Elektrik Müh. Temelleri ELK184 5 @ysevim61 https://www.facebook.com/groups/ktuemt/ 1
SÜPERPOZİSYON (Toplamsallık) TEOREMİ E R I R ı Süper pozisyon yönteminde istenilen akımın akım veya gerilim değeri her seferinde devrede tek bir kaynak bırakılarak (akım kaynağı açık devre gerilim kaynağı kısa devre yapılarak) çözülür ve bulunur daha sonra bu kaynakların o eleman üzerinde oluşturmuş olduğu tüm akım ve gerilim değerleri yönlerine bakılarak toplanır veya çıkarılarak toplam o elemandan geçen toplam akım ve üzerine düşen toplam gerilim bulunur. E I RE R R I RI ı I R = I RE I RI NOT: Devrede bağımlı akım ve gerilim kaynağı var ise bu kaynaklara dokunulmaz, devrede bu kaynaklar var iken istenilen elemanın akım ve gerilim değerleri bulunur ve çözüm yapılır. 2
SÜPERPOZİSYON (Toplamsallık) TEOREMİ I 2 E 1 I 3 E 2 Akım yönleri ilk olarak keyfi olarak alınmıştır. Birinci durum; E 1 0, E 2 =0 olarak alınacak, yani E 2 kısa devre yapılır. 1 A I 21 Çözüm 1 Çözüm 2 E 1 I 31 B 1 = E 1. E 1. 1. I 31 = 0. I 21. I 31 = 0 V AB = E 1. 1 I 21 = 1 I 31 I 31 = V AB I 21 = 1 I 31 = V AB 3
Toplamsallık (Süperpozisyon) İkinci durum; E 1 =0, E 2 0 olarak alınacak, yani E 1 kısa devre yapılır. 2 A I 22 I 32 B E 2 Çözüm 1 Çözüm 2 I 22 = E 2. V AB = E 2. I 22 I 32 = V AB E 2. I 22. I 32 = 0. 2. I 31 = 0 I 22 = 2 I 32 I 22 2 = I 32 2 = I 32 I 22 = V AB 4
Toplamsallık (Süperpozisyon) 1 I 21 2 I 22 E 1 =1 2 I 2 =I 21 I 22 I 2 I 31 I 3 I 32 E 2 I 3 =I 31 I 32 = 1 2 3 I 2 = I 21 I 22 I 23 I 3 = I 31 I 32 I 33 5
E=200V =100Ω A =300Ω I =200Ω I o =6A Örnek Örnek: R direncinden geçen akımı süperpozisyon yöntemini kullanarak bulun. 1.Durum E=200V B =100Ω =200Ω A =300Ω I o =0 I E I E = E = 200 100 300 = 0,5A 2.Durum B =100Ω A =200Ω I = I I I E = 0,5 1,5 = 2A E=0V =300Ω I o =6A I I = I o. I I / / = 6. 300. 100 100 300 300 = 1,5A B 6
Örnek =100Ω A =200Ω Aynı örneği tevenin yöntemi ile çözersek. E=200V =300Ω I B I o =6A R th V th =300Ω =100Ω =200Ω A =100Ω A =200Ω E=200V V th I o =6A I B V th. I o E = 0 V th, R th B R th = = 100Ω V th =. I o E = 100.6 200 = 800V I = V th R th = 800 100 300 = 2A 7
Örnek Aynı örneği norton yöntemi ile çözersek. I N R th A I =300Ω E=200V =100Ω =200Ω A I N I o =6A B R th = = 100Ω Süperpozisyon yöntemi kullanılırsa. =100Ω =200Ω A I N = I o E = 6 200 B 100 = 8A I N = V th R th = 800 100 = 8A I = I N. R th / / =100Ω =200Ω A = 8. 300. 100 100 300 300 Aynı olmalı = 2A E=200V I NE I N =I NE I NI I NI I o =6A B B 8
Örnek E 1 =10V =5Ω R y direncinden geçen akımı süper pozisyon yöntemi ile bulunuz. =10Ω E 2 =5V =20Ω I=1A R y =6Ω E 1 =10V =5Ω E 1 gerilim kaynağına göre R y den geçen akım I 2 =I E1. I E1 10. = 0 5. I E1 10. 20 = 0 =10Ω =20Ω I E1 R y =6Ω 5. I E1 25. = 10. I E1. R y I E1. = 0. 20 I E1. 6 I E1. 10 = 0 20. 16. I E1 = 0 = 0, 32A I E1 = 0, 4A 9
Örnek =5Ω I 2 =I E2 E 2 gerilim kaynağına göre R y den geçen akım =10Ω E 2 =5V =20Ω I E2 R y =6Ω. I E2. = 0 5. I E2. 20 = 0 5. I E2 25. = 0. I E2. R y 5 I E2. = 0. 20 I E2. 6 5 I E2. 10 = 0 20. 16. I E2 = 5 = 0, 05A I E2 = 0, 25A 10
Örnek 1I A =5Ω I akım kaynağına göre R y den geçen akım =10Ω =20Ω I=1A I A R y =6Ω. 1 I A. = 0 5. 1 I A. 20 = 0 1I A 5. I A 25. = 5. I A. R y. 1 I A. 20 I A. 6 10. 1 I A = 0 = 0 20. 16. I A = 10 I A = 0, 7A I E1 = 0, 4A = 0, 06A I A = 0, 7A I E2 = 0, 25A I y = I E1 I E2 I A = 0, 4 0, 25 0, 7 = 0, 85A 11
Örnek I x 25Ω 30Ω 5A Örnek: Yandaki devrede 30Ω luk dirençten geçen akımı süper pozisyon yöntemi ile bulunuz. 10Ω E 1 =10V 10Ω 20.I x 30 Ω 14kΩ 25kΩ Örnek: Yandaki devrede 10kΩ luk dirençten geçen akımı ve harcadığı gücü süper pozisyon yöntemi ile bulunuz. 10A 5kΩ E 1 =10V 20kΩ 10k Ω Örnek: Yandaki devrede 20Ω luk dirençten geçen akımı süper pozisyon yöntemi ile bulunuz. 12Ω I x 14Ω 5A 12Ω 40Ω 20 Ω E 1 =80V 10.I x 8Ω 6Ω
Düğüm Gerilimleri Yöntemi Amacı: Paralel kollu elemanı bol olan devrelerin çözümünü kolaylaştırmak. Bir devrenin düğüm sayısının belirlenmesi. V ı d1 V d2 V d3 V d4 I 5 E I 2 I 3 R 5 R 4 I 5 R 6 I 4 Referans (0)
Düğüm Gerilimleri Yöntemi 14kΩ I1=10A 5kΩ 20kΩ I2=5A 1 İlk olarak devrede tüm kollara akım ataması yapılır. 14kΩ I1=10A 5kΩ I 3I4 I 5 20kΩ I2=5A 2 Devredeki düğüm sayısı belirlenir ve düğülere düğüm gerilimi ataması yapılır. 14kΩ V d1 V d2 I1=10A 5kΩ I 3I4 I 5 20kΩ I2=5A Referans (0) 14
Düğüm Gerilimleri Yöntemi 3 Her düğüm için düğüm akım denklemleri yazılır. 14kΩ V d1 V d2 I1=10A 5kΩ I 3I4 I 5 20kΩ I2=5A Referans (0) 1.Düğüm için 2.Düğüm için I 3 I 4 = 0 I 4 I 2 I 5 = 0 4 Akım denklemlerindeki akımlar gerilim de direnç cinsinden eşdeğerlerine dönüştürülür. 1.Düğüm için 2.Düğüm için 10 V 3 5kΩ V 4 14kΩ 5 V 4 14kΩ = 0 V 5 20kΩ = 0 15
Düğüm Gerilimleri Yöntemi 14kΩ V d1 V d2 I1=10A 5kΩ I 3I4 I 5 20kΩ I2=5A 5 Gerilimler düğüm gerilimi cinsinden yazılır. Referans (0) 6 Bu denklemler 4 nolu akım denklemlerinde yerine konur.. V 3 = V d1 0 = V d1 V 4 = V d1 V d2 V 5 = V d2 0 = V d2 1.Düğüm için 1.Düğüm için 2.Düğüm için 10 V 3 5kΩ V 4 14kΩ 5 10 V d1 5kΩ V d1 V d2 14kΩ = 0 V 4 14kΩ = 0 V 5 20kΩ = 0 2.Düğüm için V d1 V d2 14kΩ 5 V d2 20kΩ = 0 16
Düğüm Gerilimleri Yöntemi 1.Düğüm için 14k. V d1 5k. V d1 V d2 14k. 5k = 10 2.Düğüm için 20k. V d1 V d2 14k. V d2 20k.14k = 5 1.Düğüm için 19k. V d1 5k. V d2 = 14k. 5k. 10 2.Düğüm için 20k. V d1 34k. V d2 = 5. 20k.14k V d1 = 56, 4kV V d2 = 74, 3kV 17
I1=10A 14kΩ V d1 V d2 5kΩ I 3I4 I 5 Düğüm Gerilimleri Yöntemi 20kΩ I2=5A V d1 = 56, 4kV V d2 = 74, 3kV Referans (0) I 3 = V d1 5k I 4 = V d1 V d2 14k I 5 = V d2 20k = 56, 4kV 5k = = 74, 3kV 20k = 11, 28A 56, 4kV 74, 3kV 14k = 3, 71A = 1, 28A 18
Örnek Örnek: Yandaki devrede 20kΩ luk dirençten geçen akımı ve harcadığı gücü düğüm gerilimleri yöntemi ile bulunuz. 14kΩ 3kΩ 10A 5kΩ 20kΩ 2k Ω V d1 I 2 14kΩ V d2 1.Adım Düğüm sayısı belirlenir ve tüm düğümler için düğüm akım ifadeleri yazılır 10A 5kΩ 1.düğüm I 20kΩ 5k Ω 1 I 2 = 10 I I 4 3 2.düğüm I 2 I 3 I 4 = 0 Referans 2.Adım Düğüm akım denklemleri eleman gerilim ve eleman değerleri cinsine dönüştürülür. 1.düğüm V 1 5k V 2 14k = 10 2.düğüm V 2 14k V 3 20k V 4 5k = 0
Örnek V d1 I 2 14kΩ V d2 3.Adım Gerilimler düğüm gerilimleri cinsinden yazılır V 1 = V d1 10A 5kΩ 20kΩ I 3 I4 5k Ω V 2 = V d1 V d2 Referans V 3 = V d2 V 4 = V d2 4.Adım Düğüm gerilimleri cinsinden yazılan gerilimler denklemlerde yerlerine yazılır ve denklemler düzenlenir. 1.düğüm V d1 5k V d1 V d2 14k = 10 19V d1 5V d2 = 700 2.düğüm V d1 V d2 14k V d2 20k V d2 5k = 0 2V d1 8V d2 = 0 V d1 = 39, 43V V d2 = 9, 85V I 4 = V 4 5k I 2 = V 2 14k = 9, 85 5k = 1, 97mA = 39, 43 9, 85 14k = 29, 58 14k = 2, 11mA
Düğüm Gerilimleri Yöntemi Örnek: Düğüm akımlarını kullanarak düğüm gerilimleri bulunmaya çalışılacaktır. A E=200V =100 Ω B =300 Ω D =200 Ω C I o =6A B düğümü I 2 = I 3 I 2 = I o Akımların yerine düğüm gerilimi karşılıkları konulacak ve oluşan denklemlerden düğüm gerilimleri bulunacak. A düğümü B düğümü V 1 = 0 V 1 V 2 = V 3 C düğümü E Vd1 A düğümü C düğümü V 2 = I o V d2 I 3 I 2 I o DReferans V d3 = 0 21
Düğüm Gerilimleri Yöntemi Vd1 V d2 I 2 V d3 Gerilimler yerine düğüm gerilimleri cinsinden değerleri yerine yazılırsa E I 3 I o V d1 = E V 1 = V d1 V d2 = E V d2 DReferans V 2 = V d3 V d2 V 3 = V d2 0 = V d2 Denklemlerdeki eleman gerilimleri yerine düğüm gerilimleri cinsinden değerleri yerine yazılırsa A düğümü V 1 = 0 E V d2 = 0 B düğümü V 1 V 2 = V 3 E V d2 V d3 V d2 = V d2 C düğümü V 2 = I o V d3 V d2 = I o 22
Düğüm Gerilimleri Yöntemi Denklemlerdeki direnç akım ve gerilim değerlerini yerine konup düğüm gerilim denklemleri bulunursa A düğümü 200 V d2 100 = 0 100. V d2 = 200 B düğümü 200 V d2 100 V d3 V d2 200 = V d2 300 11. V d2 3. V d3 = 1200 C düğümü V d3 V d2 200 = 6 V d3 V d2 = 1200 V d2 = 600V Vd1 V d2 I 2 V d3 V d3 = 1800V E I 3 I o = 4A I 3 = V B = 600 300 = 2A DReferans 23
Örnek E 1 =10V =5Ω =10Ω E 2 =5V =20Ω I=1A R y =6Ω R y direncinden geçen akımı düğüm gerilimleri yöntemi ile bulunuz. =10Ω I 2 E 2 =5V V d1 I E1 I 3 V d4 E 1 =10V =20Ω Vd2 I=1A =5Ω Referans V d3 I y R y =6Ω Tüm düğümler için düğüm akım denklemleri yazılır I 2 I E1 I 3 = 0 I E1 = 0 I 3 I y I = 0 V 2 I E1 V 3 = 0 V 1 I E1 = 0 I 2 I E2 = 0 V 1 V 3 V y R y 1 = 0 V 2 I E2 = 0 24
Örnek V d1 I E1 E 1 =10V =5Ω Tüm gerilimler düğüm gerilimleri cinsinden yazılırsa =10Ω I 2 E 2 =5V I 3 V d4 =20Ω Vd2 I=1A V d3 I y R y =6Ω V d4 = E 2 V d2 = V d1 E 1 V 1 = V d2 V d3 = V d1 E 1 V d3 V 2 = V d4 V d1 = E 2 V d1 V 3 = V d1 V d3 Referans V y = V d3 Düğüm gerilimleri cinsinden yazılan gerilim ifadeleri denklemlerde yerine konursa V 2 I E1 V 3 = 0 V 1 I E1 = 0 V 1 V 3 V y R y 1 = 0 V 2 I E2 = 0 E 2 V d1 V d1 E 1 V d3 V d1 E 1 V d3 E 2 V d1 I E1 V d1 V d3 I E2 = 0 I E1 = 0 V d1 V d3 = 0 V d3 R y 1 = 0 5 V d1 10 I E1 V d1 V d3 20 V d1 10 V d3 5 V d1 10 V d3 5 5 V d1 10 I E1 = 0 V d1 V d3 20 I E2 = 0 = 0 V d3 6 1 = 0 25
Örnek 3. V d1 V d3 20. I E1 = 10 V d1 V d3 5. I E1 = 10 3. V d1 5. V d3 = 36 7. V d1 5. V d3 = 50 3. V d1 5. V d3 = 36 V d1 = 3, 5V V d3 = 5, 1V I y = V d3 5, 1V = = 0, 85A R y 6 V d1 10. I E2 = 5 26
Örnek Düğüm gerilimleri yönteminde denklem sayısının azaltılması V d1 I E1 E 1 =10V =5Ω Vd2 =10Ω I 2 E 2 =5V I 3 V d4 =20Ω I=1A V d3 I y R y =6Ω =2A Referans V d1 =20Ω =5Ω I y V d2 I 2 =0,5A =10Ω I=1A R y =6Ω Referans 27
Çevre Akımları Yöntemi 1 Tüm gözlere çevre çizilir ve bu çevreler için yazılacak çevre gerilimlerinin bağımsız olmalarına dikkat edilir (Denklemlerin bağımsız olabilmesi için denklemdeki en az bir eleman diğer hiçbir çevrede olmaması gerekmektedir.) 2 Yazılan çevre gerilimleri denklemlerindeki gerilimler yerine akım ve eleman değerleri cinsinden karşılıkları konur. 3 Akımlar yerine de çevre akımları değerleri konularak bilinmeyenler çevre akımları bulunur. 4 Çevre akımları bulunduktan sonra her bir kolun akımı bu akımlara bağlı olarak bulunur ve devre çözülür. I 4 E R 4 R 5 I 2 I ç1 I ç2 I ç3 I 3 1.Çevre için 2.Çevre için 3.Çevre için 1. Adım V 2 V 1 E =0 V 3 V 2 =0 V 3 V 4 V 5 =0 3. Adım 2. Adım I 2.. E =0 I 3. I 2. =0 I 3. I 4. R 4 I 4. R 5 =0 = I ç1 I 2 = I ç2 I ç1 I 3 = I ç3 I ç2 I 4 = I ç3 28
Çevre Akımları Yöntemi 4. Adım I ç2 I ç1. I ç1. E =0 I ç3 I ç2. I ç2 I ç1. =0 I ç3 I ç2. I ç3. R 4 R 5 =0. I ç1. I ç2 = E. I ç1. I ç2. I ç3 =0. I ç2 R 4 R 5. I ç3 =0 5. Adım = I ç1 I 2 = I ç2 I ç1 I 3 = I ç3 I ç2 I 4 = I ç3 29
Örnek Devrenin her bir kolundan geçen akımı çevre akımları yöntemi ile bulunuz. =2Ω R I 2 =3Ω 1 I 6 E 1 =10V E 2 =6V I 2 I 3 R 5 =2Ω I ç1 I ç2 I ç3 E 3 =3V I 5 R 6 =1Ω =3Ω I 4 R 4 =5Ω 1.Çevre için 2.Çevre için 3.Çevre için 1. Adım V 3 V 1 E 1 E 2 =0 E 2 V 4 E 3 V 5 V 2 =0 E 3 V 5 V 6 =0 3. Adım 2. Adım.. E 1 E 2 =0 E 2 I 4. R 4 E 3 I 5. R 5 I 3. =0 E 3 I 5. R 5 I 6. R 6 =0 = I ç1 I 2 = I ç2 I ç1 I 5 = I ç2 I ç3 I 3 = I ç2 I 4 = I ç2 I 6 = I ç3 30
Çevre Akımları Yöntemi 4. Adım I ç1. I ç1. 10 6 =0 6 I ç2. R 4 3 I ç2 I ç3. R 5 I ç2. =0 3 I ç2 I ç3. R 5 I ç3. R 6 =0 5. Adım. I ç1 = 4 R 4 R 5. I ç2 R 5. I ç3 = 3 R 5. I ç2 R 5 R 6. I ç3 = 3 5. I ç1 = 4 10. I ç2 2. I ç3 = 3 2. I ç2 3. I ç3 = 3 6. Adım I ç1 = 0, 8A I ç2 = 0, 77A I ç3 = 1, 38A = I ç1 = 0, 8A I 2 = I ç2 I ç1 = 0, 03A I 3 = I ç2 = 0, 77A I 4 = I ç2 = 0, 77A I 5 = I ç2 I ç3 = 0, 61A I 6 = I ç3 = 1, 38A 31
Akım Kaynağı ve Gerilim I C E 1 A B V AB V CD I Akım yönünü akım kaynağı belirler. D V AB gerilimi, gerilim kaynağı üzerinden bulunur V AB = I. E 1 V CD gerilimi, akım kaynağı üzerine düşen gerilimdir ve gerilim kaynağı üzerinden bulunur V CD = I. I. E 1 P CD akım kaynağında harcanan güç P CD = I. V CD = I. I. I. E 1 P CD = I 2. I 2. I. E 1 32
NOT E E I R 5 VI I E R 4 1. Düğüm gerilimleri yönteminde; bir düğümde tek gerilim kaynağı ve bir eleman bağlı ise düğüm gerilimi gerilim kaynağı cinsinden yazılabilir. Eğer düğümde gerilim kaynağının yanında birden fazla eleman var ise gerilim kaynağının bulunduğu koldan geçen akım düğüm gerilimleri gibi bilinmeyen olarak denklemlerde gözükecektir ve bilinmeyen sayısı arttığı için yazılması gereken denklem sayısı artacaktır. Bunun için düğüm gerilimleri yönteminde gerilim kaynağı var ise ve mümkünse akım kaynağına dönüştürülmelidir. 2. Çevre akımları yönteminde; akım kaynağı var ise akım kaynağının gerilimi gerilim denklemlerinde bilinmeyen olarak gelecektir ve bilinmeyen sayısı arttığı için yazılması gereken denklem sayısı artacaktır. Bunun için çevre akımları yönteminde akım kaynağı var ise ve mümkünse gerilim kaynağına dönüştürülmelidir. 33
Süperpozisyon ve Düğüm Gerilimleri Yöntemi Örnekleri Örnek: a) Yandaki ve aşağıdaki şekilde verilen devrelere süperpozisyon yöntemi uygulayarak i o akımını ve Vx gerilimini bulunuz. b) Aşağıdaki şekilde verilen devreye düğüm gerilimleri yöntemi uygulayarak Vx gerilimini bulunuz. Örnek: a) Yandaki şekilde verilen devreye süperpozisyon yöntemi uygulayarak R L (5Ω) direnci üzerinden geçen akımı ve gerilimi bulunuz. a) Yandaki şekilde verilen devreye düğüm gerilimleri yöntemi uygulayarak R L direnci üzerinden geçen akımı ve gerilimi bulunuz. Örnek: Aşağıdaki şekilde verilen devreye süperpozisyonve düğüm gerilimleri bulunuz. yöntemleri uygulayarak i o akımını 34