AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI ADI SOYADI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZA :... SINAV TARİHİ VESAATİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 u sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINAVLA İLGİLİ UYULACAK KURALLAR 1. Cevap kağıdınıza soru kitapçığınızın türünüişaretlemeyi unutmayınız. 2. Her soru eşit değerde olup, puanlama yapılırken doğru cevaplarınızın sayısından yanlış cevaplarınızın sayısının dörtte biri düşülecektir. 3. Sınavda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yardımcı araçlar ve müsvedde kağıdı kullanılması yasaktır. Tüm işlemlerinizi soru kitapçığı üzerinde yapınız. 4. Sınav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacaktır. Yanlış olduğunu düşündüğünüz sorularla ilgili, görevlilere soru sormayınız. u çok küçük bir olasılık olsa da, jüri bu tür durumları daha sonra değerlendirecektir. 5. Öğrencilerin birbirlerinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasaktır. 6. Dışarıya çıkan bir aday tekrar sınava alınmayacaktır. 7. Cep telefonuyla sınava girmek yasaktır. Cep telefonunuzu görevliye teslim ediniz. 1
1. Alanı 50 br 2 den büyük olan dikdörtgen şeklindeki bölge, hepsinin kenar uzunluğu 1 br olan kare şeklindeki parkelerle döşenmiştir. ölgenin sınırlarına siyah renkli kareler ve içine de beyaz renkli kareler kullanılmıştır. Siyah ve beyaz karelerin sayısı eşit ise, dikdörtgen bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 60 ) 58 C) 56 D) 54 E) 52 2. ir ACD dörtyüzlüsünün kenarlarının uzunlukları küçükten büyüğe 8, 12, 19, 26, 35 ve 40 olarak verilmiştir. A =40olduğu bilindiğine göre, CD uzunluğu kaçtır? A) 8 ) 12 C) 19 D) 27 E) 35 3. Pozitif bölenlerinin çarpımı 12 90 olan sayının, pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 30855 ) 819 C) 61831 D) 3751 E) 10200 4. K = p 9 65 13 5 9+ 65 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 17 2 ) 18 C) 18 2 D) 16 2 E) 18 5 2
3
5. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere, x y = 9 ve OKEK (x, y)=10098 olduğuna göre, x + y aşağıdakilerden hangisidir? A) 621 ) 540 C) 594 D) 603 E) 702 6. x =1111 10 11 y = 77777 10 5 ve z = 111111 ise, r 3 x + y + z 3 tamsayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 19 ) 14 C) 15 D) 18 E) 16 7. a>b>0 sayıları verilsin. ir köşesi y = x x>0 ışını üzerinde, ikinci köşesi Ox ekseni üzerinde ve üçüncü köşesi de, koordinatları (a, b) olan A noktasında bulunan üçgenler içinde çevre uzunluğu en küçük olanın çevre uzunluğu 6 br ise, a 2 +b 2 toplamı kaçtır? A) 18 ) 16 C) 14 D) 12 E) 24 y y=x A O C x 8. p, q ve r asal sayıları, p + q = (p q + r) r eşitliğini ve p + q < 123 eşitsizliğini sağlıyorlar. una göre, pqr çarpımının en büyük değerinin rakamları toplamı kaçtır? A) 13 ) 14 C) 15 D) 17 E) 19 4
5
9. Yandaki şekilde, AD =8 A =4 ve m( b AD) =30 olup, C C = CD = D dir. una göre, AC uzunluğunu bulunuz. A) 6 2 ) 10 C) 4 5 D) 8 2 E) 8 A D 10. Gökberk ve Tuğberk, 52! sayısının pozitif bölenlerinden rastgele birer tane seçip, seçtikleri bu iki pozitif böleni topluyorlar. u toplamın çift sayı olma olasılığı kaçtır? A) 2210 2401 ) 1201 1250 C) 2026 2401 D) 2305 2401 E) 461 500 11. a = n2 +3 n 2 +n 3 genel terimiyle verilen a dizisi için, K = {a : i [1, 2018]} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2016 ) 2012 C) 2017 D) 2015 E) 2014 12. a<b<csayıları, x 3 3x 2 + (2 m) x + m =0denkleminin kökleri olsun. a 2 4a c 2 2 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 16 ) 49 C) 4 D) 25 E) 9 6
7
13. ir n = b 4 +c 3 +d 2 +9 pozitif tamsayısının, bölenleri, 1=a<b<c<d< <n şeklindedir. u koşulu sağlayan en küçük n sayısının kaç pozitif böleni vardır? A) 18 ) 16 C) 10 D) 12 E) 8 14. Pozitif x, y ve z sayıları, µ 1 (x + y + z) + x + 1 y + 1 ³ 2x p +6 = 2 +1+ 2y +1+ 2z +1 z denklemini sağlıyorsa, xyz çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 + 7 2 ) 7 + 5 2 C) 3+ 2 D) 5 + 3 2 E) 3 + 5 2 15. 3 3 boyutlu tablonun hanelerine 1 den 9 a kadar tamsayılar, ardışık sayılar, komşu (ortak kenarı bulunan) hanelerde bulunacak şekilde kaç değişik biçimde yazılabilir. A) 30 ) 40 C) 54 D) 20 E) 50 16. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin boş kümedenfarklı her A altkümesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının farkına "A kümesinin boyu" diyelim. unagöre,{1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin boş kümeden farklı tüm altkümelerinin boyları toplamı kaçtır? A) 197 ) 192 C) 201 D) 603 E) 207 8
9
17. x, y R olmak üzere, 5x 2 +2y ve 5y 2 +2x sayılarının enbüyüğünü m(x; y) ile gösterelim. Yani, m(x; y) =max 5x 2 +2y ; 5y 2 +2x ª. una göre, 1 5 m(x; y) +4 ifadesinin alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 2 ) 1 5 C) 1 6 D) 1 4 E) 1 3 18. Negatif olmayan a 0,a 1,a 2,... dizisi, her n =0, 1, 2,... için, 1 1 1 a 2 0 +a 0 a 1 +a 2 + 1 a 2 1 +a 1 a 2 +a 2 + + 2 a 2 +a a +1 +a 2 +1 = a +1 indirgemeli (yineleme) bağıntısını sağlasın. una göre, a 8 =2ise, a 16 kaçtır? A) 4 3 2 ) 4 3 2 C) 2 3 2 D) 2 3 3 E) 2 3 3 n 10 +n 9 + + n 2 +n +1 19. ifadesini tamsayı yapan en büyük n tamsayısı için, n n +10 9 sayısının, 9 a bölümünden kalan kaçtır? A) 3 ) 7 C) 0 D) 4 E) 5 10
11
20. Kenarları A =5 C =6ve CA =7olan bir AC üçgeninin içinde bir P noktası alınıyor ve P noktasından, üçgenin [C] [CA] ve [A] kenarlarına sırasıyla [PD] [PE] ve [PF] dikmeleri çiziliyor. una göre, A C PD + CA PE + A PF F P E toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 11 6 2 ) 6 6 2 C) 12 D) 9 6 2 E) 10 6 2 D C 21. 51, 52, 53,...,104 sayılarının en büyük tek sayı bölenlerinin toplamı kaçtır? A) 2768 ) 2385 C) 1385 D) 2704 E) 2092 22. a 0 =1ve her n N için, a +1 = a + p a +1 +a a 50 bağıntısıyla verilen a dizisi için, reel sayısının, virgülden sonraki ilk basamağı kaçtır? a 100 A) 9 ) 6 C) 2 D) 5 E) 3 12
13
23. ACDEF düzgün altıgen olsun. Altıgen içinde, m(ap) b =m(efp)=55 b olacak şekilde bir P noktası alınıyor. una göre, AP b açısı kaç derecedir? A) 70 ) 72 C) 80 D) 65 E) 75 24. [0, 1] aralığında azalmayan olup, her x [0, 1] için, ³ x f(x) +f(1 x) = 1 ve f(x) = 2f 3 µ 5 koşullarını sağlayan bir f fonksiyonunun varlığını kabul edelim. f değeri kaçtır? 8 (Hatırlatma : olan her [0 1] için, ( ) ( ) olursa, fonksiyonuna azalmayan denir.) A) 4 ) 2 3 C) 3 4 D) 1 2 E) 1 3 25. a, b ve c reel sayılar olmak üzere, f(x) = a x 2 +1 + b x 2 +2 + c x 2 +3 1 x 2 fonksiyonu için, f(1) = f(2) = f (3) = 0eşitlikleri sağlanmaktadır. una göre, (m, n) = 1olmak üzere, f(4) = m ise, m kaçtır? n A) 31 ) 38 C) 34 D) 36 E) 35. 14
15
1 A 2 3 C İPTAL 4 D 5 D 6 C 7 A 8 E 9 C 10 11 A 12 A 13 E 14 15 16 C 17 E 18 C 19 D 20 D 21 A 22 C 23 A 24 D 25 E Teşekkür Ederiz. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı, Akdeniz Üniversitesi SKSD aşkanlığı Matematik Topluluğu ve Akdeniz Üniversitesi - Fen Fakültesi Matematik ölümü tarafından, Konyaaltı elediyesinin sponsorluğunda düzenlenmektedir. 16