3. BÖLÜM MATRİSLER 1

Transkript

1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1

2 m1 a a a v m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v

3 Matris A a a a a a a a a a n n m1 m2 mn elemanları a ( i 1,2,..., m ; j 1,2,... n) cinsinden kısaca A [ ] ij a ij 3

4 4 sin X cos Y x cos X sin Y y Y X y x cos sin sin cos Analitik Geometriden Biliyoruz ki : Döndürme Formülleridir. x y Y X Ө P Şekil.1

5 b x a x a x a n n b x a x a x a n n m n mn m m b x a x a x a Doğrusal Denklem Sistemi m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a A X B A X = B mxn mx1 nx1

6 MATRİS İŞLEMLERİ Matrislerin Toplamı (Farkı) A ile B mxn boyutlu iki matris ise, a ij ±b ij =c ij olacak şekilde elde edilen C=[c ij ] matrisine, A ile B matrislerinin toplamı (veya farkı) denir. İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir. Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz) 6

7 Matrislerin Toplamı (Farkı) Tanım: Eğer A a ij ve B b ij boyutları mn olan matrisler ise bu iki matrisin toplamı: A B C a b c ij ij ij

8 Matrislerin Toplamı (Farkı) Toplama işleminin koşulu İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir. Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz) A B C * * * * * * * * * * * * + * * * * * * * * * * * * = * * * * * * * * * * * *

9 9 h d g c f b e a h g f e d c b a h d g c f b e a h g f e d c b a Matrislerin Toplamı (Farkı)

10 ÖRNEK A ve matrisini bulunuz B ise A+B=C C

11 Bir Matrisin Bir Skalerle Çarpımı Tanım: Eğer A a ij boyutu mn olan bir matris ve k olan bir skaler ise matris ile skalerin çarpımı boyutu mn olan bir matristir: ka C ka c ij ij

12 ÖRNEK A ise 2A ve -3A skaler çarpımlarını bulunuz (2) 2(5) 2( 1) Α 2(3) 2(4) 2(0) (2) 2(7) 2(2) (2) 3(5) 3( 1) A 3(3) 3(4) 3(0) (2) 3(7) 3(2)

13 Matrislerin Çarpımı Tanım: Eğer A a ij boyutu mn ve B b ij boyutu np olan matrisler ise bu iki matrisin çarpımı boyutu mp olan bir matristir: AB C n k1 aikbkj ai 1b1 j ai 2b2 j ainb nj c ij

14 Matrislerin Çarpımı C A B c 11 c12 c13 a11 a12 a13 b11 b12 b13 c21 c22 c 23 a21 a22 a 23 b21 b22 b 23 c31 c32 c 33 a31 a32 a33 b31 b32 33 c a b a b a b

15 Matrislerin Çarpımı Çarpım işleminin koşulu A matrisinin sütun sayısının, B matrisinin satır sayısına eşitliği çarpılabilme koşuludur. 15

16 ÖRNEK A B matrisleri için C çarpım matrisini bulunuz.

17 ÇÖZÜM

18 Matrislerin Toplama ve Skaler Çarpım Özellikleri A,B,C aynı boyutlu matrisler; k 1, k 2 skalerler olmak üzere; 1) A+B=B+A 2) A+(B+C)=(A+B)+C 3) k 1 (A+B)=k 1 A+k 1 B 4) (k 1 +k 2 )A=k 1 A+k 2 A 5) (k1k2)a=k1(k2a) 18

19 Matrislerin Çarpım Özellikleri A,B,C aynı boyutlu matrisler; k 1, k 2 skalerler olmak üzere; 1) A(B+C)=AB+AC 2) (A+B)C=AC+BC 3) A(BC)=(AB)C 4) AB BA (Boyutlar uygun değilse) 6) AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez. 7) A(B+C)=AB+AC 8) (A+B)C=AC+BC 5) AB=AC ise B=C olması gerekmez. 19

20 Matrisin Transpozu Her hangi bir A matrisinin transpozu (evriği) A T ile gösterilir. A matrisinin satırları (sütunları) sırası ile A T matrisinin sütunlarını (satırlarını) oluşturur. 20

21 Transpoz İşleminin Özellikleri 1. T A T A 2. T T T A B A B 3. T T k k A A k bir skaler 4. T T T AB B A

22 Kare Matris : Özel Matrisler Satır sayısı, sütun sayısına eşit olan (m=n) matrislere kare matris denir. NOT: Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir. Kare olmayan bir matrisin determinantı söz konusu değildir A

23 Sıfır Matris : Özel Matrisler Tüm elemanları sıfır olan matrise denir. A

24 Özel Matrisler Köşegen Matris : Köşegen üzerindeki elemanlarının a ii dışında, diğer tüm elemanları (a ij )sıfır olan matrise denir. a ii elemanlarının bazıları sıfır olabilir. NOT: Sadece kare matrisler köşegen matris olabilir. A

25 Skaler matrisler: Özel Matrisler Asal köşegen elemanları (a ii )birbirine eşit olan köşegen matrise skalar matris denir.

26 Birim Matris : Özel Matrisler Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri sıfır olan skaler matrise birim matris denir. I n ile gösterilir A matrisi bir birim matris olup I 3 ile gösterilir. Önemli: A 0 =I 26

27 Özel Matrisler Simetrik Matris A bir kare matris olsun. Eğer a ij =a ji eşitliği tüm i j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile A=A T ise A matrisi simetrik matristir A

28 Yarı Simetrik Matris Özel Matrisler A bir kare matris olsun. Eğer -aij=aji eşitliği tüm i j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile -A=A T ise A matrisi yarı simetrik matristir. i=j için -aii=aii olduğundan asal köşegen elemanları sıfırdır A

29 Özel Matrisler Tanım: A matrisi boyutu n olan bir kare matris ise; 1 P A A 2 1 Q A A 2 T T Şeklinde tanımlanan P ve Q matrisleri sırası ile simetrik ve yarı simetrik matrislerdir.

30 Periyodik Matris : Özel Matrisler A bir kare matris olsun. kєn + olmak üzere A k+1 =A ise A matrisine periyodik matris denir. Birim matris bir periyodik matristir

31 İdempotent Matris: Özel Matrisler A bir kare matris olsun. Eğer k=1 için A 2 =A ise A matrisi idempotent matristir. Birim matris bir idempotent matristir

32 Nilpotent Matris: Özel Matrisler A bir kare matris olmak üzere A 2 =0 ise A matrisine Nilpotent Matris denir. Eğer A 2 =I ise A matrisine ünipotent Matris denir. A

33 Üst üçgen matris: Özel Matrisler Bir kare matrisin asal köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise üst üçgen matris denir. A

34 Alt üçgen matris: Özel Matrisler Bir kare matrisin asal köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise alt üçgen matris denir. A

35 Özel Matrisler Echelon (Kanonik) Matris: A boyutu mn olan bir matris olsun. A matrisinin ilk satırı hariç diğer satırlarındaki sıfırların sayısı (soldan itibaren) satır satır artıyor ise A matrisi Echelon (kanonik) matristir. Bir eşelon matriste satırlardaki sıfır olmayan ilk elemana pivot (ayrık) eleman denir A A

36 Özel Matrisler Satır Eşdeğer Matrisler Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisine sonlu sayıda elemant satır işlemlerinin uygulanması sonucunda elde edilen matris A olsun. A matrisine A matrisinin satır eşdeğer matrisi denir: A~ A

37 Ortogonal Matris: 1 2 n Özel Matrisler A v v v vektörlerinin tanımladığı bir kare matris olsun. Eğer v i.v j =0 tüm i j için ve v i.v j =1 tüm i=j için ise diğer bir deyişle AA T =I ise A matrisi ortogonal matristir.

38 Ortogonal Matris: Örnek Özel Matrisler 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 2 / 6 0 1/ 3 1/ 6 1/ 2 A ise A T 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 6 2 / 6 1/ 6 1/ 2 0 1/ 2 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1/ / 3 2 / 6 0 1/ 6 2 / 6 1/ / 3 1/ 6 1/ 2 1/ 2 0 1/ A A T = I A matrisi ortogonal matristir 38

39 Tanım: A kare matrisinde, a ij elemanlarının işaretli minörleri (kofaktörleri) A ij olsun. A matrisinin kofaktör matrisi: A Özel Matrisler Kofaktör (İşaretli Minör) Matrisi A A... A A A... A A A... A n n n1 n2 nn

40 Ek Matris Tanım: A matrisinin kofaktör matrisinin transpozu Ek Matris olarak adlandırılır. Ek(A) ile gösterilir. Ek A Özel Matrisler A A... A A A... A A A... A n n2 1n 2n nn

41 Ek Matris Özellikleri 1. A. Ek( A) Ek( A). A det( A). I 2. Ek( A. B) Ek( A). Ek( B )

42 Matrisin izi Tanım: A boyutu nn olan simetrik bir matris olsun. Köşegen elemanlarının toplamına matrisin izi denir ve tr(a) ile gösterilir n nn i1 tr A a a a 11 Örnek: A matrisinin izini bulunuz. A tr A ii

43 Matris İzinin Özellikleri 1. tr A B tr A tr B 2. tr AB tr Atr B 3. tr k ktr A A (k bir skaler) 4. T tr A tr A 43

44 Ters Matris Tanım: A boyutu nn olan bir kare matris olsun. Eğer AB BA I n eşitliğini sağlayan bir B matrisi varsa A matrisi tersi alınabilir b matristir ve B matrisine A matrisinin ters matrisi denir ve B A ile gösterilir. SONUÇ: AA A A I n

45 Ters Matrisin Özellikleri 1. Tersi alınabilir bir A matrisinin bir ve yalnız bir ters matrisi vardır A A AB B A ka 1 k A k bir skaler 5. A 1 1 Ek A A 45

46 Ters Matrisin Özellikleri T 1 1 T 6. A A 1 k 7. A A 1 k A A A 1 1 1

47 Matrisin Determinantı İle İlgili Özellikler 1. AB A B 2. I 1 n 3. 1 Α A A bir ortogonal matris ise A 1 A

48 Elemanter Matrisler Tanım: Boyutu nn olan bir E matrisi eğer I n birim matrisinde tek bir elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilebiliyor ise elemanter matris denir.

49 Elemanter Matrislerin Özellikleri 1. A boyutu nm olan bir matris ve I n birim matrisinden bir elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilen matris E olsun EA çarpım matrisi aynı elemanter satır (sütun) işleminin A matrisine uygulanmış yapısını verir. 2. Eğer E bir elemanter matris ise matris de bir elemanter matristir. 1 E matrisi vardır ve ters 3. Bir kare matris A ancak ve ancak elemanter matrislerin çarpımı olarak yazılabiliyor ise tersi alınabilirdir: 1 A Ek E2E1I n

50 Tekil Olmayan Matrisler Tanım: A boyutu nn olan kare bir matris olsun. Eğer determinant değeri sıfırdan farklı, A 0 ise A matrisine tekil olmayan matris, A 0 ise A matrisine tekil matris denir.

51 Teorem Bir A kare matrisinin tersinin var olabilmesi için gerek ve yeter koşul A 0 olmasıdır. Kanıt: AA 1 I AA 1 I AA 1 1 A A A 1 1 0

52 Teorem Boyutu mn olan her A matrisi, bir Echelon matrise satır eşdeğerdir.

53 Teorem Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin aynı dizisi I matrisini 1 A ters matrisine dönüştürür.

54 Teorem Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin aynı dizisi genişletilmiş (A:I) matrisini 1 I: A matrisine dönüştürür.

55 Ters Matrisin Bulunması: Gauss- Jordan Yöntemi Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda verilen adımlar izlenerek elde edilebilir: 1.A matrisinin sağına n boyutlu birim matrisi ekleyiniz, AI yeni matrisin boyutu n2n olur. 2. A matrisini I matrisine indirmek için gerekli elemanter satır (sütun) işlemlerini hem A hem de I matrisine uygulayarak, IA 1 Matrisini elde ediniz. Bu sonuç elde edilemiyor ise A tersi alınamayan tekil bir matristir.

56 Ters Matrisin Bulunması: Ek Matris Yöntemi Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda verilen adımlar izlenerek elde edilebilir: 1. A matrisinin determinantını, A bulun. 2. A matrisinin ek matrisini, ek(a) bulun. 3. A 1 1 ek A A elde edilir.

57 Aek A I A 1 A Aek A A 1 I A 1 Iek A A A 1 ek A 1 A A KANIT

58 BİR MATRİSİN RANKI Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisinin, determinantı sıfırdan farklı en büyük alt kare matrisinin mertebesine A matrisinin rankı denir: r(a)

59 BİR MATRİSİN RANKI Boyutu mn olan bir A matrisinin rankı, boyut sayılarının, m ve n, küçüğüne eşit ya da ondan daha küçüktür. m<n ise r(a)m Eğer A bir nn kare matris ise: 1. A 0 ise r(a)<n (Tekil matris) 2. A 0 ise r(a)=n (Tekil olmayan matris)

60 Denk Matrisler Boyutları ve rankları aynı olan matrislere denk matrisler denir. A~B 60

61 Matrisin Rankı İle İlgili Özellikler 1. T r A r A 2. 1 r A r A

62 Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi bazı kurallar dikkate alınarak alt matrislere ayrıştırılabilir: A rc K M pq p cq N L r pq r p cq

63 Matrisin Bölümlenmesi Bölümlenme Kuralları 1. Aynı satırdaki alt matrislerin satır sayıları eşit olmalı ve sütun sayılarının toplamı c olmalı. 2. Aynı sütundaki alt matrislerin sütun sayıları eşit olmalı ve satır sayılarının toplamı r olmalı. Bu kurallar dikkate alınarak matrisler eleman sayısının izin verdiği ölçüde alt matrise ayrılabilir. Matris bölümlenmesi eşsiz değildir. Aynı matrisin farklı bölümlenmeleri söz konusudur.

64 Matrisin Bölümlenmesi Bölümlenmiş matrisin transpozu; hem matrisin tranpozu hem de alt matrislerin transpozu alınarak elde edilir. B C D A E F G T T T B E T B C D T T A C F E F G T T D G

65 Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi, j-inci sütunu a j vektörü ile tanımlanarak sütun vektörlerine göre bölümlenebilir: A a a a a 1 2 j c T Benzer şekilde, i-inci satırı α i ile tanımlanarak satır vektörlerine göre bölümlenebilir: A α α α α T 1 T 2 T i T r

66 Matrisin Bölümlenmesi Matrislerdeki genel çarpım kuralları bölümlenmiş matrisler içinde geçerlidir. Eğer boyutlar çarpım işlemine uygun ise A A A A A B B B B B B B A B A B A B A B A B A B AB A B A B A B A B A B A B

67 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ 67