Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Transkript

1 Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla iki negatif pivota sahip olmak üzere a, b, c, d, e, f i de ugun şekilde seçerek belirleiniz.. B =, C = matrisini belirleiniz. olmak üzere AB = BA ve AC = CA olacak şekilde A 4. A = 6 ve A çarpımını hesaplaınız. = olacak şekilde A matrisini bulunuz. A z = 7, z = denklemleri verilior. Her biri için,, z i bulunuz. 7 ve 4 = matrisinin tersini bulunuz.

2 ÇALIŞMA SORULARI- Ders: MAT 6 Konu: Determinantlar. A = matrisinin (a) A, A, A ve A 4 kofaktörlerini bulunuz. (b) det(a) ı (a) şıkkını kullanarak hesaplaınız.. Aşağıdaki matrislerin determinantlarını hesaplaarak tersinin olup olmadığını belirtiniz. (a) 6 (c). (b) 7 a b c d e f = 7 ise g h i (d) a b c d e f, 5g 5h 5i a b c d + a e + b f + c g h i ve a + d b + e c + f d e f g h i determinantların değerini hesaplaınız. 4. in hangi değerleri için A = matrisi tekil olur?

3 5. Determinant özelliklerini kullanarak z z = ( + + z)( )(z )(z ) z olduğunu gösteriniz (determinantı doğrudan hesaplamadan). 6. Determinantı açmadan, bc a a b ca b c c ab = bc ab ca ab ca bc ca bc ab olduğunu gösteriniz. 7. A = 4 matrisinin tersini ek matrisi kullanarak hesaplaınız Aşağıdaki denklem sistemlerini Cramer öntemi ile çözünüz. (a) = = + = (c) = + = + 4 = + 4 = (b) + 5 = + = = 4 (d) + 4 = = = = 9. A ve B, tekil olmaan n n matrisler ise AB çarpım matrisinin de tekil olmadığını gösteriniz.. A tekil olmaan bir matris ise (Ek A) = det(a ) A = Ek A olduğunu gösteriniz.

4 ÇALIŞMA SORULARI- Ders: MAT6 Konu: Vektör Uzaları. Aşağıdaki kümeler, verilen toplama ve skaler çarpma işlemlerine göre vektör uzaı olur mu? Olmazsa vektör uzaı tanımındaki koşullardan hangileri sağlanmaz? Gösteriniz. (a) V ; negatif reel saılar kümesi üzerinde bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemleri, (b) V = R, işlemler; = z z + +, α z = (c) V = R de, koşulunu sağlaan küme ve bilinen toplama ve skaler çarpma işlemleri. z a b. R de, ab = şeklinde elemanlara sahip bir küme matris toplam ve skaler c d çarpma işlemlerine göre vektör uzaı mıdır? Neden?. R reel saılar kümesinin = min{, }, α = α işlemlerine göre vektör uzaı oluşturup oluşturmadığını nedenlerini açıklaarak belirtiniz. 4. U ve V, W vektör uzaının alt uzaı ise U V de W nun alt uzaıdır. Gösteriniz. 5. (a) S = { (,, ) T = }, (b) S = { (,, ) T + = } kümeleri R vektör uzaının bir alt uzaı mıdır? Neden? 6. R de A = koşulunu sağlaan matrislerin kümesi hangi koşul altında toplama işlemine göre kapalıdır? Açıklaınız. 7. P 4 te

5 (a) derecesi tek olan (b) p() = a + b + c + şeklindeki polinomların kümesi alt uza mıdır? Neden? 8. C, de f() = / olan fonksionların kümesi, alt uza mıdır? Neden? 9. R te w = 6, w = vektörlerinden hangileri 4 u =, u =, w =, u = 6 vektörlerinin lineer bileşimidir? Gösteriniz. Arıca, U = {u, u, u } kümesinin lineer bağımlı olduğunu gösterip U içindeki lineer bağımsız vektör çiftlerini bulunuz.. P te { +, +, }, {, } ve { +,, +, } kümeleri (a) lineer bağımsız mıdırlar? (b) P uzaını gererler mi? Neden?. P te v = +, v = +, v = vektörlerinin oluşturduğu S = {v, v, v } kümesinin lineer bağımlı olup olmadığını araştırınız. Lineer bağımlı ise aralarındaki bağıntıı bulunuz.. f () = sin π, f () = cos π, f () = fonksionları, aralığında verilior. f (), f (), f () fonksionlarının lineer bağımsız olduğunu bu fonksionların Wronskian ını ani W f, f, f i hesaplamak suretile gösteriniz. Anı soruu f () = e + e, f () = e e, f () = fonksionları için çözünüz.. S = {a + b + (a + b) ; a, b R } kümesi P vektör uzaının bir alt uzaı olsun. S nin bazını ve boutunu bulunuz. 4. P 4 te S = { + +,, +, } kümesindeki vektörlerin ürettiği altuzaın baz ve boutunu bulunuz. Bu alt uza P 4 uzaına eşit midir? 5. A = matrisi olmak üzere, AX = homojen denklem sisteminin çözüm uzaı ( N(A) sıfır uzaı ) için bir baz (taban) bulunuz.

6 6. A = bulunuz. Matrisin rankını belirleiniz. matrisinin satır ve sütun uzaları için birer baz

7 ÇALIŞMA SORULARI-4 Ders: MAT6 Konu: Lineer Dönüşümler. V bir vektör uzaı olsun. i : V V (birim) özdeşlik dönüşümünün lineer (doğrusal) olduğunu gösteriniz.. V ve W vektör uzaları olsun. V W dönüşümü V için θ() = W ile tanımlanıor. Dönüşümün lineer olduğunu gösteriniz.. A = matrisinin R ten R e lineer bir dönüşüm olduğunu gösteriniz. Bu dönüşümün görüntüsünün bir tabanını (bazını) elde ediniz. 4. B = 4 matrisinin R den R e lineer bir dönüşüm olduğunu gösteriniz. dönüşümün görüntüsünün ve çekirdeğinin bir tabanını azınız. 5. R de bir a vektörü verilior. L : R R, L() = + a ile tanımlanan L dönüşümünün lineer olup olmadığını belirleiniz. Bu

8 ÇALIŞMA SORULARI-5 Ders: MAT6 Konu: Özdeğerler, Özvektörler, Ortogonallik. A = 4 matrisinin özdeğerlerini ve bunlara karşılık gelen özvektörleri bulunuz. Köşegenleştirilebilir olup olmadığını nedenini açıklaarak belirtiniz.. A = ise A 6 =? (A 6 ı hesaplamak için A matrisini ve köşegenleştiriniz ve A = XDX bağıntısından ararlanınız.). B = A = bulunuz. olacak şekilde bir B matrisini köşegenleştirmei kullanarak 4. u = 4, u =, u = vektörlerinin R ün bir ortonormal bazı olduğunu gösteriniz. / a 5. u = /, v = / verilior. {u, v} kümesinin ortonormal olması için a b ve b ne olmalıdır? 4 6. R te E =,, bazını Gram-Schmidt öntemini kullanarak ortonormal baza dönüştürünüz. 7. = R 4 ve = R 7 vektörleri arasındaki uzaklığı, açıı ve vektörünün = 7 doğrusuna olan en kısa uzaklığını bulunuz.