2 MATRİSLER Denklem sistemlerinin yazımında, koordinat sistemlerinin dönüşümünde, vektörel işlemlerde (vektörlerin tolanması, çıkarılması, skaler çarımı, vektörel çarımı) ve benzeri birçok konuda sistemleri matrislerle göstermek ve matrislerle işlemlerin yaılması daha kolay olmaktadır Bu işlemler mekanikte, elektrikte, kuantum fiziğinde, ısı yayınımında ve mühendislik uygulamalarında karşımıza çıkmaktadır Bu yüzden matrisler bir çok sayısal ve analitik yöntemde kullanılır Bazen matrislerin determinantının yani denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinatının hesalanması denklem sisteminin çözümlenmesine geçmeden önce (örneğin matrisin determinantı sıfıra eşitse) önemli olmaktadır Yukarıda da belirttiğimiz gibi sayısal işlemlerde matrislerin veya determinantların kullanılması büyük kolaylıklar sağlamaktadır Bu bölümde matrisler ve determinantlar kullanılarak yaılan bazı sayısal hesalama yöntemleri anlatılacaktır Bu sayısal yöntemler, denklem sistemlerinin farklı olmasından (homojen, homojen olmayan, çizgisel bağımlı veya bağımsız vs) dolayı, birbirinden farklı olan yöntemlerdir Önce matrislerin ve determinantların bazı özelliklerinden kısaca bahsedilecek, daha sonra çizgisel denklem sistemlerin çözümlerinde kullanılan, yöntemlerden bazıları anlatılacak ve bunların uygulamaları verilecektir 21 DENKLEM SİSTEMLERİ 7 tane benzer, çizgisel denklem sistemininin 8 tane ( B" ß B# ß ÞÞÞÞß B8Ñ değişkeni olsun Bu denklem sistemini ( 7-satır, 8-sütunu göstermek üzere) "" B" "# B# ÞÞÞÞÞÞ "8B8 œ, " #" B" ## B# ÞÞÞÞÞÞ #8B8 œ, # Þ Þ Þ Þ Þ Þ 7" B" 7# B# ÞÞÞÞÞÞ 78B8 œ, 7 (21) şeklinde yazabiliriz Denklemdeki katsayıları sabit değerleri, B ise değişkenleri (kökleri) ve, değerleri de denklemin homojen olu olmadığını gösteren değerlerdir ( œ! veya Á! ) Eğer denklem sisteminin sağ tarafındaki, 3 değerleri sıfıra eşitse bu tür denklemlere # homojen, sıfırdan farklı ise homojen olmayan denklem sistemi denir Denklem sistemindeki bilinmeyenlerin derecesi 1 den büyük ise (B ß B $ #,) bu türdeki denklemlere gösterilmektedir: çizgisel olmayan denklemler denir Aşağıdaki homojen fakat çizgisel olmayan bir denklem sistemi " # $ "" B" "# B# ÞÞÞÞÞÞ "8B8 œ! #" B " ## B# ÞÞÞÞÞÞ #8B 8 œ! Þ Þ Þ Þ Þ Þ 7" B" 7# B# ÞÞÞÞÞÞ 78B8 œ! (22) Yukarıda bahsedildiği gibi bir denklem sistemini çözmek demek, bulunan B değerlerinin katsayılarıyla çarılması ile bu denklemlerin eşit olduğu, 3 değerlerini sağlaması demektir Örnek olarak aşağıda iki bilinmeyenli ÐB" ve B# değişkenlerinden oluşan Ñ bir denklem sistemi ( 7 œ #ß 8 œ #Ñ verilmektedir: #B" B# œ ( $B" %B# œ ' 1
80 X1=(7X2)/2 X2=(-63X1)/4 X 1 70 60 50 40 30 20 X 2 10 00-70 -60-50 -40-30 -20-10 -1000 10 20 30 40 50 60 70-20 -30-40 -50-60 -70-80 Şekil 21 İki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözümü Bu denklem sistemi Be göre yerine koyma yöntemine göre çözülürse, B" œ"þ& ve B# œ% olarak bulunabilir (# ve $ de bu denklem sisteminin kökleridir) Şekil 21 de doğruların çakıştığı nokta denklem sisteminin köklerini göstermektedir Bulunan bu kök değerleri denklemde yerine koyarak eşitliklerin sağlaması yaılabilir Bazı durumlarda denklemlerin kökleri (denklemler birbirleri ile çakışmadığı için) bulunamaz, denklem sistemi çözülemez Buna örnek olarak aşağıdaki denklem sistemi verilebilir: #B" B# œ ( 15B" #B# œ & X1=(7X2)/2 X2=(-515X1)/2 80 X 1 60 40 20 X 2 00-70 -50-30 -10 10 30 50 70-20 -40-60 -80-100 Şekil 22 Çözümü olmayan iki bilinmeyenli bir denklem sistemi 22 MATRİSLER ve DETERMİNATLAR Aşağıda matris ve determinantların bazı özellikleri verilmektedir: ( 1) Bir matris, skaler bir nicelikle çarılırsa matrisin bütün elemanları bu skaler nicelik ile çarılır: " % $ "# $ œ $ # * ' (23) ( 2 ) 8 dereceden bir E kare matrisinin köşegen üzerindeki eleman sayısı 8 tanedir ( "", ##, $$,, 88) Bir matrisin elemanları E 34 (-satır, 3 4-sütun) şeklinde gösterilebilir 2
( 3) Bir E matrisinin transozu, matrisin satırları ile sütunlarının yerdeğiştirilmesidir ve bu matris E X ile gösterilmektedir: E œ " # & " $ ( $ % ' ve E œ # % ) X (24) ( ) * & ' * X FœE ise, 34 œ 43 olmalıdır Dikkat edilirse yukarıdaki matriste diyagonal elemanları yer değiştirmemiştir X ( 4 ) Simetrik bir matriste œ veya E œ E dir 34 43 ( 5) Köşegen matris, köşegen dışındaki bütün elemanları sıfır olan matristir: "!! Hœ! %! (25)!! # ( 6) Birim matris, köşegen üzerindeki elemanları 1 ve bunun dışındaki bütün elemanları sıfır olan matristir ve bu tür matrisleri M simgesi ile göstereceğiz: "!! Mœ! "!!! " (26) ( 7 ) V œ B, C -D şeklindeki bir vektörü bir satır matrisi ile bir kolon matrisinin çarımı şeklinde yazılabilir: B, - C œ V œ B, C -D D Yukarıdaki denklemdeà B Eœ, - œ katsayılar matrisi, < C ise vektör matrisidir D Bu şekliyle V vektörünü (27) V œe< olarak yazılabilir (28) ( 8) Determinantlar, kare bir matrisin büyüklüğü olarak tanımlanabilir Örnek olarak # # kare ÐEÑmatrisinin determinantı veya büyüklüğü aşağıdaki gibi verilir: "" "# ± E ± œ œ #" ## "" ## #" "# (29) ( 9) İki matrisin tolamı G œ E F şeklindedir İki matrisin tolanabilmesi için her iki matrisin satır ve sütun sayılarının 34 34 34 birbirine eşit olmalıdır İki matrisin çarımı ise G œ E F şeklinde yazılabilir İki matrisin birbiri ile çarılabilmesi için birinin satır 35 34 45 4œ" sayısı diğerinin sütun sayısına eşit olmalıdır 3 8
( 10) EB œ -B eşitliği B özvektör ve - özdeğer olmak üzere özdeğer roblemidir 23 BASİT GAUSS ELEME YÖNTEMİ Basit Gauss yöntemi aşağıdaki denklem sistemine uygulandığı gibidir: 11 B1 12 B2 13 B3 1nB8 œ," 21 B1 22 B2 23 B3 2nB8 œ, 2 31 B1 32 B2 33 B3 3nB8 œ, 2 n1 B1 n2 B2 n3 B3 nnb8 œ, n (236a) (236b) (236c) (236d) tiindeki bir denklem sisteminde (236a) nolu denklemi 21/ 11 ile çarı, (236b) nolu denklem bu denklemden çıkartılırsa aşağıdaki ifade elde edilir: #" #" 11 1 12 2 13 3 1n 8 " Ò B B B B Ó œ, (237a) "" "" B B B B œ, (237b) 21 1 22 2 23 3 2n 8 2 Böylece (236b) nolu denklemden B 1 i yok etmiş oluruz: 12 ## 2 13 #$ 3 1n #8 8 #" #" #" Ð ÑB Ð ÑB Ð ÑB Ó "" "" "" " # #" œ,, "" (238) Benzer bir işlemi denklem (236c) ile (236a) arasında yaarsak yani 31/ 11 ile (236a) denklemini çarı (236c) nolu denklemi bu çarım sonucundan çıkartırsak aşağıdaki ifade elde edilir: 3" 3" 11 1 12 2 13 3 1n 8 " Ò B B B B Ó œ, (239) "" "" B B B B œ, (236c) 31 1 32 2 33 3 3n 8 3 Böylece (236c) nolu denklemden B 1 i yok etmiş oluruz: 12 3# 2 13 3$ 3 1n 38 8 3" 3" 3" Ð ÑB Ð ÑB Ð ÑB Ó "" "" "" " 3" œ,, "" 3 (240) Bu şekilde (236a) denklemi hariç diğer bütün denklemlerden B " bilinmeyeni elenmiş olur Denklem (238), denklem (240) ve buna benzer diğer denklemlerden yeni katsayılarla önceki denklem sisteminin 1 eksiği olan bir denklem sistemi oluşturulur ( 8 değeri yeni denklem sistemindeki denklem sayısı olsun) Bu denklem sistemi aşağıdaki gibidir: 4
' B ' B ' B œ, ' (241a) 22 2 23 3 28 8 2 ' B ' B ' B œ, ' (241b) 32 2 33 3 38 8 3 ' B ' B ' B œ, ' (241c) 42 2 43 3 48 8 4 ' B ' B ' B œ, ' (241d) 82 2 83 3 88 8 8 Yukarıdaki denklem sisteminde önceki işleme benzer işlem yaılarak denklem (241b), (241c) ve diğer denklemlerden B 2 bilinmeyeni elenir Böylelikle B$, B%, ler elenerek işlemlere sadece B8 kalana kadar devam edilir B8 değeri hesalanı daha sonra geriye doğru B, B bilinmeyenleri sırasıyla başa doğru elde edilir 8" 8# 24 GAUSS ELEME YÖNTEMİ Gauss eleme yöntemi, denklem sistemlerinin çözümlerini (yani B ß B ß ÞÞÞÞß B " # 8 yöntemdir Bu yöntem aşağıdaki üç bilinmeyenli denklem sisteminin çözümünde gösterilmektedir: kök değerlerini Ñ doğrudan bulabilecek sayısal bir $B 'B (B œ $ " # $ *B!B &B œ $ " # $ &B )B 'B œ % " # $ (223a) (223b) (223c) Birinci denklemde, B " i eşitliğin bir tarafında bırakacak şekilde yeniden yazılırsa, yani B" œ Ð$ 'B# (B$ ÑÎ$ œ " #B# Ð(Î$ÑB$ olur Bu değeri (223b) ve (223c) deki denklemlerde kullanılırsa, üç bilinmeyenli denklem sistemini iki bilinmeyenli denklem sistemi halinde yazılabilir Bu durumda yeni denklem sistemi: ve *Ð" #B Ð(Î$ÑB Ñ &B œ $ # $ $ &Ð" #B Ð(Î$ÑB Ñ )B 'B œ % # $ # $ * ")B #"B &B œ $ # $ $ & "!B Ð$&Î$ÑB )B 'B œ % # $ # $ ")B #'B œ ' # $ #B Ð"(Î$ÑB œ * # $ (224a) (224b) olarak yazılabilir Bu yeni iki bilinmeyenli denklem sisteminde denkleminde kullanırsak B œ Ð#'B 'ÑÎ") # $ yazılır ve bu son değeri yukarıdaki (224b) #( Ð#'B$ 'ÑÎ")) Ð"(Î$ÑB$ œ * * Ð# #'Î")ÑB * Ð'Î")Ñ * Ð"(Î$ÑB œ * * $ $ (225) tek bilinmeyenli denklemi elde ederiz Buradan #'B ' &"B œ )" $ $ 5 şeklinde bir bilinmeyenli denklem sistemi elde edilir Buraya kadar yaılan işlemlere dikkat edilirse, denklem sistemini temsil eden matrisin köşegenleştirildiği görülebilir, yani köşegen dışındaki
elemanların sıfırlanması işlemi yaılmıştır #&B$ œ )" ' œ (& ve buradan B$ œ $ olarak elde edilir Yukarıdaki işleme benzer olarak B# ve B " sırasıyla (geriye doğru) % ve # olarak elde edilir En başta verilen denklem sistemini aşağıdaki gibi matris formunda da yazılabilir: $ ' ( B " $ *! & B # œ $ & ) ' B % $ (226) Eşitliğin sol tarafındaki ilk matris, katsayılar matrisi olarak isimlendirilir B 3 lerden oluşan matrise ise sütun matrisi veya vektör matrisi denir Bu denklem sistemini matrislerle çözebilmek için, eşitliğin sağındaki matrisi sol taraftaki matris içine yazarsakß yeni oluşan matris (augmented matrix): $ ' ( $ *! & $ & ) ' % (227) şeklinde olacaktır Şimdi yukarıdaki matrisi eleme yöntemini kullanarak (yukarıdaki örnekte olduğu gibi) çözmeye çalışalım (B" ßB# ve B$ değerlerinin bulunması) Denklem sistemini oluşturan matrisi ''""!! -"! ''##! -#!! '' - $$ $ (228) şeklinde köşegen matrisi haline getirebilirsek, aradığımız B3 değerlerini yani bilinmeyenler bulunmuş olurþbu kökler ise matrisin en son durumunda elde edildiği gibi aşağıda verilmektedir: B œ - Î'' " " "" B œ - Î'' (229) # # ## B œ - Î'' $ $ $$ Kısacası yukarıdaki (228) denklemindeki matrisi elde edebilmek için şu aşamalardan geçilir: ( 1) Verilen denklemlerden birisi seçilir, buradaki değişkenlerden biri Ðörneğin B" Ñ diğer denklemlerde yerine yazılır, ( 2) Şimdi elimizde denklem sayısı 1 eksilmiş yeni denklem sistemi vardır ÐB# ve B$ değişkenlerinden oluşan denklem sistemi Ñ, bu denklemlerden biri seçilir ve değişkenlerden biri cinsinden bir denklem yazılır, ( 3) ( 2) de elde edilen değer sonraki denklemlerde yerine yazılır ve işlem bu şekilde tek denklem ve tek bilinmeyenli değişken elde edilene kadar devam edilir Yukarıda verilen aşamaları adım adım aşağıdaki örneğimize uygulayalım: 6
$ ' ( $ *! & $ & ) ' % (230) Öncelikle, ilk satır hariç diğer satırlardaki (2 ve 3), ilk elemanları eleriz ( #" ve $" elemanlarını sıfır yaarız) #" i sıfır yamak içinß bu elemandan #" değerini çıkarır ve yeni ikinci satırı şu şekilde elde ederiz: Yeni 2satır œ "" Ð2satır elemanlarıñ #" Ð1satır elemanları Ñ (231) '#4 œ "" Ð #4 Ñ #" Ð "4Ñ '#" œ "" Ð #" Ñ #" Ð "" Ñœ$ ** $ œ! '## œ "" Ð ## Ñ #" Ð "# Ñœ$!* Ð'Ñœ&% '#$ œ "" Ð #$ Ñ #" Ð "$ Ñœ$ Ð&Ñ* (œ () '#% œ "" Ð #% Ñ #" Ð "% Ñœ$ $* $œ ") Bu durumda yeni matris şu şekilde olur: $ ' ( $! &% () ") & ) ' % (232) Şimdi $" (katsayısını) sıfır yamak için gerekli olan denklem aşağıdaki gibidir: Yeni 3satır = ""(3satır elemanları) $" (1satır elemanları) (233) ' $4 œ "" Ð $4 Ñ $" Ð "4Ñ ' $" œ "" Ð $" Ñ $" Ð "" Ñœ$ && $œ! ' $# œ "" Ð $# Ñ $" Ð "# Ñœ$ Ð)Ñ& Ð'Ñœ' ' $$ œ "" Ð $$ Ñ $" Ð "$ Ñ œ $ '& ( œ "( ' $% œ "" Ð $% Ñ $" Ð "% Ñ œ$ Ð%Ñ& $œ #( Buraya kadar olan kısımda ikinci adım gerçekleştirilmiş olur ve yeni matris, $ ' ( ± $! &% () ± ")! ' "( ± #( (234) şeklinde oluşur Buraya kadar yaılan işlemler, yani 2 satır ve 3 satırın ilk elemanlarının sıfır yaılması işlemi 1aşama olarak isimlendirilir Bu aşamada, dikkat edilirse "" elemanının bulunduğu satırla ilgili olarak bir işlem yaılmamıştır Bu aşamada 1nci satırdaki "" elemanına sabit (ivot) eleman ve 1satırada sabit (ivot) satır denir Aynı zamanda yukarıdaki matris çizgisel denklem sistemini tanımlamaktadır 7
#Þ aşamada ise (1 aşamadakine benzer olarak) 2satır elemanlarına dokunulmadan diğer satırlardaki (1 ve 3 satır) köşegen dışı elemanların elenmesi (sıfırlanması) işlem yaılır 3 aşamada ise (1 ve 2 aşamadakine benzer olarak) 3satır elemanlarına dokunulmadan diğer satırlardaki (1 ve 2 satır) köşegen dışı elemanların elenmesi (sıfırlanması) işlemler yaılır Yukarıdaki (1, 2 ve 3) aşamalar bitirildikten sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilir: (#,*!!B" œ "%&,)!! #%, $!!B# œ *(,#!! %&!B$ œ ", $&! (235) buradan da verilmiştir B ", B # ve B $ değerlerini kolaylıkla buluruz 1, 2 ve 3 aşamaların yaıldığı işlemlerin hesi aşağıdaki 21 örneğinde Örnek 21 Aşağıda verilen matrisin veya denklem sisteminin köklerini bulunuz ------------------------------------------- Verilen matris Örnek ------------------------------------------ "" "# "$ "% $ ' ( $ 21 ## #$ #% *! & $ $" #$ $$ $% & ) ' % ------------------------------------------ 1Aşama k=1, bulunduğumuz satır=1satır, "" 3œ# ß œ ± #4 "" #4 #" "4 4œ"ß#ß$ß% "" "# "$ "% $ ' ( $! ## #$ #%! &% () ") $" $# $$ $% & ) ' % ß 3œ$ œ $4 "" $4 $" "4 4œ"ß#ß$ß% "" 12 "$ "% $ ' ( $! ## #$ #%! &% () ")! $# $$ $%! ' "( #( ======================================================= 2Aşama k=2, bulunduğumuz satır=2satır, ß ## 3œ" œ "4 ## "4 "# #4 4 œ "ß #ß $ß % ""! "$ "% "'#! *! &%! ## #$ #%! &% () ")! $# $$ $%! ' "( #( ß ß ß 3œ$ $4 œ ## $4 $# #4 4 œ "ß #ß $ß % ""! 13 "% "'#! *! &%! ## 23 #%! &% () ") ßß ßß!!!! %&! "$&! $$ $% 8
======================================================= 3Aşama k=3, bulunduğumuz satır=3satır, ßß $$ ßß ß ßß 3œ" œ "4 33 "4 13 $4 ßß ßß 4 œ "ß #ß $ß % ""!! "% (#*!!!! "%&)!! ßß ßß ßß! ## #$ #%! &% () ") ßß ßß!! $$ $%!! %&! "$&! ßßß ßß ßß ßß ßß 3œ# #4 œ $$ #4 #$ $4 ßß ßß 4 œ "ß #ß $ß % ""!! "% (#*!!!! "%&)!! ßßß ßßß! ##! #%! #%$!!! *(#!! ßß ßß!! $$ $%!! %&! "$&! ßß ßß Çözümler "" B" œ 14 --> (#ß *!!B" œ "%&ß )!! B" œ # ßßß B œ ßßß ## # #% --> #%ß $!!B # œ *(ß #!! B # œ % ßß ßß $$ B$ œ 34 --> %&!B$ œ "ß $&! B$ œ $ olarak bilinmeyenler elde edilir Denklem sisteminin kökleri hesalanmış olur Eleme işlemi üç aşamada yaılmakta (3 3 matris olduğu için) ve her aşamada katsayılar matrisinin 2 elemanının değeri sıfır yaılmaktadır Böylece 1 aşamada (k=1), #" ve $" sıfır yaılmakta, 2 aşamada ise (k= 2) "# ve ' $# ve üçüncü aşamada (k=3) ise '"$ ve '#$ değerleri sıfır yaılmaktadır Özetlersek, her aşamada (k=1, 2, 3) önce bir sabit eleman ( 55) seçilir ve bu elemanın bulunduğu satır dışındaki matris Ð 34Ñ elemanları için eleme işlemi yaılır 26 MATRİSİN TERSİ (EVRİĞİ) Matrisleri köşegen haline getirebilmek için kullanılan yöntemlerden biriside matrisi tersi ile çarmaktır Bir E matrisi öyle bir matrisle çarılır ki çarım sonucunda oluşan matris M birim matrisi olur Böyle bir matris bulunabilirse bu matrise E matrisinin evriği veya tersi denir E matrisinin G gibi bir matris ile çarımı " " EGœEE œe EœM (223) şeklinde verilsin Çarım sonucunda elde edilen matrisin bütün köşegen elemanları " ve köşegen dışındaki elemanları 0 dır Bu matrise birim matris denir Verilen herhangi bir E matrisinin tersi olan bir G œ E " matrisini hesalamak için Gauss-Jordan eleme yöntemini kullanabiliriz 8 8kare matrisinin ters matrisini hesalamak için aşağıdaki basamakları içeren işlemler yaılır; ( 1) matrisin sıraları değiştirilir, ( 2) matrisin normalizasyon işlemi yaılır, ( 3) matriste eleme işlemi yaılır Verilen bir E matrisinin tersini bulmak için E matrisi ile aynı boyutta olan birim matrisi yanyana yazarak aşağıdaki gibi bir çift matris oluşturulur: "" "# "$ "!! #" ## #$! "!!! " $" $# $$ (224) 9
Aşağıdaki örnekte Gauss-Jordan yöntemi kullanılarak, verilen bir matrisin tersi alınmıştır Örnek 24 Aşağıdaki matrisi birim matris haline getiriniz ------------------------------------ Verilen matris birim matris ------------------------------------ 3-6 7 1 0 0 9 0-5 0 1 0 5-8 6 0 0 1 ------------------------------------ 1Aşama k=1, bulunduğumuz satır=1satır --,, i=1, Yeni 1satır a =(a )/a I =(I )/a 1j 1j 11 1j 1j 11 j=1,2,3,4 1-2 233 033 0 0 9 0-5 0 1 0 5-8 6 0 0 1 -,,,, i=2, Yeni 2satır a 2j=a2j-a21 a 1j I 2j=I2j-a21 I 1j j=2,3,4 1-2 233 033 0 0 0 18-26 -3 1 0 5-8 6 0 0 1,,,, i=3, Yeni 3satır a 3j=a3j-a31 a 1j I 3j=I3j-a31 I 1j j=2,3,4 1-2 233 033 0 0 0 18-26 -3 1 0 0 2 565-165 0 1 2Aşama k=2, bulunduğumuz satır=2satır,,,,,,,, i=2, Yeni 2satir a =(a )/a I =(I )/a 2j 2j 22 2j 2j 22 j=2,3,4 1-2 233 033 0 0 0 1-144 -017 006 0 0 2-565 -165 0 1 i=1, Yeni 1satır,,,,,,,,,,,, a 1j=a1j-a12 a 2j I 1j=I1j-a12 I 2j j=3,4 1 0-055 -001 012 0 0 1-144 -017 006 0 0 2-565 -165 0 1 i=3, Yeni 3satır,,,,,,,,,,,, a 3j=a3j-a12 a 2j I 3j=I3j-a12 I 2j j=3,4 1 0-055 -001 012 0 0 1-144 -017 006 0 0 2-277 -131-012 1 3Aşama k=3, bulunduğumuz satır=3,,,,,,, i=3, Yeni 3satır a =(a )/a,,,,,,, I =(I )/a 3j 3j 33 3j 3j 33 j=3,4 1 0-055 -001 012 0 0 1-144 -017 006 0 0 0 1 048 004-036 i=1, Yeni 2satır,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, a 2j =a2j-a23 a 3j I 2j =I2j-a23 I 3j j=4 1 0-055 -001 012 0 0 1 0 052 006-052 0 0 1 048 004-036 10
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, i=2, Yeni 1satır a 1j =a1j-a13 a 3j I 1j =I1j-a13 I 3j j=4 1 0 0 026 014-022 0 1 0 052 012-052 0 0 1 048 004-036 Matrisi köşegenleştirme işlemi, verilen matrisin 1satırını normalize ederek başlayı daha sonra #" ve $" terimlerini eleyerek devam ederiz Aşağıdaki matris, 1 aşamada yaılan eleme işlemi sonucunda elde edilen matristir: 1 a 12/a11 a 13/a 11 1/a11 0 0 0 a22-a 21(a 12/a 11) a23-a 21(a 13/a 11) -a 21/a11 1 0 0 a -a (a /a ) a -a (a /a ) -a /a 0 1 22 31 12 11 33 31 13 11 31 11 (225) Yukarıdaki matriste görüldüğü gibi matrisin 2 ve 3 satırındaki ilk elemanlar sıfırlanmış ve 1 satırın ilk elemanı ise normalize edilmiştir Diğer aşamalarda da benzer işlemler yaılarak yeni matris elemanları oluşturulur Matristeki diğer değişkenlerde eleme işleminden geçirilerek sonuçta yeni birim matrisi ve E " ters matrisi aşağıdaki gibi oluşturulur: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - - - - - - - - - 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (226) matrisi elde edilir Buradaki G matrisi, E nın evriği olan matristir $ ' ( E œ *! & & ) ' (227) ise bu matrisin evriği olan matris ise!þ#'!þ"%!þ#! G œ E " œ!þ&#!þ"#!þ&#!þ%)!þ!%!þ$' (228) 26 GAUSS-SEIDEL ÖTELEME YÖNTEMİ Daha önceki kesimde denklem çözümlerini doğrudan bulan Gauss-Jordan yöntemi anlatılmıştı Bu kesimde ise sayısal öteleme işlemi yaılarak denklem sistemleri çözülmeye çalışılacaktır Gauss-Seidel yöntemini denklem sistemlerine uygulayabilmek için, verilen matrisin köşegeni üzerindeki elemanların diğer elemanlardan (köşegen dışı) büyük olması gerekmektedir Çizgisel denklem sistemi: "" B" "# B# "$ B$ "8B8 œ -" #" B" ## B# #$ B$ #8B8 œ -# 8" B" 8# B# 8$ B$ 88B8 œ -8 (235) 11
şeklinde verilmiş olsun 3 nci denklem için B 3 çözümleri: B œ " B B B - "# # "$ $ "8 8 " "" eşitliği ile bulunabilir (denklemdeki B ß B ß B ß ÞÞÞÞÞ ß B # $ % 8 değişkenlerine başlangıç değerlerinin verilmesi gerekmektedir) B œ # B œ $ B8 œ B B B - ## B B B - #" # #$ $ #8 8 # $" " $# # $8 8 $ $$ B B B - 8" " 8# # 88 8 8 88 (236) Gauss-Seidel yöntemini bir denklem sistemine uygulayabilmek için öncelikle B ye Ð3 œ "ß #ß $ÞÞÞß 8Ñ başlangıç değerlerinin verilmesi gerekmektedir Bulunan değerler sonraki adımda elde edilecek yeni veriler olarak, yeni başlangıç değerleri olarak kullanılacaktır 3 Aşağıdaki örnekte iki bilinmeyenli iki denklemin çözümünde Gauss-Seidel yöntemini kullanılmaktadır: $B B œ & " # B #B œ & " # (237) Bu denklemler yeniden düzenlenirse, B œ " B# & $ $ B œ B " # # & # (238) elde ederiz Başlangıç değerleri için B œ! ve B œ! veririlirse yukarıdaki denklemler çözülebilir Aşağıda Çizelge 21 de bu işlemler " # adım adım gösterilmiştir: Öteleme işlemi bir önceki veriler kullanılarak yaılırsa sonuca daha kolay bir şekilde ulaşılabilir: Çizelge 21 Gauss-Seidel öteleme yönteminin uygulanması Adım sayısı B" B# 1 0 0 2 5/3 -(1/2)(5/3) 5/2 = 5/3 3 -(1/3)(5/3) 5/3 = 10/9 -(10/2)(9) 5/2 =35/18 Doğru çözüm 1 2 Gauss-Seidel öteleme yöntemi bazı durumlarda yetersiz kalmaktadır Denklemdeki katsayıların birbirlerine çok yakın değerler alması veya başlangıç değerlerinin yanlış bölgede seçilmesi durumunda çözümden uzaklaşılır Bu tür denklem sistemleriyle, Şekil 21 deki üst kısımdaki doğruların birbirlerini kestikleri noktalarda çok yavaş değiştikleri durumlarda karşılaşabiliriz Şekilden görüldüğü gibi P noktası 12
tam olarak (kesişme noktasında) belirlenememektedir Yani denklemlerin eğimleri birbirine çok yakınsa, sonuçların bulunması zorlaşmaktadır Ayrıca denklem sistemimiz tekillik (singular) gösteriyorsa, yani doğrular birbirine aralel (kesişmiyorlar) ise yine sonuç bulunamaz x 2 T T 4 2 x T3 1 T 1 Şekil 21 Gauss-Seidel öteleme yöntemine göre denklem sistemlerinin çözümlenmesi Aşağıdaki gibi bir denklem sistemi verilirse, bu denklem sisteminin çözümlerini Gauss-Seidel yöntemine göre bulmaya çalışalım: %B $B œ ( " # )B 'B œ "% " # (239) denklemleri yeniden yazarsak ($B B " œ % # B œ # "%)B (%B ' œ $ " " (240) denklemleri elde edilir Adım sayısı B" B# 1 7/4 0 2 7/4 0 3 7/4 0 4 7/4 0 Yukarıdaki çizelgelerden de görüldüğü gibi B ve B kökleri bu gibi durumlarda bulunamaz " # Gauss-Seidel öteleme yöntemini denklem sistemlerine uygularken işlemleri sonlandırma kriteri olarak aşağıdaki (241) denklemi kullanılabilir: B Ð5"Ñ 3 < $ veya B < B (241) B Ð5Ñ 3 Ð5"Ñ Ð5Ñ 3 3 Yukarıdaki denklemde 5 adım sayısı, 3 değişken sayısı, $ tolerans 1 den küçük bir değer olu 09 ile 0999 arasında olabilir Yani B 3 değerinin hesalanmadan önceki ve hesalamadan sonraki değerleri karşılaştırılır 13