MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

Transkript

1 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve A matrisi n,m boyutunda veya mertebesinde denir. Burada matris işlemleri olarak; toplama, transpoze, determinant, çarpım ve ters işlemleri görülecek ve bunların arkasından bir doğrusal denklem takımının matrisin tersi yardımı ile çözümü verilecektir. İki matrisin toplanması: Mertebeleri aynı olan matrisler toplanır. A ve B matrisinin mertebeleri aynı olsun. Toplamada birinci ve basit yöntem A ve B nin karşılıklı elemanlarından birini toplayıp sonuç matrisin eriminde ilgili hücreye yazıp bu formülü erimdeki diğer hücrelere kopya etmektir. Şekil 1 de A2:B3 eriminde yazılı A matrisi ile D2:E3 eriminde yazılı B matrisini toplayıp G2:H3 erimine yazmak isteyelim. Şekilde A ve B matrislerinin birinci elemanları toplanıp G2 hücresine yazılmıştır. Bu hücredeki formül erimdeki diğer hücrelere kopya edilerek toplam matris bulunur. Şekil 1 İkinci yöntemde toplamın yazılacağı erim işaretlenir; şekil 1. Bu erimdeki şekilde görülen etken hücreye toplanacak matrislerin erimleri =A6:B7+D6:E7

2 2 Mühendislikte Bilgisayar Uygulamaları şeklinde yazılıp Ctrl+Shift+Enter tuşlarına birlikte basılır. Sonuç, işaretlenen bölgeye Excel tarafından yazılır. Yukarıda iki matris için anlatılan yöntemler kolayca ikiden fazla matrise genişletilebilir. Bir matrisin transpozesinin alınması: Şekil 2 de A1:B3 eriminde bulunan bir matrisin transpozesini alalım. Önce tranpozenin yazılacağı yer işaretlenir; şekil 2. Sonra işaretli yerin şekilde görülen etken hücresine =DEVRİK_DÖNÜŞÜM(A1:B3) yazılıp Cntrl+Shift+Enter tuşlarına birlikte basılır. Sonuç, işaretlenen bölgeye matrisin transpozesi, şekil 2 de görüldüğü gibi Excel tarafından yazılır. Şekil 2 Bir matrisin tersinin alınması: Bir matrisin tersinin alınması transpozesinin alınmasında yapılan işlemin aynıdır yalnız kullanılan fonksiyon değişiktir. Şekil 3 de A1:C3 eriminde bulunan bir matrisin tersini alalım. Önce matrisin tersinin yazılacağı yer işaretlenir; şekil 3. Sonra işaretli yerin şekilde görülen etken hücresine =DİZEY_TERS(A1:C3) yazılıp Cntrl+Shift+Enter tuşlarına birlikte basılır. Sonuç, işaretlenen bölgeye matrisin transpozesi, şekil 3 de görüldüğü gibi Excel tarafından yazılır.

3 Matrisler 3 Şekil 3 Bir matrisin determinantının hesaplanması: Şekil 4 de A1:C3 eriminde bulunan matrisin determinantını hesaplayalım. Önce determinantın yazılacağı hücre etken hale getirilir; Sonra bu etken hücreye =DETERMİNANT (A1:C3) yazılıp sadece Enter tuşuna basılır. Determinant etken hücreye Excel tarafından yazılır; şekil 4. Sonuç bir dizi şeklinde olmayıp hücreye yazılacağından sadece enter tuşuna basmak yeterlidir. Şekil 4 İki matrisin çapımı: Şekil 5 de görülen A1:C3 eriminde bulunan matris ile E1:E3 eriminde bulunan matrisi çarpalım. Önce sonuç matrisin yazılacağı erim etken hale getirilir. Sonra bu erimdeki etken hücreye =DÇARP (A1:C3;E1:E3) Yazılıp Cntrl+Shift+Enter tuşlarına birlikte basılır. İşaretlenen erime sonuç şekil 5 de görüldüğü gibi Excel tarafından yazılır. Şekil 5 Dizi sabitlerini kullanmak: Yukarıda verilen matris işlerinde dizi erimleri kullanıldı. Dizi erimleri yerine, dizi sabitleri olarak isimlendirilen matris elemanlarının değerlerini formüllerde kullanarak, yukarıda gösterilen matris işlemlerini yapmak mümkündür. Bu durumda matrislerin değerleri doğrudan doğruya formüle yazılır. Örnek olarak şekil 6 da bir matrisin tersinin dizi sabitleri kullanılarak alınışı görülmektedir. Ters

4 4 Mühendislikte Bilgisayar Uygulamaları matrisin yazılacağı yer işaretlendikten sonra komutta dizi erimi yerine dizi sabitleri yazılır. Bu daha sonra Ctrl+Shift+Enter tuşlarına basılır. Şekil 6 İşlev sihirbazını kullanmak: İşlev sihirbazı yardımı ile yukarıda verilen komutlar kolaylaşabilir. Ekle menüsünden işlev seçeneği kullanarak işlev sihirbazına erişebilinir. İşlev sihirbazı yardımı ile komutlar daha kolay verilebildiği gibi dizi erimlerinin tanımları da çalışma sayfasından gösterilerek yapılabilinir. İşlev sihirbazının istediği bilgiler girildikten sonra sonucu hesaplamak için Cntrl+Shift+Enter tuşlarına birlikte basılır. Determinant gibi tek değerli sonuçlar için sadece enter tuşuna basmak yeterlidir. Şekil 7 de iki matris çarpımının işlev sihirbazı ile yapılışında komut verilmeden önce son durum görülmektedir. Şekil 7

5 Matrisler 5 Bir doğrusal denklem takımının matrisin tersini alarak çözümü: Doğrusal denklem takımının çeşitli yöntemler ile çözümü vardır. Bu yöntemlerden biri de katsayılar matrisinin tersini alarak yapılan çözümdür. Ax=B şeklinde m bilinmeyenli bir doğrusal denklem takımın göz önüne alalım. Burada A(m,m) matrisine katsayılar matrisi, B(m,r) matrisine sağ taraf adı verilir. x matrisi bilinmeyenleri bulunduran matristir, aslında x matrisi m boyutlu bir kolon vektördür. Çok zaman sağ taraf olan B matrisinde r=1 olur bu durumda B matrisi de bir kolon matrise dönüşür. Ax=B denkleminin her iki tarafını A -1 ile çaptığımızda x= A -1 B bulunur. O halde bir doğrusal denklem takımının çözüm, A -1 matrisi sağ taraf matrisi ile çarpılarak bulunur. Doğrusal denklem takımının katsayılar matrisinin tersini bularak çözüm yöntemi işlem sayısı fazla olması nedeniyle fazla sayıda bilinmeyen bulunan denklem sistemlerine uygun değildir. Fazla sayıda bilinmeyen bulunan sistemler için Gauss eliminasyon veya iterasyon yöntemi kullanılır. Şekil 8 de bu yöntem ile yapılan bir çözüm görülmektedir. Şekil 8