KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)

Transkript

1 KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından yarılacaktır.

2 KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Bu bölümde, prizmatik kesite sahip ve lineer elastik homojen malzemeden yapılmış kirişteki kayma gerilmesini belirlemek için metot geliştireceğiz. Ele alınacak analiz yöntemi özel geometriye sahip kesitlerle sınırlı olacaktır. Durum böyle olsa da, geliştirilen metot mühendislik tasarım ve analizinde çok geniş bir uygulama alanına sahiptir. Doğrusal Elemanlarda Kesme: Kirişler genellikle kesme kuvveti ve eğilme momenti taşırlar. Kesme kuvveti V, kiriş kesitine etki eden enine kayma gerilmesi dağılımının sonucu olarak oluşur. Kayma gerilmesinin tamamlayıcı özelliğinden dolayı şekilde görüldüğü gibi bu gerilmeye karşılık gelen kirişin boylaması düzlemine etki edecek kayma gerilmeleri meydana getirecektir.

3 KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Bu etkileri göstermek için şekilde görülen üç levhadan yapılan kirişi ele alalım. Eğer her bir plakanın alt ve üst yüzeyleri pürüzsüz ve birbirlerine bağlı değilse, P yükünün uygulanmasıyla kiriş deforme olurken plakaların birinin diğerine göre kaymasına sebep olacaktır. Ancak, levhalar birbirlerine bağlı ise levhalar arasına etki eden boylamasına kayma gerilmeleri levhaların bağıl kaymasını engelleyecek ve bu sayede kiriş tek bir parça olarak davranacaktır. Kayma gerilmesinin bir sonucu olarak, kesitte oldukça karmaşık şekilde çarpılma meydana getirecek kayma zorlanmaları oluşacaktır. (a) Levhalar birbirleriyle bağlı değil (b) Levhalar birbirleriyle bağlı

4 KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Kayma gerilmesinin bir sonucu olarak kesitte oldukça karmaşık çarpılma meydana getirecek kayma zorlanmaları oluşacaktır. Örneğin, çok fazla deforme olabilen malzemeden yapılmış ve üzeri ızgara çizgilerle işaretli Şekil (a) da görülen kısa çubuğu göz önüne alalım. Kesme V uygulandığında, Şekil (b) de görüldüğü gibi bu çizgiler modelin içine doğru deforme olur. Üniform olmayan bu zorlanma dağılımı kesitin çarpılmasına sebep olur. Kiriş hem kesme hem de eğilmeye maruz kalırsa, eğilme formülünün elde edilmesinde kabul edildiği gibi kiriş kesiti düzlem kalmayacaktır. Durum böyle olmakla birlikte, kesme sebebiyle kesitte meydana gelen çarpılmanın yeterince küçük olduğunu varsayıp genellikle ihmal ederiz. Bu varsayım çoğu kirişte olduğu gibi uzunluğuna göre derinliği az narin kirişler için bilhassa doğrudur.

5 KAYMA GERİLMESİ (KAYMA FORMÜLÜ) Kayma Formülü. Eksenel yük, burulma ve eğilme de olduğu gibi kayma zorlanma dağılımı kolayca tarif edilemediği için kayma formülünü dolaylı bir şekilde elde edeceğiz. Bunu yapmak için şekil (a) daki kirişten alınan eleman parçasının yatay kuvvetlerin dengesi göz önüne alınacaktır. Bu elemanın serbest cisim diyagramı şekil (b) de görülmektedir. Bu dağılım, eğilme momentleri M ve M + dm tarafından meydana getirilmiştir. Yatay kuvvetler toplamında içerilmeyecek serbest cisim diyagramındaki V, V + dv ve w(x) düşey yük etkilerini hariç tutacağız. Elemanın her bir tarafında meydana gelen gerilme dağılımı sadece moment ve sıfır bileşke kuvvet oluşturacağı için şekil (b) deki eleman F x = 0 şartını sağlayacaktır.

6 KAYMA GERİLMESİ (KAYMA FORMÜLÜ) Şekilde görülen tarafsız ekseninden y mesafede kesilmiş elemanın koyu renkli üst parçasını ele alalım. Bu parça, kesilen noktada t genişliğe ve her bir tarafında A' kesit alana sahiptir. Elemanın her bir tarafındaki bileşke moment dm kadar farklı olduğu için parçanın üst yüzeyine boyuna doğrultuda kayma gerilmeleri etki etmezse F x = 0 denge şartının sağlanmayacağı görülür. Bu kayma gerilmesini alt yüzeyin t genişliği boyunca sabit kabul edeceğiz. Kayma gerilmesi t dx alanına etki eder.

7 KAYMA GERİLMESİ (KAYMA FORMÜLÜ) ΣF x = 0; A σ da A σ da τ t dx = 0 M + dm y da M y da τ t dx = 0 A I A I dm I A y da = τ t dx τ = 1 It dm dx y da A

8 KAYMA GERİLMESİ (KAYMA FORMÜLÜ) Bu denklem V = (dm/dx)kullanılarak basitleştirilebilir. İntegral tarafsız eksen etrafında A alanının birinci momentini temsil eder. Biz bunu Q sembolü ile göstereceğiz. A alanının ağırlık merkezi y = A y da /Aformülüyle belirlenir Q = A y da = y A τ = VQ It Bu denklem kayma formülü olarak adlandırılır. İfadenin türetilmesinde yalnızca kiriş boyunca uzanan düzleme etki eden kayma gerilmesini göz önüne almış olsak da formül kiriş kesitindeki enine kayma gerilmesinin bulunması için de uygulanabilir. Bu gerilmelerin birbirlerini tamamlayan ve sayısal olarak eşit olduğunu hatırlayınız.

9 KAYMA GERİLMESİ (KAYMA FORMÜLÜ) τ = VQ It τ = kesitin tarafsız ekseninden y mesafedeki bir noktasındaki kayma gerilmesi,. Elemanın t genişliği boyunca ortalama değere sahip bu gerilme sabit kabul edilir. V = kesim metoduyla denge denklemlerinden hesaplanan bileşke iç kesme kuvveti. I = tarafsız eksen etrafında hesaplanan tüm kesitin atalet momenti. t = kayma gerilmesinin hesaplandığı noktadaki eleman kesit alanının genişliği Q = y da A = y A, bu ifadede A, gerilmenin hesaplanacağı noktada t genişliğindeki kesitin üst (veya alt) kısmının alanı ve y', tarafsız eksenden A' alan merkezine mesafedir.

10 KAYMA GERİLMESİ (Kayma Formülünün Kullanımında Sınırlar) Kayma formülünün elde edilmesinde kullanılan en önemli kabullerden birisi t kesit genişliği boyunca gerilmenin üniform dağıldığının kabul edilmesidir. Yani, genişlik boyunca ortalama kayma gerilmesi hesaplanmıştır. Bu kabulün doğruluk derecesi, elastisite teorisinden elde edilen çok daha doğru matematiksel analiz sonuçlarıyla karşılaştırarak test edebiliriz. Örneğin, eğer kiriş kesit alanı dikdörtgense, tarafsız eksen boyunca gerçek kayma gerilmesi dağılımı elastisite teorisinden hesaplandığında şekillerde görüldüğü gibi değişir. Maksimum değeri τ' maks kesitin kenarlarında oluşur ve büyüklüğü b/h oranına bağlıdır. b/h = 0. 5 orana sahip kesitler için τ' maks Şekil (a) da görüldüğü üzere kayma formülünden hesaplanan kayma gerilmesinden sadece %3 civarında daha büyüktür. Ancak, b/h = 2 olduğu yassı kesitler için τ' maks ortalama kayma gerilme τ maks dan yaklaşık %40 daha büyüktür, Şekil (b). Kesit yassılaşırken veya b/h oranı artarken hata oranı daha da büyür.

11 KAYMA GERİLMESİ (Kayma Formülünün Kullanımında Sınırlar ) Geniş flanjlı kirişlerde, kesitin aniden değiştiği flanj-gövde birleşme noktalarında gerilme yığılmaları oluşacağından kayma formülü kullanılırken yeteri doğrulukta hassas sonuçlar vermeyeceğine dikkat edilmelidir. Neyse ki, mühendislik pratiğinde geniş flanjlı kirişin gerilme hesabı için kayma formülü kullanılmasında bu sınırlamalar önemli değildir. Mühendisler genellikle b/h (genişlik/derinlik) oranının çok küçük olduğu gövde üzerindeki yani sadece tarafsız eksendeki maksimum ortalama kayma gerilmesini hesap ederler. Bundan dolayı, yukarıda izah edildiği gibi hesaplanmış sonuçlar gerçek maksimum kayma gerilme değerine oldukça yakındır.

12 ÖRNEK Şekilde görülen kiriş iki ahşap levhanın bir araya gelmesinden oluşmaktadır. Levhaları bir arada tutabilmek için bağlantı yeri boyunca gerekli olan yapıştırıcıdaki maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz. Kesit resmi

13 ÖRNEK ÇÖZÜM Kesme Kuvveti. Kirişin menet tepkileri ve kesme kuvveti diyagramı Şekil (b) de görülmektedir. Kirişteki maksimum kesme kuvvetinin 19.5 kn dur.

14 ÖRNEK Kesit Özellikleri. Ağırlık merkezi ve buna bağlı olarak belirlenen tarafsız eksen, kesitin tabanına referans eksen yerleştirilecektir, y = m m m m m m m m m m = Şekilde görülen tarafsız eksen etrafındaki hesaplanan atalet momenti, I = m m m m m m m m m m m m 2 = m 4 Üstteki ahşap levha, gövde levha üzerine t = m yapıştırıcıyla tutulmaktadır. Bu yüzden A üst levhanın alanı olarak tanımlanır. Q = y A = m m m 0. 3 m m = m 3

15 ÖRNEK Kayma Gerilmesi. Yukarıdaki verileri kullanarak kayma formülü uygulanırsa, τ maks = VQ It kn m = m m 3 = MPa Alt levhanın üst yüzeyine etki eden kayma gerilmesi şekil (c) de görülmektedir. C mesnedinde levhanın yatay kayma etkisini tutulabilmesi için gerekli yapıştırıcı direnci olduğu görülmelidir. Yapıştırıcı bulunan düzlem

16 ÖRNEK Şekil (a) da görülen kiriş kesiti üzerindeki kayma gerilme dağılımını belirleyiniz. ÇÖZÜM Şekil (b) de görülen tarafsız eksenden her hangi bir y yükseklikteki kayma gerilmesinin bulunmasıyla dağılım belirlenir ve sonra bu fonksiyonun grafiği çizilir. Burada, koyu renkli A' alanı Q nun hesabında kullanılacaktır. Q = y A = y h 2 y h 2 y b = 1 2 h 2 4 y2 b Kayma formülü uygulanarak gerilme belirlenir. τ = VQ It = V 1 2 h 2 4 y bh3 b b = 6V bh 3 h 2 4 y2

17 ÖRNEK Bu sonuç, kesitteki kayma gerilme dağılımının parabolik olduğunu gösterir. Şekilde görüldüğü gibi, gerilmenin şiddeti üst ve altta y = ±h/2 sıfırdan başlar ve tarafsız eksende y = 0 maksimum değere değişir. Özel durumda, kesit alan A = bh ve tarafsız eksende y = 0 olduğu için maksimum kayma gerilmesini elde ederiz. τ maks için elde edilen bu değer V, I ve t sabit olduğundan Q nun en büyük olduğu yerde oluşacağı fark edilip kayma formülü τ = VQ/It kullanılarak doğrudan da hesaplanır. Gözlem yapılırsa, tüm alanın tarafsız eksenin üzerinde (veya altında) olduğu durumda Q maksimum olacaktır. Yani, A = bh/2 ve y = h/4. Bunun sonucunda, τ maks = VQ It = V h bh3 bh 2 b = 1. 5 V A

18 ÖRNEK Karşılaştırma yapılırsa, τ maks ın ortalama kayma τ ort =V A gerilmesinden %50 daha büyük olduğu görülür. Şekil (d) de görüldüğü gibi, kesite etki eden her bir kayma gerilmesine karşı gelen kiriş boyunca etki eden τ varlığının farkında olunması önemlidir. Şekil (e) görülen ahşap kirişin hasarına sebep olan bu gerilmedir. Burada, düşey reaksiyonların kirişi büyük kayma gerilmelerine maruz bırakması ve düşük kayma direncine sahip ahşap kiriş liflerinin ekseni boyunca yönlenmiş olması sebebiyle yarılma ahşap kirişin uçlarından tarafsız ekseni boyunca oluşmaya başlar.

19 ÖRNEK Bu ahşap kirişin mesnetlerinde ve yaklaşık olarak kesit alanın merkezinde tipik kayma hasarı oluşur.

20 ÖRNEK Geniş flanjlı çelik kirişin boyutları Şekilde görülmektedir. V= 80 kn kesme kuvvetine maruz kirişin kesitine etki eden kayma gerilmesi dağılımını çiziniz. ÇÖZÜM Flanj ve gövde dikdörtgen olduğu için daha önce görüldüğü gibi kayma gerilme dağılımı paraboliktir. Simetri sebebiyle sadece B', B ve C noktalarındaki kayma gerilmeleri hesaplanır. Bu değerlerin nasıl elde edildiğini göstermek için öncelikle kesitin tarafsız eksen etrafındaki atalet momenti belirlenir.

21 ÖRNEK I = m (0. 2 m) m (0. 2 m) m (0. 2 m)(0. 11 m) 2 I = m 4 B noktası için, t B = 0. 3 m ve A koyu renkli alan şekil (c) de gösterilmiştir. Q B = y A = m 0. 3 m m = m 3 τ B = VQ B It B = 80 kn m m m = MPa B noktası için, t B = m ve Q B = Q B τ B = VQ B It B = 80 kn m m m = MPa

22 ÖRNEK C noktası için, t C = m ve A görülen koyu renkli gölgeli alandır. Bu alanı iki dikdörtgen birleşiminden oluştuğu göz önüne alınırsa, Q C = y A = m 0. 3 m m m m 0. 1 m = m 3 τ C = τ maks = VQ C It C = 80 kn m m m = MPa

23

24

25

26

27

28