, m kaçtır bulunuz. (a+b) 10 açılımında her terimdeki a ve b nin kuvvetleri toplamı 10 olduğundan, K.a 5 b m den 5+m=10 m=5 Cevap: 5 6

4 Binom Açılımı soru 1 (x y) 4 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 5 (2a+10b) n2 1 ifadesinin açılımında 9 terim olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 soru 2 (a+b) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? soru 6 (x+y) n =...+Ax 5 y olduğuna göre, n kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 3 æx y ö ç + çè3 4 ø 12 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 soru 4 (5x+7y) m ifadesinin açılımında 11 terim olduğuna göre, m kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (4a+3b) n =...+B.a 4 b olduğuna göre, n kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 soru 8 (6x+y) n =...+K.x 5 m.y m olduğuna göre, n kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 E 7 D 8 B

5 Binom Açılımı (ax+by) n gibi ikili ifadelerin açılımında katsayılar toplamını bulmak için x ve y ye 1 değerleri verilip (ax+by) n ifadesinin aldığı değer bulunur. Bu yöntem ikili, üçlü ifadelerin tümünde uygulanabilir. æn ö æ (x y) x y n ö æ x y... n ö æ x y nö + = x y èç 0ø èç 1ø èç n-1ø èç nø n n 0 n n-1 0 n olduğundan, x=1 ve y=1 için (1+1) n =2 n katsayılar toplamını verir. Polinom tipindeki ifadelerin n. kuvvetlerinin açılımlarındaki sabit terimi bulmak için ise değişkenlere sıfır(0) değeri verilir. (2x+3y) 7 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz. æ 7 ö æ 7ö æ 7ö (2x + 3y) = (2x).(3y) (2x) (3y) (2x) (3y) è ç0ø è ç1ø è ç7ø açılımından katsayıları bulup toplamlarını hesaplamak güç olduğundan, x=1 ve y=1 değerlerini ifadede yerlerine yazalım. ( ) 7 =5 7 katsayılar toplamıdır. Cevap: æ ö ç 3x ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bu- çè y ø lunuz. x=1, y=1 için, æ ç ö = (3-5) = (- 2) =-2 çè 1 ø Katsayılar toplamı 2 9 dur. Cevap: 2 9 (2x 2 +3y z) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz. x=1, y=1 ve z=1 için, ( ) 5 =(2+3 1) 5 =4 5 Katsayılar toplamı 4 5 dir. Cevap: 4 5 (5x 2) 6 ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x=0 için, (5.0 2) 6 =( 2) 6 =2 6 Sabit terim 2 6 dır. Cevap: 2 6 8

6 Binom Açılımı soru 1 (x+2y) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5 soru 5 (x+y 3z) 7 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 7 E) 3 7 soru 2 (5a+3b) 6 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 2 6 B) 2 12 C) 2 15 D) 2 16 E) 2 18 soru 6 (2x+y+6z) 5 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 3 12 B) 3 10 C) 3 9 D) 3 8 E) 3 6 soru 3 (4x 3y) 10 ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? A) 1 B) 3 10 C) 4 10 D) 7 10 E) 8 10 soru 4 9 æ 2 5ö ç 5a - ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? çè bø A) 5 9 B) C) 1 D) 0 E) 1 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (5x 2y) 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 0 B) 2 15 C) 3 15 D) 5 15 E) 1 soru 8 (5x+3y 4) 8 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? A) 4 8 B) 0 C) 1 D) 3 8 E) C 2 E 3 A 4 D 5 A 6 B 7 A 8 E

7 Binom Açılımı æ nö æ (x y) x y nö æ x y... n ö æ x y nö + = x y è ç0 ø çè1 ø çèn- 1 ø çènø n n 0 n n-1 0 n açılımında, Baştan 1. terim Baştan 2. terim Baştan 3. terim Baştan n+1. terim æ nö ç x y 0 æ nö ç x 1 æ nö ç x 2... n 0 n-1 1 n-2 2 æ nö ç x y n 0 n y y Terimlerin katsayıları ile kuvvetleri arasındaki ilişki dikkatle incelendiğinde, æn n r r Baştan r+1. terimin ö x - ç.y r ifadesi ile bulunduğu görülür. (x+y) 7 ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. (x+y) 7 ifadesinde n=7 dir. Baştan 3. terim istendiğinden, r+1=3 ise r=2 bulunur. æ nö x n-r y r ç r ifadesinde n=7 ve r=2 değerleri yerlerine konulduğunda, æ7ö 7! x.y =. x.y = 21x y ç2 è ø (7-2)!.2! Cevap: 21x 5 y 2 (x y) 6 ifadesinin açılımında baştan 4. terimi bulunuz. (x y) 6 ifadesinde n=6 dır. Baştan 4. terim istendiğinden, r+1=4 ise r=3 bulunur. ænö æ n r r 6ö ! 3 3 x.( y) - = x.(- y ) = x.(-y ) çr 3 è ø è ç ø (6-3)!. 3! 3 3 =-20x y Cevap: 20x 3 y 3 (2a+3b) 8 ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. (2a+3b) 8 ifadesinde n=8 dir. r+1=3 ise r=2 bulunur. ænö æ8ö (2a).(3b) = (2a).(3b) ç r 2 è ø èç ø n-r r ! =.(2a).(3b) = 28.2.a.3.b (8-2)!. 2! = a.b Cevap: a 6.b 2 10

8 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (x+3y) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x 2 y 3 B) 5x 4 y C) 5x 3 y 2 D) 5x 2 y 3 E) 5xy 4 A) 540x 2 y 4 B) 540x 3 y 3 C) 540x 4 y 2 D) 135x 3 y 3 E) 135x 4 y 2 soru 2 soru 6 (a+b) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2y) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 5. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 21a 3 b 4 B) 21a 4 b 3 C) 28a 3 b 4 D) 35a 4 b 3 E) 35a 3 b 4 A) B) C) D) E) soru 3 (x y) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x 7 y B) 28x 7 y C) 8x 7 y D) 28x 7 y E) 56x 6 y 2 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (5a+2b) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 5.2 B).5.2 C) èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) 5.2 E) èç ø èç ø soru 4 soru 8 (a b) 9 ifadesinin açılımındaki baştan 9. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3a+4b) 10 ifadesinin açılımındaki baştan 5. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 9ab 8 B) 9a 2 b 7 C) 36ab 8 D) 36ab 8 E) 9ab A) æ ö æ ö 3 4 a.b B) 3 4 a.b ç 4 4 è ø æ10ö æ10ö C) 3 4 a.b D) 3 4 a.b ç 4 5 è ø æ10 E) ö 3 4 a.b ç B 2 D 3 C 4 A 5 E 6 E 7 C 8 B 11

9 Binom Açılımı (x 2 +y) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimi bulunuz. (x 2 +y) 5 ifadesinde n=5 dir. r+1=3 ise r=2 æ nö æ5ö (x ).(y) = (x ).y ç r 2 è ø 2 n-r r ! =.(x ).y (5-2)!.2! 6 2 = 10x.y Baştan 3. terim 10x 6 y 2 dir. Cevap: 10x 6 y 2 (x 3 y 2 ) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimi bulunuz. (x 3 y 2 ) 6 ifadesinde n=6 dır. r+1=4 ise r=3 æ nö æ6ö (x ).( y ) - = (x ).(-y ) ç r 3 è ø 3 n-r 2 r ! =.(x ).(-y ) (6-3)!.3! 9 6 =- 20x y Baştan 4. terim 20.x 9.y 6 tür. Cevap: 20.x 9.y 6 (2x 2 +5y 3 ) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 6. terimin katsayısını bulunuz. (2x 2 +5y 3 ) 7 ifadesinde n=7 dir. r+1=6 ise r=5 æ nö æ7ö (2x ).(5y ) =.(2x ).(5y ) ç r 5 è ø 2 n-r 3 r ! =.(2x ).(5y ) (7-5)!.5! = 21.2.x.5.y = x.y Baştan 6. terimin katsayısı tir. Cevap: (x 3 3y 2 ) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısını bulunuz. (x 3 3y 2 ) 8 ifadesinde n=8 dir. r+1=4 ise r=3 æ nö æ8ö.(x ).( 3y ) - = (x ).(-3y ) ç r 3 è ø 3 n-r 2 r æ8 ö æ8 ö = (x ) ( 3y ) - = x.(-3).y 3 3 èç ø èç ø æ8 ö =-.3.x y ç æ8 ö Baştan 4. terimin katsayısı: ç 3 æ ö Cevap: 8 - ç 3 çè3 ø 3 12

10 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y 2 ) 4 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3x 2 +y 2 ) 6 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x 3 y B) 4x 3 y 2 C) 4x 3 y 3 D) x 4 y 2 E) x 3 y 4 A) x 6 y 6 B) x 4 y 8 C) x 6 y 6 D) 20x 4 y 8 E) 20x 8 y 4 soru 2 soru 6 (a 2 +b 3 ) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? (5x 3 +2y 2 ) 10 ifadesinin açılımındaki baştan 10. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 6.a 6.b 6 B) 6.a 4.b 9 C) 10.a 4.b 9 D) 10.a 6.b 6 E) 10a 7.b 6 A) B) C) D) E) soru 3 (a b 2 ) 7 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 2 4y 3 ) 8 ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 21.a 5.b 4 B) 21.a 4.b 6 C) 21.a 3.b 6 D) 35.a 5.b 4 E) 35a 4.b 6 æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 2 B) 2 C) èç ø çè ø æ8ö æ8ö D) - 2 E) èç ø 3 4 soru 4 soru 8 (a 3 b 3 ) 5 ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (3x 4 5y 2 ) 12 ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5a 9.b 6 B) 5a 9.b 3 C) 5a 12.b 3 D) 5a 9.b 3 E) 5a 12.b 3 æ12ö æ12ö æ12ö A) 3.5 B) 3.5 C) ç4 4 4 è ø çè ø æ12ö æ12ö D) E) èç ø èç ø B 2 D 3 A 4 C 5 A 6 B 7 B 8 E 13

11 Binom Açılımı 5 terim var æ 4 4ö æ 4 0 4ö æ 3 1 4ö æ 2 2 4ö æ 1 3 4ö 0 4 (x+ y) = x y x y x y x y x y ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 è ø è ø è ø è ø è ø ortadaki terim 7 terim var æ 6 6ö æ 6 0 6ö æ 5 1 6ö æ 4 2 6ö æ 3 3 6ö æ 2 4 6ö æ 1 5 6ö 0 6 (x+ y) = x y x y x y x y x y x y x y ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 ç5 ç6 è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø ortadaki terim Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi, (x+y) 2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim æ ö ç n 2n.x n y n ifadesi ile bulunur. (x+y) 8 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (x+y) 8 ifadesinde 2n=8 ise n=4 æ 2nö ç xy n n n ifadesinden, æ8ö 8! x y =. x y = 70x y ç4 è ø (8-4)!. 4! x 4 y 4 açılımda ortadaki terimdir. Cevap: 70x 4 y 4 (2x+3y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (2x+3y) 6 ifadesinde 2n=6 ise n=3 æ2nö æ6ö æ6ö æ6ö (2x) (3y) (2x) (3y) 2 x 3 y = = = 8.27.x y çn è ø èç ø èç ø èç ø n n Cevap: æ 6 ö ç 8.27.x y çè3 ø 3 3 (x 3 +y 2 ) 10 ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz. (x 3 +y 2 ) 10 ifadesinde 2n=10 ise n=5 æ10ö æ10ö (x ).(y ) =.x.y ç5 5 è ø Cevap: æ 10 ö ç x.y çè5 ø (x 2 +y 4 ) 2n ifadesinin açılımında ortadaki terimde x 12 li terim olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (x 2 +y 4 ) 2n ifadesinin ortadaki terimi, æ2nö æ 2 n 4 n 2nö 2n 4n (x ).(y ) = x.y dir. çn n è ø èç ø 14 x 2n =x 12 ise 2n=12 ve n=6 Cevap: 6

12 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (a+b) 4 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2 +y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö ab B) a b C) a b ç2 2 2 è ø è ç ø è ç ø æ4ö æ 3 4ö D) a b E) ab ç2 2 è ø æ6 6 6 A) ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y èç ø çè ø æ6ö æ 6 6 6ö 6 D) x y E) x y 3 3 èç ø èç ø soru 2 soru 6 (x y) 6 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? (x 2 +y 3 ) 10 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? æ6 6 6 A) ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y èç ø çè ø æ6ö æ6ö D) - x y E) - x y 3 3 èç ø èç ø A) æ ö æ ö æ ö x y B) x y C) x y ç5 5 5 è ø çè ø æ10ö æ10ö D) x y E) x y ç5 5 è ø soru 3 (3x+5y) 8 ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 3 +y 4 ) 2n ifadesinin açılımında ortadaki terimde x 12 li terim olduğuna göre, n kaçtır? A) æ ö æ ö æ ö 3 5 B) 3 5 C) 3 5 ç4 4 4 è ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) x y E) x y 6 6 èç ø èç ø A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 4 12 æ x ö ç 2x + çè ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı 2 ø aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö 2 B) 2 C) èç ø èç ø èç ø æ12ö æ12ö D) 2 E) 6 6 èç ø èç ø soru 8 (x 4 +2y 2 ) n ifadesinin açılımında ortadaki terimde y 10 lu terim olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 1 B 2 D 3 A 4 E 5 B 6 C 7 A 8 C 15

13 Binom Açılımı Baþtan 4. terim æ 4 4ö æ 4 0 4ö æ 3 4ö æ 2 2 4ö æ 1 3 4ö 0 4 (x + y) = x y x y x y x y x y (5 terim var) ç0 ç1 ç2 ç3 ç4 è ø è ø è ø è ø è ø Sondan 2. terim Baþtan 5. terim æ (x y) ö æ ö x y æ 4 1 5ö æ 3 2 5ö æ 2 3 5ö æ 1 4 5ö = + ç0 ç1 x y + x y + x y x y + x y (6 terim var) è ø è ø ç2 ç3 ç4 ç5 è ø è ø è ø è ø Sondan 2. terim æn n r r Yukarıdaki örneklerden de görüleceği gibi sondan (n r+1).terim, ö x - ç.y r dir. (x+y) 6 ifadesinin açılımında sondan 3. terimi bulunuz. (x+y) 6 ifadesinde n=6 dır. Sondan 3. terim istendiğinden, n- r+ 1= 3 æ nö ç x r 6 - r+ 1= 3 n-r r ifadesinde n=6 ve r=4 değerleri yerlerine konulduğunda, y r= 4 æ 6ö 6! x.y =.xy = 15xy ç4 è ø (6-4)!.4! bulunur. Cevap: 15x 2 y 4 (3x 2y) 7 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. (3x 2y) 7 ifadesinde n=7 dir. Sondan 2. terim istendiğinden, n r+1=2 ise 7 r+1=2 r=6 æ nö æ7ö - - (3x) ( 2y) - = (3x).(- 2y) = 7.(3x) (-2y) çr 6 è ø n r r = x.y 6 bulunur. Cevap: x.y 6 (5x 3 y 4 ) 10 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. (5x 3 y 4 ) 10 ifadesinde n=10 dur. Sondan 2. terim istendiğinden, n r+1=2 ise 10 r+1=2 r=9 ænö æ10ö (5x ).( y ) - =.(5x ).(-y ) çr 9 è ø 3 n-r = x y =-50.x y Cevap: 50.x 3.y 36 16

14 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (x+y) 5 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (a 3 +b 3 ) 9 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 y 3 B) 5x 4 y C) 5x 3 y 2 D) 5x 2 y 3 E) 5xy 4 æ9 9 9 A) ö æ ö æ ö a.b B) a.b C) a.b èç ø èç ø èç ø æ9ö æ9ö D) a.b E) a.b 7 7 èç ø èç ø soru 2 soru 6 (x y) 6 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? (2x 2 +3y 2 ) 10 ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 6xy 5 B) 6x 2 y 4 C) 6x 3 y 3 D) 6xy 5 E) 6x 2 y A) æ ö æ ö æ ö xy B) 2.3xy C) 2xy ç8 8 9 è ø çè ø æ10ö æ10ö D) 2.3.x y E) 2.3.x y ç9 9 è ø soru 3 (a+2b) 7 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (x 4 y 5 ) 11 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ7 7 7 A) ö æ ö æ ö 2.a.b B) 2.a.b C) 2.a b èç ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 2.a b E) 2 a.b 5 5 èç ø èç ø æ11ö æ11ö æ11ö A) - x y B) x y C) - - x y ç9 9 9 è ø çè ø æ11ö æ11ö D) x y E) x y ç9 9 è ø soru 4 soru 8 (5a b) 8 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? (4x 3 +2y 5 ) 12 ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö 5.a.b B) 5.a.b C) 5.a.b èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) - 5.a b E) - 5.a. b ç6 7 è ø èç ø A) æ ö æ ö æ ö x y B) 2 x y C) x y ç è ø çè ø æ12ö æ12ö D) 2 x y E) x y 9 9 èç ø èç ø E 2 A 3 D 4 B 5 C 6 E 7 A 8 B 17

15 Binom Açılımı (a+b) 6 ifadesinin açılımında b 4 lü terimin katsayısını bulunuz. (a+b) 6 ifadesinde n=6 dır. æ nö æ6ö a.b = a.b çr r è ø èç ø n-r r 6-r r b r =b 4 ise r=4 olur. æ 6ö 6!.a.b =. a b ç4 è ø (6-4)!.4! =15a 2 b 4 b 4 lü terimin katsayısı 15 dir. Cevap: 15 (2a+5b) 8 ifadesinin açılımında a 2 li terimin katsayısını bulunuz. (2a+5b) 8 ifadesinde n=8 dir. æ nö æ8ö (2a). (5b) = (2a). (5b) çr r è ø n-r r 8-r r æ8ö = ç 2.a.5.b r 8-r 8-r r r æ8ö = ç 2.5.a.b r a 8 r =a 2 ise 8 r=2 r=6 dır. n=8 ve r=6 olduğundan, 8-r r 8-r r æ8ö æ8ö.2.5.a.b =.2.5.a.b ç6 6 è ø olduğundan, a 2 æ li terimin katsayısı 8ö ç 6 dır. Cevap: æ 8 ö ç.2.5 çè6 ø 2 6 (x 2 y 3 ) 10 ifadesinin açılımında y 12 li terimin katsayısını bulunuz. (x 2 y 3 ) 10 ifadesinde n=10 dur. ænö æ10ö (x ).( y ) - = (x ).(-y ) çr r è ø 2 n-r 3 r 2 10-r 3 r æ10ö = ç x. ( - 1). y r y 3r =y 12 ise 3r=12 r=4 tür. n=10 ve r=4 olduğundan, 20-2r r 3r æ10ö æ10ö.x.( 1).y - = x.y ç4 4 è ø olduğundan, Cevap: æ 10 ö ç çè4 ø 18

16 Binom Açılımı soru 1 (x+y) 5 ifadesinin açılımında y 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20 soru 5 (3a+2b) 7 ifadesinin açılımında b 2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö 3.2 B) 3.2 C) 3.2 ç4 4 2 è ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 3.2 E) 3.2 ç2 2 è ø soru 2 (a+b) 8 ifadesinin açılımında b 6 lı terimin katsayısı kaçtır? A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 E) 56 soru 6 (5x 7y) 8 ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI æ8ö æ8ö æ8ö A) 5.7 B) 5.7 C) ç5 5 5 è ø çè ø æ8ö æ8ö D) E) èç ø èç ø soru 3 (x y) 7 ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 35 B) 38 C) 42 D) 45 E) 48 soru 7 (a 3 +b 4 ) 6 ifadesinin açılımında b 12 li terimin katsayısı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 soru 4 (a b) 6 ifadesinin açılımında a 5 li terimin katsayısı kaçtır? A) 6 B) 15 C) 20 D) 20 E) 6 soru 8 (2x 3 +3y 2 ) 7 ifadesinin açılımında y 8 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö 2.3 B) 2.3 C) 2.3 ç4 4 5 è ø èç ø èç ø æ7ö æ7ö D) 2.3 E) èç ø èç ø B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 E 7 D 8 A 19

17 Binom Açılımı (x+y) n =...+A.x 4 y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. æ ö ç r n x n-r.y r olduğundan, A.x 4 y 4 teriminde, x 4 =x n r ve y 4 =y r olur. y 4 =y r ise r=4 4=n 4 8=n n=8 ve r=4 olduğundan, æ8ö ! 4 4.(x).(y).x.y 4 = è ç ø (8-4)!.4! A.x 4 y 4 =70.x 4 y 4 A=70 bulunur. Cevap: 70 (2x 3y) n =...+A.x 3 y Yukarıda (2x 3y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. ænö ænö (2x).( 3y) - = 2.x (-3).y çr r è ø çè ø n-r r n-r n-r r r æ ö = ç - r çè ø n 2 n-r.( 3) r.x n-r.y r A katsayýsý A.x 3 y 6 teriminde, x 3 =x n r ve y 6 =y r olur. y 6 =y r ise r=6 x 3 =x n r ise 3=n r 3=n 6 9=n n=9 ve r=6 olduğundan A katsayısı, æ 9ö æ9ö 2.( 3) - = 2.3 ç6 6 è ø Cevap: æ 9 ö ç 2.3 çè6 ø 3 6 (x 3 +y 2 ) n =...+A.x 15.y Yukarıda (x 3 +y 2 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz. ænö ænö (x ).(y ) = x.y çr r è ø 3 n-r 2 r 3n-3r 2r olduğundan, A.x 15 y 6 teriminde, x 15 =x 3n 3r ve y 6 =y 2r olur. y 6 =y 2r ise 6=2r r=3 x 15 =x 3n 3r ise 15=3n 3r 15=3n =3n n=8 n=8 ve r=3 olduğundan, æ 8 ö ç (x ).(y ) = 56.x.y Ax 15.y 6 =56x 15.y 6 A=56 dır. Cevap: 56 20

18 Binom Açılımı soru 1 soru 5 (a+b) n =...+K.a 3 b Yukarıda (a+b) n ifadesinin açılımındaki K katsayısı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 (x+3y) n =...+A.x 3 y Yukarıda (x+3y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 2 (x+y) n =...+A.xy soru 6 (4x 2y) n =...+A.x 5.y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 1 B) 7 C) 21 D) 28 E) 35 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıda (4x 2y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö.2 B).2 C) èç ø èç ø èç ø soru æ12ö æ12ö D) -.2 E) èç ø èç ø (x+y) n =...+A.x 4 y Yukarıda (x+y) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? (x 2 +y 2 ) n =...+A.x 6.y Yukarıda (x 2 +y 2 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 84 B) 96 C) 108 D) 115 E) 126 A) 6 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30 soru 4 (a b) n =...+K.a 2 b 9 ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? soru 8 (x 4 +y 3 ) n =...+A.x 12.y Yukarıda (x 4 +y 3 ) n ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır? A) 11 B) 55 C) 33 D) 44 E) 55 A) 21 B) 35 C) 42 D) 48 E) 56 1 C 2 B 3 E 4 E 5 A 6 D 7 C 8 B 21

19 Binom Açılımı 7 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz. x ø 7 æ 1ö ç x + = (x + x ) çè x ø -17 dir. Baştan 3. terim istendiğine göre, r+1=3 ise r=2 dir. ænö æ7ö (x).(x ) = x.(x ) çr 2 è ø n-r -1r ! =.x.x = 21.x = 21.x (7-2)!.2! Cevap: 21.x 3 8 æ 2 1 ö ç x - çè x ø ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz æ ö ç x - = (x -x ) çè xø dir. 2n=8 ve n=4 ise ortadaki terim æ 2nö æ8ö - - (x ).( x ) - =.(x ). (-x ) çn 4 è ø 2 n 1n ! =.x.x = 70.x = 70.x (8-4)!.4! (- x -14 ) =- ( ).(x - ) = x - olduğuna dikkat ediniz. 1 Cevap: 70.x 4 9 æ 1 ö ç x+ çè x 3 ø ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz. 9 æ 1 ö ç x + = (x + x ) çè 3 x ø -3 9 dir. n r+1=2 9 r+1=2 ve r=8 ænö æ9ö x.(x ) = x.(x ) çr 8 è ø n-r -3 r =9.x 1.x 24 =9.x 1 24 =9.x 23 9 = 23 x Cevap: 9 23 x 10 æ 2 1ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımında x 2 li terimin katsayısını bulunuz æ ö ç x + = (x + x ) çè x ø ænö æ10ö.(x ).(x ) = x.x çr r è ø 2 n-r -1 r r -r æ10ö æ10ö =.x = x ç r r è ø 20-2r-r 20-3r x 2 li terimin katsayısı istendiğinden x 20 3r =x 2 ise 20 3r=2 ve r=6 æ10ö æ ö - 2 x = x ç6 6 è ø Cevap: æ 10 ö ç çè6 ø 22

20 Binom Açılımı soru 1 8 æ 1ö ç x - çè xø ifadesinin açılımında baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 8 æ 3 1ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ8 8 8 A) ö æ ö æ ö x B) x C) x èç ø èç ø èç ø æ8ö æ8ö D) - x E) - x 2 2 èç ø èç ø A) B) C) D) 8x E) 8x x x x 3 4 soru 2 7 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımında baştan 4. terim aşağıdaki- x ø lerden hangisidir? soru 6 9 æ 2 1 ö ç x + çè x 3 ø ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? æ7 7 7 A) ö æ ö æ ö x B) x C) x èç ø èç ø èç ø æ7ö æ 2 7ö D) x E) x 3 3 èç ø èç ø soru 3 æ 1 ö ç 2x + çè x ø 10 ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI æ A) ö æ ö æ ö x B) x C) è ç7ø è ç7ø è ç7ø x soru 7 7 æ9ö 1 æ9ö 1 D) E) 7 x 7 è ç ø è ç ø x æ 1 ö ç x+ çè x 3 ø ifadesinin açılımında x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) æ ö æ ö æ ö 2 x B) 2 C) ç5 5 5 è ø x æ10ö æ 4 10ö 4 D) 2 E) 2 x ç4 4 è ø A) æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) ç è ø çè ø çè ø çè ø soru 4 soru 8 12 æ 1 ö ç x+ çè x 2 ø ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir? æ 4 1 ö ç x + çè x 3 ø 12 ifadesinin açılımında x 6 lı terimin katsayısı kaçtır? æ12ö æ12ö 1 æ12ö A) x B) C) x 6 6 x 6 è ç ø è ç ø æ12ö æ 4 12ö 1 D) x E) è ç ø è ç ø x æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø 1 A 2 E 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 23

21 Binom Açılımı Polinom tipinde olmayan n æ 1 ç x + ö çè x ø gibi ifadelerde sabit terimi bulmak için x lerin kuvvetleri toplamını sıfır yapan değerler araştırılır. 6 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x ø Uyarı æ 6ö x 6-2r ç r çè ifadesinde x'li terimin olmaması için ø x 6 2r =x 0 =1 olması gerektiğine dikkat ediniz! 6 æ 1 ç x + ö çè xø 6 ifadesinde n=6 dır. æ 1ö -16 ç x + = (x + x ) çè x ø ænö æ6ö æ6ö æ6ö x.(x ).x.(x ) x.x = = x r = r çr çr ç ç è ø è ø è ø è ø n-r -1r 6-r -1r 6-r -r 6-2r 6 2r=0 ise r=3 æ6ö ! 0 x. x 20 3 = = sabit terimdir. (6-3)!.3! Cevap: 20 9 æ 2 3ö ç x + çè x ø ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz ç æ x + ö çè x ø ifadesinde n=9 dur æ ö ç x + = (x + 3.x ) çè x ø ænö æ9ö (x ).(3.x ) = (x ).3.x çr r è ø 2 n-r -1r 2 9-r r -r æ9ö æ9ö = x.x.3 = x.3 çr r è ø çè ø 18-2r -r r 18-3r r 18-3r= 0 Þ r= 6 æ 9ö 9!.x.3 =.3 = 84.3 ç6 è ø (9-6)!.6! Cevap: æ 1 ö ç x+ 3 çè ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. x ø 15 æ 1 ö x ç + 3 çè x ø x = x ve 1 = x x ifadesinde n=15 dir. 1/ 2-1/ æ 1 ö x ç + = (x + x ) 3 çè x ø 1/ 2-1/ r n-r 3 r 2 15-r 3 æ nö æ15ö (x ).(x ) = (x ).x çr r è ø 15-r 2 r 15-r r r-2r 6 æ15ö æ15ö æ15ö æ15ö = x.x x x = = r = r r x èç ø èç r ø 45-5r r = 0 ise r = æ15ö æ15ö x = ç9 9 è ø Cevap: æ 15 ö ç çè9 ø 24

22 Binom Açılımı soru 1 8 æ 1 ö ç x+ çè ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiler- x ø den hangisidir? soru 5 9 æ 2 1 ö ç 2x - çè 4 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden x ø hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø æ9 9 9 A) ö æ ö æ ö 2 B) C) èç ø çè ø çè ø 3 6 æ9ö æ9ö D) - 2 E) èç ø 3 6 soru 2 æ 2 ö ç 3x + çè x ø 10 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 æ 1 ö x - ç çè x ø 16 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? æ10ö æ10ö æ10ö A) 6 B) 3 C) 2 ç5 5 5 è ø çè ø æ10ö æ10ö 3 D) E) ç è ø A) æ ö æ ö æ ö B) C) ç è ø æ16ö æ16ö D) - E) - ç8 9 è ø soru 3 6 æ 1 ö ç x+ çè x 2 ø ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 æ 1ö ç x - çè xø 12 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? æ A) ö æ ö æ ö æ ö æ ö B) C) D) E) èç ø èç ø èç ø èç ø èç ø æ A) ö æ ö æ ö B) C) è ç ø è ç ø è ç ø æ12ö æ12ö D) - E) èç ø èç ø soru 4 10 æ 2 1 ö ç x + çè 3 ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden x ø hangisidir? soru 8 20 æ ö 3 1 ç x + 3 çè x ø ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir? A) æ ö æ ö æ ö B) C) ç4 5 7 è ø æ10ö æ10ö D) E) ç8 9 è ø æ20ö æ20ö æ20ö A) B) C) è ç ø æ20ö æ20ö D) E) èç ø èç ø 1 D 2 A 3 B 4 A 5 E 6 C 7 B 8 E 25

23 Binom Açılımı ( 8 2 x + y) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz. 8 + a ç ı l ı m ı n d a k i t e r i m l e r i n k a t s a y ı s ı r a s y o n e l 2n ( 2 x y) olabilmesi için kuvvetlerinin çift olması gerekir. ( 2) biçiminde yani birinci terimin ( æ8ö æ 8 0 8ö æ 6 2 8ö 2x+ y) = ( 2x) y... ( 2x).y ( ç0 2 4 è ø 4 4 2x) y + æ8ö æ8ö + ( 2x) y ( 2x) y ç6 8 è ø Katsayısı rasyonel olan terimlerdir. æ8 ö ç.( 2x).y 1.2 x 0 ç 8 0 = 4 8 katsayısı 2 4 =16 æ8 ö ç.( 2x).y 28.2 x y çè2 ø ç 6 2 = æ8 ö ç.( 2x).y 70.2 x y 4 ç 4 4 = æ8 ö ç.( 2x).y 28.2.x y çè6 ø ç 2 6 = 2 6 æ8 ö ç.( 2x).y 1.y çè8 ø ç 0 8 = 8 katsayısı =224 katsayısı =280 katsayısı 28.2=56 katsayısı 1= Cevap: (x + 2y) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz. 3 6 (x + 2y) ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel 3 3n olabilmesi için ( 2) biçiminde yani ikinci terimin kuvvetlerinin 3'ün katı olması gerekir. æ6ö æ6ö æ6ö (x + 2y) = x ( 2y)... x ( 2y) x ( 2y) ç0 3 6 è ø çè ø èç ø Katsayısı rasyonel olan terimlerdir. æ6ö ç x ( 2y) 1.x x 0 ç = 6 = 6 æ6ö ç x ( 2y) 20.x.2y 40x y 3 ç = 3 3 = 3 3 katsayısı 1 katsayısı 40 æ6ö ç x ( 2y) 1.2 y 4.y çè6 ø ç = 2 6 = 6 katsayısı Cevap: ( 2+ 2) ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan kaç terim vardır bulunuz ( 2 + 2) ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel 3 3k 2m olabilmesi için ( 2) ve ( 2) olmalı. Aynı zamanda 3k+2m=10 olmalıdır. 3k+2m=10 şartını sağlayan, (0,5) ve (2,2) ikilileri olduğundan 2 tane rasyonel katsayılı terim vardır. Cevap: 2 26

24 Binom Açılımı soru 1 soru 5 6 ( 3 +1) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 3 8 ( 5x + y) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 981 B) 970 C) 954 D) 928 E) 916 soru 2 soru 6 8 (1-5) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 4 6 (a + 2 b) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 27 B) 28 C) 30 D) 31 E) 32 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru ( 2 + 3) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 3 8 ( 3+ 7) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 (3-4 5) 10 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? 4 12 ( 2+ 5) ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1 C 2 E 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 27

25

26 BİNOM AÇILIMI OLASILIK İSTATİSTİK

27 OLASILIK Olasılık (İhtimal) Günlük hayatta olasılık kavramıyla ilgili, bir madeni paranın tura gelme olasılığı, bir zarın 3 gelme olasılığı, şans oyunlarında kazanma olasılığı gibi ifadelerle çok sık karşılaşırız. Şimdi bu olasılıkların değerlerini bulmayı öğreneceğiz. İlk önce bazı kavramları (matematiksel deney, çıktı ve örneklem uzay) açıklayalım. Bir madeni paranın havaya atılması, tavla oyununda zarın atılması, sayısal lotoda 49 tane numaralı toptan 6 top çekilmesi için yapılan işlemlerden her birine matematiksel deney, gelebilecek sonuçlara da deneyin çıktıları denir. Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktılar kümesine örneklem uzay denir ve E ile gösterilir. Örneklem uzayın herhangi bir elemanına ise örneklem nokta denir. Deney Örneklem Uzay Örneklem Nokta Bir madeni paranın atılması {Y, T} Y, T Bir zarın atılması {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1, 2, 3, 4, 5, 6 1'den 8'e kadar numaralandırılmış bilyeler arasından bir bilye çekilmesi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 İki tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 2 ise, iki madeni paranın havaya atılmasında 2.2=4 üç madeni paranın havaya atılmasında 2.2.2=8 ve n tane madeni paranın havaya atılması deneyinde s(e)=2 n dir. İki madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzay E={(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} ve s(e)=4 bulunur. Örneklem uzayı elemanlarını yazmadan genel çarpım kuralı kullanarak bulabiliriz. s(e) = 2. 2 = 4 bulunur. {Y,T} {Y,T} Cevap: 4 İki tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 6 ise n tane zarın havaya atılması deneyinde s(e)=6 n dir. Bir zarın havaya atılma deneyinde {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durum vardır. O halde iki zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzay s(e)=6.6=36 bulunur. Cevap: 36 7 kişinin yanyana fotoğraf çektirme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. İçerisinde 4 kırmızı ve 5 siyah bilye bulunan bir torbadan rastgele iki bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. 7 kişi yanyana 7! kadar değişik poz verir. O halde örneklem uzay s(e)=7! dir. Cevap: 7! æ9 9.8 Torbadaki 4+5=9 bilyeden 2'si ö ç = = 36 2 değişik şekilde seçilebileceğinden örneklem uzay s(e)=36 bulunur. 2.1 Cevap: 36 30

28 Olasılık soru 1 soru 5 Bir tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? 6 farklı matematik kitabını yanyana bir rafa dizme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 A) 6 B) 4! C) 5! D) 6! E) 7! soru 2 soru 6 Üç tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? 12 kişilik bir ailenin yuvarlak masa etrafında oturma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 A) 6! B) 10! C) 11! D) 12! E) 13! soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Bir tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 6 C) 12 D) 18 E) 36 İçerisinde 4 mavi ve 6 sarı bilye bulunan bir torbadan rastgele bir bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 24 B) 12 C) 10 D) 6 E) 4 soru 4 soru 8 Üç tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 18 C) 36 D) 108 E) 216 İçerisinde 5 mavi ve 3 kırmızı bilye bulunan bir torbadan rastgele üç bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 21 C) 36 D) 45 E) 56 1 B 2 D 3 B 4 E 5 D 6 C 7 C 8 E 31

29 Olasılık Olay, İmkansız olay, Kesin olay ve Ayrık olaylar Örneklem uzayın herbir alt kümesine olay denir. Boş kümeye imkansız olay, E örneklem uzayına kesin olay denir. Bir örneklem uzayında iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. Bir zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzay E, tek sayı gelmesi olayı A, çift sayı gelmesi olayı B, 6'dan büyük gelmesi olayı C, 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı D olsun A, B, C, D, E olaylarını yazınız. Örneklem uzay: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Tek sayı gelmesi olayı: A={1, 3, 5} Çift sayı gelmesi olayı: B={2, 4, 6} A B= olduğu için A ve B ayrık iki olaydır. 6'dan büyük gelmesi olayı: C= C= olduğu için imkansız olay 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı: D={1, 2, 3, 4, 5, 6} D={1, 2, 3, 4, 5, 6}=E olduğu için kesin olaydır. İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması o- layının eleman sayısını bulunuz. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması olayı, A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} için s(a)=6 bulunur. Cevap: 6 Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor. En az birinin yazı gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz. En az bir yazı gelmesi olayı A={(Y, T), (T, Y), (Y, Y)} için s(a)=3 bulunur. Cevap: 3 Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın iki kez yazı, bir kez tura gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz. Paranın iki kez yazı ve bir kez tura gelmesi olayı A olsun. A={(Y, Y, T), (Y, T, Y), (T, Y, Y)} ve s(a)=3 bulunur. Tekrarlı permütasyon kullanarak da eleman sayısını bulabiliriz. Y, Y, T arasındaki sıralama 3! 3 2! = bulunur. Cevap: 3 32

30 Olasılık soru 1 soru 5 Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın asal sayı gelmesi olayının elemanları aşağıdakilerden hangisidir? Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor. En çok birisinin yazı gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {1,2,3,5} B) {2,3,5} C) {3,5} D) {1,3,5} E) {1,2,3} A) {(Y,T), (T,Y), (T,T)} B) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y)} C) {(Y,T), (T,T)} D) {(T,Y), (T,T)} E) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y), (T,T)} soru 2 soru 6 Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın 4 den büyük gelmesi olayı A, 4 den küçük gelmesi olayı B, 7 gelmesi olayı C ve 7 den küçük gelmesi olayı D olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın bir kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) s(a)=2 B) s(b)=3 C) C imkansız olaydır. D) D kesin olaydır. E) A ve B ayrık iki küme değildir. soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olma olayı aşağıdakilerden hangisidir? Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Paranın bir kez yazı iki kez tura gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1,5), (2,4), (3,3)} B) {(3,3)} C) {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} D) {(5,1), (4,2), (3,3)} E) {(1,5), (2,4), (5,1), (4,2)} A) {(Y,T,T)} B) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,Y,Y)} C) {(Y,T,T), (Y,Y,T), (T,T,T)} D) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,T,Y)} E) {(Y,T,T), (T,Y,T)} soru 4 soru 8 İki zar havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olma olayının eleman sayısı kaçtır? Bir madeni para 4 kez havaya atılıyor. Paranın iki kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 1 B 2 E 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 D 33

31 Olasılık Birbirinden farklı 3 gömlek ile 5 pantolon bir askıya asılıyor. Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısını bulunuz. G G G P P P P P Gömlekler yanyana olacağına göre 1 eleman olarak düşünülürse 5 pantolonla birlikte 6 eleman olduğundan 6! şeklinde sıralanabilirler. Gömlekler kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirebilir. O halde gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı 6!.3! bulunur. Cevap: 6!.3! 5 kız, 5 erkek yuvarlak masa etrafında oturacaktır. İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısını bulunuz. E K E K K E E K K E Yuvarlak masa etrafında 1 kişi sabit tutulduğunda erkek (5 1)!=4!, kızlar 5! şekilde yer değiştirebilir. O halde iki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı 5!.4! bulunur. Cevap: 5!.4! A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor. Seçilen sayının tek sayı olması olayının eleman sayısını bulunuz = 40 {1,2,3,4} {0,1, 2,3,4} {1,3} O halde üç basamaklı tek sayı olma olayının eleman sayısı 40 bulunur. Cevap: 40 "MARMARA" kelimesindeki harflerle yazılan 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin M ile başlayıp M ile bitmesi olayının eleman sayısını bulunuz. M ile başlayıp M ile biteceğinden geriye kalan A, R, A, R, A 5! harfleri kendi aralarında = 10 değişik şekilde yer değiştirebilir. 3!.2! O halde M ile başlayıp M ile bitme olayının eleman sayısı 10 bulunur. Cevap: 10 34

32 Olasılık soru 1 soru 5 Birbirinden farklı 2 gömlek ile 6 pantolon bir askıya asılıyor. Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A) 8! B) 2!6! C) 2!7! D) 7! E) 2!.6!.2! A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 52 B) 60 C) 72 D) 90 E) 180 soru 2 soru 6 Birbirinden farklı 5 matematik ile 4 geometri kitabı bir rafa yanyana diziliyor. Aynı tür kitapların yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor. Seçilen sayının rakamları farklı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 9! B) 4!5! C) 4!6! D) 5!5! E) 4!5!2! A) 36 B) 48 C) 52 D) 60 E) 100 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 6 erkek, 6 kız yuvarlak masa etrafında oturacaktır. İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı kaçtır? A) 5!.6! B) 5!5! C) 6!6! D) 11! E) 12! "SERDAR" kelimesindeki harflerle yazılan 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin S ile başlayıp D ile bitmesi olayının eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 24 soru 4 soru 8 Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında oturacaktır. Anne ile babanın yanyana oturma olayının eleman sayısı kaçtır? A) 6! B) 5! C) 2!.4!.2! D) 2!.4! E) 2!5! sayısının rakamlarıyla yazılan 6 basamaklı sayılar arasından seçilen bir sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 60 1 C 2 E 3 A 4 D 5 D 6 B 7 C 8 C 35

33 Olasılık 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 3 elemanlı olması olayının eleman sayısını bulunuz. 6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı æ 6ö ç = = 20 3 dir Cevap: 20 Bir torbaya 5 kırmızı ve 6 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısını bulunuz. æ 5 kırmızı bilyeden 2 si 5 ö æ ç, 2 çè 6 sarı bilyeden 1 i 6 ö ø ç 1 çè ø değişik şekilde seçilir. O halde 2 sinin kırmızı 1 inin sarı gelme olayının eleman sayısı æ5öæ6ö = 10.6 = bulunur. çè øèç ø Cevap: 60 Aralarında Ümit'in de bulunduğu 7 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde, Ümit'in bulunması olayının eleman sayısını bulunuz. Grupta Ümit olacağına göre geriye kalan 6 kişi arasından 3 æ6ö kişi = = 20 3 farklı şekilde seçilebilir. ç O halde Ümit'in bulunduğu olay sayısı 20 dir. Cevap: 20 Doğrusal 3 noktadan üçgen meydana gelmez. O halde 7 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşan üçgen sayısından, doğrusal noktalardan oluşturduğumuz üçgen sayısını çıkartırsak istenilen üçgen sayısını buluruz. æ 7ö æ4ö æ3ö æ3ö = = 29 ç è ø çè ø èç ø èç ø Cevap: 29 Yukarıdaki şekilde üzerindeki 7 noktadan üç tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman sayısını bulunuz. 36

34 Olasılık soru 1 soru 5 7 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır? Aralarında Billur'un da bulunduğu 8 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde Billur'un bulunması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 70 B) 63 C) 56 D) 45 E) 35 A) 15 B) 21 C) 28 D) 35 E) 36 soru 2 soru 6 6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin en az 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır? Aralarında Özgür ile Nilüfer'in bulunduğu 10 kişi arasından seçilen 4 kişinin içinde Özgür'ün bulunduğu Nilüfer'in bulunmadığı olayın eleman sayısı kaçtır? A) 28 B) 36 C) 56 D) 70 E) 84 A) 55 B) 57 C) 58 D) 63 E) 64 soru 3 soru 7 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 2 bilyeden birinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 9 B) 15 C) 20 D) 28 E) 36 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 8 noktadan 3 tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 47 B) 48 C) 49 D) 51 E) 56 soru 4 soru 8 Bir torbada 6 mavi ve 5 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin mavi birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 20 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 A B C D d 1 d 1 // d 2 E F G H I d 2 Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 9 noktadan 4 tanesi seçiliyor. Seçilen bu noktaların dörtgen oluşturması olayının eleman sayısı kaçtır? A) 126 B) 84 C) 75 D) 60 E) 40 1 B 2 B 3 C 4 D 5 E 6 C 7 A 8 D 37

35 Olasılık Olasılık Fonksiyonu Bir E örneklem uzayının tüm alt kümelerinin kümesi E A olsun. Tanım kümesi E A, değer kümesi [0,1]={x:0 x 1, x R} olmak üzere, P: E A [0,1] biçiminde tanımlanmış ve aşağıdaki özellikleri sağlayan fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. A E A ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı denir. 1) 0 P(A) 1 2) P(E)=1 (Kesin olay) 3) A, B E A ve A B= ise P(A B)=P(A)+P(B) dir. Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A olayının olma olasılığı 0 P(A) 1 dır. 1 6 > olduğu i ç i n 7 A olayının olma olasılığı P(A) = olamaz. 6 Cevap: E E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir olasılık fonksiyonu belirtir? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) =, P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E={a,b,c} örneklem uzayında P(a)+P(b)+P(c)=P(E)=1 olmalıdır A) P(a) + P(b) + P(c) = + + = B) P(a) + P(b) + P(c) = + + = C) P(a) + P(b) + P(c) = + + = D) P(a) + P(b) + P(c) = + + = ¹ O halde A, B, C şıkları olasılık fonksiyonu belirtir. Cevap: 3 Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 7 katı olduğuna göre, P(a) ve P(b) kaçtır, bulunuz. Örneklem uzay E={a,b} dir. P(a)=7P(b) ve P(a)+P(b)=1 için P(a)+P(b)=7P(b)+P(b)=1 8P(b)=1 1 P(b) = dir P(b) = için P(a) = 7.P(b) = 7. = bulunur Cevap: 7 1 P(a) =, P(b) =

36 Olasılık soru 1 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olamaz? soru 5 E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtmez? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) = P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E) P(a) =, P(b) =, P(c) = soru 2 soru 6 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) - C) D) E) 2 soru 3 x-1 Bir deneye ait A olayının olma olasılığı P(A) = dir. 5 x tamsayısı kaç farklı değer alır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI F={a,b,c} ayrık örneklem uzayı ve P olasılık fonksiyonudur. 3 1 P(a) =, P(b) = olduğuna göre, P(c) kaçtır? soru 7 Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 4 katı olduğuna göre sonucun b olma olasılığı kaçtır? soru 4 E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtir? A) P(a) =, P(b) =, P(c) = B) P(a) =, P(b) =, P(c) = C) P(a) =, P(b) =, P(c) = D) P(a) =, P(b) =, P(c) = E) P(a) =, P(b) =, P(c) = soru 8 Bir deney için a, b ve c gibi üç ayrık sonuç olasıdır. Sonucun a veya b olma olasılığı 7, b veya c olma olasılığı 3 olduğuna göre, sonucun b olma olasılığı kaçtır? E 2 C 3 D 4 B 5 A 6 E 7 A 8 B 39

37 Olasılık Olasılık Fonksiyonu Özellikleri 1) P( )=0 (imkansız olay) 2) A nın tümleyeni A ı olmak üzere, A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) ise P(A)+P(A ı )=1 dir. 3) A B ise P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) dir. 4) A B ise P(A) P(B) dir. 6 kırmızı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır, bulunuz. 6 kırmızı, 4 mavi bilye arasında siyah bilye olmadığından siyah bilye seçme olayı imkansız olaydır. O halde P( )=0 bulunur. Cevap: 0 1 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A)= olduğuna 4 göre gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) kaçtır, bulunuz. P(A)+P(A ı )=1 olduğundan 1 ý + P(A ) = 1 4 ý 1 3 P(A ) = 1- = bulunur. 4 4 Cevap: 3 4 A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 2 1 P(A )=, P(B)= 5 ve P(A Ç B)= olduğuna göre, P(A B) kaçtır, bulunuz. P(A)+P(A ı )=1 ise 2 P(A) + = 1 1 P(A) = 3 3 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) P(A È B) = + - = = = (4) (3) (1) Cevap: 1 6 A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır. ý 1 P ((A È B) ) =, 3 P(A) = olduğuna göre, P(B) kaçtır, bulunuz. A ve B ayrık iki olay olduğuna göre, A B= ve P(A B)=0 dır. P(A B)+P((A B) ı )=1 1 P(A È B) + = 1 için 9 P(A È B) = P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) 9 3 = + P(B) = P(B) ise 6 3 P(B) = = bulunur Cevap:

38 Olasılık soru 1 6 sarı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) soru 5 A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır P(A) =, P(B) = ve P(A Ç B) = olduğuna göre, P(A B) kaçtır? soru 2 soru 6 2 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) = olduğuna göre, 7 gerçekleşmeme olasılığı P(A ı ) kaçtır? soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 5 1 P(A ) =, P(B) = 8 4 P(A B) kaçtır? ve 7 P(A È B) = olduğuna göre, soru 7 Bir A olayının gerçekleşme olasılığı, gerçekleşmeme olasılığının 9 katı olduğuna göre, gerçekleşmeme olasılığı kaçtır? A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır. ý 1 5 P(A ) =, P(B) = ve 4 12 P(A \ B) kaçtır? 11 P(A È B) = olduğuna göre, soru 4 4 Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı 11 olduğuna göre, aynı sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? soru 8 A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır. ý 1 1 P ((A È B) ) =, P(A) = olduğuna göre, 8 2 P(B) kaçtır? A 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 E 8 B 41