EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal Degiskenler Olasılık Dağılımı 3 4 Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur. S örnek Uzay X(ω 1 ) Rassal Değisken Olasılık Dagılımı ω 4 ω 1 ω ω 5 ω3 ω 6 Gerçel Sayılar Örnek Uzay Sayı Olasılık X: Her ω S'ye gerçel bir sayı atar. 1
C 11.10.01 Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Fonksiyonu Tanım: X, sonlu sayıdaki 1,,, N değerlerini f( i )=P(X= i ), i=1,,, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değişken olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f() fonksiyonuna X in olasılık fonksiyonu denir. 1. f( ) 0, tüm 'ler için N. f( ) = 1 i=1 i 6 Kesikli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu Tanım: (Dağılım fonksiyonu) Bir X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu F() ile gösterilir ve X in e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır. F( ) = P( X ) = f( i ) i X= 1 N f()=p(x=) f( 1 ) f( ) f( N ) 5 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 7 0 Tanım : X, şekilde gösterilen ( ) aralığında tanımlanan sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f() fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. f() c C d, 1. f( ) 0, - < < +. f( ) d= 1, ( f() eğrisi altında kalan ve -ekseni ile sınırlanan alan 1 e eşittir. ) 8 f() P(c < X < d) = 0 c d c d f ()d f () egrisi, -ekseni ve =c, =d dogruları ile sınırlı alandır. Pc ( < X< d) = Pc ( X d) = Pc ( X< d) = Pc ( < X d) olduğuna dikkat etmeliyiz. Sürekli X rasgele değişkeninin belli bir değeri alması olasılığı sıfırdır. P(X=)=0
9 Sürekli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu 10 Rasgele Değişkenlerin Beklenen Değeri ve Varyansı Tanım: (Dağılım Fonksiyonu) X, f() olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. X in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır. E( X ) =. f () X:Kesikli Rassal Degisken V ( X ) = E ( X E[X ]) F ( ) = PX ( ) = fsds ( ) [ ] = y.f (y)dy E Y V[Y]= + + Y:Sürekli Rassal Degisken ( y E[ Y ]) f (y)dy Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Bernoulli Rasgele Değişkeni Bernoulli Dağılımı Tanım: Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç varsa X e Bernoulli rasgele değişkeni denir. Geometrik Dağılım Negatif Poisson Dağılımı Düzgün (Uniform) Dağılım Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1 değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır. 3
Bernoulli Dağılımı Bernoulli Dağılımı Bernoulli dağılımı genellikle bir varlığın (entity) bir karar noktasında iki ayrı yolu takip edebileceği akış süreçlerini modellemede kullanılır. Örnek: Bir parça muayene ediliyorsa, parçanın kusurlu olma olasılığı p ve her bir parça birbirinden bağımsızsa; parçanın kusurlu olup olmadığı Bernoulli dağılımıyla modellenebilir. Tanım: (Bernoulli Dağılımı) X rasgele değişkeni 0 ve 1 değerlerini alsın. X in olasılık fonksiyonu: PX ( = 1) = p PX ( = 0) = 1 p= q yada f P X p p 1 ( ) = ( = ) =.(1 ), = 0,1 dir. Bu dağılıma Bernoulli dağılımı denir. Bernoulli Dağılımı Teorem: X, Bernoulli dağılımına sahip bir rasgele değişken olsun. f P X p p 1 ( ) = ( = ) =.(1 ), = 0,1 Bernoulli dağılımının ortalaması µ ve varyansı σ, sırasıyla µ = EX ( ) = p σ = EX ( ) [ EX ( )] = pq. = p.(1 p) Tanım: (Binom Rasgele Değişkeni) Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı olanların toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme için başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p ise aşağıdaki koşulları sağlayan X e binom rasgele değişkeni denir. 4
1) Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır. ) Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır. Başarı (S) ve başarısızlık (F) 3) Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir. 4) Denemeler birbirinden bağımsızdırlar. Binom dagilimi, n adet Bernoulli denemesindeki başarı sayısını temsil eden rassal değişkeni modeller. Örnek: Bir makinada 10 parçanin üretileceğini ve her bir parçanın kusurlu olup olmadığının p=0.05 kusurlu olasılıklı Bernoulli denemesi olduğunu varsayalım. 10 parçadaki kusurlu parça sayısı n=10 ve p=0.05 parametreli yla modellenebilir. Teorem: () Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesi için X, her bir denemede başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olan binom rasgele değişkeni ise, X in olasılık fonksiyonu: n n f( ) =. p. q, =0,1,,...,n İspat: n bağımsız denemede başarı sayısı X; 0, 1,, n olabilir. SSS..S FFF..F n- Çarpım teoreminden ilk denemenin başarılı, geri kalan n- denemenin başarısız olması olasılığı p.(1-p) n- dir. Denemeler birbirinden bağımsız olduğundan diğer bir başarı ve n- başarısızlık dizisinin olasılığı da p.q n- dir. Bir grupta, diğerinde n- sonuç bulunan n sonucun farklı dizilerinin sayısı n dir. 5
Teorem: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun. n n f( ) =. p. q, =0,1,,...,n µ = EX ( ) = np Olasılık Grafiği Dağılım Grafiği σ = EX ( ) [ EX ( )] = npq İspat: Binom rasgele değişkeni X, her biri 1 değerini p, 0 değerini 1-p olasılığı ile alan n bağımsız X i, Bernoulli değişkeninin toplamıdır. X in varyansı: σ = = 1+ + + Var( X ) Var( X X... X n ) X = X 1 + X +...+ X n EX = EX1+ X + + X n ( ) (... ) = p+ p+... + p= np X i ler bağımsız olduklarından σ = = 1 + + + Var( X ) Var( X ) Var( X )... Var( X n ) = pq + pq +... + pq = npq 6