Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Akışkanlar dinamiğinde, sürtünmesiz akışkanlar için Bernoulli prensibi akımın hız arttıkça aynı anda basıncının yada potansiyel enerjisinin azalacağını söyler. Bu prensibe Bernoulli prensibi adı 1738 yılında Hydrodynamica kitabında akışkanlar mekaniği prensiplerini yazan Alman-İsveç matematikçi Daniel Bernoulli den sonra verilmiştir. Bernoulli prensibi, enerjinin korunumu yasasından çıkarılabilir. Buna göre sabit bir akımda, bir yolda hareket eden akışkanın sahip olduğu tüm mekanik enerjilerin toplamı yine bu yol üzerindeki her noktada eşittir. Bu ifade kinetik ve potansiyel enerji toplamlarının sabit olduğunu ifade eder. Bu yüzden akışkanın hızındaki herhangi bir artış, akışkanın dinamik basıncını ve kinetik enerjisini orantılı olarak artırırken statik basıncını ve potansiyel enerjisini düşürür. Bernoulli prensibi, direkt olarak Newton'un 2'nci yasasından da elde edilebilir. Eğer küçük hacimli bir akışkan yatay olarak yüksek basınçlı bölgeden düşük basınçlı bölgeye doğru ilerliyorsa, arkada; önde olduğundan daha fazla basınç var demektir. Bu, akışkan üzerinde net bir kuvvet uygulayarak akım çizgisi boyunca hızlanmasını sağlar Bernoulli Denkleminin Enerjinin Korunumu Yasası ile Çıkarılması Aşağıda şematik olarak verilen m kütlesindeki sıvının t=0 anında bulunduğu pozisyondan sağa doğru hareket edip t=t 1 anında yeni pozisyonuna geldiğini düşünelim.
Bu durumda sitemde yapılan iş W aşağıdaki denklemde verilmiştir. W 1 işi A 1 alanına etkiyen P 1 basıncının oluşturduğu F 1 kuvveti ile m kütlesindeki sıvının x 1 kadar yol almasıyla oluşan iştir. W 2 işi A 2 alanına etkiyen P 2 basıncının oluşturduğu F 2 kuvveti ile m kütlesindeki sıvının x 2 kadar yol almasıyla oluşan iştir. İkinci iş ifadesi kuvvet ile alınan yolun bir birine zıt yönlerde olmasından dolayı eksi işaretlidir. Tüm bilinenler yerine yazıldığında denklem yukarıdaki son halini alır. Yer değiştiren sıvının hacmi V kesit alanı A ile genişlik x!in çarpımına eşittir. Eğer akışkan sıkışamaz bir akışkan ise bu hacim değişme sabit kalır. İş denklemi ve hacim denklemi birlikte düşünülecek olursa
Yapılan iş akım kesitindeki mekanik enerjinin değişimine eşittir. Sistemin mekanik enerjisi yukarıda verilen şekil yardımıyla elde edilebilir. İlk ve son hal arasındaki enerji değişimi aşağıdaki ifade de verilmiştir. Burada K m kütlesinde u hızı ile hareket eden sıvının kinetik enerjisidir. U ise aynı kütledeki sıvının g yer çekimi ivmesine maruz h yüksekliğinde iken sahip olduğu potansiyel enerjidir. İş enerji teoremi bize sistem üzerinde yapılan iş o sistemde oluşan enerji değişimine eşit olduğunu söyler, buna göre; Eşitlikte denklemler yerine konulacak olursa Elde edilir. Eğer denklemin her iki yanını V hacmine bölecek olursa sonuç aşağıdaki gibi olacaktır. Burada Akışkan kütlesinin yoğunluğudur. Çıkarımımızı tamamlayacak olursak;
Denklemini elde ederiz. Denklem sürtünmesiz ve sıkışmayan akışkanlar için akım içindeki her hangi iki noktada geçerlidir. Bernoulli Denkleminin Diferansiyel Enerji Denklemi ile Çıkarılması Prof.Dr. Cahit Çıray Akışkanlar Mekaniğine Giriş (Mühendislik Yaklaşımı) kitabında Bernoulli Denklemine diferansiyel enerji denklemi ile ulaşmıştır. Sıkışamayan sürtünmesiz ve zamanla değişmeyen bir akım için diferansiyel enerji denklemi yazıldığında: D P 1 + U 2 + gz = 0 Dt ρ 2 olduğu görülür. Toplam türevin parantez içindeki büyüklüğün akışkanın hareketi boyunca zamana bağlı türevi ve olduğu ve değişmediği sonucuna varılabilir. Dolayısıyla akım daneciğinin yörüngesi her noktasında parantez içindeki terim değişmez ve sabit bir değere sahiptir. P 1 + U 2 + gz = sabit ρ 2 u eşitlikteki her bir terim birim kütledeki enerjidir. Dolayısıyla terimler sırasıyla birim kütledeki basınç enerjisi, kinetik enerji ve potansiyel enerji ve tamamı birim kütledeki toplam enerjidir. P 1 + U 2 + z = sabit ρg 2g Eğer denklemdeki bütün terimler g ile bölünürse eşitlikteki her bir terim akışkanın birim ağırlığındaki enerjiyi gösterir. Dolayısıyla terimler sırasıyla birim ağırlıktaki basınç enerjisi, kinetik enerji ve potansiyel enerji ve tamamı birim kütledeki toplam enerjidir. Terimlerin boyutu uzunluk olup her bir terim için yük kelimesi kullanılır. Basınç yükü, kinetik yük potansiyel yük ve tamamı toplam yük olur. P 1 2 H = + U + z, H= sabit veya H1 = H ρg 2g H bir akışkanın birim ağırlığındaki yüktür. 2
Enerjinin korunumu yasasının çok özel bir hali olan Bernoulli denkleminin temel şekli yukarıda verilen denklemlerdir. Şekilde I ve II noktalarında z ile noktaların referans düzlemine göre yükseklikleri, P/ρg ile potansiyel yükleri ve U 2 /2g ile noktaların kinetik yükleri verilmiştir. Şekil a ile bir akım iplikçiği temsil edilmiş ve I noktasından II noktasına giderken akım iplikçiği gösterilmiştir. Buna göre I noktasında II noktasına giderken akım iplikçiğinin yüksekliği artmaktadır ve hızı dolayısıyla kinetik yükü artmaktadır. Buna karşılık toplam yükü sabit olduğu için potansiyel yükü ise azalmaktadır. Şekil b ile ise kesiti ve yüksekliği değişen bir boru içinde 1 boyutlu akım için Bernoulli Denklemi uygulaması görülmektedir. Borunun yüksekliği I noktasından II noktasına giderken artmaktadır. Aynı zamanda boru kesit alanı ise azalmaktadır. Süreklilik denklemi gereği 1 boyutlu akımlarda kesit alanı azaldığında hız artacaktır. Dolayısıyla akımın kinetik yükü de artmaktadır. Akımın sürtünmesiz olduğu varsayımı ile toplam yükü değişmeyecektir. Kinetik enerjideki bu artış potansiyel yükte azalmaya neden olacaktır.
Piezometre deliği: Her hangi bir borunun üst kısmına açılacak küçük bir delik ile borunun o noktasındaki statik basıncın ölçülmesi için kullanılabilir. Bu deliğe piezometre deliği denir. Boru çeperinde akım boru yüzeyine teğet olduğu için bu noktada okunacak basınç sadece o noktadaki statik basınç olacaktır. Bu noktaya eğer ince bir saydam tüp bağlanacak olursa boru içinde yükselen sıvını yüksekliği ise tam olarak P/ρg kadar olacaktır. Yukarıda şekillerde sürekli kırmızıçizgi ile gösterilen toplam enerji çizgisidir buna karşılık kesikli kırmızıçizgi ile gösterilen ise o noktadaki piyezometrik yüklerdir. Basınç Yükü, Hız Yükü, Potansiyel Yük ve Toplam Yük Rezervuara bağlı kesiti ve yükseklikleri değişen boru siteminde bu yüklerin nasıl değiştiğine bakacak olursak Rezervuar ve bağlantı borusu Bu boru akımını analiz etmek için Bernoulli Denklemini rezervuar su yüzeyi ile buru üzerinde her hangi bir nokta arasında yazabiliriz. Rezervuardaki toplam yük H, rezervuar atmosfere açık olduğu için basıncı, ve rezervuar hacmi çok büyük olduğu için rezervuar içindeki su hızı toplam yük H=z 1 rezervuardaki su yüksekliğine eşit olacaktır., sonuç olarak
Eğer boru içinde akım yoksa boru üzerine bağlanan piyezometrik tüplerde su seviyesi boru boyunca rezervuar seviyesi kadar olacaktır. Bu yük çizgisi ile piyezometrik yük çizgisi üst üste aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi olacaktır. Toplam enerji ve Piezometrik seviyesi akım olmadığı zaman Boru içindeki akım hızı u = 0 Boru içinde bir akıma izin verilirse yani u 0 ise bu durumda toplam enerji çizgisi değişmezken u 2 /2g 0 olduğu için piezometre çizgisi hız yüksekliği kadar toplan enerji çizgisi altında kalacak. Toplam enerji ve Piezometrik seviyesi akım olduğu zaman
Eğer boru çapı bölgesel olarak değiştirilecek olursa çapın değiştiği bölgedeki hız diğer kısımdan farklı olacak dolayısıyla hız yükleri de farklılık gösterecektir. Toplam enerji ve piezometrik seviyeler farklı boru çapları olduğu zaman. Venturimetre Bir venturimetre nin şematik görünümü aşağıdaki Şekilde gösterilmiştir. Akım, ucu konik olarak kesilmiş silindirik yapıdaki flanşlı A kısmından girer, B boğazından geçer ve konik kesimli uzun C bölümünden çıkar. Giren akım (üst akım) silindirik ve konik kısmın bağlantı noktasında üzerinde küçük delikler (E) bulunan dairesel bir halkadan (D) geçerken basıncı düzenlenir; D ve E ler den oluşan bu kısma "piezometre (basınçölçer)" denir. Giriş akımının basıncı F tapasından ölçülür. İkinci bir piezometre G boşluğu ve H delikleri ile boğazda bulunur; delikler çok hassas yapılmıştır ve işlenmiştir. Boğazdaki basınç I tapasıyla kontrol edilir. F ve I tapaları arasına uygun bir basınçölçer (bir manometre gibi) bağlanarak giriş ve çıkış akımları arasındaki basınç farkı ölçülür Şekil Venturimetre
Venturimetrede giriş konisinde hız artar, basınç düşer. Giriş konisindeki basınç düşüşü, sistem boyunca olan akış hızının ölçülmesine olanak verir. Sonra hız azalır ve C konisinin çıkışına doğru akım orijinal basıncına döner. Düşen basıncın tümüyle geri kazanılması için C deki konikliğin açısı küçük tutularak sınır tabakası ayrılması önlenir ve sürtünme en aza indirilir. Venturimetreler gazların ölçülmesinde kullanılan ölçü aletleri olmasına karşın, özellikle su gibi bazı sıvılar için de uygundur. Sıkıştırılamayan akışkanlar için venturimetre temel denklemi, Bernoulli eşitliğinden çıkarılır. D ve G iki basınç noktası arasında Bernoulli denklemi yazılır. Sürtünme olmadığı, metrenin yatay durduğu edilir. V a ve V b, ortalama üst (giriş) ve alt (boğazdaki) akım hızları, ρ akışkanın yoğunluğudur. Denklemde Debi ise Denklemde C v düzeltme faktörü olarak deneysel olarak saptanır; buna, "venturi katsayısı" denilmektedir. İyi dizayn edilmiş venturimetreler için, C v 0.98, daha büyüklerde C v 0.99 dolayındadır
Venturi Borusu Bernoulli Denkleminin Uygulaması Deney Sistemi Deney sistemi iki rezervuar arasına yerleştirilmiş dikdörtgen değişken kesitli bir borudan oluşmaktadır. Giriş rezervuarına bağlanmış akım borusu ile siteme su alınmaktadır. Çıkış rezervuarının seviye kontrol borusu ile sistemden geçen debi ayarlanmaktadır. Bu sırada değişken kesitli boru üzerine yerleştirilen piyezometre uçlarından boru boyunca oluşan piyezometrik yükseklikler gözlenmektedir.
Dikdörtgen kesitli boru kesit alanları Ölçüm noktaları 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Kesit alanları mm 2 102.5 6 90.11 77.66 65.22 52.77 40.32 52.77 65.22 77.66 90.11 102.5 6 Deney Prosedürü Deney için giriş tankına bağı olan vana açılarak sisteme su verilecektir. Çıkış rezervuarındaki seviye ayarlandıktan sonra akımın zamanla değişmeyen duruma gelmesi için uygun süre beklenecektir. Hacim tankı yardımıyla belirli bir süre içinde dolacak uygun hacim gözlenerek debi bulunacaktır. Ardından 11 piezometre borusundaki yükseklikler okunacak ve kaydedilecektir. Elde edilen veriler ile aşağıda raporda istenilen değerler hesaplanacaktır. Deney Raporunda Yapılması İstenilenler 1. Debiyi rotametre ve hacim tankını kullanarak bulunuz. 2. Tüm noktalarda piyezometrik yükseklikleri okuyunuz 3. 1 ve 6 noktalarının piyezometrik yüksekliklerini ve venturi denklemini kullanarak debiyi hesaplayınız. 4. Ölçüm yapılan tüm noktalardaki hızları kullanarak hız yüksekliklerini bulunuz 5. Piezometerik yük çizgisini ve buna hız yükseklikleri ekleyerek bulacağınız toplam enerji çizgilerini grafik olarak çiziniz. Hazırlayan: Onur Dündar