POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI
|
|
|
- Emre Enver
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Tnım: P ( ) polinomu Q ( ) polinomun bölündüğünde bölüm B ( ), Kln ( ) 0 durumd, P ( ) = Q( ). B( ) yzılır. K = olsun. Bu Q ( ) ve B ( ) polinomlrın P ( ) polinomunun çrpnlrı, Q( ). B( ) yzılışın ise P ( ) polinomunun çrpnlr yrılmsı denir. Burd Q ( ) ve B ( ) çrpnlrının derecesi, ( ) derecesinden küçüktür ve bunlrın dereceleri toplmı P ( ) in derecesine eşittir. P in Tnım: Sbit olmyn iki polinomun çrpımı biçiminde yzılmyn polinomlr indirgenemeyen polinomlr; bş ktsyısı oln indirgenemeyen polinomlr d sl polinomlr denir. + indirgenemeyen polinomdur. + 5 sl polinomdur. 4 sl polinom değildir. Asl polinomlrın, R 0 elemnlrındn ve kendisinden bşk hiçbir böleni yoktur. { } POLİNOMLARI ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ I. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA Bir polinomun bütün terimlerinde ynı çrpn ( ortk çrpn ) vrs, çrpmnın toplm üzerine dğılm özelliği kullnılrk, terimler bu ortk çrpn prntezine lınbilir. + ifdesine krşılık gelen lnlr, şekilde olduğu gibi önce iki prç hâlinde çizilir, sonr bu lnlr birleştirilir. Her iki durumdki lnlrın eşitliğinden hreketle + ifdesi ( + ) biçiminde çrpnlrın yrılbilir.
2 Alıştırmlr. 4 0 = ( 5) =? 4 b + 6 b =? 4. ( )( ) ( )( ) + =? 5. ( ) ( ) ( ) +. =? =? 7. ( )( b) ( )( b) =? 8. ( ) ( ) b b + b =? 9. ( y) b ( y ).. =? II. GRUPLANDIRMA Verilen polinomun her teriminde ortk oln çrpn yoks ortk çrpnı oln terimler bir ry getirilerek gruplnır ve ortk çrpn prntezine lınır. Alıştırmlr. + 4 = ( ) + ( ) = ( )( + ) =? y + y y =? c c + = ? 5. c( b ) b( c ) + 9 =? 6. m n ny y my + + =? 7. mn( p q ) p q( m n ) =?
3 8. ( b ) b ( ) =? III. ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANMA Tnım: Bilinmeyenlerin her değeri için doğru oln çık önermelere özdeşlik denir. Tm Kre İfdeler ( ) + b = +.. b + b ( ) b =.. b + b ( + b + c) = + b + c +. ( b + bc + c) ( + b c) = + b + c +. ( b bc c) ( b c) = + b + c +. ( b + bc c) Kenr uzunluğu birim oln bir krenin iki kenrı, şekilde olduğu gibi b birim uztılır. Oluşn yeni krenin lnının, üzerinde bulunn prçlrın lnlrı toplmın eşit olduğu gerçeğinden hreketle; ( + b) = + b + b + b = + b + b eşitliklerinden yrrlnrk ( b) = b b özdeşliği bulunur.
4 4 Kenr uzunluğu birim oln bir krenin bir köşesine şekilde olduğu gibi kenr uzunluğu b birim oln bir kre çizilir. Büyük krenin lnının, üzerinde bulunn prçlrın lnlrı toplmın eşit olduğu gerçeğinden hreketle; ( - b) + b( - b) + b( - b) + b = ( - b) + b - b + b -b + b = ( - b) = - b + b eşitliklerinden yrrlnrk ( - b) = - b + b özdeşliği bulunur. Kenr uzunluğu + b + c oln bir kre şekilde olduğu gibi prçlr yrılır. Büyük kenrının lnının, üzerinde bulunn prçlrın lnlrı toplmın eşit olduğu gerçeğinden hreketle; ( + b + c) = + b + c + b + b + bc + c + cb + c = b c b c bc = + b + c +( b + c + bc) eşitliklerinden yrrlnrk ( + b + c) = + b + c +( b + c + bc) özdeşliği bulunur.
5 5 Sorulr = ( + 4).. 4. y 9 + y + =? + =? 4 4 m n m n =? 4 5. ( ) ( ) b b. b + b =? 6. ( y ) + =? =? ( ) ( )( y ) ( y ) =? = 5 ise, = ise, + =? () + =? (4) = 0 olduğun göre in kç tne pozitif tm böleni vrdır?. + = ise, =? (7). = ise, 4 + =? (7) b + = + b ise, + b =? () y y ifdesinin en küçük değeri için + y =? (-6)
6 6 İKİ KARE FARKI BİÇİMİNDEKİ İFADELER b = ( b).( + b) Kenr uzunluğu birim oln bir krenin köşesinden şekilde olduğu gibi kenr uzunluğu birim oln bir kre çıkrılır. Geriye kln şeklin lnının, I, II ve III numrlı lnlrın toplmın eşit olduğu gerçeğinden hreketle; = I + II + III = ( ) + ( )( ) + ( ) = ( )( + + ) = ( )( + ) eşitliklerinden yrlnrk, = + ( )( ) şeklinde çrpnlrın yrıldığı görülür. Sorulr. 6 5 =?.. = 5? 9 6 y =? 4. ( ) ( ) =? 5. ( ) ( ) =?
7 7 6. b =? b b + =? 8. ( b )( b ) ( ) =? b + 4b 4 =? y =? y 0 y =? =? () =? () İKİ KÜP TOPLAMI vey FARKI BİÇİMİNDEKİ İFADELER + b = ( + b)( b + b ) b = ( b)( + b + b ) Bir yrıtının uzunluğu birim oln bir küpün köşesinden, şekilde olduğu gibi bir yrıtının uzunluğu birim oln küp çıkrılır. Geriye kln ktı cismin hcminin, I, II ve III numrlı cisimlerin hcimleri toplmın eşit olduğu gerçeğinden hreketle; = I + II + III = ( ) + ( ) + ( ) ( )( ) = + + eşitliklerinden yrlnrk
8 8 = ( )( + + ) şeklinde çrpnlrın yrıldığı görülür. Sorulr.. + = 8? 6 =? b + b c =? 4. ( ) ( ) + =? b 8 64 b =? 5 5 y = y 7? 9 =? b =? + b =? n n 0. ( b) ( b) 6 + =?. = 0 olduğun göre, =? n ± b n BİÇİMİNDEKİ İFADELER B ve C iki kre frkı ile iki küp frkı vey toplmının nsıl çrpnlr yrılcğını görmüştük. n n Bu kez genel olrk ± b biçimindeki ifdelerin çrpnlr yrılmsını göreceğiz. n n b n n n ( b)( b b... n b n b ) n n b n n n ( b)( b b... n b n b ) = , n N ise + = + + +, n N ve n tek ise Sorulr
9 9... b =? =? 6 =? 5 4. =? 5. 7 = 8? 6. ( ) 5 + =? 7. ( ) 5 4 =? = ? + b =? b =? = 64? + y =? 0 + =? 4. ( ) =? ? ( ) ( ) ( )( ) + = + + = + den olur b + b =? 6 + =? = 64? =? y + y =? = olduğun göre, =? () = için ( 4 )( ) ifdesinin eşiti nedir?
10 0. = 0 olduğun göre, 5 =? BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı, ( + b) n çılımını verir. Bu çılımdki ktsyılr, Kombinsyondn y d Pskl üçgeninden yrrlnrk bulunur. n n! n, r N ve n r olmk üzere, = dir. r r!(n r)! n gösterimi, n elemnlı r li kombinsyon diye dlndırılır. r Kombinsyon Özellikleri. 0! =! = n n. = 0 n = n n. = n = n n n 4. = r n r 5. n n n n = 0 n n Örnekler Şimdi de ( + b) n çılımını görelim n n n n n + b =. +.. b +.. b b b 0 r n ( ) n n n n n r r n
11 0. ( ) + b =. +.. b +.. b +. b = +.. b +.. b + b ( ) y =. +..( y) +..( y) +..( y) +.( y) = 4 y + 6 y 4y + y 4 4 ( + b) 0 =... ( + b) =... Şimdi de Pskl Üçgenini görelim. ( + b) =... ( + b) =... ( + b) 4 = ( + b) 5 = ( + b) 6 = :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Pskl Üçgeninde, herhngi bir stırın komşu iki teriminin toplmı, bu terimlerin rsın düşen bir lt stırdki terimi verir. Bir yrıtının uzunluğu birim oln bir küpün bütün yrıtlrı şekilde olduğu gibi b birim uztılır. Oluşn yeni küpün hcminin, içinde bulunn prçlrın hcimleri toplmın eşit olduğu gerçeğinden hreketle; ( + b) = + b + b + b + b + b + b + b = + b + b + b
12 eşitliklerinden yrrlnrk ( b) b + b + b + = + özdeşliği bulunur. ( b) = ediniz. ( b) 4 + çılımındki ktsyılrın, yni 4. stırdki terimlerin eşit olduğu kombinsyonlr dikkt BİNOM AÇILIM İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ( b) n + çılımınd,. ( n + ) tne terim vrdır.. Her terimin derecesi n dir. n n r... b r r terimine genel terim dı verilir. Bu terim bştn ( r + ) inci, sondn ( n r ) 4. Ktsyılrın toplmı b = = için ( ) + inci terimdir. n n + = dir. b 4 0 ifdesi nın zln kuvvetlerine göre yzılırs, bu çılımd; i. Kç tne terim vrdır? ii. Bştn 8. terim nedir? iii. Sondn 5. terim nedir? iv. Ort terim nedir? v. İçerisinde 8 bulunn terim nedir?
13 vi. Ktsyılrın toplmı nedir? ( + b c) çılımdki terimlerden birisi 5 4 k.. b. c ise k =? 0 ifdesinin çılımındki sbit terim nedir? + b + c BİÇİMİNDEKİ POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Uyrı: + b + c polinomu b 4. c 0 ise R [ ] de çrpnlrın yrılbilir; b 4. c < 0 ise çrpnlrın yrılmz. A) = ise m + n = b ve m. n = c olmk üzere, + b + c = ( + m)( + n) dir. Sorulr = ( + )( + ) =?. y 5y + 6 =? 7. y 5y + 4 =? 4. m m 6 =? 8. ( m m) ( m m) =? =? 6 5. ( ) ( ). 8 =? 9. ( ) ( ) + 5 =? 0. ( ) ( ) =? B) ise ( )( ) b c m n p q + + = + + olsun. ( ) b c m. p. m. q n. p n. q + + = olur. Burd = m. p, b = m. q + n. p, c = n. q bulunur. O hlde bu koşullrı sğlyn m, n, p, q syılrını bulmlıyız. Bu syılrı bulmk için izlenen yolu şğıdki örnekleri inceleyerek öğreniniz. Örnek: = 6?
14 4 Çözüm: ( )( ) 6 + ( ). +. = ( Çprzlm çrpım ort terimi vermelidir ) Örnek: = 5? Çözüm: ( )( ) 5 = ( ) = ( Çprzlm çrpım ort terimi vermelidir ) Sorulr = 5? = 8b b 5? + + = 9y 0y? + = 4? = 6m 7m? = 4n n 4? m + p + k + kesrinin sdeleşmiş şekli olduğun göre m + p k =? (4) TERİM EKLEYEREK vey ÇIKARARAK ÇARPANLARA AYIRMA Aşğıd verilen ifdeleri çrpnlrın yırınız.
15 b + b DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ İLE ÇARPANLARA AYIRMA ( ) ( ) Alıştırmlr Aşğıdki ifdeleri çrpnlr yırınız.. m n p 8 m n q =?.. y y +. y =? m + m + =? ( y ) ( y)( y) 6 =? y =? =? y 4 4 b 4b 4 =? m + n =? ( ) ( ) 0, 007 0, 00 =? 0.. b b b =? 4 m + = 64?. 00 y y y =?
16 6. = 4 ve + b = ise, 0 + b + b kçtır? 4. + = 8 ve y = ise z =? z y yz 5. + = 8 ise, nın pozitif değerini bulunuz. 6. b = ve b = 0 ise. b =? 7. + y = ve. y = 8 ise + y =? 8. = 5 ise =? 9. + = ise, 0.. ( b ) c. ( b c ) = ve ün pozitif değerini bulunuz. + c b = 0 ise,. c =? POLİNOMLARDA OKEK ve OBEB Tnımlr Sıfırdn frklı en z iki polinom verilsin. Bu polinomlrın hepsine tm bölünebilen en küçük dereceli polinom, bu polinomlrın ortk krtlrının en küçüğü ( OKEK i ) denir. Bu polinomlrın hepsini tm bölen en büyük dereceli polinom, bu polinomlrın ortk bölenlerin en büyüğü (OBEB i ) denir. Bu polinomlrın sbit polinom dışınd ortk bölenleri yoks bu polinomlr, rlrınd sl polinomlr denir. Polinomlrde OBEB OKEK bulunurken, polinomlr önce sl çrpnlr yrılır. OBEB bulmk için ylnız ortk sl çrpnlrın en küçük üslüleri çrpılır. OKEK bulurken ortk sl çrpnlrın en büyük üslüleri ile ortk olmynlr çrpılır. Örnek: P( ) =. ( )( + ) Q( ) =.( ) ( ) polinomlrının OBEB ve OKEK lerini bulunuz. Çözüm:
17 7 =. ( ).( + )( ), OBEB =.. ( ) OKEK P( ) = Q( ) = polinomlrının OBEB ve OKEK lerini bulunuz. P( ) =.5. ( + ) Q ( ) = 5 ( + )( ) R( ) =.5 ( + )( ) polinomlrının OBEB ve OKEK lerini bulunuz. P(, y) = + y y Q(, y) y y = R(, y) = y y polinomlrının OBEB ve OKEK lerini bulunuz. 4 P( ) = Q( ) 4 4 = + polinomlrının OBEB ve OKEK lerini bulunuz. Tnım: RASYONEL İFADELER P ( ) ve Q ( ) gerçel ktsyılı iki polinom olsun. Q( ) 0 olmk üzere, ifdelere rsyonel ifdeler denir. P( ) Q( ) biçimindeki UYARI: Rsyonel ifdelerde sdeleştirme ve işlemler, rsyonel syılrd olduğu gibidir. ( + b). : b 4 b b + b + rsyonel ifdesini sdeleştiriniz. b b b + rsyonel ifdesini sdeleştiriniz.
18 8 UYARI: Rsyonel ifdelerde toplm ve çıkrm ypılırken, vrs önce sdeleştirme ypılır, sonr pydlrın OKEK i bulunrk pydlrı eşitlenir ve işleme devm edilir işlemini ypınız ve sonucu en sde biçimde yzınız. Sorulr Aşğıdki sorulrd verilen rsyonel ifdeleri en sde biçimiyle yzınız.. + =? b : =? b + b + b + b. + b b m m +. =? m m =? ( )( ) m + m =? + + y y ( y ) y + : =? 4 y y 7. + =? ifdesinin en sde biçimi nedir? ( + ) POLİNOM DENKLEMLER
19 9 Tnım: P ( ) R [ ] polinomund i gerçel syı lırsk, ( ) olur. Bu durumd P ( ) e polinom fonksiyon denir. P polinomu R den R ye bir fonksiyon Tnım: P ( ) bir polinom fonksiyon olmk üzere, P ( ) = 0 ifdesine polinom denklem denir. P ( ) = 0 denklemini sğlyn gerçel syılrın, denklemin kökleri (çözümleri), kökleri bulm işlemine denklemi çözme, denklemin köklerinin kümesine denklemin çözüm kümesi (doğruluk kümesi) denir. Tnım:, b R ve 0 olmk üzere, + b = 0 denklemine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Sorulr: Aşğıdki denklemlerin R deki çözüm kümelerini bulunuz... ( ) =. ( 5 ) = 7 5. ( ) ( ) =. ( + ) ( 5) 5. + = ( ) 5.. = RASYONEL DENKLEMLER Tnım: P ( ) ve Q ( ) birer polinom; R olmk üzere denklemler denir. P( ) Q( ) = = dır. P( ) ve Q ( ) P( ) Yni 0 Q( ) değerleri nlrız. P( ) = 0 biçimindeki denklemlere rsyonel Q( ) = denkleminin kökü deyince, Q ( ) i sıfır ypmyn ( ) P i sıfır ypn
20 0 = 0 + denkleminin R deki çözüm kümesini bulunuz = 9 denkleminin R deki çözüm kümesini bulunuz. Uyrı: Pydyı sıfır ypn değerler, çözüm kümesinin elemnı olmzlr. Sorulr: Aşğıdki denklemlerin R deki çözüm kümelerini bulunuz.. + = = = : = 5. 4 = 6. = = + 9
21 = = + : 4 = + Tnım:,, b c R ve (, ) ( 0,0) dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER b olmk üzere, + by = 0 biçimindeki denklemlere birinci + b y = c sistemine iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. + b y = c Denklem sisteminin çözümü hkkınd şğıdki yorumlrı ypbiliriz. b c = = ise sistemin çözüm kümesi sonsuz elemnlıdır. b c b c = ise sistemin çözüm kümesi boş kümedir. b c b ise sistemin çözüm kümesi bir elemnlıdır. b... Denklem sistemini çözmek için yoketme, yerine koym, krşılştırm gibi yöntemler kullnılbilir. Sorulr: Aşğıdki denklem sistemlerinin R deki çözüm kümelerini bulunuz.. + y = 5 y = = y 9 0 = y
22 .. y = 6y = 5 by = 4 by = 8 İKİDEN ÇOK BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İkiden çok bilinmeyenli oln denklem sistemleri, iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde sözü edilen yöntemler ile çözülür. + y = 5 y + z = ise =? z + = 4 + y = y z = 5 ise y + z =? 5 z = y + 6z = 4 + y + z = 5 ise + y + z =? Sorulr. bc = 0 b c = 4 + b = 6 ise c =?. + b + c = 0 + b + c = 9 denklem sisteminde + b + c = ise =? + b + c = 8
23 . y = 4 + 4y = z + y + z = 55 denklem sisteminde =? 4. + = 7 b + = b c 5 + c = ise =? BASİT KESİRLERE AYIRMA Verilen bir rsyonel ifdenin, bsit kesirlerinin toplmı biçiminde yzılmsı işlemine, rsyonel ifdeyi bsit kesirlere yırm işlemi denir. Tnım:, b, c, A, B, C R ; m, n A terimli olmk üzere, ( + b ) n + + üç terimlisi, R [ ] de çrpnlr yrılmyn üç B + C ve biçimindeki ifdelere, bsit rsyonel ifdeler denir. ( + b + c) m + N ve ( b c) Örneğin; 5 ( ) 7 ( ),, ifdeleri birer bsit rsyonel ifdedir. Uyrı: Bir rsyonel ifde, pydsının çrpn syısı kdr, bsit rsyonel ifdenin toplmı biçiminde yzılır. P( ) rsyonel ifdesini, bsit rsyonel ifdelerin toplmı biçiminde yzrken, şğıdki yollr Q( ) izlenir. A. P ( ) in derecesi Q() in derecesinden küçük ise;
24 4. Pydnın çrpnlrı ( b) + gibi birinci dereceden polinomlrdn oluşuyors, P( ) A A An = Q( ) + b + b + b n n biçiminde yzılır A B Örnek: = = + ( )( + ) + 4 ifdesini bsit kesirlere yırınız. Çözüm: A B A + A + B B = = + = 4 ( )( + ) + ( )( + ) ( A + B) + A B = ( )( + ) ( )( + ) Pydlr eşit olduğundn Pylr eşit olmlıdır. ( ) = A + B + A B Polinomlrın eşit olmsı için, eşit dereceli terimlerin ktsyılrı eşit olmlıdır. A B 0 A B A B = B B = B = ise, 4 + = = ve ( ) A = bulunur = = olur. ( ) Uyrı: P = A + B ( )( b) b şğıdki yol izlenir. biçimine dönüştürülebilen ifdelerin A ve B sbitlerini bulmd
25 5. Her iki trfın pydlrı eşitlenerek pydlr tılır. P( ) = A( b) + B( ). = 0 = denklemde yerine yzılrk P( ) A = olrk bulunur. b. b = 0 = b denklemde yerine yzılrk P( b) B = olrk bulunur. b Bu yöntem her zmn kullnılbilecek bir yöntemdir. Dikkt edilirse. Mddede elde edilen denklem [ P( ) = A( b) + B( ) ] bir özdeşliktir ve yerine yzılck herhngi bir reel syı bu denklemi sğlr. Bu yöntemi öğrenip kullnmk bizi fzl işlem ypmktn kurtrcktır. Örnek: ( ) ifdesini bsit kesirlere yırınız. Çözüm: A B A( ) B( ) ( ) = + = + = ise, = A. ( ) + B. ( ) B = = 0 lınırs, = A. ( 0 ) + B. ( 0) A = bulunur. Burdn d A B = + = + ( ) olur. k + ( k + )( k + ) ifdesini bsit kesirlere yırınız.. Pydnın çrpnlrı rsınd ( b) n + biçiminde bir çrpn vrs, P( ) A A An = Q( ) + b + b + b ( ) ( ) n biçiminde yzılır. Örnek: + 7 A A A ( ) = + + ( ) ( ) dir.
26 6 Örnek: + + A A A = + + ( + 4).( ) + 4 ( ) dir.. Pydnın çrpnlrı rsınd, çrpnlr yrılmyn ( b c) A + B toplmı oluşturn ifdelerin rsınd, bsit rsyonel ifdesi bulunur. + b + c + + gibi üç terimli vrs, 7 A + B C Örnek: = + ( + )( ) + dir. Örnek: ( ) +. ( ). ( + ) A + B C + D E F G = ( + ) ( ) + dir. Örnek: A + B C + D = + ( + + 4)( + 7) ( + + 4) ( + 7) dir. B. P() in derecesi Q() in derecesinden büyük y d eşit ise, P ( ), Q ( ) e bölünerek B ( ) bölümü ve K ( ) klnı bulunur. Böylece eşitliği yzılır. Dh sonr K( ) Q( ) P( ) K( ) = B( ) + Q( ) Q( ) rsyonel ifdesi, bsit rsyonel ifdelerin toplmı biçiminde yzılır. Örnek: Örnek: + + = ( + ) = ( ) + = + = + + A B + + ( + )( ) + + ( )( + ) rsyonel ifdesini, bsit rsyonel ifdelerin toplmı biçiminde yzınız. Sorulr: Aşğıdki sorulrd verilen rsyonel ifdeleri, bsit kesirlerin toplmı biçiminde yzınız. + 5.? = =?
27 7. =? ( + 4 ) =? 5. + ( )( + ) =? + ( + )( ) 6. =? ? = ( + ) =? + + =? + 0. =?
28 Dosy dı: ÇARPANLARA AYIRMA KONU ANLATIMI Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET Şblon: C:\Users\TOLGA\AppDt\Roming\Microsoft\Templtes\Nor ml.dotm Bşlık: POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Konu: Yzr: TOLGA KURTYEMEZ Anhtr Sözcük: Açıklmlr: Oluşturm Trihi: :46:00 Düzeltme Syısı: Son Kyıt: :46:00 Son Kydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 0 Dkik Son Yzdırm Trihi: :46:00 En Son Tüm Yzdırmd Syf Syısı: 7 Sözcük Syısı:.84(yklşık) Krkter Syısı:.74(yklşık)
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın
1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür.
OLİNOMLAR o,,,... n, n birer reel syı, n bir doğl syı ve belirsiz bir elemn olmk üzere, o.. n n... n. n. biçimindeki ifdelere e göre düzenlenmiş reel ktsyılı ve bir belirsizli polinom denir. in bir polinomu,,r,t,k
ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM
YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir
RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?
Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8
SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3
Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110)
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
2011 RASYONEL SAYILAR
011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel
SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER
ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı
İkinci Dereceden Denklemler
İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen
Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin
Bu ürünün ütün hklrı ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne ittir. Tmmının y d ir kısmının ürünü yyımlyn şirketin önceden izni olmksızın fotokopi y d elektronik, meknik herhngi ir kyıt sistemiyle
TYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir
RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()
1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (
0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.
MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
www.ortokulmtemtik.org BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İçerisinde en z bir bilinmeyen bulunn eşitliklere denklem denir. Denklemde semboller y d hrfler ile gösterilen değişkenlere bilinmeyen denir. Denklemde
Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?
RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine
Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3
.Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)
b göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler
www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler
MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK
MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI İ LE BÖ LÜNEBİ LME Syımızın irler smğı çift (son rkmı 0) ise syımız iki ile tm ölünür. 0 0 v. iki ile ölünür. syısı iki ile
İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK
İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK Mtemtiğe Giriş... 1 Temel Kvrmlr... 9 Doğl Syılrd Bölme İşlemi... 65 EBOB - EKOK... 93 Rsyonel Syılr... 111 Bsit Eşitsizlikler... 131 Mutlk Değer... 151 Çrpnlr Ayırm... 169
TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,
Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b
a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:
1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu
c
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.
II. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
3 kesri on ikide üç şeklinde okunur. a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, a a.k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi )
RASYONEL SAYILAR A Rsyonel Syı ve irer tm syı ve 0 olmk üzere, içiminde yzılilen syılr rsyonel syı denir Rsyonel syılr kümesi Q ile gösterilir Q { : ve tm syı ve 0 } dır ifdesinde y py, ye de pyd denir
Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:
Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrın toplmı: 1 + 2 + 3 +...+ n =.(+) Ardışık çift syılrın toplmı : 2 + 4 + 6 +... + 2n = n.(n+1) Ardışık tek syılrın toplmı: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n.n=n 2
1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.
LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri
Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x
ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.
ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +
KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK
MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı
LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ
LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n
LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01
LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 0. f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu 6. 7 f() = log ( ) fonksiyonunun tnım bulunuz? rlığı nedir?. + f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz? 6 log? 8 = 7.. f() = log
Her hakkı saklıdır. Bütün hakkı AKADEMİA YAYINCILIK A.Ş. ne aittir. İçindeki şekil, yazı, metin ve grafikler, yayın evinin izni olmadan alınamaz;
Her hkkı sklıdır. Bütün hkkı AKADEMİA YAYINCILIK A.Ş. ne ittir. İçindeki şekil, yzı, metin ve grfikler, yyın evinin izni olmdn lınmz; fotokopi, teksir, film şeklinde ve bşk hiçbir şekilde çoğltılmz, bsılmz
Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:
08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5
5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
D) 240 E) 260 D) 240 E) 220
01 Test Ünite? AYT Mtemtik EBOB - EKOK 1. 240 ve 300 syılrının en büyük ortk böleni kçtır? A) 20 B) 40 C) 60 3. 18, 24 ve 32 syılrının en küçük ortk ktı kçtır? A) 248 B) 260 C) 276 5. Kenr uzunluklrı 60
1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
TEMEL KAVRAMLAR. TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tam sayılarda dört işlem yapılırken, işlem önceliklerine dikkat edilmelidir.
TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde mtemtiğin en temel kvrmlrı incelenecektir. Temel mtemtik bilgilerinin kvrnmsı ilerleyen bölümlerde önemli olcğındn eksiksiz bilinmesi şrttır. Bu konud tm syılrd dört işlem üzerinde
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................
6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.
TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
![LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.](/thumbs/63/48686411.jpg "LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.")
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - 1-1 - 1 Pozitif tmsyılr,negtif tmsyılr ve 0 ın ererce oluşturduğu kümeye Tmsyılr kümesi denir Z ile gösterilir SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR Temel
ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.
eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b
İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.
DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli
ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI
ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı
1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.
LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.
MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]
![MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]](/thumbs/57/40722092.jpg "MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]")
3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2
LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm
LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.
4. a sıfırdan farklı bir rasyonel sayı olduğuna göre,
. BA ve AC iki bsmklı, ABC üç bsmklı doğl syıdır. Bun göre, ABC BA AC 0,A 0,0A 0,00A ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? 3. Rkmlrı frklı üç bsmklı ABC doğl syısının rkmlrı birer kez kullnılrk elde edilen
Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?
ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d
(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin
4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?
Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi
Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı
c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.
FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle
Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı
Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı
Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)
BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod
TYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.
Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )
SAYILAR ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI SAYILAR MATEMATİK TEMEL KAVRAMLAR BÖLME VE BÖLÜNEBİLME RASYONEL SAYILAR DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÜNİVERSİTEYE
Yeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
İntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
I. b çift ise a b tek (doğru) II. b tek ise a + b çift (doğru) x, y ve z çift sayı olmamalıdır. III. a 6 + a b (yanlış)
TYT / MATEMATİK Deneme -. olsun. 0 0 0,, 0 09 9 + + + + 0,, 0 0$ ulunur. 0 0 4. ^5 5h 5 5 $ $ 6 ulunur. ^5 5 h ^ 5 5 h Cevp : D Cevp : D. + + 0 + + + + 8 8 Toplm 8 8 ^4h ulunur. 5. Asl syılr {,, 5,,,,,
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,
a 4 b a Cevap : A Cevap : E Cevap : C
TYT / TETİK Deneme - 8., 8 - - - - 8-8 - & - - $ c- m + 5 5 0 0 -. 5 5 $ 75. 5 75 89 5 75 5-9 ^5-9h$ ^5 + 9h 5 ^5-9h$ ^5+ 9h $ 7 evp : 5.. 00 + 0 + 00 + 0 + + 00 + 0 + ( + + ) 55 - - 0 & - 0 & olmlıdır.
a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade
ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..
1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160
8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
MATEMATİK.
MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl
1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd
Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı
Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü