Fermt Ne Biliyordu? () Ali Nesin B u yzıd geçen yzıd sözünü ettiğim iki teoremi knıtlycğız. Teorem 1. Gerekirse x le y nin yerlerini değiştirirsek, x + y = z (1) denkleminin tüm çözümleri şöyle elde edilir: Öyle p, q, d syılrı vrdır ki, x = dpq, y = d(p q ), z = d(p + q ) dir. Teorem. x 4 + y 4 = z denkleminin, dolyısıyl x 4 + y 4 = z 4 denkleminin de, pozitif tmsyılrd çözümü yoktur. Bu iki teoremi knıtlybilmek için bir önsv gereksiniyoruz: Önsv. Bir tek syının kresi 4 e bölündüğünde 1 klır. Önsvın Knıtı: Tek syımız dını verelim. = b + 1 biçiminde yzlım. Şimdi hesplylım: = (b + 1) = 4b + 4b + 1 = 4(b + b) + 1. Demek ki dörde bölündüğünde 1 klırmış. Teorem 1 in Birinci Knıtı: Eğer (, b, c) üçlüsü, (1) eşitliğini sğlyn üç tmsyıys ve d herhngi bir tmsyıys, (d, bd, cd) tmsyılrı d ynı denklemi sğlr. Örneğin, (8, 15, 17) bir çözümdür, bu çözümü ikiyle çrpck olursk (16, 30, 34) çözümünü buluruz. Yni, bir çözümün çrpımlrını lrk yeni çözümler elde edebiliriz. Bunun tersini de ypbiliriz. Eğer (, b, c) bir çözümse ve d tmsyısı, b ve c yi bölüyors, (/d, b/d, c/d) tmsyılrı d bir çözümdür. Dolyısıyl, ortk böleni olmyn 1 çözümleri bulmk, tüm çözümleri bulmk için yeterlidir. Bundn böyle, (, b, c) ortk böleni olmyn bir çözümü simgeleyecek. + b = c olduğundn,, b, c syılrındn ikisi bir syıy bölünüyors üçüncüsü de ynı syıy bölünür. Demek ki, b ve c syılrındn ikisi ynı syıy bölünemezler. Dolyısıyl bu syılrdn ikisi birden çift olmzlr, yni bu üç syıdn en z iki tnesi tek syıdır. Bu syılrdn ikisi tekse üçüncüsü çift olmk zorunddır. Hngi syı çifttir? c çift olmz (çünkü c çiftse, ve b tek syılrdır, dolyısıyl yukrdki önsv göre, + b syısı dörde bölündüğünde iki klır, yni + b dörde bölünmez; öte yndn c dörde bölünür.) Demek ki ve b syılrındn biri çift olmk zorund. Gerekiyors ve b syılrının yerlerini değiştirerek, syısının çift olduğunu vrsybiliriz. Bundn böyle nın çift olduğunu vrsycğız. Demek ki b ve c tek syılr. Dolyısıyl c b ve c+b çift syılr. O hlde, = n, c b = v, c + b = w () 1 Dh doğrusu ortk böleni 1 oln!
olrk yzbiliriz. () eşitliklerinden, (c + b) (c b) w v b = = = w v (3) (c + b) + (c b) w + v c = = = w + v (4) eşitlikleri çıktığındn, v ve w syılrının ortk böleni yoktur (çünkü hem v yi, hem w yi bölen bir syı, b ve c syılrını d böler.) + b = c eşitliğinden, = c b = (c b)(c + b) eşitliği çıkr. Bu eşitlikte, () den yrrlnrk, yerine n, c b yerine v, c + b yerine w koyrsk, ve 4 leri sdeleştirirsek n = vw (5) eşitliğini buluruz. Demek ki vw bir kre. Öte yndn v ve w syılrının ortk bölenleri yok. Dolyısıyl v ve w de birer kre olmk zorundlr. v = q ve w = p olrk yzlım. İşimiz şğı yukrı bitmiştir: (3) ve (4) eşitlikleri b = p q ve c = p + q verir; (5) eşitliği n = pq verir; () eşitliği de = n = pq verir. Teorem 1 in İkinci Knıtı: Bu knıtt geometrik bir yöntem kullncğız. Knıt bşlmdn önce, (0,1) noktsındn geçen ve y eksenine koşut olmyn bir doğrunun denkleminin, bir m syısı için, y = mx + 1 (6) biçiminde yzılbileceğini okur nımstırım. m syısın o doğrunun eğimi dı verilir. Şimdi, b, c syılrı, x + y = z denklemini sğlyn üç pozitif syı olsunlr. O zmn /c ve b/c kesirli syılrı, x + y = 1 (7) denklemini sğlrlr. (7) denkleminin gerçel syılrdki çözümleri, merkezi (0,0) noktsınd oln 1 yrıçplı dire (birim dire) üzerindedir, dolyısıyl (/c,b/c) noktsı d bu dire üzerindedir: y (0,1) (/c,b/c) (1,0) x > 0 olduğundn, (/c, b/c) noktsıyl (0,1) noktsı, birim direnin iki değişik noktlrıdır. Bu iki noktdn geçen doğruy bklım:
y (0,1) (/c,b/c) x Bu doğrunun denklemi y = b c x + 1 dir. Yni (6) denklemindeki m syısı (doğrunun eğimi yni) b c syısın eşittir, dolyısıyl kesirli bir syıdır. Ortk böleni olmyn iki p ve q tmsyısı için m = b c = p/q (8) yzlım. Ayrıc, r ve s syılrını r = /c ve s = b/c (9) olrk tnımlylım. (r,s) noktsı, yni (/c,b/c) noktsı, hem birim direnin, hem de y = mx + 1 denklemli doğrunun üstünde. Dolyısıyl r ve s syılrı (6) ve (7) denklemlerini sğlrlr. Denklemlerimizi yzlım: r + s = 1 ve s = mr + 1. (10) İkinci eşitlikten s yi biliyoruz: s = mr + 1. Bunu birinci eşitliğe yerleştirelim: 1 = r + s = r + (mr + 1). Sğdki terimi çlım: 1 = (1 + m )r + mr + 1, yni, (1 + m )r + mr = 0, yni, r[(1 + m )r + m] = 0. Öte yndn r 0. Demek ki r yi sdeleştirebiliriz ve (1 + m )r + m = 0, yni, r = m 1 + m buluruz. Bunu ve (10) denklemlerinden ikincisini kullnrk s yi de bulbiliriz: Demek ki, s = mr + 1 = m 1 + m + 1 = 1 m 1 + m. r = m 1 + m s = 1 m 1 + m Şimdi (8) ve (9) denklemlerini yukrdki denklemlere tşıyıp birz hesp ypck olursk,
= pq p + q c b = p q p + q c (11) eşitliklerini elde ederiz. İkinci eşitlikten p + q syısının (p q )c yi böldüğü çıkr. Öte yndn p q ile p + q syısının ortk böleni y 1 y d dir. Bu ortk bölenin 1 olduğunu vrsylım (ortk bölenin olduğu şıkkı okur bırkıyoruz.) Demek ki p + q, c yi böler. c = d(p + q ) eşitliğini sğlyn bir d syısı bullım, ve bunu (11) eşitliklerine yerleştirelim. Teorem 1 bir kez dh knıtlnmıştır. Teorem nin Knıtı 3 : Sonsuz İniş ve Sonsuz Çıkış dlı yzıd sözünü ettiğimiz sonsuz iniş yöntemini kullncğız. Teoremin ynlış olduğunu vrsylım, yni x 4 + y 4 = z (1) eşitliğinin pozitif tmsyılrd bir çözümünün olduğunu vrsylım. Bir çelişki elde edeceğiz. (1) nin çözümleri rsınd z nin en küçük olduğu bir çözüm seçelim. Bu çözüme (x, y, z) diyelim. (1) denklemi sdeleştirmeye olnk verdiğinden ve z en küçük olduğundn, x, y ve z syılrının ortk böleni yoktur. Bundn d x, y, z syılrındn herhngi ikisinin ortk böleninin olmdığı çıkr. Demek ki bu üç syıdn ylnızc biri çift olbilir ve en z ikisi tektir. Syılrdn ikisi tekse, üçüncüsü çift olmk zorund. z çift olmz (çünkü z çiftse, x ve y tektir, ve x 4 + y 4 dörde bölünmez, öte yndn z dörde bölünür.) Demek ki y x y y çift. Gerekirse x le y nin yerlerini değiştirerek, x in çift olduğunu vrsybiliriz. Şimdi (x, y, z) syılrın birinci teoremimizi uygulybiliriz: ortk bölenleri olmyn öyle ve b vrdır ki, x = b (13) y = b (14) z = + b (15) dir. Ayrıc ve b syılrındn ylnızc biri çifttir. nın çift olmycğını iddi ediyorum: eğer çift olsydı, b tek olurdu. = 1, b = b 1 + 1 yzlım. Bu eşitlikleri (14) e yerleştirelim: y = (14) b = ( 1 ) (b 1 + 1) = 4 1 4b 1 4b 1 1 = 4( 1 b 1 b 1 ) 1 = 4( 1 b 1 b 1 1) + 3 ve yzının bşınd knıtldığımız önsvl çeliştik. İddimı knıtldım: çift olmz. Demek ki b çifttir. (14) denklemine göre b + y = olduğundn birinci teoremi gene uygulybiliriz: ortk böleni olmyn öyle c ve d syılrı vrdır ki, b = cd (16) y = c d (17) = c + d (18) dir. Şimdi x yi hesplylım: x = (13) b = (16,18) 4cd(c + d ). Demek, 4cd(c + d ) tm bir kre. Dolyısıyl cd(c + d ) de tm bir kre. Öte yndn c, d ve c + d syılrındn herhngi ikisinin ortk böleni yok. Bundn d c, d ve c + d syılrının birer tm kre olduklrı çıkr. Yni öyle e, f, g syılrı vrdır ki, c = e (19) u syısı hem p + q yi, hem de p q yi bölüyors, u bu syılrın toplmını ve frkını d böler. Dolyısıyl u hem p yi, hem de q yi böler. p ile q nün ortk böleni olmdığındn, u = 1 y d u = dir. 3 Bu knıt Fermt nındır.
d = f (0) c + d = g (1) dir. Knıtın sonun geldik. Hesplylım: e 4 + f 4 = (19,0) c + d = (1) g. Demek ki (e, f, g) syılrı d (1) denkleminin bir çözümü. Son olrk, g syısının, z syısındn küçük olduğunu knıtlylım. Bu dilediğimiz çelişkiyi verecek: z = (15) + b = (16,18) (c + d ) + 4c d = (1) g 4 + 4c d > g 4 g. İkinci teorem de knıtlnmıştır.