FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR

Transkript

1 YILLAR ÖSS-YGS LYS FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye de değer kümesi denir A nın elemnlrının B de eşleştiği elemnlrın kümesine de A nın görüntü kümesi denir ve f(a) ile gösterilir UYARI-: A dn B ye tnımlnn f ğıntısının fonksiyon olmsı için; ) A d çıkt elemn olmmlı, B de çıkt elemn olilir ) A dki ir elemnın B de iki yd dh fzl elemnl eşleşmemesi gerekir ÖRNEK() f : R R tnımlı + f : {(,y) y= } ğıntısı ir fonksiyon mudur? ÖRNEK() A={,0,,} ve B={,0,,,8,6} kümeleri veriliyor A dn B ye f fonksiyonu f :{(, y) y= } olsun f () = olur = için y =, = 0 için y = 0 = için y =, = için y = 6 olur Burd F(A)={0,,6} dır y= + ğıntısının ir fonksiyon olmsı için tnım rlığınd ifdeyi tnımsız ypn ir değerin ulunmmsı gerekir Bu ğıntının tnım rlığı Reel syılrdır Ve u ğıntıyı tnımsız ypn ; ² - = 0 = - ve = değerleri irer reel syıdır Yni ifdeyi tnımsız ypn değerler tnım kümesinin ir elemnıdır u yüzden u ğıntı ir fonksiyon olmz ÖRNEK() f:r R tnımlı f : {(,y) y= + ) ğıntısı ir fonksiyon mudur? ÖRNEK() A={,,0,,} ve B={0,,,} kümeleri veriliyor A dn B ye f fonksiyonu f :{(, y)i y= } olsun f () = olur = için y=, = için y=, =0 için y=0, = için y= olur urd F(A)={0,,} dır y= + ğıntısı tnım rlığındki hiçir değer için tnımsız olmz çünkü + ifdesini 0(sıfır) ypk hiçir reel syı yoktur Bu yüzden u ğıntı ir fonksiyondur wwwgloldersom 98

2 NOT : Grfiği verilen ir ğıntının fonksiyon olup olmdığını nlmk için ğıntının tnım kümesinin her noktsındn OX eksenine dikmeler çizilir ) Tüm dikmeler grfiği kesiyors, ) Dikmelerin her iri grfiği ir noktd kesiyors, ğıntı ir fonksiyondur FONKSĐYON ÇEŞĐTLERĐ f: A B ir fonksiyon olsun A;tnım kümesi, B;değer kümesi olmk üzere; ) ĐÇĐNE FONKSĐYON: f: A B fonksiyonu için B de en z ir oşt elemn klıyors yni, f(a) B ise f ir içine fonksiyondur f(a) B f:r R için f(a)={,5} ve f(a) B yukrıd grfiği verilen ğıntı ir fonksiyon değil F: R R için ) ÖRTEN FONKSĐYON: f:a B fonksiyonu için s(a) s(b) olmk üzere f(a)=b yni B de çıkt elemn klmıyors f ye örten fonksiyon denir Bğıntısı ir fonksiyondur f:[,5) R için ) BĐREBĐR FONKSĐYON: f:a B fonksiyonu için s(a) s(b) olmk üzere A nın her elemnının B deki görüntüsü frklı ise f, ireirdir Verilen rlıkt ğıntı ir fonksiyondur y=f() ireir fonksiyonu için; i) f () f ( ) ii) f () = f ( ) = dir wwwgloldersom 99

3 NOT : y=f() şeklindeki ir fonksiyonun değer kümesinin her noktsındn OY eksenine dikmeler çizilir, i) Grfiği kesmeyen dikme vrs f, içine fonksiyondur ii) Grfiği kesmeyen dikme yoks f, örten fonksiyondur iii) Grfiği kesen dikmelerin her iri grfiği sdee ir noktd kesiyors f, ireirdir ) SABĐT FONKSĐYON: f: A B ir fonksiyon olsun A nın her elemnının B deki görüntüsü ynı ise f, sit ir fonksiyondur A için f()= ve B f()=, g()=/ gii SABĐT FONKSĐYONUN GRAFĐĞĐ + UYARI-: f () = fonksiyonu sit + d fonksiyon ise = olmlıdır d ÖRNEK(5) ( ) f: R ± R, f()= fonksiyonu ir sit fonksiyon ise =? yol: Bu ir sit fonksiyon ise in tüm değerleri için ynı sonuç çıkmlıdır O hlde iz de e 0 ve değerlerini verir, ulduğumuz sonuçlrı eşitleyerek yı uliliriz( e 0 ve den frklı değerler de vereilirsiniz Biz koly olsun diye 0 ve i seçtik) = 0 için = için ( )0 ( ) = 0 = = = - = ulunur 5) BĐRĐM FONKSĐYON: f:a A, kurlı ile verilen f()= fonksiyonun irim fonksiyon denir(i()= ) ÖRNEK(6) f:r R de tnımlı f irim fonksiyonu, f()=( ) +(+) ( ) ise ++=? f () = ( ) + + ( ) = 0 0 = 0 + = = 0 = + = (-) = 0 = - - = 0 = - = - yol: ynı dereeli terimlerin ktsyılrı ornı sit olğındn ; = + = = - = - = olur wwwgloldersom = + (-) + (-) = - ulunur EŞĐT FONKSĐYONLAR: f: A B ve g:a B iki fonksiyon olsun A için f() = g() oluyors f ve g fonksiyonlrın eşit fonksiyonlr denir ve f = g şeklinde gösterilir

4 ÖRNEK(7) A={0,}, B={0,} kümeleri veriliyor f:a B, f()= ve g:a B, g()= ise f = g midir? Eşitliği isptlmk için tnım kümelerinden lınn elemnlrı fonksiyonlrd,işleyip sonuçlrın eşit olup olmdığın krız A={0,} kümesi için; = 0 için f(0) = 0² = 0 ve g(0) = 0 = 0 = için f() = ² = ve g() = = görüldüğü gii tnım kümesinin ynı elmnlrı ynı sonuçlrı verdi o hlde f = g dir NOT : s(a)=n ve s(b)=m olmk üzere; ) A B ye tnımlı fonksiyon syısı; m n dir ) A B ye tnımlı - fonksiyon syısı; m! P(m,n)=, (m n) dir (m n) ) A A y tnımlı - örten fonksiyon syısı; n! P (n, n) = = n! dir (n n)! ) A d tnımlnn - örten olmyn fonksiyon syısı; n n n! dir 5) A B ye tnımlı sit fonksiyon syısı; m dir 6) A B ye tnımlı fonksiyon olmyn ğıntı syısı; mn m n dir TEK VE ÇĐFT FONKSĐYON: f:r R tnımlı ir fonksiyon için i) R için f( ) = f() ise f, çift, ii) R için f( ) = f() ise f, tek tir Aşğıdki fonksiyonlrı ineleyin ) f() = + f(-) = (-) - = - - = -( +) = -f() tek ) f() = + f(-) = (-) + = ²+ = f(), çift ) f() = + f(-) = (-) +(-) = ²-- f() -f() ne tek ne çift UYARI-: i) A(,y) noktsının y eksenine göre simetriği A(,y) noktsı olduğundn çift fonksiyonlrın grfiği y eksenine göre simetriktir ii) A(,y) noktsının orjine göre simetriği A(, y) noktsı olduğundn tek fonksiyonlrın grfiği orjine göre simetriktir ÖRNEK(8) A={,,}, B={,,,} olmk üzere; s(a)= ve s(b)= ) A B tnımlı ğıntılrdn =6 tnesi fonksiyondur ) A B tnımlı : fonksiyon syısı! P(,)= = tür ( )! ) A A tnımlı : ve örten fonksiyon syısı! P(,) = =! = 6 dır ( )! d) A d tnımlnn : ve örten olmyn fonksiyon syısı!=7-6= dır e) A B tnımlı sit fonksiyon syısı tür f) A B tnımlı fonksiyon olmyn ğıntı syısı = 6 9 = 59 dır FONKSĐYONLARDA DÖRT ĐŞLEM : f: A R ve g:b R fonk verilsin (A B φ) ) f+g : A B R ; (f+g)()=f()+g() ) f g : A B R ; (f g)()=f() g() ) fg : A B R ; (fg)()=f()g() ) f/g : A B R ; (f/g)()=f()/g(), (g() 0) 5) R olmk üzere f : A R, (f)()=f() wwwgloldersom 0

5 f() = + ve g() = için f+g = ++ = + f g = + + = +5 fg = (+)( ) = ² 6 f={(,),(, ),(,6),(6,)} g={(0,),(,),(5, 6),(6,)} ise f ve g nin tnım kümelerinin kesişimi:{,6} f+g = {(, +),(6,+)} = {(,),(6,)} f g = {(, ),(6, )} = {(, 6),(6, )} f g = {(,( ) ),(6, )} = {(, 8),(6, )} g+ = {(0,+),(,+),(5, 6+),(6,+)} = {(0,6),(,7),(5, ),(6,6)} SIRA SĐZDE: Grfik sorulrınd ilk öne koordintı elli oln noktlrı elirleyip fonksiyonunu yzmk işinizi kolylştırktır f() = f(0) = f(-) = 0 f(-) = - f() = ise f () = olur f(-) = - ise f ( ) = olur Şimdi ulunn değerleri sorud yzlım; ÖRNEK(9) f:{(,5),(,7),(5,9)}ve g:{(,),(5,),(7,)} fonksiyonlrı veriliyor ) f()+g(5)=? C:9 ) f+g fonksiyonunu ulun C: f+g:{(,8),(5,0)} BĐR FONKSĐYONUN GRAFĐĞĐ : f ( ) + f (0) + = = = f () + f ( ) ulunur ÖRNEK() Fonksiyonu gerçekleyen (,y) ikililerinin Anlitik düzlemde elirttiği noktlr kümesine denir ÖRNEK(0) Şekle göre f [f( )]=5 eşitliğini sğlyn iririnden frklı değerlerinin çrpımı kçtır? Dh öne de dediğimiz gii koordintı elli oln noktlrı tespit edelim f ( ) + f (0) Yukrıdki grfiğe göre; =? f () + f ( ) wwwgloldersom 0

6 f(0) = 5 = { = { fofofof fofof (f ) (fof )(f (0)) 0 = f (f { ()) = f (5) = 8 ulunur 5 F(-) = 0 f() = 0 f(5) = 0 f(0) = 5 ise f [f ( )] = 5 urdn ; 0 f(-) = 0, f() = 0, f(5) = 0 ise f ( ) = 0 olur Burdn ; = -, = 0, - = 5 = - = = 6 = - = ½ = ÖRNEK() lerin çrpımı : = olur BĐR FONKSĐYONUN TERSĐ: f:a B tnımlı - ve örten ir fonksiyon olsun f:a B, f() = y ise f :B A, f (y)= olur Burd, f fonksiyonun f in ters fonksiyonu denir y = f() = f (y) TEMEL KURAL: Fonksiyon y ye eşitlenip çekilir Fonksiyonun tersi lındığınd tnım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinden dh sonrd yerine y = f (), y yerine de yzılrk fonksiyonun tersi elde edilir ÖRNEK() f()=+ ise f ()=? öne fonksiyonu y ye eşitleyelim ve i urdn çekelim Yukrıdki şekle göre (fofofof)( )=? Yine koordintı elli oln noktlrı yzmkl şlylım f(0) = f() = 5 f(5) = 8 + = y = y y = y y= o hlde fonksiyonunu tersi f ()= olur PRATĐK KURAL: f(-) = 0 tnımlı değil wwwgloldersom 0 f:r R, f()=+ f ()= f:r R, f()= + + f d+ ()= d

7 y=f() in grfiği ile y=f () in grfiği y= doğrusun göre simetriktir f ()= f()= dır + 5 f () = f 7 f () = f + 7 () = + 5 () = ÖRNEK() f() = - fonksiyonu veriliyor Bun göre f (7) kçtır? Đkini dereeden fonksiyonlrın tersini lmk için tmkreden fydlnırız f() = ++ = y ++ = y (+)² = y ( + ) ² = y + = y + = m y = m y y f () = m yol öne fonksiyonun tersini ullım (prtik yol kullnılırs) ( ) + f = ve 7+ 9 f (7) = = = ulunur yol + ÖRNEK(7) R {} de tnımlı f()= fonksiyonu : ve örten ise değer kümesi nedir? Bir fonksiyon : ve örten ise tersi de ir fonksiyondur y = f() = f (y) olduğundn ters fonksiyon 7 ye eşitlenir f()= + f () = + + f() = - = 7 = 7+=9 = ulunur ÖRNEK(5) f() = ²+ fonksiyonu veriliyor f () in negtif değeri kçtır? f () in fonksiyon olilmesi için ifdeyi tnımsız ypn değer olmmlıdır Burdn f () in tnım kümesi R {-} olmlıdır(-, pydyı sıfır ypr) f () in tnım kümesi f() in değer kümesi olduğundn evp : R {-} olur Yukrıdki sorud kullnıln yolu kullnırsk; f() = ²+ = ² = - ² = 8 ² = =m olur Negtif değer istendiğinden evp dir ÖRNEK(6) f() = ++ ise f () =? (*tm kre den fyd) wwwgloldersom 0 + UYARI-: f()= fonksiyonu + d R {pydnın kökü} R{limit} için - ve örtendir(bir fonksiyonun tersinin olilmesi için - ve örten olmsı gerekir) ÖRNEK(8) f:r {} R {} de tnımlı + f () = için =?

8 { } { } R pydnın kökü R limit -=0 lim + = = = = ve = =6 urdn = 6= olur BĐLEŞKE FONKSĐYON: f:a B ve g:b C olmk üzere gof:a C, (gof)()=g(f()) içiminde tnımlnn gof fonksiyonun f ile g nin ileşke fonksiyonu denir ÖRNEK(9) f:r R, f()= ve g:r R, g()=+5 ise fog ve gof u ulun (fog)() = f(g())=f(+5)=(+5) =6+5 = 6 + (gof)() = g(f())=g( ) = ( )+5 = 6 +5 = 6 + ulunur NOT : Bileşke işlemlerinde sğdn sol doğru işlem ypılır BĐLEŞKE ĐŞLEMĐNĐN ÖZELLĐKLERĐ: ) fog gof ) fo(goh) = (fog)oh ) fof = f of = I, ( I()= irim fonksiyon) ) (f ) = f 5) f ve g fonksiyonlrı - ve örten ise; (fog) = g of 6) foi = Iof = f dir + ÖRNEK(0) f()=, g()= ise (gof)(), (fog)(), (fof)() değerlerini ulunuz Değer istenen sorulrd ileşke fonksiyon lınmdn d işlem ypılilir (gof)() = g(f()) = g + =g(9) g(9) = 9² - = 78 (gof)() = 78 (fog)()=f(g())=f(² - ) f()= + = 5 (fog)() = (fof)() = f(f())= f = f ( 5) ( 5) + f ( 5) = = 5 (fof)() = olur ÖRNEK() f()= ve (gof)()=5+ ise g()=? (gof)() = 5+ g(f()) = 5 + g( ) =5 + şimdi (-) ün tersini lıp son elde edilen ifdede gördüğümüz yere yzlım ( ) + = + + g = g() = 5+ g() = olur (yptığımız işlem,gof fonksiyonun sğdn f fonksiyonunun işlemekten irettir (gof)o f = g(fo f ) = goi = g wwwgloldersom 05

9 ÖRNEK() f (+) = +7 ve g( )= +5 ise (fog)(5)=? f (+) = +7 ise f(+7) = + (iç ve dış yer değiştirine fonksiyon tersine döner) (fog)(5) = f(g(5)) = f(9) = olur (C: (fog)()=6 6 ve (gof)()=6+9 ) ÖRNEK(5) f()=5, g()= + ise (gof)(), (fog)(), (fof)() değerlerini ulunuz g( ) = g(5) = + 5= + 5= 9 = == { f ( +7 ) = f (9) = + = + = + = == { PERMÜTASYON FONKSĐYON: (C: 9,,) ÖRNEK() f()= +, (fog)()= +6+8 olduğun göre g() şğıdkilerden hngisi olilir? A) + B) C) + D) E) + (fog)()= +6+8 f(g()) = +6+8 (f de yerine g() yzlım) (g()) +g()= +6+8 (her trf ekleyelim) (g()) +g() += (g()+)² = (+)² ( + ) = ( + ) g( ) + = + g ² ² g()+ = + ve g()+ = - - g() = + g() = - - o hlde evp E şıkkıdır SIRA SĐZDE : ÖRNEK() f:r R, f()=+ ve g:r R, g()= 5 ise fog ve gof u ulun A sonlu ir küme olsun A A y tnımlı - ve örten her fonksiyon A nın ir permütsyonu denir A={,,} kümesinde tnımlı f={(,),(,),(,)} fonksiyonu - ve örten olduğundn A nın ir permütsyonudur ve f = şeklinde gösterilir NOT 5 : i) Permütsyon fonksiyond üst stır tnım kümesi, lt stır d değer kümesidir ii) fog işlemi ypılırken g den f ye gidilir ÖRNEK(6) A={,,,d} f = d d g= permütsyonlrı veriliyor un göre; kümesinde d d ) fog =? ) gof =? )foh = g eşitliğini sğlyn h permütsyonunu ulunuz wwwgloldersom 06

10 ) (fog)() = f(g()) = f() = (fog)() = f(g()) = f() = (fog)() = f(g()) = f() = (fog)(d) = f(g(d)) = f(d) = d o hlde ) fog = (gof)() = g(f()) = g() = (gof)() = g(f()) = g() = (gof)() = g(f()) = g() = (gof)(d) = g(f(d)) = g(d) = d o hlde ) gof = d d d d foh = g ifdesinde her iki trf soldn f işleyelim f o(foh) = f o g ( f of)oh = f o g Ioh = h = şimdi ize f o g f o g d f = d f fonksiyonu lzım f = f = f = f = d f = f = f = d f d = d f d = d h = ( f og)() = h = ( f og)() = h = ( f og)() = h = ( f og)(d) = o hlde f (g()) = f (g()) = f (g()) = f (g(d)) = d h = olur d ÖRNEK(7) A={,,,d} f = d d g= f () = f () = f () = f (d) = d permütsyonlrı veriliyor un göre; kümesinde d d ) fog =? ) gof =? ) foh = g eşitliğini sğlyn h permütsyonunu ulunuz d ) fog = d d ) gof = d d ) h = d f d d = f = d d d d f og= o d d wwwgloldersom 07

11 GENEL ÖRNEKLER: ÖRNEK(8) Bir f fonksiyonu, f()=f(+) ğıntısını sğlmktdır f()=5 ise f()=? yol = için f()=f() 5 = f() f() = 9 = için f()=f() 9 = f() f()= Bulunur yol = için f()=f() = için + f()=f() (f() ler gider) f() = f() 8 5 = f() 8 f() = ulunur (u yol örneğin f() verilip f(0) gii üyük değer sorulun dh prtiktir) ÖRNEK(9) g()= ve (fog)()= ise f ( 5)=? Öne istenen fonksiyon ulunur f(+) = + Burdn çekilir f(+) = + =f(+) f + = { f () f(+) = f²() ulunur ÖRNEK() R R ye f()=+, + g() = fonksiyonlrı veriliyor 6 (gof)()= ise +=? (gof)()= ise gof fonksiyonu irim fonksiyondur (I() = olduğunu htırlyın) fog = I ise fof = I olduğundn g fonksiyonu f nin tersi olmlıdır yni g =f dir g () = 6 = f() = + urdn = 6 ve = - çıkr O hlde + = 6+( ) = olur ÖRNEK() (fog)()= f(g()) = f(-) = - f ( - { ) = f ( 5) = = ( ) = 5 = 5 = = ulunur Grfik R R [5,7) de tnımlı f fonksiyonun ittir f (0)+f(0)+f()=? ÖRNEK(0) f()= olduğun göre, f(+) nin f() türünden eşiti nedir? wwwgloldersom 08

12 Öne koordintlrı elli oln noktlr klım f(0) = f() = 7 f(-) = 0 g fonksiyonund 0 < olduğundn kullnılır g(0) = 0 = - tür f fonksiyonund olduğundn kullnılır f(-) = 6 (-) = 6 ve = - ulunur f(-) = 0 ise f (0) = - tür f (0)+f(0)+f() = = 8 olur ÖRNEK() R R de tnımlı f()=+ ve g()= fonksiyonlrı veriliyor (fog)()=9 denklemini sğlyn değerlerinden iri AHngisidir? A) B) C) D) E) (fog)()=9 f(g()) = 9 f(²-) = 9 ²-+ = 9 ( )² = ² = = ve = - = 5 = - evp C şıkkıdır ÖRNEK() +, > ise f () = ve, ise, ise g () = fonksiyonlrı, < ise veriliyor (fog)(0)=6 ise =? (fog)(0)=6 ise f g 0 = 6 f(-) = 6 { wwwgloldersom 09 ÖRNEK(5) Birini dereeden f() fonksiyonu için f(f())=f()+ olduğun göre f()=? f f = f + f() = += eder f() = dersek { { ÖRNEK(6) Tnımlı olduğu değerler için f() = +, (g of)() = + ise g() şğıdkilerden hngisidir? A) B) + D) E) C) + + f() = + f( ) = (g of)() = + g(+) = f() ( iç dış ) g( +) = + ( ) + g( + ) = g() = ulunur

13 ÖRNEK(7) f()+f( ) = +6 ise f()=? Toplm irini dereeden olduğundn f() de irini dereedendir f() = + olsun f()+f( ) = +6 (+) +[(-)+] = = +6 + = +6 = ve = 6 = = 6 = 0 = 5 o hlde f() = +5 olur ÖRNEK(8) f(y)=f() f(y), üzere f()=5 ise f(7)=? f(7)=f(9) = f( 9 ) f { ( ) f () = f ()f () = f()f()f() = 555 = 5 olur ( y) olmk ÖRNEK(0) f(+)=f() ve f()= ise f(9)=? f(+)=f() = için f(+)= f() f()= f() = için f(+)= f() f()= f() = için f(+)= f() f()= f() =8 için f(8+)= f() f(9)= 8f(8) lt lt çrptığımızd f(9) = f() 8 f(),f() f(8) gider f(9) = 8! ulunur ÖRNEK() f( ++7)= ise f( ++7)= ise f = f ()=? f + = (+ ) + (+ ) + 7 f = f 0 = + + ulunur ÖRNEK(9) f()=, g()= ve (fog)()= ise +=? (fog)()= ise fog fonksiyonu irim fonksiyondur Bu durumd f, g nin tersidir f =g f ( ) = ve g() = + = + = = ve - = + = = = - 6 o hlde + = + ( 6) = = ulunur wwwgloldersom 0 ÖRNEK() ise g()=? fog fog = g of = gof (go f )() = + g ( f ()) = + g + = + g() = (-)+ = + g() = ulunur () = + ve f()= f () = +

14 ÖRNEK() f:r {} R {} ve f () = ise ve f nin tersi vrs (,)=? yol UYARI- gereği f() in pydsının kökü ve f() in limiti olmlıdır = 0 = 0 = 6 limf() = = = 9 o hlde (,) = (9,6) olur yol f() = f() (-f()) = f() f () = f () son olrk in f() insinden değerini f(-) de yzrız; f () f () + f () f () f () f ( ) = = f () f () f () f () f () f () f ( ) = f () f () f () f ( ) = elde edilir f () ÖRNEK(5) (limit ilmeyenler için) f() in pydsını sıfır ypn dir f () in pydsını sıfır ypn tür = 0 = 0 = 6 f () = olduğundn ; = 0 = 0 = 9 urdn (,) = (9,6) ulunur ÖRNEK() f () = ise f( ) in f() + türünden değeri nedir? (95 öss) Öne f(-) i ullım f fonksiyonund yerine - yzrsk f ( ) = = + Verilen grfikte g()= ise f( )+f()=? =-, = noktlrın krşılık gelen y değerleri her iki fonksiyond d ynıdır Yni f(-) = g(-), f() = g() dır (,0) noktsı g fonksiyonunun üzerinde olduğundn denklemini sğlr (,0) g()= =0 = olur O hlde g() = - dir f(-) = g(-) = = ve zten f() = 0 dır sonuç : f( )+f()= -+0 = - olur şimdi f fonksiyonund i çekeriz f () = f()+f() = + wwwgloldersom

15 ÖRNEK(6) f( + )= +6 5 ise f()=? (*dönüşüm uyg) f( + )= +6 5 f ( + ) = ( + ) t f(t) = t (t yzrsk) f() = ulunur NOT 6 : f(t)=t ise f()= tir ÖRNEK(7) t f () = veriliyor = - için f ( ) = = = = = 0 için f (0) = 0 0 = 0 = = için f () = = = = 0 o hlde f( )+f(0)+f() = ++0 = olur ÖRNEK(9) f ( 7) f (5) Yukrıdki grfiğe göre; =? f ( ) + f ( ) f( ) = y olsun = için y= 7 dır f( )= 7 f( 5)= 7 ise f ( 7)= 5 = için y=5 tir f( )=5 f()=5 ise f (5)= dir =0 için y= dir f(0 )= f( )= = için y=0 dır f( )=0 f( )=0 f ( 7) f (5) 5 Sonuç: = = ulunur f ( ) + f ( ) + 0 ÖRNEK(8) f () = olduğun göre f( )+f(0)+f() toplmı kçtır? (ÖSS 00) Yukrdki şekilde f() fonksiyonu ile g()= fonksiyonunun grfiği verilmiştir Bun göre; (fog of)(0)=? (ÖSS-000) (fog of)(0) = f g f( 0) { 8 = f g ( 8) = f() = 0 ulunur g() g = ( { ) = g (8) = 8 = dir HAZIRLAYAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Mtemtik Öğretmeni wwwgloldersom e-mil: irhimhlil@mynetom wwwgloldersom