Bant Sınırlı TBGG Kanallarda Sayısal İletim Bu bölümde, bant sınırlı doğrusal süzgeç olarak modellenen bir kanal üzerinde sayısal iletimi inceleyeceğiz. Bant sınırlı kanallar pratikte çok kez karşımıza çıkar örneğin telefon kanalları, mikro-dalga görüş hattı (GH) radyo kanalları, uydu kanalları ve sualtı akustik kanallar. İletilen işaretler kanalın sebep olduğu bant genişliği sınırlamasını sağlayacak şekilde tasarlanmalıdır. Bant genişliği sınırlaması genellikle modülatörün çıkışında dikdörtgen darbelerin kullanılmasını imkânsızlaştırır. Bunun yerine, iletilen işaret bant genişliği kanalın bant genişliğine sınırlanacak şekilde şekillendirilmelidir. Bant sınırlı işaretlerin tasarımı bu bölümde incelenen konulardan birisidir. Doğrusal süzgeç kanalın iletilen işareti bozacağını göreceğiz. Kanal bozulması de-modülatör çıkışında semboller arası karışıma sebep olur ve sezicide hata olasılığında artmaya sebep olur.
9.1 BANT SINIRLI KANALLARDA SAYISAL İLETİM Telefon hattı gibi bant sınırlı bir kanal, aşağıda verilen dürtü tepkisi c(t) ve frekans tepkisi C(f) olan bir doğrusal süzgeç ile karakterize edilir. Şekil 9.1 Bant sınırlı kanalın mutlak genlik ve faz tepkileri
Şayet kanal B c Hz bant-sınırlı temel bant kanal ise, f > B c için C(f) = 0 dır. Kanalın girişinde B c Hz den daha büyük herhangi bir frekans bileşeninin geçmesi kanal tarafından engellenecektir. Bant sınırlı bir kanala girişin, işaret dalga formu g T (t) olduğunu varsayalım. Kanalın tepkisi, aşağıda verildiği gibi g T (t) ile c(t) in evirişimidir. Kanal tepkisinin frekans boyutundaki gösterimi dır. Kanalın çıkışındaki işaretin TBGG tarafından bozulduğunu varsayalım. Sonra, demodülatörün girişindeki işaret h(t) + n(t) formundadır, bu ifadede n(t) TBGG yi temsil eder. Doğrusal süzgeç kanal modeli Şekil 9.2 de görülmektedir.
Şekil 9.2 Bant sınırlı kanal için doğrusal süzgeç modeli Önceki bölümde gösterildiği gibi TBGG kanalda h(t), işaretinin uyumlu süzgecini içeren demodülatör çıkışındaki İGO yı maksimize eder. Bu yüzden alınan işaret r( t) h( t) n( t), aşağıda frekans tepkisi verilen bir süzgeçten geçirilir bu ifadede t 0 zaman gecikmesi süzgeç çıkışını örnekle zamanıdır. Uyumlu süzgeç çıkışında t = t 0 anında örneklenen işaret bileşeni dir, bu ifade kanal çıkış dalga formu h(t) deki enerjidir
Uyumlu süzgeç çıkışında gürültü bileşeni sıfır beklenen değerlidir ve güç spektral yoğunluğu aşağıda verilmiştir Böylece, uyumlu süzgeç çıkışındaki gürültü gücünün değişintisi olur. Uyumlu süzgeç çıkışındaki İGO ifadesi olarak elde edilir. Bu sonucun, Bölüm 8 de uyumlu süzgeç çıkışında elde edilen İGO ifadesinden tek farkı alınan işaret enerjisi, iletilen işaret enerjisi in ( ikili modulasyon için (E s =E b olur) yerini almıştır.
Örnek 9.1.1 Yukarıda verilen darbe işareti, frekans tepki karakteristiği Şekil 9.3(a) de görülen temel bant kanal boyunca iletilmiştir. Darbe işareti Şekil 9.3(b) de görülmektedir. Kanal çıkışı, güç spektral yoğunluğu N 0 /2 olan TBGG tarafından bozulmaktadır. Alınan işaret için uyumlu süzgeci ve çıkış İGO ı belirleyiniz. Şekil 9.3 (b) deki darbe işareti (a) da görülen ideal bant sınırlı kanalda iletilmektedir. gt () t in spektrumu (c) de gösterilmiştir.
Çözüm Bu problem en kolay frekans boyutunda çözülür. İlk olarak, iletilen darbe işaretinin spektrumu dır. GT ( f) 2 in spektrumu Şekil 9.3(c) de görülmektedir. Böylece, dır. Daha sonra, H(f) i karşılayan süzgecin çıkışında işaret bileşeni olur.
Gürültü bileşeninin değişintisi aşağıda verilmiştir çıkış İGO ise Bu örnekte kanalın girişindeki işaretin bant sınırlı olmadığını gözlüyoruz. Böylelikle, iletilen işaret enerjisinin sadece bir kısmı alınır (sadece kanalın geçiş bandı içerisine düşen işaret enerjisi).
9.1.1 Bant Sınırlı Temel Bant Kanallarda Sayısal DGM İletimi Şekil 9.4 de fonksiyonel blok diyagramıyla gösterilen temel bant DGM iletim sistemini göz önüne alalım. Şekil 9.4 Sayısal DGM sistemin blok diyagramı M-li DGM kullanan sayısal iletişim sistemini göz önüne alalım. Böylece, giriş ikili veri dizisi k-bit lik simgelere ayrılır ve her bir simge, iletilen işaret çıkışını modüle eden bir genlik seviyesine eşlenir. İletim süzgeci çıkışındaki temel bant işaret (kanala giriş) aşağıdaki gibi ifade edilebilir. burada T = k/r b simge aralığı (1/T = R b /k simge hızıdır), R b bit hızıdır ve bitlerinin k-bit blokluk dizisine karşılık gelen genlik seviyesi dizisidir. { a n } veri
Kanal çıkışı diğer bir ifadeyle demodülatörde alınan işaret aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Bu ifadede h( t) c( t) g ( ) dir, c(t) kanalın dürtüsel tepkisidir ve n(t) T t TBGG yi temsil eder. Alınan işaret dürtüsel tepkisi g R (t) ve frekans tepkisi G R (f) olan doğrusal alıcı süzgeçten geçer. g R (t), h(t) in uyumlu süzgeci ise çıkışında, İGO uygun örneklenme anlarında maksimumdur. Alıcı süzgecin çıkışı aşağıdaki gibi ifade edilebilir bu ifadede x( t) h( t) gr ( t) gt ( t) c( t) gr ( t) dir ve ( t) n( t) gr ( t) alıcı süzgeç çıkışındaki eklemeli gürültüyü gösterir. Veri simgeleri a n i geri elde etmek için, alıcı süzgeç çıkışı her T saniyede periyodik olarak örneklenir. Böylece, örnekleyici
veya eş değer olarak üretir. Eşitlik (9.1.13) de x x( mt ), m ( mt ) ve m 0, 1, 2,... dir. m Eşitlik (9.1.13) in sağ tarafındaki ilk terim kazanç parametresi x 0 la ölçeklenmiş istenen sembol a m dir ve dir. Eşitlik (9.1.13) in sağ tarafında ikinci terim örnekleme anında (t = mt) simgeler arası karışım (SAK) olarak isimlendirilen diğer simgelerin etkilerini gösterir. Genel olarak, SAK sayısal iletim sistemlerin başarımında kötüleşmeye sebep olur. Son olarak, eklemeli gürültüyü temsil eden üçüncü terim m, Eşitlik (9.1.7) de verilen sıfır beklenen değerli ve değişintili Gaussian rasgele değişkenidir.
İkili DGM için Gauss gürültülü kanalda SAK olması durumunda hata olasılığı ifadesi P 2 = Q 2E b N 0 +I Bu ifadede I SAK dolayısıyla oluşan karışım gücüdür ve hata olasılığını kötüleştirir. Performanstaki kötüleşmeyi önlemek için, verici ve alıcı süzgeçleri uygun tasarlayarak, n 0 için x 0 şartını sağlayabiliriz, böylece SAK terimi sıfırlanır. n
9.2 BANT-SINIRLI KANALLAR İÇİN İŞARET TASARIMI Bu altbölümde, bant-sınırlı verici süzgeç tasarımını göz önüne alıyoruz. İlk olarak, kanal bozulmasının olmaması şartı altında tasarım yapılacaktır. H(f) = C(f) G T (f) olduğu için, bozulmasız iletim şartı iletilen işaretin bant genişliği boyunca C(f) kanal frekans tepki karakteristiğinin sabit mutlak genlik ve doğrusal fazlı olmasıdır. Yani burada W mevcut kanal bant genişliği, t 0 kolaylık için sıfıra eşitlediğimiz sonlu herhangi bir zaman gecikmesidir ve C 0 kolaylık için bire eşitlediğimiz sabit kazanç faktörüdür. Böylece, kanalın bozulmasız olması ve gt () t in bant genişliğinin W ile sınırlı olması şartı altında, H ( f ) GT ( f ) dir. Bunun sonucunda, alıcıdaki uyumlu süzgecin frekans * tepkisi GR( f ) GT( f ) dir ve t = mt periyodik örnekleme anlarında çıkışı aşağıdaki formdadır
veya daha basit bir ifadeyle dir, burada çıkış tepkisidir. x( t) g ( t) g ( t) T R dir ve w(t) girişteki TBGG süreci n(t) ye uyumlu süzgecin Alınan işarette görülen SAK ve gürültünün miktarı bir osiloskopta görülebilir. Özellikle, alınan işareti osiloskobun dikey girişine ve yatay girişe 1 / T hızında tarama işareti uygulayarak gösterebiliriz. Elde edilen osiloskop görüntüsü insan gözüne benzediği için, göz biçimi olarak isimlendirilir. Birisi ikili DGM ve diğeri dörtlü (M = 4) DGM için olmak üzere, iki adet göz biçimi örnekleri Şekil 9.5(a) da gösterilmiştir.
Şekil 9.5 Göz biçimleri (a) ikili ve dörtlü DGM için göz biçimi örnekleri (b) SAK ın göz açıklığına etkisi SAK ın etkisi gözün kapanmasına sebep olur, böylece hataya sebep verecek eklemeli gürültü için marjı azaltır.
9.2.1 Sıfır SAK için Bant Sınırlı İşaret Tasarımı- Nyquist Kıstası Daha önce tanımlandığı gibi bir sayısal iletişim sistemi göz önüne alalım. gt () t bant genişliği W ye eşit veya daha az olduğunda, ideal bant sınırlı kanalda iletim yapmaktadır. Bu yüzden alıcı süzgecin çıkışında, işaretin Fourier dönüşümü olan kanalın bant genişliği aşağıdaki gibi verilir burada G T (f) ve G R (f) verici ve alıcı süzgeçlerin frekans tepkilerini gösterirler ve C( f ) C0 exp( j2 ft0), f W kanalın frekans tepkisini gösterir. Kolaylık için, C 0 = 1 ve t 0 = 0 seçebiliriz. Ayrıca, alıcı süzgecin çıkışı t = mt, m =., -2, -1, 0, 1,2 anlarında periyodik olarak örneklendiğinde Eşitlik (9.2.3) de verilen ifadeye dönüşür. Bu eşitliğin sağ tarafında birinci terim, istenen simgedir, ikinci terim SAK ı oluşturur ve üçüncü terim eklemeli gürültüdür.
SAK ın etkisini kaldırmak için, gerekli ve yeterli şart n m ve x(0) 0için, x( mt nt ) 0 dir. Burada x(0) = 1 varsayımında bulunabiliriz. Bu şartın anlamı tüm haberleşme sistemi tasarımı aşağıdaki koşulu sağlayacak biçimde yapılır. Bu şart Nyquist darbe-şekillendirici kıstası veya sıfır SAK için Nyquist şartı olarak bilinir. Sıfır SAK için Nyquist Şartı. x(t) in sağlaması için gerekli ve yeterli şart aşağıda verilmiştir. Fourier dönüşümü X(f) in sağlaması gerekli olan şart ise Şimdi kanalın W bant genişlikli olduğunu varsayalım. için X(f) = 0 dır. Üç durum söz konusudur f için C(f) = 0 dır; böylece W f W
1 1- İlk durumda, T veya eşdeğer olarak 1 n 2W 2W dır. Z( f ) X ( f ), Şekil 9.6 da T n T görüldüğü gibi X(f) in 1/T kadar ayrı örtüşmeyen kopyalarından oluştuğu için, bu durumda Z(f) = T sağlayacak X(f) yoktur. Böylelikle, sıfır SAK sağlayan bir sistem tasarlanması imkansızdır. Şekil 9.6 T 1 2W durumu için Z(f) in çizimi 1 1 2- Bu durumda, T veya eşdeğer olarak 2W 2W T (Nyquist hızı) dır. Şekil 9.7 de görüldüğü gibi 1/T ile ayrılmış X(f) in kopyaları örtüşmektedirler. Şekil 9.7 T 1 2W durumu için Z(f) in çizimi
Açıkça görüleceği gibi, Z(f) = T şartını sağlayan sadece bir tane X(f) vardır ve aşağıda verilmiştir. Diğer ifade biçimiyle X ( f ) T f 2W dır. Ters Fourier i sonucunu verir. Bu durumun anlamı sıfır SAK için T in en küçük değeri T = 1/2W dır; bu değer için x(t) sinc fonksiyonu olmalıdır. 3- T > 1/ 2W durum için, Şekil 9.8 de görüldüğü gibi Z(f), X(f) in 1 /T le ayrılmış kopyalarından oluşur. Bu durumda, X(f) için Z(f) = T şartını sağlayacak sonsuz sayıda farklı seçenek vardır. Şekil 9.8 T > 1/2W durumu için Z(f) in çizimi
T > 1/ 2W durum için, istenen spektral özelliklere sahip ve pratikte çokça kullanılan darbe spektrumu yükseltilmiş kosinüs (Raised Cosine) spektrumudur. Yükseltilmiş kosinüsün frekans karakteristikleri aşağıda verilmiştir. Yükseltilmiş kosinüs spektrumuna sahip x(t) darbesi aşağıda verilmiştir. Bu ifadelerde azalma faktörü olarak isimlendirilir ve 0 1 aralığında değer alır.
Şekil 9.9 Yükseltilmiş kosinüs spektrumuna sahip darbeler İşaretin, Nyquist frekansın (BG=1/2T) ötesinde işgal ettiği bant genişliği aşan bant genişliği 1 olarak isimlendirilir ve Nyquist frekansının yüzdesi olarak belirtilir. Örneğin, 2 olduğunda, aşan bant genişliği % 50 dir (BG=3/4T); 1 olduğunda aşan bant genişliği %100 dür (BG=1/T). 0 için darbe x( t) sin c( t / T ) ye indirgenir ve simge hızı 1/T = 2W dir. 1 olduğunda, simge hızı 1/T = W dır. Genelde, x(t) in kuyrukları 0 için 1 / t 3 hızında azalırlar.
Yükseltilmiş kosinüs spektrumu için verici ve alıcı için pratik süzgeçler tasarlamak mümkündür. f Kanalın ideal olduğu özel durumda, kanal frekans tepkisi C( f) 2W kosinüs spektrumu olan tüm sistem frekans tepkisi aşağıda verilmiştir. için, yükseltilmiş Bu durumda, alıcı süzgeci verici süzgeciyle uyumluysa, İdeal olarak, rc ( f ) G ( f ) G ( f ) G ( f ) T R T 2 dir. olur ve R gecikmesidir. G f G f * ( ) T( ) dir. Bu ifadede t 0 süzgecin gerçeklenebilir olmasını sağlayan zaman Örnek 9.2.2 İdeal bir kanal Şekil 9.10 da görülen frekans tepki karakteristiğine sahiptir. G T (f) verici ve G R (f) alıcı süzgeç frekans tepki karakteristiklerini GT ( f ) GR ( f ) X rc ( f ) olacak biçimde belirleyiniz. İstenen azalma faktörü 1/ 2 seçilmiştir. Ayrıca, simge hızı 1/T yi belirleyin ve Nyquist hızıyla karşılaştırın.
Şekil 9.10 Örnek 9.2.2 deki ideal kanalın frekans tepkisi Çözüm Kanalın geçiş bandı f 1200 Hz aralığında sınırlı ve 1/ 2 olduğu için, dır. Böylece, simge hızı 1/ T = 1600 simge/saniye dir. Buna karşın, Nyquist hızı 2400 simge/saniye dir. Xrc ( f) frekans tepkisi (T = 1/ 1600 için) aşağıda verilmiştir.
Böylece, olur. G T (f) ve G R (f) in faz karakteristikleri ( f) ( f) R T olacak biçimde doğrusal seçilirler. 9.4 KANAL BOZULMASININ VAR OLMASI DURUMUNDA SİSTEM TASARIMI Önceki bölümde alıcı süzgeç çıkışında sıfır SAK sonucu veren işaret tasarım kuralını tanımladık. Bir kanal üzerinde SAK sız iletim için alıcı-verici süzgeçler ve kanal transfer fonksiyonu aşağıdaki eşitliği sağlamalıdır. Bu alt bölümde, bozulmalı bir kanalda SAK ı bastıran sayısal iletim sistemi tasarımıyla ilgileniyoruz. Önce kanal bozulmalarının çeşitli türlerini kısaca gösteriyoruz. Sonra, verici ve alıcı süzgeçlerin tasarımını göz önüne alıyoruz. Bozulmanın iki türü vardır. Birincisi genlik bozulması, Şekil 9.15 (a) da görüldüğü gibi için genlik karakteristiği C f sabit olmadığında ortaya çıkar. İkinci tür bozulma faz bozulması olarak isimlendirilir ve Şekil 9.15 (b) de görüldüğü gibi c ( f ) frekans boyutunda doğrusal olmadığında ortaya çıkar. f W
Şekil 9.15 Kanal karakteristikleri (a) genlik bozulması ve (b) faz bozulması Faz bozulmasının bir diğer görünümü c ( f ) in türevinin alınmasıyla elde edilir ve buna Zarf gecikme karakteristiğini deriz aşağıda gibi tanımlarız. Faz tepkisi c ( f ) frekans boyutunda doğrusal olduğunda, zarf gecikmesi tüm frekanslar için sabittir. Bu durumda, iletilen işaretteki tüm frekanslar aynı sabit zaman gecikmesiyle kanaldan geçer. Böyle bir durumda, faz bozulması yoktur. Ancak c ( f ) doğrusal olmadığında, zarf gecikmesi ( f ) frekansla değişir ve giriş işaretindeki farklı frekans bileşenleri farklı gecikmelerle kanaldan geçer. Bu durumda, iletilen işaretin gecikme bozulmasına maruz kaldığını söyleriz.
Genlik ve faz bozulmalarının ikisi de alınan işarete simgeler arası karışıma sebep olur. Örneğin, örnekleme anlarında sıfır SAK değerli yükseltilmiş kosinüs spektruma sahip bir darbe tasarladığımızı varsayalım. Böyle bir darbenin bir örneği Şekil 9.16 (a) da gösterilmiştir. Bu darbe f W için sabit genlikli C f 1 ve dik faz karakteristiği (doğrusal zarf gecikmesi) olan bir kanaldan geçerse, kanal çıkışında alınan darbe Şekil 9.16(b) de gösterilmiştir. Sonuç darbelerin SAK a maruz kalacak biçimde, periyodik sıfır geçişlerinin gecikme bozulması kadar kaydığına dikkat ediniz. Bunun sonucunda, ardı ardına darbe dizilir bir diğerinin içine girer ve darbelerin tepeleri SAK tan dolayı artık fark edilemezler.
Şekil 9.16 Kanal bozulmasının etkileri (a) kanal girişinde (b) kanal çıkışında
Bir sonraki alt bölümde, iki tasarım problemini göz önüne alıyoruz. Birincisi, kanal karakteristikleri bilindiğinde kanal bozulmasının var olmasıyla alıcı ve verici süzgeçlerin tasarımı. İkincisi kanal karakteristikleri yani ve bilinmediğinde kanal bozulması için otomatik ve uyarlamalı doğrulama yapan ve kanal denkleştirici olarak bilinen özel bir süzgecin tasarımını göz önüne alacağız. 9.4.1 Bilinen Bir Kanal için Verici ve Alıcı Süzgeçlerin Tasarımı Bu alt bölümde, kanal frekans karakteristiği C( f) in bilindiğini varsayıyoruz; böylece alıcı süzgecin çıkışında İGO ı maksimum yaparak sıfır SAK veren verici ve alıcı süzgeçlerin tasarımı problemini göz önüne alıyoruz. Şekil 9.17 göz önüne aldığımız sistemi göstermektedir. Şekil 9.17 G T (f) ve G R (f) tasarımı için sistem düzeni İşaret bileşenleri için, aşağıdaki koşul sağlanmalıdır
Burada Xrc ( f) örnekleme anlarında sıfır SAK veren istenen yükseltilmiş kosinüs spektrumudur ve t 0 verici ve alıcı süzgeçlerin fiziksel gerçeklenmesini sağlamak için zaman gecikmesidir. Kanal tepkisinin (C(f) ) vericide bilinmesi durumunda, vericideki süzgeci aşağıdaki frekans tepkisine sahip olacak biçimde seçilir Eklemeli beyaz Gaussian gürültünün var olması durumunda, alıcıdaki süzgeç alınan işaret darbesiyle uyumlu olacak biçimde tasarlanır. Böylece, onun frekans tepkisi dır, burada t r uygun bir gecikmedir. Kanal tepkisinin alıcıda bilinmesi durumunda ise verici süzgeç G T f = X rc f e j2πft 0 Olarak seçilir alıcı süzgeç ise bilinen kanal tepkisini yok edecek biçimde G R f = X rc f C(f) e j2πft 0 seçilir. Böylelikle kanalın bilinen bozucu etkileri yok edilir. Bu yapılan işlemlere kanal denkleştirme (channel equalization) denir.
Örnek 9.4.1 Aşağıda verilen frekans tepkisine sahip bir kanal üzerinde 4800 bit/sn hızında veri iletimi yapan ikili iletişim sistemi için verici ve alıcı süzgeç karakteristiklerinin mutlak genliklerini belirleyiniz. burada W = 4800 Hz dir. Eklemeli gürültü sıfır beklenen değerli ve N 0 /2 spektral yoğunluklu beyaz Gaussian dır. Çözüm W = 1/T = 4800 olduğu için, yükseltilmiş kosinüs spektrumlu ve darbe kullanıyoruz. Böylece 1 olan bir sonra ve olur.