GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI

T.C GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Hazırlayan: Emel ÇETİNKAYA Danışman: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU 007-TOKAT

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI Emel ÇETİNKAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Bu tez./ / tarihinde aşağıda elirtilen jüri tarafından Oyirliği/Oyçokluğu ile kaul edilmiştir. Ünvanı, Adı ve Soyadı İmza Başkan : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Üye Üye : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU : Doç. Dr. Muzaffer CAN ONAY : Bu tez, / / 007 tarih ve. sayılı Enstitü Yönetim Kurulu tarafından elirlenen jüri üyelerince kaul edilmiştir. / /007 Prof. Dr. Metin YILDIRIM

i ÖZET NÜKLEER KABUK MODELİ KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI Emel ÇETİNKAYA Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anailim Dalı Yüksek Lisans Tezi 007, 80 sayfa Danışman : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jüri : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Jüri : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jüri : Doç. Dr. Muzaffer CAN Bu çalışmada çekirdeğin Kauk modeli kullanılarak çekirdeklerin enerji seviyelerinin enerjisi için oluşturulan formüller yeni yöntemle hesaplanmıştır. Bu formüller kullanılarak azı hafif çekirdeklerin ( 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 ) enerji seviyelerinin enerjileri, saf ve karışık durumlar için hesaplanmıştır. Enerji seviyelerinin incelenmesinde kullanılan modelden elde edilen sonuçlar literatürdeki enzer çalışmaların teorik ve deneysel sonuçları ile karşılaştırılmıştır ve uyum içinde olduğu görülmüştür. Hesaplamalardan görülmüştür ki genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin incelenmesinde konfigürasyon karışımı dikkate alınırsa alınan sonuçlar daha hassas olur. Anahtar Kelimeler: Çekirdeklerin enerji seviyeleri, Kauk modeli, Clesh-Gordan katsayıları, Konfigürasyon karışımı

ii ABSTRACT CALCULATION OF THE ENERGY LEVELS OF SOME LİGHT NUCLEİ BY USİNG SHELL MODEL Emel ÇETİNKAYA Gaziosmanpaşa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics Science Masters Thesis 007, 80 pages Supervisor : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jury : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Jury : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jury : Assoc. Prof. Dr. Muzaffer CAN In this study the formulas which are estalished y using the nuclear Shell model for energy levels of nucleus have een investigated from a new method. By using these formulas the energy levels of some light nuclei ( 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 ) have een calculated for pure and mixed states. The results otained from the model which is used to investigate the energy levels have een compared to the theoretical and experimental data from literature and it has seen een seen that the otained results are in good agreement with those data. From calculations it has een seen that if we take account the configuration mixing in investigation of energy levels of light nucleus otained results are more accurate. Keywords: Energy levels, Shell model, Clesh-Gordan coefficients, Configuration mixing

iii TEŞEKKÜR Yüksek lisans çalışmalarım oyunca engin ilgi ve tecrüeleriyle yanımda olan, hoşgörü ve desteğini hiçir zaman esirgemeyen saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU na sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Tez dönemi oyunca üyük ir saır ve iyi niyetle ana yardımcı olan çok değerli arkadaşım Araş. Gör. Erhan ESER e destek ve dostluğundan dolayı çok teşekkür ederim. Ayrıca yardımlarından dolayı arkadaşlarım Araş. Gör. Savaş SÖNMEZOĞLU, Araş. Gör. Songül FİAT ve Hüseyin KOÇ a teşekkür ederim. Hayatım oyunca gösterdikleri maddi-manevi destek ve saırlarından dolayı değerli aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.

iv İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT. ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER iv ŞEKİLLER LİSTESİ.. v TABLOLAR LİSTESİ... vi.giriş..literatür ÖZETLERİ.. 3..Nükleer Enerji Seviyeleri 3..Shell (Kauk) Modeli 4.3.Pertürasyon Teori 9.4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri 3.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları...9.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamarı.. 4 3.HESAPLAMALAR.. 30 3.. 30 4 Si 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı.. 30 3.. 4 Mg Çekirdeği için Enerji Hesaı.. 43 3.3. 0 Ne Çekirdeği için Enerji Hesaı.. 54 3.4. 3 6 S 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı.. 64 4.SONUÇ ve TARTIŞMA 76 KAYNAKLAR.. 77 ÖZGEÇMİŞ... 80

v ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil Sayfa.. C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı 3. Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli.. 6.3. Kauk modeli potansiyeli.. 8.4. Kauk modeli potansiyeli enerji düzeyleri 9 3.. 30 4 Si 6 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı.4 3.. 6 Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı 53 3.3. Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı.. 63 3.4. 3 S çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı. 75

vi TABLOLAR LİSTESİ Talo Sayfa.. 3. 4. 30 Si un 8 Si koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri 35 6 Mg un 4 Mg koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri... 47 Ne nin 0 Ne koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri... 58 Si un 30 Si koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri.. 69 3 6 6 6 4

. GİRİŞ İlk kez 9 yılında Rutherford un atom çekirdeğinin varlığını önermesiyle aşlayan çekirdek çalışmaları giderek artan ir önemle günümüze kadar devam etmektedir. Bu konuda fiziğin pek çok dalında, çekirdeğin yapısını düzenleyen kurallar ve çekirdeğin özelliklerinin elirlenmesi üzerine günümüze kadar pek çok çalışma yapılmıştır. Yapılan u çalışmalarda çekirdeklerin uyarılmış durumları, spini, yarıçapı, yarı ömrü, ozunma modları, tesir kesitleri, v. gii özellikleri elirlenmeye çalışılmıştır. Çekirdeklerin uyarılmış durumları yoğun olarak çalışılan ir konu olup, çekirdeğin u özelliğini tanımlamak ve çekirdeklerin enerji seviyelerini (uyarılmış durumlarını) hesaplamak karışık matematiksel işlemler gerektirir. Nükleer ilimciler unun yerine, çekirdeği tanımlayan ve karışık matematiksel işlemleri ortadan kaldıran nükleer modeller geliştirmişlerdir. Herhangi ir çekirdek modeli tek aşına çekirdeğin ütün özelliklerini açıklamakta yeterli değildir. Sonuçta, her iri; ir takım kaullere dayanan ve sınırlı şekilde kullanılailen modeller ortaya çıkmıştır. Çekirdek yapısını ve çekirdeklerin özelliklerini açıklayailmek için ortaya çıkan çekirdek modellerinin temelinde potansiyeller için elirli varsayımlar ulunduğundan modelin aşarısı potansiyel seçiminin doğruluğuna ağlıdır. Bu çekirdek modelleri, çekirdeklerin özelliklerinin anlaşılmasında, çekirdeklere ait deneysel verilerin yorumlanmasında ve ağlanma enerjisinden sorumlu mekanizmaların anlaşılmasında yararlı olmuştur ( Serway, 995). Bu modellerin azıları şunlardır (Dincel, 00 ); - Sıvı damla Modeli - Shell ( kauk) Modeli 3- Fermi-gaz Modeli 4- Kollektif Model 5- Optik Model

6- Deformasyon Modeli 7- Doğrudan etkileşme Modeli. Bu çalışmada; Kauk modelini dikkate alarak, azı hafif çekirdekler için enerji seviyeleri, saf durum ve karışık durum dikkate alınarak ayrı ayrı hesaplanmıştır ve enerji seviyelerinin hesaplanmasında kullanılan modelin ne kadar doğru ir yaklaşım olduğu elirlenmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar diğer araştırmacıların teorik ve deneysel sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Alınan sonuçlardan genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin ulunmasında karışık durumlarının dikkate alınması gerekliliği ortaya konulmuştur.

3. LİTERATÜR ÖZETİ.. Nükleer Enerji Seviyeleri Çekirdek atom gii, özellikleri ve yeri kuantum mekaniği kuralları ile elirlenen enerji seviyelerine sahiptir. Uyarılmış durumların yerleri her ir çekirdek için farklıdır, ve uyarılma enerji, E x, her ir çekirdeğin iç yapısına ağlıdır. Her ir uyarılmış durum, durumların açısal momentum, parite ve izospin ini tanımlayan kuantum sayıları ile karakterize edilir. Örnek olarak, Şekil de C çekirdeğinin uyarılmış enerji seviyeleri görülmektedir. π J, T E ( MeV) n (8.7) p (6.0), 5.,0.7 3,0 9.64 0,0 7.65,0 4.44 X 0,0 0.0 Şekil.. C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı. Diyagramın üstünde ir proton (p) ve nötron (n) için ayrılma enerjileri verilmektedir. Açısal momentum kuantum sayısı, J, kesirli veya tamsayıdır. Bir nükleer enerji seviyesinin paritesi, P, durumun nükleer yapısının nasıl göründüğünü açıklayan ir ifadedir. Eğer tüm

4 nükleonların koordinatları korunmuşsa, P= mevcut durumun orijinali gii olduğu, yani değişmediği, P= - mevcut durumun orijinal durumdan farklı olduğu anlamına gelir. İzospin kuantum sayısı, T, kesirli veya tam ir sayıdır. Şekil.de her ir uyarılmış durum için u kuantum sayıları P J, T şeklinde gösterilmektedir. Bu kuantum sayıları ir çekirdekteki nükleonların ağlanma enerjisini etkileyen kuvvet kanunlarının temel simetrilerinin sonuçlarıdır. Bu kuantum sayıları ir uyarılmış durumun aynı çekirdekte ir diğer duruma nasıl ozunacağını (gamma ozunumu) veya farklı ir çekirdekte özel ir duruma nasıl gireceğini elirler ( eta veya alfa ozunumu). Enerji seviyelerini ve onların özelliklerini hesaplamak için ir çok nükleonlar arasındaki etkileşmeleri çözümlemek karışık matematiksel işlemlerdir. Bu yüzden nükleer ilimciler matematiksel işlemleri asitleştirmek ve çekirdeği tanımlamak için nükleer modeller geliştirmişlerdir... Shell (Kauk) Modeli Kauk modeli, protonların ve nötronların sihirli sayıları ile irlikte çekirdeğin kararlılığını ve tek-a lı çekirdeklerin taan durum spin, parite ve dipol momentini üyük ir aşarı ile açıklamaktadır (Krane, 00; Gedikoğlu, 988). Kauk modelinde, çekirdeğin özelliklerinin elirlenmesinde çiftleşmiş nükleonların oluşturduğu kor un etkisi ihmal edilir. Bu modelde, tek A lı ir çekirdeğin taan durum özellikleri, A- tane nükleonun toplam spini sıfır olacak şekilde çiftleştikten sonra, kalan çiftlenmemiş tek nükleonun kuantum sayıları tarafından elirlenir ve aşağıdaki iki temel varsayım üzerine kurulmuştur: - Çekirdekte ulunan nükleonlar, ir V(r) potansiyelinde ağımsız olarak hareket ederler. Bu potansiyel, ir nükleona diğer tüm nükleonlardan gelen ortalama etkiyi gösterir ve sadece radyal uzaklığa ağlı olup, tüm çekirdekler için aynıdır.

5 - Enerji seviyelerinin tümü, Pauli dışarlama prensiine göre nükleonlar tarafından doldurulur. A tane nükleon içeren çok nükleonlu ir sistemin Hamiltonyeni; A A A p i H = V( ri) U(r ij) V( ri) i= mi i,j= i= H 0 A p i V( ri ) i= mi A A H' = V( rij ) U(r ij) V( ri ) i,j= i= (.) (.) Burada, p i / m i ve V(r i ) sırasıyla, kinetik enerji ve i. numaralı nükleonun hareket ettiği ortalama merkezsel potansiyeldir. Böyle ir sistemde nükleonlar Pauli dışarlama ilkesine uyarlar. Buna göre dalga fonksiyonu nükleonların yer değiştirmelerine göre antisimetriktir. ψ ( r, r ) = ψ ( r, r ) (.3) Buna göre A nükleonlu ir sistemin genel dalga fonksiyonu aşağıdaki gii ir slater determinantıyla ifade edileilir. ψ (,,3,..., A) ψ () ψ () ψ ()... ψ () a c p ψa() ψ() ψc()... ψ p() = A! ψ ( A) ψ ( A) ψ ( A)... ψ ( A) a c p (.4)

6 Burada ψ () i ler i numaralı nükleonun j halini göstermektedir. Çekirdeğin Kauk modeli, j verilen ir nükleonun diğer tüm nükleonlar tarafından içimlenmiş etkili çekici ir potansiyelde hareket ettiğini varsayar. Çekirdekteki potansiyeli aşağıdaki gii sonsuz kare kuyu potansiyeli olarak düşünürsek, ir nötron veya ir protonu ayırmak için onu kuyudan dışarı çıkarmaya yetecek enerjiyi, sonsuz üyüklükte sağlamamız gerekir. V0, r < r0 V() r = 0, r r0 (.5) Sonsuz kuyu potansiyeli, Denklem (.5) ve Şekil a de görüldüğü gii potansiyel ortalama R yarıçapından sonra r ye doğru düzenli olarak azalması gerekirken aniden azaldığından dolayı nükleer potansiyel seçimi için iyi ir yaklaşım değildir. Potansiyel enerjinin irden sıfır olması çok kararlı ir çekirdek olması demektir. Şekil.. a) Kare kuyu potansiyeli, ) Harmonik osilatör potansiyeli

7 Diğer taraftan Denklem (.6) daki gii harmonik salınıcı potansiyeli (Şekil ) keskin ir şekle sahip değildir ve yine sonsuz ayrılma enerjisi gerektirir (Krane, 00). Başka ir şekilde izah etmek gerekirse; Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli ile tüm sihirli sayılar elde edilemediğinden dolayı, Kauk modeli potansiyeli için doğru ir potansiyel değildir. Doğru potansiyel tüm sihirli sayıları vermelidir. Bu prolemi ortadan kaldırmak için, Denklem(.7) deki gii, u iki potansiyel arasında ir şekle sahip olan Şekil 3 deki gii ir potansiyel seçeriz (Krane, 00). V(r) V m w r = 0 (.6) V r V = (.7) exp[( r R) / a] ( ) 0 Şekil.3. Kauk modeli potansiyeli R ve a parametreleri sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını verir. /3 R.5 A fm ve a=0.54 fm olarak seçilir. V 0 kuyu derinliği uygun ayrılma enerjilerini verecek şekilde ayarlanır ve 50 MeV merteesindedir. Bu durumda elde edilen enerji düzeyleri aşağıda Şekil 4 de gösterilmiştir.

8 Şekil 4 de, solda, ara durum, Şekil 3 de verilen potansiyel ile hesaplanan enerji düzeyleri gösterilmiştir. Her düzeyin sağında o düzeyin kapasitesi, üstünde de o düzeye kadarki toplam nükleon sayısı gösterilmektedir. Kaukların sırasıyla ( ) kadar nükleon doldurmasıyla, 8 ve 0 sihirli sayılarını elde edeiliriz, ancak hesaplamalar daha üyük sihirli sayıları vermemektedir. Şekil 4 ün sağında spin-yörünge etkileşmesinin etkisi gösterilmiştir. Spin-yörünge etkileşmesi l>0 lı düzeylerin iki yeni düzeye ayrılmasına neden olur. Burada Kauk etkisi çok açıktır ve sihirli sayılar tam olarak elde edilmektedir.

9 Şekil.4. Solda Kauk modeli potansiyeli enerji düzeyleri; sağda spin-yörünge etkileşmeli Kauk modeli potansiyeli enerji düzeyleri.3. Pertürasyon Teori Fenciler geliştirilen kuramların deneysel gözlemlerle uyumlu olmasını isterler. Bu nedenle hesaplamalarda deneyler kadar sağlıklı olmalıdır. Fakat tam çözüm mümkün değilse yaklaşık hesaplamadan aşka yol yoktur. Buna göre yaklaşık hesaplama, uygulanan deneysel yöntemden kötü değilse, tam çözüme gerek yoktur. Bu yöntemlerden iride

0 pertürasyon yöntemidir. Bu yöntem, Schrödinger denklemini tam olarak çözeildiğimiz ir prolemde Hamiltonyene küçük ir katkı geldiği zaman uygulanır. (Karaoğlu, 006) Bu yüzden, nükleer taan durum ve uyarılmış durumların çeşitli özelliklerini hesaplayailmek için u durumlara uygun dalga fonksiyonlarının ilinmesi ve dalga fonksiyonların çok cisimli Shrodinger denkleminin çözülmesi gerekir. Bir sistemin Shrodinger denklemi: ( (),..., ( )) φ( (),..., ( )) Hφ r ra = E r ra (.8) olup, Hamiltonyeni H : A H = Tk ( ) Wkl (, ) A (.9) k= = k< l gii verilir. Bu Hamiltonyen çekirdekteki tüm nükleon çiftlerinin kinetik enerji terimleri T(k) ve nükleon-nükleon etkileşim terimleri W(k,l) nin toplamından oluşur. Bu çok-cisim proleminin kesin ir çözümü ulunmamaktadır. Yaklaşık ir çözüm olarak, tek-parçacık potansiyeli U(k) nın uygulanmasıyla, Shrodinger denklemi aşağıdaki gii yeniden yazılailir; A A A H = T k U k W k l U k = H H k= = k< l k= () { ( ) ( )} (, ) ( ) (.0) Bu denklem herhangi ir U(k) potansiyel seçimi için elette uygundur, fakat residual etkileşimlerin etkisini mümkün olaildiğince azaltmak açısından pertürasyon teoriyi uygulamak avantajlı olacaktır.

A H = W( k, l) U( k) A (.) = k< l k= U için yaklaşım olarak genelde Harmonik osilatör potansiyeli veya Saxon-Woods potansiyeli kullanılır. (Brown, 984; 00; Negele, 970). φ ( r) olmak üzere Schrödinger denklemi a, tek parçacık durumları Tφ () r Uφ () r = eφ () r (.) a a a a olur. Burada e a özdeğeri, tek parçacık enerjisini ve a ise nljm> tek parçacık durumlarını gösterir. φ φ ( r() )... φ ( r( A) ) sağlar, tek parçacık fonksiyonları Shrodinger denklemini a a a A H φ = E φ (.3) a a a Pertüre olmayan Hamiltonyen; A H Tk Uk ( ( ) ( )) (.4) k = ve pertüre olmayan enerji; E a A = e (.5) k = ak gii ifade edilir. Burada a ütün tek parçacık durumlarını temsil eder. Ürün fonksiyon ( (),..., ( )) φ a r r A, çok parçacıklı dalga fonksiyonu olmasına rağmen Pauli dışarlama prensiinden dolayı tam ir antisimetriklik gerektirir. E ( 0) enerjili ve A-parçacıklı antisimetrik dalga foksiyonları, φ ( (),..., ( )) a r r A a fonksiyonlarının yaklaşık lineer kominasyonlarının alınmasıyla oluşturulailir. Bir nükleer durumu elirlemek için,

toplam açısal momentumu ve izospini iyi tanımlanmış ir dalga fonksiyonu oluşturmak gerekir. Bu seeple, tüm antisimetri ve iyi tanımlanmış toplam açısal momentum ve izospin şartlarının sağlanması için, φ ( (),..., ( )) a r r A lineer kominasyonları gerekir. Şu andan itiaren; ( r(),..., r( A) ) ürün fonksiyonlarının daha komplike φ Γ ile gösterilen gerçek dalga fonksiyonlarını kurmayı aşardığımızı farzediyoruz, urada kuantum numaralarının açıkça elirtilmesi gerektiğinden verilen durumlar ir Γ semolüyle gösterilecek. Γ semolu toplam spin J ve izospin T yi içerir. Denklem (.) ile verilen H () residual etkileşmeler pertürasyon olarak hesaa katılırsa, Shrodinger denkleminin çözümleri olan Ψ Γ gerçek dalga fonksiyonları ile E Γ enerjileri yaklaşık olarak hesaplanailir veya tahmin edileilir. Pertürasyon teorisinde yapılacak ilk şey Ψ Γ nın gerçek özfonksiyon dağılımını ve E Γ gerçek özenerjilerini elirlemektir: φ = φ φ (.6) () Γ Γ Γ E = E E (.7) () Γ Γ Γ Burada () φ Γ ve E () Γ ; sırasıyla pertüre olmayan durumdaki dalga fonksiyonu ve enerjideki küçük değişimleri elirtir. Denklem (.0), (.6) ve (.7) u Denklem (.8) de yerine yazarsak; ( H )( ) ( )( H () φ () E E () () Γ φγ Γ Γ φγ φγ ) =. (.8) Denklem (.8), sıfırıncı ve irinci derece terimlerine ayrılırsa; H φ = E φ (.9) Γ Γ Γ H () φ Γ () H φ Γ = E Γ () φ Γ () E Γ φ Γ (.0)

3 Denklem (.0) ü soldan φ Γ ile çarparsak; () E Γ φ Γ φ Γ = φ Γ () H φ Γ φ Γ H - E Γ () φ Γ (.) Denklem (.9) ye göre, H hermit operatör olduğundan, Denklem (.) ün sağdan.terimi sıfır olur. Böylece φ Γ normalize fonksiyonları için; () E Γ = φ Γ () H φ Γ (.) elde edilir. Bu ize; residual etkileşmelerden kaynaklanan H () enerji değişiminin, pertüre olmayan durumdaki residual etkileşmenin eklenen değeri olarak hesaplanaileceğini gösterir. Denklem (.5), (.7) ve (.) e göre φ Γ durumunun enerjisi aşağıdaki gii verilir. E = E E = () Γ Γ Γ φ Γ H H () φ Γ A () = ea φ H φ k Γ Γ (.3) k = Burada irinci terim: tek-parçacık enerjilerinden gelen katkıyı, ikinci terim: residual etkileşmelerden gelen katkıyı verir..4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri Çekirdeğin ağlanma enerjisi E, çekirdeği serest proton ve nötronlara ayırmak için gerekli olan toplam enerjinin negatif değeri olarak tanımlanır. Genelde ağlanma enerjisi pozitif işaret olsa da urada negatif işaret kullanılmıştır ve çekirdeğin Hamiltonyeninin eklenen değeri ile daha doğrudan ir ilişkisi vardır. Bağlanma enerjisinin kesin değeri, çekirdeğin taan durumunda en üyüktür. n. uyarılmış durumun uyarılma enerjisi Ex ( n ), E ( n ) ağlanma enerjisinden ve taan durum ağlanma enerjisinden aşağıdaki gii ulunur. (Brussaard ve Glaudemans, 977). E ( n) = E ( n)- E (.4) x

4 Eylemsiz (hareketsiz) ir koru ve p oritalinde iki nükleonu ulunan ir çekirdek düşünelim. Bu çekirdeğin toplam ağlanma enerjisine katkıda ulunan pek çok terim vardır. Bu durumda çekirdeğin toplam ağlanma enerjisi aşağıdaki şekilde yazılailir. E kor p = e E p E kor (.5) () Γ( ) p Γ ( ) ( ) Denklem (.5) de ki her terim asit ir fiziksel yoruma sahiptir. e p terimi; p yörüngesinde ağımsız olarak hareket ettiği düşünülen iki parçacığı potansiyel kuyudan çıkarmak için gerekli olan enerjinin negatif değerini elirtir. Genellikle u potansiyel kuyunun kor dışındaki parçacıkların sayısına ağlı olmadığı varsayılır. Kor dışındaki iki () parçacığın karşılıklı etkileşmesinden ağlanma enerjisine gelen katkı E Γ ( p ) ile verilmiştir. Bu terim yalnızca p yörüngesine değil aynı zamanda, J Γ spinine ve T Γ izospinine de ağlıdır. Sonuncu terim, E ( kor) ise, kor içindeki parçacıkların ağlanma enerjisini temsil eder. Kapalı kauk korunun eylemsiz (hareketsiz) olduğu kaul edilirse ( u demektir ki; kapalı kauk konfigurasyonunu devam ettirecek ve uyarılmayacak) E ( kor) terimi sait olur. Kor iki nükleon sisteminin taan durumu toplam enerjinin minimumu ile karakterize edilir. İki parçacığın değişik Γ değerlerinde çiftlendiği ve iki nükleondan irinin veya her ikisinin irden farklı ir tek parçacık yörüngesinde uyarıldığı durumların hepsi uyarılmış durumu elirtir. Bu durumda toplam Hamiltonyen aşağıdaki gii alınır: H = H H (.6) kor A A A Hkor = T( k) U( k) ] W( k, ) U( k) (.7) k= 3 3= k< e k= 3

5 H A A [ T ( k) U ( k) ] W ( k, ) W (,) U ( ) = (.8) k= k= l= 3 k= k Burada H kor, kor parçacıkları arasındaki etkileşmeyi temsil ediyor (k=3,,a). Kor un hareketsiz olduğu kaul edilirse toplam enerjiye H kor un katkısı sait olur. H terimi ise, iki ekstra parçacıktan gelen katkıyı elirtir ve aşağıdaki gii yazılır. H = (.9) () H H Burada H, tek parçacığın Hamiltonyenini elirtir ve şöyle yazılır: [ ] [ ] H = T() U() T() U() = H () H () (.30) SP. SP. ve artık etkileşmeler ise; A A () H = W (, l) U () W (, l) U () W (,) l= 3 l= 3 (.3) ile verilir. Burada tek parçacık potansiyeli U nun seçimi keyfi olup, A Uk ( ) = Wkl (, ), k=, (.3) l= 3 gii alınailir. Böylece, artık etkileşmeler H () deki tek parçacık terimleri tamamen kalkar ve geriye yalnız iki parçacık terimi W(,) kalır. Diğer ir deyişle, artık etkileşimler () H = (,) ifadesi ile verilir ve görüldüğü gii herhangi ir tek parçacık terimi içermez. W (Kuo and Brown,966; Kuo, 974; Barrett and Kirson, 973; Jiang and et al., 99). l < j Buradan sonra; residual iki cisim etkileşimleri V ( i, j) ile ifade edillecektir. Buna göre, kor dışındaki iki parçacık için artık etkileşmeler;

6 () H = (,) (.33) V olur, Denklem (.6), (.9), (.30) ve (.33) dan toplam Hamiltonyen aşağıdaki gii olur. H = H H () H () V(, ) (.34) kor S. P S. P Kor dışındaki iki parçacığı p yörüngesinde ulunan çekirdeğin ağlanma enerjisi, φ Γ (,..., A) durumundaki toplam Hamiltonyenin eklenen değeriyle verilir. Γ( ) φγ (..., ) φ Γ (,..., ) E A = A H A (.35) φ Γ (,... A) dalga fonksiyonu, iki ekstra nükleonu tanımlayan φ Γ (, ) dalga fonksiyonunun antisimetrik çarpımı şeklinde yazılailir. { 00 Γ } φ (,..., A) = A φ ( kor) φ (,) (.36) Γ φ 00( kor) ve φ Γ (, ) fonksiyonları antisimetrik alınır. Antisimetrikleştirici A, tüm parçacık koordinatlarını permute ederek ve yaklaşık lineer kominasyonlarını olarak, antisimetrikleştirme işini gerçekleştirir. Denklem (.35) deki matris elemanının hesaplanmasında doğru sonuçlar, φ φ Γ şeklindeki daha asit çarpım 00( kor) (,) fonksiyonları ile irlikte elde edilir. Denklem (.34) de de olduğu gii toplam Hamiltonyen, φ φ Γ dalga fonksiyonlarının ortanormalitesinden elde 00( kor) ve (,) edilen terimlere ayrıştırılailir. φ φ φ 00 ( kor ) (,) H Γ Γ (,) = φ ( kor) H φ ( kor) φ (,) H () H () φ (,) 00 core 00 Γ S. P. S. P. Γ

7 ( 0 ) ( 0 ) φ (, ) V (, ) φ (, ) (.37) Γ Γ Denklem (.37) a dikkatli akılırsa ve tek parçacık enerjileri e = φ (,) H () H () φ (,) = p H p, (.38) p Γ S. P. S. P Γ Γ residual (artık) etkileşmeler, E () Γ ( p ) = φ Γ (,) V (,) φγ (,) = p V (,) p, (.39) Γ gii ve korun ağlanma enerjisi de E ( kor) = φ ( kor) H φ ( kor) (.40) 00 ( kor) 00 gii verilirse Denklem (.37) un Denklem (.5) e denk olduğu görülür. Burada iki parçacık dalga fonksiyonu φ (, ) yi gösterimde kolaylık olması açısından p ile gösterdik. Γ Buraya kadar Coulom enerjisi göz ardı edilmiştir. Coulom enerjisinin toplam ağlanma enerjisine katkısı kolayca dahil edileilir ancak, Coulom kuvvetinin uzun menzilli olmasından dolayı nükleer yapının detaylarına pek önemli ir şekilde ağlı değildir. Coulom enerjisi E C nin hesaplanması için pek çok yaklaşık ifadeler mevcuttur. ( Beiner et al., 975). Denklem (.5) de E ( kor ) terimi, yani kor don gelen katkı için ağlanma enerjisinin deneysel değeri alınailir (Firestone and Shirley, 998; ENSDF, 00). Tek parçacık enerjisi e p, doğrudan kor çekirdeğinin ağlanma enerjisi ile kor nötron çekirdeğinin deneysel ağlanma enerjilerinin kıyaslanmasından elde edileilir.

8 durumunda: Örneğin, taan durumu 6 O koru ile d 5 nötronunun çiftlendiği 7 O, n 5 J = 7 6 d = E ( O) E ( O) = (3,77 7,6) MeV = 4, 5 5 / MeV Kor un dışında iki parçacıktan fazla parçacık varsa, örneğin; n parçacık p kauğunda ve m parçacık λ kauğunda iken ağlanma enerjisi aşağıdaki gii olur. E kor p λ = E E kor me ne E p λ (.4) n m () n m ( ) c ( ) λ p Γ ( ) Baştaki dört terim yukarıda açıklanmıştı. Son terim kor dışındaki iki parçacıktan fazla olan parçacıkların etkileşmeleridir ve iki cisim matris elemanıyla hesaplanailir: E () Γ n m n m n m () ( p λ V ( k, ) p λ = C ' E ' ( pλ) Γ (.4) Γ Γ l= k< l Γ' Denklem (.39) deki matris elemanından; () Γ ' ( pλ V (, ) pλ Γ ' E (.43) elde edilir.

9.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları Şuana kadar ki tartışmalarımıza perture olmamış durumları, φ Γ, dahil etmedik. Bu durumların hepsi tam ir Kauk model karışımını temsil eder. Örneğin: iki aktif yörüngeyi hesaa katarak, p ve λ, p n m ve λ her irinin parçacık dağılımı olmak üzere, saf durumları n m φ Γ ( p α λ β ) ile, ara kuantum numaraları α ve β ile, Jα J β = J Γ ve α Tβ = TΓ ile verilir. T Denklem (.3) dan ( 0) ( ) E = E E verilir. hamiltonyeninden kaynaklanır. φ Γ saf durumunun enerjisi iki durumun toplamı şeklinde ( 0) E katkısı, ağımsız parçacık hareketini tanımlayan H kaynaklanır. k=,.g olmak üzere g tane durum ( ) E katkısı, H () residual (artık) etkileşmesinden ( φ Γ ) k düşünelim: u durumların enerjileri ( 0) ( ) E = E E irirlerinden çok farklı olmadığını düşünelim. Bu durumda k k k residual (artık) etkileşmelerden dolayı, nükleonların ir durumdan diğerine sıçrayaileceğini göz ardı edemeyiz. Dolayısıyla asıl durum tüm ( φ ) durumların Γ k karışımı şeklinde verilmelidir. Amaç, çok parçacık sistemini açıklayan uygun ir lineer kominasyonu ulmaktır. ( φ Γ ) k Kominasyonları aşağıdaki gii yazalım: g p akpφ k k = Ψ =, p=,.., g (.44) Burada kaldırılmıştır. J Γ ve T Γ değerlerini elirten Γ etiketi yazımda kısalık olması açısından Ψp için normalizasyon şartı aşağıdaki ağıntıyla verilir.

0 g k= a =, p=,.,g (.45) kp a kp genliğinin karesi, çekirdeğin yorumlanailir. Şimdi özdeğer denkleminin çözülmesi gerekir. φk ile elirtilen durumda ulunma ihtimali olarak H Ψ = Ψ (.46) p E p p Denklem (.0) ve Denklem (.44) i Denklem (.46) de yerine yazılırsa; ( H () H ) g akpφk = E p akpφk k= k= (.47) Denklem (.47) ü sol taraftan φ ile çarparsak; g k= φ E a (.48) () H H φk akp = p p elde edilir. Burada φ k fonksiyonlarının orta normalliği kullanılmıştır. H ın öz durumları aşağıdaki gii olduğundan φ k fonksiyonları H φ = φ, (.49) k E k k H için matris elemanları için,

H () k = φ H φk = φ H H φk = φ H φk φ H () φ k = E δ H (.50) k k () k elde edilir. Burada E k terimi tek parçacık enerjisinden gelen katkıyı ve () H k de residual (artık) etkileşmeden gelen katkıyı gösterir. Denklem (.50) yi kullanarak Denklem (.48) i aşağıdaki gii yeniden yazailiriz. g K = H a = E k kp p a ep (.5) Her p değeri için, a kp genliklerini sütun vektörleri olarak yazarsak, Denklem (.5) i matris formunda vereiliriz; H H...... a H H...... a......... H g...... H gg a p p gp = E P a a... a p p gp. (.5) H ın hermitik olduğundan dolayı, H = H (.53) k k

elde edilir. Bu, H lk matrisinin simetrik olduğu anlamına gelir. H E H H... P................... g H H E H H E g................................. gg p p = 0 (.54) Bu g. dereceden E p denklemine ve E p nin g tane köküne götürür. Değişik kökleri Denklem (.5) da yerine yazarak, her a kp özvektörü için ir denklem elde edilir. Değişik özdeğerlere ait özvektörlerin hepsi mutlaka ortagonal ve normalize olmalıdır; g akpakp ' = δ pp', ( EP EP' için ) (.55) k = ' E = E için ( p p ) uygun özvektörler a kp ve a ak, ir takım ortagonalleştirme P P işlemlerinin yardımıyla ortagonal yapılailirler. Denklem (.5) a p' ile çarpılıp, üzerinden toplamı alındıktan sonra, Denklem (.55) de yerine yazıldığında, g, k= a p' H ek a kp = E δ p pp' (.56)

3 elde edilir. Denklem (.56) a dikkat edilirse Denklem (.46) ile özdeş olduğu görülür. Denklem (.56) ün matris şekli aşağıdaki giidir. a a... a g a................... a H g H... H.... g H.......... H g.... H gg a a... a g a...... a. g E 0...0 0 E.. =.... a gg 0..... E g (.57) Böylece a kp matrisleri H k matrisini köşegenleştirir. Denklem (.55), a kp katsayılarının ir ortagonal matrisi (A) oluşturduğu anlamına geliyor. Bu matrisin - T ortagonalliği A =A ağıntısıyla verileilir, urada A - ters matris, A T ise transpoze matristir. Buna göre Denklem (.57) daha kısa olarak, A - H A = E (.58) gii yazılailir. Dalga fonksiyonlarının ve enerjilerin saptanması işlemi aşağıdaki gii özetleneilir. Enerji matrisi, Denklem (.50) de verilen H k matris elemanlarından oluşturulur. Pertüre olmayan Hamiltonyen H, sadece diagonal matris elemanlarına katkıda ulunur. matrisinin diogonalleştirilmesi, Hamiltonyenin gerekli özdeğer ( enerji) ve özvektörlerine (karışık konfigurasyon dalga fonksiyonları) götürür. Kauk modelinde pertürasyon yaklaşımını kullanarak H () in hesaplanmasında, iki parçacık etkileşimlerinin toplamı şeklinde ir varsayım yapılailir: H k

4 H () = V ( i, j) (.59) i< j.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamaları Çekirdek içinde, φ ve ortanormal dalga fonksiyonları ile tanımlanan ve aynı φ J spinine ve aynı T izospinine sahip iki durum olduğunu var sayalım. Konfigürasyon karışımı dikkate alınmadan u iki durumun enerjileri φ H φ H = ve φ H φ H = ile verilir. İki dalga fonksiyonunu içeren Ψ p aşağıdaki gii verilir. Ψ = a φ a φ, a a =, p=, (.60) P p p p p p p Denklem (.5) konfigürasyon karışımları ile enerjilerin aşağıdaki gii özdeğer denkleminden elde edildiğini gösteriyor. H H H H a a p p = E p a a p p (.6) Matris elemanları H = H daha önceden Denklem (.50) de tanımlanmıştı. Özdeğerler k k E = E E ; () p p p

5 H E H p H H E p = 0 (.6) veya ( H E )( H E ) H = 0 (.63) p p şeklinde verileilir ve çözümlerde aşağıdaki gii olur: { H H ± ( H H ) (H) E p = } (.64) φ ve ile tanımlanan durumlar arası enerji ayrılığı, u iki durum arasındaki φ konfigurasyon karışımı hesaa katıldığında değişir. Konfigürasyon karışımı olmadığındaki enerji ayrılması: = H (.65) H ile ve konfigurasyon karışımı dikkate alındığında ise enerji ayrılması: ' = (H) (.66) ile verilir. Buna göre konfigürasyon karışımı dikkate alındığında, karışık durumların toplam ağlanma enerjisi aşağıdaki gii yazılailir:

6 ( ρ ) = ( ) ± ( ) E Γ kor E kor E P,. (.67) u çekirdeğin toplam ağlanma enerjisine katkıda ulunan terimler Denklem (.6) de açıklanmıştı. Denklem (.6) deki E ( ) ( ρ ) Γ terimini ve Denklem (.67) deki (, ) terimini hesaplamak için, her J and T değeri için H, H ve H değerlerinin hesaplanması gerekir. H ve H hesaplamak için, E P ( a )( ) ( J )( δ ) MSDI j j l l J T (, ) 0 ( a j j V j j A x j j J ) a a JT = T a a T ja j J ( ) } T( T ) 3 B C { (.68) denklemi, Denklem (.64) deki H i hesaplamak için, n n n n A ja j jc j j j VSDI (,) j j a c c d T d a d JT = J δ a δ cd l l j j x d d j j J0 j j J0 a d c l l J T a T j j J j j J a d c (.69) denklemi kullanılır. Denklem (.68) ve (.69) daki A, B ve C değerleri aşağıdaki gii alınır (Brussaard and Glaudemans, 977).

7 A 0 A B (5 A) MeV, C 0. (.70) Denklem (.68) ve (.69) daki jm a a jm JM ifadeleri Clesch-Gordan katsayıları olarak adlandırılır ve 3-j semolleriyle aşağıdaki şekilde ifade edilir: ja j J ja j J jm a a jm JM = ( ). J ma m M (.7) Görüldüğü gii hafif çekirdeklerin enerjisinin hassaslığı Clesch-Gordan katsayılarını hesaplamak için seçilen formüle ağımlıdır. Bu tezde ; I.I. Guseınov ve B.A. Mamedov un Clesch-Gordan katsayılarının hesaplanması için verdiği formülleri kullanarak ( Guseinov, et al., 995 ) 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 çekirdeklerinin enerjilerini hesaplandı ve literatürdeki sonuçlarla karşılaştırıldı, alınan sonuçların deneysel sonuçlara daha yakın olduğu görüldü. (.7) deki Clesch-Gordan katsayılarını hesaplamak için I.I.Guseınov ve B.A. Mamedov çalışmalarında aşağıdaki formülü vermişlerdir.( Guseinov and Mamedov, 005) ( ll mm ll LM) = δ M. m m ( L ) Fl ( ) ( ) l L l l L FL M L ( l )( l ) F ( l l L ) F ( l l L ) F ( l ) F ( l ) l l L l l L l m l m / ( ) n Fn( l l L) Fl ( ) ( ) m n L M Fl m n L M (.7) n

8 Burada F ( n) = n m ( n m) m!/!! inomial katsayılardır ve l l L l l, M L, ve ( ) ( ) [ ] max 0,, min,, l m L M l m L M n l l L l m l m dır.ref.[9] deki aşamaları kullanarak Clesch-Gordan katsayıları aşağıdaki hale gelir ( Guseinov, 985). C ll L mm M ( ) / ( m ) m m m M M ( ll mm ll LM) = (.73) Clesch-Gordan katsayılarının hesaplanmasında inomial katsayılarının kullanılması unların ilgisayar hafızasında saklanmasında kolaylık sağlar. Binomial katsayıların hesaplanmasında,faktoriyel işlemlerinden kaçınmak ve hesaplamaları hızlandırmak amacıyla; ( ) ( ) ( ) F n = F n F n (.74) m m m tekrarlama ağıntısı kullanılmıştır. Bilgisayar yardımıyla hesaplanan inomial katsayıları düzenli olarak hafızada saklanmış ve simetriler uygulanarak hafıza ihtiyacı minimize edilmiştir. l l l 00 0 3 = ( ) ( l ) l l3 / ( lll ) 3 (( ) ) ( ) ( ) Fl l 3 l l3 / F l 3 / 3, l l l l l l3 = çift 0, l l l3 = tek (.75)

9 Burada; ( lll ) = 3 F l l l l l F l F l ( ) ( ) ( ) l 3 3 l3 3 l l3 l 3. (.76) Denklem (.7) de ja = j ve J = 0 olması durumunda, j j 00 = j (.77) denklemi kullanılır.

30 3. HESAPLAMALAR 3.. 30 4 Si 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı 8 4 Si4 kor ( ρ ) ( ) ρ Γ( ρ ) EΓ kor E kor e E = (3.) 8 8 ( ) = ( ) = p n ( ) E kor E Si Zm Nm m Si 93,5 (3.) = [ 4.,00785 4.,0086650 7,97697] 93,5 = 36,54MeV s / 9 8 ( ) ( ) eρ = e = E Si E Si = 4,05 36,54 = 8,48MeV (3.3)

3 e e =, 7MeV e s/ d3/ d3/ = 7,MeV.Durum ( ) s/ T = İzinli Durumlar ( 0,) 8 8 ( ρ ) = ( / ) = ( ) s ( ) / / 8 = E ( Si) es ( s/) V (,) ( s/) EΓ kor EΓ Si s E Si e EΓ s / 0 (3.4) eşitliğinde:. s/ V, s/ = A 00 B C 0.0 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.5) ve 00 = = =. j. (3.6) eşitlikleri yerlerine yazılırsa: 4 s/ V s/ = A B C = A B C 0 ( ) (,) ( )

3 ( 8 ) ( 8 ) s/ EΓ Si s/ = E Si e A B C (3.7).Durum ( ) d 5/ İzinli Durumlar ( 0,);(,) ( 0,) durumunda: 8 8 ( ρ ) = ( 3/) = ( ) d ( 3/) E kor E Si d E Si e E d Γ Γ 3/ Γ ( 3/) ( 3/) (,) ( 3/) E d d V d Γ = 0 3. 3 3 = A 00 B C.0 ( ) (3.8) Denklem (3.3) de yerine yazılırsa: 3 3 00 = = 3. 4 6 d3/ V, d3/ = A. B C = A B C 0 4 ( ) ( ) ( )

33 8 8 ( ) ( ) 3/ EΓ Si d = E Si e A B C 3/ d (3.9) elde edilir. (,) durumunda: ( 3/) ( 3/) (,) ( 3/) E d d V d Γ = ( ) ( ) ( ) 3. 3 3 = A 0 B C. ( ) 6 d3/ V, d3/ = A.5.0,05 B C = 0, 4A B C.5 = 0, 4A B C (3.0) 3.Durum ( )( ) s/ d3/ İzinli Durumlar (,);(,) 8 8 ( / 3/ ) = ( ) d s Γ ( / 3/ ) EΓ Si s d E Si e e E s d 3/ / (,) durumunda: ( ) ( ) (,) ( ) E s d s d V s d Γ / 3/ = / 3/ / 3/

34 3.. 3 0 = A 0 ( ) B C. 0 ( )( ) = B C (3.) (,) durumunda: ( ) ( ) (,) ( ) E s d s d V s d Γ / 3/ = / 3/ / 3/ 3.. 3 0 = A 0 ( ) B C. 0 ( )( ) (3.) Denklem (3.) de 3 3 ( ) 3 0 0 =. = 5.0,363 0 (3.3) yerine yazıldığında, ( s d ) V (,) ( s d ) / 3/ / 3/.4 = A.5.0,. B C = 0,8 A B C (3.4).5 elde edilir. Elde edilen sonuçları çizelgede özetleyelim:

35 Konfigürasyon J π T 8 Si Koruna göre Bağ.Enerjileri Uyarılma Enerjileri ( ) / s 0 A B C e s / 0 s/d 3/ B C es e / d3/ s/d 3/ 0,8A B C es e / d3/ ( ) 3/ d 0 A B C e d 3/ ( ) 3/ d 0, 4A B C e d 3/ A e e s/ d3/ 0, A e s e d / 3/ A e e s/ d3/ 0,6 A e e s/ d3/ Talo. 30 Si un 8 Si koruna göre düzenlenmiş enerjileri Talo de A, B ve C 5 5 A = B= MeV = = 0,833MeV ve C = 0 A 30 dır. Toplam Bağlanma enerjisi: 8 ( ) s/ E Si e A B C = 36,54.8, 48 0,833 0,833 = 53,5MeV s d / 3/ için, A e e = 0,833 7, 8,48 =,MeV s/ d3/

36 s d / 3/ için, 0, A e e = 0,.0,833 7, 8,48 =,43MeV s/ d3/ ( ) d 3/ için, A e e = 0,833.7,.8,48 =,7 MeV s/ d3/ ( ) d 3/ için, 0,6 A e e = 0,6.0,833.7,.8,48 = 3,04MeV s/ d3/ elde edilir. Bu hesaplamalar konfigürasyon karışımı içermemektedir. Konfigürasyon karışımını göz önüne alalım. ( 0,) seviyesini inceleyelim: ( s ) ve ( ) / 0 d durumları karışırsa u durumların enerjileri, 3/ 0 { ( ) ( ) } Ep = H H ± H H H (3.5) ifadesi ile ulunailir. Burada her ir terimi hesaplayalım.

37 ( ) ( ) ( ) H = s V, s e / / s/ 0. = A 00 B C e.0 ( ) s/ 4 = A B C e s/ = A B C e s / ( ) =. 8,48 = 6,96 MeV. (3.6) ( ) (,) ( ) d 3/ H = d V d e 3/ 3/ 0 3. =.0 3 3 A 00 B C e d 3/ ( ) 6 = A B C e d 4 3/ = A B C e d 3/ = 5,5MeV (3.7) ( ) ( ) ( ) H = s V, d ' yi / 3/ j j V (, ) j j = ( ) a c d JT 0 ( ) ( j )( j )( j )( j ) ( )( ) AT J δ δ na n nc nd a c d a cd

38 j jd l ld la l J T ( ) j ja J0 jd jc J0 ( ) T j ja J jd jc J ( ) eşitliğini kullanılarak hesaplayailiriz. urada: H ( ) = 3 3.... A.0 ( ) ( )( ) 3 0 3 3 0 0 0 ( ) 00 00 ( ) 33 0 0 ( ) 00 = 0,707 3 3 00 = 0,5 değerleri yerine yazıldığında: A.4 H =.0,707.0,5. =,4 A =,7 MeV (3.8)

39 elde edilir. (3.6), (3.7) ve (3.8) den alınan değerler Eşitlik (3.5) de yerine yazıldığında: { } E = ± ( 0 ) 6,96 5,5 (,7) (.,7 ) = ± { 3,,9} ( ) = MeV E ( ) E 0 7,5 ( 0 ) = ( 0 ) ( 0 ) E E E 0 = 4,6MeV =,9 MeV (3.9) olarak ulunur. (,) seviyesini inceleyelim: / 3/ s d ve ( ) d durumları karışırsa; 3/ ( ) (,) ( ) d3/ s/ H = s d V s d e e / 3/ / 3/ (3.0) 3.. 3 = A 0 B C e e. 0 ( )( ) 0 ( ) d3/ s/

40 urada: 3 3 ( ) 3 0 0 =. = 5.0,363 0 değerini yerine yazarsak:.4 H = A.5.0,. B C e e.5 d3/ s/ H = 0,8A B C e d e s 3/ / H = 5,5MeV (3.) olarak ulunur. ( ) (,) ( ) d 3/ H = d V d e 3/ 3/ (3.) 3. 3 3 = A 0 B C e d. 3/ ( ) urada: 3 3 3 3 ( ) 3 0 =. = 5.0, 36 0 yerine yazılırsa:

4 6 H = A.5.0,05 B C e d.5 3/ = 0, 4A B C e d 3/ H = 3,9MeV (3.3) ulunur. ( ) (,) ( ) H = s d V d / 3/ 3/ ( ) = 3 3 3.... A. 0 ( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 0 ( ) 0 0 ( ) 3 33 ( ) A H =.5 { }.4 5.0,363. 5.0,36. H = 0, 47MeV (3.4) olarak ulunur. Bu elde edilen (3.), (3.3) ve (3.4) değerleri Eşitlik (3.5) de yerine yazıldığında:

4 { 5,5 3,9 ( 5,5 3,9) ( ) }.0,47 E p = ± E p = ± { 9, 44,86} ( ) = MeV E ( ) E 5,65. E ( ) = 5, 65 3, 79 =, 86 MeV = 3,79 MeV. olarak ulunur. (3.5) Şekil 3.. 30 4 Si 6 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı

43 3.. 4 Mg Çekirdeği için Enerji Hesaı 6 Mg4 kor. Durum ( ) d 5/ İzinli Durumlar ( 0,;,;4, ) ( ) ( ) ( 0,) durumunda: 4 ( ρ ) = ( ) d Γ( 5/) EΓ kor E Mg e E d 5/ 4 ( ) [ ] E Mg =., 00785., 0086650 3,98504 93,5 = 98, 6MeV ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 0

44 5. 5 5 = A 00 B C.0 ( ) eşitliğinde: 5 5 00 = = 5. 6 değeri yerine yazıldığında 36 d5/ V, d5/ = A B C = 3A B C (3.6) 0 6 ( ) ( ) ( ) (,) durumunda: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 5. 5 5 = A 0 B C. ( ) eşitliğinde: 5 5 5 5 ( ) 5 5 0 0 =. 0 = 5.0,958

45 yerine yazılırsa, 36 d5/ V, d5/ = A.5.0,958 = 0, 7A B C (3.7).5 ( ) ( ) ( ) elde edilir. ( 4,) durumunda: ( d ) V (,) ( d ) 5/ 5/ 4 5. 5 5 = A 40 B C.4 ( ) = B C (3.8). Durum ( ) ( ) s/ d5/ İzinli Durumlar (,);( 3,) 4 ( ρ ) = ( ) d s Γ( 5/ /) EΓ kor E Mg e e E d s 5/ / (,) durumunda: eşitliğinde: ( ) ( ) (,) ( ) E d s d s V d s Γ 5/ / = 5/ / 5/ / 5.. 5 0 = A 0 ( ) B C. 0 ( )( )

46 5 5 ( ) 5 0 0 =. 0 = 5.0,363 değeri yerine yazıldığında: 6. d5/s/ V, d5/s/ = A 5.0,. B C.5 ( ) ( ) ( ) =, A B C (3.9) ( 3,) durumunda: ( d s ) V (,) ( d s ) 5/ / 5/ / 3 5.. 5 0 3 = A 30 ( ) B C.3 0 ( )( ) = B C (3.30) 3. Durum ( ) s/ İzinliDurumlar ( 0,) 4 4 ( / ) = ( ) s Γ( / ) EΓ Mg s E Mg e E s /

47 ( / ) ( / ) (,) ( / ) E s s V s Γ = 0. = A 00 B C.0 ( ) eşitliğinde, 00 = =. yerine yazılırsa, 4 s/ V, s/ = A. B C = A B C (3.3) 0 ( ) ( ) ( ) elde edilir. Şimdi u hesaplamaları aşağıdaki çizelgede özetleyelim: 4 Mg koruna göre hesaplanmış Konfigürasyon J π T enerjileri Uyarılma Enerjileri ( d 5/) ( d 5/) ( d 5/) A e e s/ d5/ B C e e d5/ s/ 0,7A B C e d,3a 5/ 4 B C e d 3A 5/ 0 ( s d ) / 5/, A B C ed e 5/ s/,8a es e / d5/ ( ) B C e e s/ d 5/ 3 s/ d5/ ( ) / s 0 A B C e s / 3A es e / d5/ A e e s/ d5/ Talo. 6 Mg un 4 Mg koruna göre düzenlenmiş enerjileri

48 Talo de A ve B 5 A = B= = 0,96MeV dir. 6 d5/ 5 4 ( ) ( ) e = E Mg E Mg = 7,33 MeV. e e =,3 MeV. s/ d5/ e = 6, MeV. s/ 4 4 ( d ) ( ) EΓ Mg e = E Mg 3A B C e 5/ d5/ = 98,6 3.0,96 0,96. ( 7,33) = 4,84MeV ( d 5/) için,,3a =,3.0,96=,MeV 3A = 3.0,96=,88MeV ( ) s d için, / 5/,8 A e e =,8.0,96 6, 7,33 =,85MeV s/ d5/ 3A e e = 3.0,96 6, 7,33 = 4,0MeV s/ d5/ ( s ) / için, A e e =.0,96.6,.7,33 = 4,8MeV s/ d5/

49 Konfigürasyon karışımını göz önüne alındığında pertüre durumların enerjileri: { ( ) ( ) } Ep = H H ± H H H ( 0,) seviyesi: ( ) ( ) 5/ / d ve s karışırsa : ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ 0 = 3A B C e d 5/ = 3.0,96 0,96.7,33 (3.3) = 6,58 MeV. ( ) (,) ( ) s / H = s V s e / / 0 = A B C e s/ = 0,96 0,96.6, (3.33) =, 4MeV

50 ( ) (,) ( ) H = d V s 5/ / 0 ( ) = 5 5.... A.0 ( ) ( )( ) 5 0 5 5 0 ( ) 00 00 ( ) 55 0 0 ( ) eşitliğinde, 5 5 00 = ve 6 00 = yerine yazılırsa, H A 6. 6 =....=,7MeV (3.34) (3.3), (3.33) ve (3.34) değerlerini Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { 6,58, 4 4,8 },56 E p = ± E p = ± { 8,98 5,388} ( ) = MeV ve E ( ) E 0 7,8 E ( ) 0 =, 796MeV 0 = 7,8, 796 = 5,384MeV (3.35)

5 (,) seviyesi: ( ) ( ) d ve d s karışırsa ; 5/ 5/ / ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ = 0,7A B C e d 5/ = 0, 7.0,96 0,96 ( 7,33) (3.36) = 4,37MeV ( ) (,) ( ) d5/ s/ H = d s V d s e e 5/ / 5/ / =, A B C e d e s 5/ / =,.0,96 0,96 7,33 6, = 3, 7MeV (3.37) ( ) (,) ( ) H = d V d s 5/ 5/ / ( ) = 5 5 5.... A. 0 ( ) ( )( ) 5 0 5 5 5 ( ) 0 0 ( )

5 55 5 ( ) eşitliğinde: 5 5 5 5 ( ) 5 5 0 0 =. 0 = 5.0,958 = 0, 436435747 5 5 ( ) 5 0 0 =. 0 = 5.0,363 = 0, 707 = yerine yazılırsa: H A = = MeV (3.38).5 6 6.0, 436.0, 707 0, 453 (3.36), (3.37) ve (3.38) değerlerini Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { 4,37 3, 7 ( 4,37 3, 7) ( ) }.0, 453 E p = ±

53 E p = ± { 8, 094,} ( ) = MeV ve E ( ) E 4,6 E ( ) = 3, 487MeV =,3MeV (3.39) Şekil 3.. 6 Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı

54 3.3. 0 Ne Çekirdeği için Enerji Hesaı 0 0 Ne0 kor 0 ( ρ ) = ( ) ρ Γ( ρ ) EΓ kor E Ne e E 0 ( ) [ ] E Ne = 0., 00785 0., 0086650 9,99436 93,5 = 60, 65MeV. Durum ( ) d 5/ İzinli Durumlar ( 0,);(,);( 4,) 0 0 ( 5/) ( ) d Γ( 5/) = (3.40) EΓ Ne d E Ne e E d 5/ ( 0,) durumu: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 0

55 5. 5 5 = A 00 B C.0 ( ) 36 = A. B C 6 = 3A B C (3.4) (,) durumu: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 5. 5 5 = A 0 B C. ( ) eşitliğinde: 5 5 5 5 ( ) 5 5 0 0 =. 0 = 5.0,958 yerine yazılırsa: 36 d5/ V d5/ = A.0,9 B C = 0,68 A B C (3.4).5 ( ) (,) ( ) elde edilir.

56 ( 4,) durumu: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 4 5. 5 5 = A 40 B C.4 ( ) = B C (3.43) ( ) ( ) d5/ s/ T = İzinli Durumlar (,)( 3,) 0 0 ( 5/ /) ( ) d s Γ ( 5/ /) = (3.44) EΓ Ne d s E Ne e e E d s 5/ / (,) durumu: ( ) ( ) (,) ( ) E d s d s V d s Γ 5/ / = 5/ / 5/ / 5.. 5 0 = A 0 ( ) B C. 0 ( )( ) eşitliğinde: 5 5 ( ) 5 0 0 =. 0 = 5.0,363 yerine yazılırsa:

57 elde edilir. 6. d5/s/ V, d5/ s/ = A.5.0,. B C.5 ( ) ( ) ( ) =, A B C (3.45) ( 3,) durumu: ( ) ( ) (,) ( ) E d s d s V d s Γ 5/ / = 5/ / 5/ / 3 5.. 5 0 3 = A 30 ( ) B C.3 0 ( )( ) = B C (3.46) ( ) s/ İzinli durumlar : ( 0,) 0 0 ( / ) = ( ) s Γ( / ) EΓ Ne s E Ne e E s / ( / ) ( / ) (,) ( / ) E s s V s Γ = 0. = A 00 B C.0 ( ) 4 = A. B C = A B C (3.47)

58 Şimdi u hesaplamaları aşağıdaki çizelgede özetleyelim: 0 Ne koruna göre hesaplanmış Konfigürasyon J π T enerjileri Uyarılma Enerjileri ( ) 5/ d 0 3A B C e d 5/ 0 ( d ) 5/ ( d ) 5/ ( d 5/s /) ( d 5/s /) ( s / ) 0,6A B C e d,3a 5/ 4 B C e d 3A 5/, A B C ed e 5/ s/ 3 B C e e d 5/ s/ 0 A B C es /,8A e s e d / 5/ 3A es e / d5/ A e e s/ d5/ Talo 3. Ne nin 0 Ne koruna göre düzenlenmiş enerjileri Talo 3 de A ve B değerleri: 5 A = B= =,36 MeV. 0 ( ) ( ) e d = E Ne E Ne 5/ = [ 0., 00785., 0086650 0,993843] 93,5 60, 65 = 6, 76MeV

59 e e =,08 d5/ s/ e = 4, 678MeV s/ 0 ( d ) ( ) EΓ Ne e = E Ne 3A B C e 5/ d5/ = 76, 44MeV ( d 5/) için,,3a =,3.,36 =, 6MeV 3A = 3.,36 = 3, 4MeV ( 5/ /) d s için,,8 A e e =,8.,36 4, 678 6, 76 = 4,3MeV s/ d5/ 3A e e = 3.,36 4, 678 6, 76 = 5, 49MeV s/ d5/ ( / ) s için, A e e =.,36.4, 678.6, 76 = 6, 436MeV s/ d5/ Konfigürasyon karışımı göz önüne alındığında; ( 0,) durumu: ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ 0

60 5. 5 5 = 00.0 A B C e d 5/ ( ) 36 = A. B C e d 6 5/ = 3A B C e d 5/ = 5, 79 MeV. (3.48) ( ) (,) ( ) s / H = s V s e / / 0. = A 00 B C e.0 s/ ( ) 4 = A. B C e s/ = 9,356MeV (3.49) ( ) (,) ( ) H = d V s 5/ / 0 ( ) = 5 5.... A.0 ( ) ( )( ) 5 0 5 5 0 ( ) 00 00 ( ) 55 0 0 ( )

6 = A 6... 6 =, 73MeV (3.50) Eşitlik (3.48), (3.49) ve (3.50) yi Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { 5, 79 9,356 ( 5, 79 9,356) ( ) }., 73 E p = ± E p = ± { 5,48 7,3} ( ) = MeV ve E ( ) E 0 6, 4 E ( ) 0 = 7,3MeV 0 = 8,94MeV (,) durumu: ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ 5. 5 5 = 0. A B C e d 5/ ( ) 36 = A.0,9 B C e d.5 5/ ( ) = 0,684A B C 6,76 = 3,6MeV (3.5)

6 ( ) (,) ( ) d5/ s/ H = d s V d s e e 5/ / 5/ / 5.. 5 = A 0 B C e e. 0 s/ d5/ ( )( ) 6. = A.5.0,. B C e e.5 d5/ s/ =, 67 MeV. (3.5) ( ) (,) ( ) H = d V d s 5/ 5/ / ( ) = 5 5 5.... A. 0 ( ) ( )( ) 5 0 5 5 5 ( ) 0 0 ( ) 55 5 ( ) A = 6 6. 5.0,958. 5.0,363..5 = 0,9MeV (3.53) Eşitlik (3.5), (3.5), (3.53) ü Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { } E = ± ( ) 3,6, 67 ( 3,6, 67) (.0,9)

63 E = ± ( ) { 4,83,33} ( ) = MeV ve E ( ) E,5 E ( ) = 3,58, 5 =,33 MeV. = 3,58MeV Şekil 3.3. Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı

64 3.4. 3 6 S 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı 30 6 S4 kor E kor ρ E S e E 30 Γ( ) = ( ) ρ Γ( ) ρ E S = 30 ( ) [6..00785 4., 0086650 9,984903].93,5 = 43, 687 MeV. e E S E S 3 30 s = ( ) ( ) / = [6..00785 5., 0086650 30,979554]93,5 43, 687 = 3, 05 MeV.

65 ( s İzinli Durumlar ( 0,) / ) E ( S s ) = E ( S) e E ( s ) 30 30 Γ / s/ Γ / = E ( S) e ( s ) V(,) ( s ) 30 s/ / / 0 (. ) ( s /) V(,) ( s/) = A 0 00 B C (.0 ) eşitliğinde: 00 = =. yerine yazılırsa: 4 ( s/) V(,) ( s/) = A 0. B C = A B C. (3.55) elde edilir. Toplam ağlanma enerjisi: E Γ ( S s ) = E ( S) e A B C olur. (3.56) 30 30 / s / (s ) İzinli Durumlar : (,) (,) / d 3/

66 30 Γ ( ρ ) = ( ) s / d ) 3/ E kor E S e e = E ( S) e e (s d ) V(,) (s d ) 30 s/ d3/ / / / 3/ Γ 3 (. )(. ) 3 0 (s / d3/) V(,) (s/ d3/) = A 0 [ ( ) ] B C (. )( 0) = B C (3.58) 3 (. )(. ) 3 0 (s / d3/) V(,) (s/ d3/) = A 0 [ ( ) ] B C (. )( 0) eşitliğinde: 3 3 3 0 0 ( ). = 0 = 5.0.363 yerine yazılırsa:.4 (s/ d3/) V(, ) (s/ d3/) = A.5.0,. B C.5 = 0,8A B C (3.59) elde edilir. 30 30 E ( S s/ d3/) = E ( S) e e s / d B C 3/ = E S e e A B C 30 ( ) s/ d 0,8 3/

67 ( d İzinli Durumlar : (0,)(,) 3 / ) E ( S d ) = E ( S) e E ( d ) 30 30 Γ 3/ d 3/ Γ 3/ = E ( S) e ( d ) V(,) ( d ) 30 d 3/ 3/ 3/ Γ 3 (. ) 3 3 ( d 3 / ) V (,) (d 3 / ) = A. 00 B C 0 (.0 ) eşitliğinde: 3 00 =. 3 4 yerine yazılırsa: 6 ( d3/) V(, ) ( d3/) = A 0. B C 4 elde edilir. = A B C (3.60) 3 (. ) 3 3 ( d 3/) V(, ) ( d3/) = A 0 B C (. ) eşitliğinde:

68 3 3 3 3 3 3 0 0 ( ). = 0 = 5.0, 36 yerine yazılırsa: 6 ( d3/) V(,) ( d3/) = A.5.0,05 B C.5 = 0, 4A B C (3.6) elde edilir. Toplam enerjisi ise, E ( S d ) = E ( S) e A B C 30 30 3/ 0 d 3/ E ( S d ) = E ( S) e 0,4A B C 30 30 3/ d3/ şeklinde ifade edilir.

69 30 S koruna göre hesaplanmış Konfigürasyon J π enerjileri Uyarılma Enerjileri ( d 5/) ( d 5/) 0 s / e A B C 0 e e B C s d / 3 / A e e d3/ s/ ( s d ) / 5/ e e A B C s d 0,8 / 3 / 0, A ed e 3/ s/ ( ) s d 0 e d A B C / 5/ 3 / A e e d3/ s/ ( s ) / e 0,4A B C d3/ 0,6A e e d3/ s/ Talo 4. 3 6 Si 6 un 30 6 Si 4 koruna göre düzenlenmiş enerjileri Talo 4 de A ve B değerleri: 5 A = B= = 0,78 dir 3 e e =,548 s/ d3/ e d3/ =,5 MeV. E S e A B C 30 ( ) s / = 43,687.3,05 0,78 0,78 = 69,787 MeV

70 ( d 5/) için, A e e = 0, 78,5 3, 05 =,33MeV d3/ s/ ( ) s d için, / 5/ 0, A e e = 0,.0, 78,5 3, 05 =, 706 MeV. d3/ s/ A e e = 0, 78.,5.3, 05 =,3 MeV. d3/ s/ ( s ) / için, 0, 6A e e = 0, 6.0, 78.,5.3, 05 = 3,568 MeV d3/ s/ Konfigürasyon karışımı göz önüne alındığında: ( 0,) durumu: H = ( s ) V(,) ( s ) e s / / 0 / (. ) = A 00 B C e (.0 ) s/ 4 = A. B C e s/ = A B C e s / =.( 3, 05) = 6, MeV (3.6)

7 3 (. ) 3 3 H = A 00 B C e d (.0 ) 3/ 6 = A. B C e d 4 3/ = A B C e d 3/ = (0, 78) 0, 78 (,5) = 3,78 MeV (3.63) H = ( s/ ) V (,) (d 3 / ) 0 = ( ) 3 3 (. )(. )(. )(. ) A (.0 ) ( )( ) 3 0 3 3 ( ) 00 00 ( ) 0 0 0 x 33 0 0 ( ) = A.4.. =, 4A =,MeV (3.64) Eşitlik (3.6), (3.63) ve (3.64) Eşitlik (3.5) de yerlerine yazılırsa:

7 p { 6, 3, 78 ( 6, 3, 78) } (.,) E = ± = { 49,88 ± 3, } E(0 ) = 6,54 MeV ve E(0 ) = 3,34 MeV. E(0 ) = 3, MeV. ( ), durumu : H = ( d ) V(, ) ( d ) e d 3/ 3/ 3/ 3 (. ) 3 3 = A 0 B C e d (. ) 3/ (3.65) eşitliğinde: 33 3 3 3 3 0 0 ( ). = = 5.0, 36 0 yerine yazılırsa: 6 H = A.5.0,05 B C e d,5 3/ = 0, 4A B C e d 3/ = 0, 4.0, 78.,5 =,53 MeV. (3.66)

73 H = (d s ) V(, ) (d s ) e d e s 3/ / 3/ / 3/ / 3 (. )(. ) 3 0 = A 0 [ ( ) ] B C e e (. )( 0) s/ d 3/ eşitliğinde: 3 0 = 3. = 0 5.0,363 yerine yazılırsa:.4 H = A.5.0,. B C = 0,8 A B C e e.5 d3/ s/ = 0,8.0, 78 0, 78,5 3, 05 = 4,394 MeV. (3.67) H = ( d ) V(, ) (d s ) 3/ 3/ / 3 3 3 (. )(. )( )(. ) A =.(. ) ( )( 0) 3 0 3 3 3 x ( ) 0 0.[ ] [ ] 3 3 3 ( ) ( )

74 A =.4.. 5.0,36. 5.0,363.,5 = 0,57 MeV (3.68) Eşitlik (3.66), (3.67) ve (3.68) ı Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: E p { } ( ) =,53 4,394 (,53 4,394) (, 0,57) E ( ) = 46,96,8 { } E( ) = 4,553 MeV ve E ( ) =,373 MeV. E ( ) = 4,553,373 E( ) =,8 MeV.

Şekil.3.4. 3 S çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı. 75

76 TARTIŞMA ve SONUÇ Bilindiği gii, çekirdeklerin fiziksel özelliklerinin incelenmesinde ve deneysel verilerin yorumlanmasında en çok kullanılan yöntemlerden iriside çekirdeğin Kauk modelidir. Bu tezde, Kauk modelini kullanarak çekirdeklerin enerji seviyelerini hesaplamak için formüllere dahil olan matris elemanları yeni yöntem kullanılarak daha hassas ve hızlı hesaplanmıştır. Oluşturulan formüllerden görülür ki; çekirdeklerin enerjilerinin hassas olarak hesaplanması Clesch-Gordan katsayılarının ve 3-j semolleri için seçilen formüllere ağımlıdır. Bu tezde Clesch-Gordan ve 3-j semollerinin hassas ve hızlı hesaplanması için yeni yöntem kullanılmıştır. Ayrıca C-G ve 3-j semollerinin ilgisayarda tekraren hesaplanmaması için hafızadan çağırma formülü oluşturulmuştur. Oluşturulan formüller kullanılarak azı hafif çekirdeklerin ( 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 ) enerji seviyeleri Kauk modeli yöntemiyle hesaplanmış ve elde edilen sonuçlar Şekil -4 de gösterilmiştir. Hesaplama sonuçları literatür sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır. Alınan sonuçlardan ve enerji seviyelerinin şekillerinden görüldüğü gii, u çekirdeklerin mixed(karışık) durumu için elde edilen değerler genel olarak deneysel değerlerle daha iyi ir uyum içindedir. Belirtelim ki, çekirdeklerin enerji seviyeleri hesaplanırken sadece kor dışındaki nükleonlar arasındaki etkileşmeleri değil, aynı zamanda u nükleonlarla korun etkileşimi de dikkate almak gerekir. Bunun gii, enerjinin hesaplanmasında diğer etkileşimler, örneğin; çiftlenim etkisi, coulom etkisi, vs. gii çeşitli terimler dikkate alınırsa, daha iyi sonuçlar elde edileilir. Özetle söylemek gerekirse, enerji seviyelerinin hesaplanmasında konfigürasyon karışımı kaçınılmaz ir konudur ve u hesaplamaların tam doğruluğu için toplam ağlanma enerjisine katkıda ulunan tüm etkiler dikkate alınmalıdır. Aynı zamanda, eğer nükleonların daha yüksek enerji seviyelerinde olmasına izin verilirse, enerji seviyeleri için daha iyi sonuçlar elde edileilir.