İntegralin Uygulamaları

Transkript

1 Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini düşünelim. S bölgesinin A lnı A = olrk tnımlnır. g(x) = özel durumund S, f nin grfiğinin ltınd kln bölge olur. ( ) f(x) g(x) dx (.) f ve g nin pozitif olduğu durumd, (.) nin neden doğru olduğunu şekilden görebilirsiniz.

2 2 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI S = = ( ) ( ) y = f(x) in ltınd kln ln y = g(x) in ltınd kln ln f(x) dx g(x) dx = ( ) f(x) g(x) dx Örnek. Üstten y = e x, lttn y = x ve kenrlrdn x = ve x = ile sınırlı oln bölgenin lnını hesplyınız. Çözüm: Bölge, Şekil. de gösterilmiştir. Şekil.: Üst sınır eğrisi y = e x ve lt sınır eğrisi y = x dir. Dolyısıyl, (.) deki formülde f(x) = e x, g(x) = x, =, ve b = kullnırız: A = (e x x) dx = e x ] 2 x2 = e 2 = e.5

3 .. ALAN 3 Örnek 2. y = 2x x 2 ve y = x 2 prbolleriyle sınırlı oln bölgenin lnını bulunuz. Çözüm: Önce verilen denklemleri ortk çözerek, prbollerin kesiştikleri noktlrı buluruz. Bu durumd, x 2 = 2x x 2 vey 2x 2 2x = elde ederiz. Böylece, 2x(x ) = ve dolyısıyl x = vey x = buluruz. Kesişim noktlrı (, ) ve (, ) dir. Şekil.2 de gördüğümüz gibi üst ve lt sınırlr Şekil.2: yüst = 2x x 2 ve y lt = x 2 dir. Dolyısıyl toplm ln olur. A = (2x 2x 2 ) dx = 2 (x x 2 ) dx [ ] x 2 ( = 2 2 x3 = ) = 3 3

4 4 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI Bzı bölgelerle çlışmk için, x değişkenini y nin fonksiyonu olrk düşünmek gerekir. f ve g sürekli ve her c y d için f(y) g(y) olmk üzere, x = f(y), x = g(y), y = c ve y = d denklemleriyle sınırlı oln bölgenin lnı olur. A = d c ( ) f(y) g(y) dy Örnek 3. y = x doğrusu ve y 2 = 2x + 6 prbolüyle sınırlı oln bölgenin lnını bulunuz. Çözüm: İki denklemi ortk çözersek, kesişim noktlrını (, 2) ve (5, 4) olrk buluruz. Şekil.3: Prbolün denklemini x için çözeriz ve Şekil.3 den sğ ve sol sınır eğrilerini x sol = 2 y2 3 ve x sğ = y +

5 .. ALAN 5 olrk buluruz. İntegrli, uygun y değerleri y = 2 ve y = 4 rsınd hesplmlıyız. Böylece A = = (x sğ x sol ) dy [ (y + ) ( ] 2 y2 3) dy = 4 2 ( ) 2 y2 + y + 4 dy olrk buluruz. = 2 ( y 3 3 ) ] 4 + y y = 2 6 (64) ( ) = 8 3 Şekil.4: Örnekteki lnı, y yerine x e göre integrl lrk d bulbilirdik m bu durumd hesplmlr dh krmşık olurdu. Bölgeyi Şekil.4 de görüldüğü gibi, A ve A 2 diye ikiye yırmmız gerekirdi. Örnekte kullndığımız yöntem, çok dh bsit... Prmetrik eğrilerin Sınırldığı Alnlr F (x) olduğu zmn, dn b ye y = F (x) eğrisinin ltınd kln lnın A = Eğer eğri x = f(t), y = g(t), α t β F (x) dx olduğunu biliyoruz. prmetrik denklemleriyle tnımlnmışs, o zmn Belirli İntegrller İçin Yerine Koym Kurlı nı kullnrk, ln formülünü şöyle hesplybiliriz: A = y dx = β α g(t) f (t) dt y d α β g(t) f (t) dt

6 6 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI Örnek 4. x = r(θ sin θ) y = r( cos θ) sikliodinin bir yyının ltınd kln lnı bulunuz. (Bkz. Şekil.5) Şekil.5: Proof. Çözüm: Sikliodin bir yyı, θ 2π değerleriyle elde edilir. y = r( cos θ) ve dx = r( cos θ) dθ ile Yerine Koum Kurlı nı kullnırsk, A = 2π = r 2 y dx = 2π 2π r( cos θ)r( cos θ) dθ ( cos θ) 2 dθ = r 2 2π ( 2 cos θ + cos 2 θ)dθ = r 2 2π [ 2 cos θ + 2 ( + cos 2θ) ] dθ = r 2 [ 3 2 θ 2 sin θ + 4 sin 2θ ] 2π ( ) 3 = r 2 2 2π = 3πr 2 olrk buluruz.

7 .. ALAN 7 Alıştırmlr Aşğıd verilen grfiklerdeki trlı bölgelerin lnlrını hesplyınız.

8 8 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI.2 Hcimler S yi bir düzlemle kesip, S nin kesiti dediğimiz düzlemsel bölgeyi elde ederek bşlycğız. x b olmk üzere, x-eksenine dik ve x noktsındn geçen P x düzlemindeki S nin kesitinin lnı A(x) olsun. (Bkz. Şekil.6. S yi x ten geçen bir bıçkl dilimlediğimizi ve bu dilimin lnını hespldığımız düşününüz.) x, dn b ye rttıkç, kesitin lnı A(x) değişecektir. Şekil.6: Tnım. S, x = ve x = b rsınd uznn bir cisim olsun. A sürekli bir fonksiyon olmk üzere, x den geçen ve x-eksenine dik oln P x düzlemindeki S nin kesitinin lnı A(x) ise, o zmn S nin hcmi olrk tnımlnır. V = V = A(x) dx A(x) dx formülünü kullndığımız zmn htırlmmız gereken önemli nokt, A(x) in, x den geçen ve x-eksenine dik dilimlemeyle elde edilen kesitin lnı olmsıdır. Örnek 5. Yrıçpı r oln bir kürenin hcminin V = 4 3 πr3 olduğunu gösteriniz. Çözüm: Küreyi, merkezi bşlngıç noktsınd olck şekilde yerleştirirsek (bkz. Şekil.7), P x düzlemiyle kürenin kesişimi, yrıçpı y = r 2 x 2 oln bir çember olur (Pisgor Teoremi nden). Dolyısıyl, bu kesitin lnı A(x) = πy 2 = π(r 2 x 2 )

9 .2. HACIMLER 9 Şekil.7: olur. = r ve b = r lrk hcim tnımını kullnırsk V = r r r A(x) dx = r r = 2π (r 2 x 2 ) dx ] r = 2π [r 2 x x3 = 2π 3 = 4 3 πr3 π(r 2 x 2 ) dx ) (r 3 r3 3 Örnek 6. y = x eğrisi, x-ekseni ve x = doğrusuyl sınırlnn bölgeyi x-ekseni çevresinde döndürmekle elde edilen cismin hcmini bulunuz. Şekil.8:

10 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI Şekil.9: Çözüm: Bölge, Şekil.8 d gösterilmiştir.eğer x-ekseni çevresinde döndürülürse, Şekil.9 deki cismi elde ederiz. x den geçen kesit, yrıçpı x oln bir çemberdir. Bu kesitin lnı A(x) = π( x) 2 = πx olur. Bu cisim x = ile x = rsınddır. Dolyısıyl hcmi ] V = A(x) dx = πx dx = π x2 = π 2 2 Örnek 7. y = x 3, y = 8 ve x = ile sınırlı oln bölgeyi y-ekseni çevresinde döndürerek elde edilen cismin hcmini bulunuz. Şekil.: Çözüm: Bölge, Şekil. de, cisim ise Şekil. de gösterilmiştir. Bölge y-ekseni çevresinde döndürüldüğü için y-eksenine dik biçimde dilimlemek ve integrli y ye göre lmk dh mntıklı olur. y yüksekliğindeki kesit, yrıçpı x oln çembersel bir disktir. x = 3 y olduğu için, y den geçen kesitin lnı A(y) = πx 2 = π( 3 y) 2 = πy 2/3

11 .2. HACIMLER Şekil.: Cisim, y = ve y = 8 rsınd kldığı için hcmi olrk bulunur. V = = π 8 A(y) dy = [ 3 5 y5/3 ] 8 8 = 96π 5 πy 2/3 dy Örnek 8. y = x ve y = x 2 eğrileriyle çevrili oln R bölgesi, x-ekseni çevresinde döndürülmüştür. Oluşn cismin hcmini bulunuz.

12 2 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI Şekil.2: Çözüm: y = x ve y = x 2 eğrileri, (, ) ve (, ) noktlrınd kesişir. Arlrındki bölge, dönel cisim ve x-eksenine dik oln kesit Şekil.2 de gösterilmiştir. P x düzlemindeki kesit, iç yrıçpı x 2 ve dış yrıçpı x oln bir hlk şeklindedir. Dolyısıyl, lnını bulmk için büyük çemberin lnındn küçük çemberin lnını çıkrırız. A(x) = πx 2 π(x 2 ) 2 = π(x 2 x 4 ) Bu durumd, elde ederiz. V = A(x) dx = π(x 2 x 4 ) dx [ ] x 3 = π 3 x5 = 2π Yy Uzunluğu Tnım 2. Prmetrik denklemleri x = f(t), y = g(t), t b, oln bir düzgün eğri, t prmetresi değerinden b değerine doğru rtrken tm olrk bir kez izleniyors, o zmn bu eğrinin uzunluğu (dx ) 2 ( ) dy 2 L = + dt dir. (.2) dt dt

13 .3. YAY UZUNLUĞU 3 Örnek 9. x = t 2, y = t 3 eğrisinin (, ) ve (4, 8) noktlrı rsındki yyının uzunluğunu bulunuz. Bkz Şekil.3 Şekil.3: Çözüm: t 2 değerlerinin, eğrinin (, ) ve (4, 8) noktlrı rsındki prçsını verdiğini x = t 2 ve y = t 3 denklemlerinden görüyoruz. Dolyısıyl, yy uzunluğu formülü L = 2 (dx ) 2 + dt ( dy dt ) 2 2 dt = (2t) 2 + (3t 2 ) 2 dt = 2 4t 2 + 9t 4 dt = 2 t 4 + 9t 2 dt = 2 t 4 + 9t 2 dt u = 4 + 9t 2 değişken değişikliğini yprsk, du = 8t dt olur. t = olduğund u = 3; t = 2 olduğund u = 4 dır. Böylece L = u du = 8 2 ] 4 3 u3/2 3 = 27 [ 4 3/2 3 3/2] = ( 8 3 ) 3 27 buluruz.

14 4 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI Kurl. Elimizdeki eğri y = f(x), x b denklemleriyle verilmişse, x değişkenini prmetre olrk lbiliriz. O zmn prmetrik denklemler x = x, y = f(x) olur ve denklem.2 biçimin lır. L = + ( ) dy 2 dx (.2) dx Örnek. xy = hiperbolünün (, ) noktsındn (2, /2) noktsın kdr oln prçsının uzunluğunu yklşık olrk hesplyınız. Çözüm: Elimizde olduğu için formül () den uzunluğu olrk elde ederiz. Kurl 2. L = 2 y = x + dy dx dx = dy dx = x x 4 dx =.32 Benzer biçimde bir eğrinin denklemi x = f(y), y b ise, y değişkenini prmetre olrk lbiliriz. O zmn prmetrik denklemler x = f(y), y = y olur ve uzunluk (dx ) 2 L = + dy (.3) dy olur. Formül (.2),() ve (.3) teki krekökten ötürü, yy uzunluğu hesbınd orty çıkn integrli kesin olrk hesplmk çoğu zmn çok zordur vey olnksızdır. Örnek. y 2 = x prbolünün (, ) noktsındn (, ) noktsın kdr oln yyının uzunluğunu bulunuz. Çözüm: x = y 2 olduğu için dx dy verir. L = = 2y olur ve formül (.3) (dx ) 2 + dy = 4y 2 + dy = dy

15 .4. BIR FONKSIYONUN ORTALAMA DEĞERI 5 Örnek 2. x = r(θ sin θ), y = r( cos θ) sikloidinin bir yyının uzunluğunu bulunuz. Şekil.4: Proof. Çözüm: Çözüm: Bir yyı θ 2π prmetre rlığıyl elde edildiğini dh önce görmüştük. dx dθ = r( cos θ) ve dy dθ = r sin θ olduğu için L = 2π (dx ) 2 + dθ ( ) dy 2 dθ dθ = = 2π 2π r 2 ( cos θ) 2 + r 2 sin 2 θ dθ r 2 ( 2 cos θ + cos 2 θ + sin 2 θ) dθ 2π = r 2( cos θ) dθ = 8r..4 Bir Fonksiyonun Ortlm Değeri Sonlu syıd y, y 2,, y n syılrının ortlm değerini hesplmk çok kolydır: y ort = y + y y n n Anck, sonsuz tne sıcklık ölçümünün olnklı olduğu bir durumd bir günün ortlm sıcklığını nsıl hesplycğız?

16 6 BÖLÜM. İNTEGRALIN UYGULAMALARI Bir sıcklık fonksiyonu T (t) nin grfiği ve ortlm sıcklık T ort için bir thmin şekil.5 de verilmiştir. Şekil.5: Burd t st cinsinden T C cinsinden ölçülmüştür. T (t) fonksiyonu t nındki sıcklığı gösteriyors, sıcklığın ortlm sıcklığ eşit olduğu belirli bir n olup olmdığını merk edebiliriz. Şekil.5 deki sıcklık fonksiyonu için böyle iki n olduğunu görüyoruz.genel olrk, bir f fonksiyonunun değerini tm olrk o fonksiyonun ortlm değerine eşit olduğu, yni f(c) = f ort olduğu bir c syısı vrmıdır. Theorem (İntegrller için Ortlm Değer Teoremi). f, [, b] rlığınd sürekli bir fonksiyon ise [, b] rlığınd f(c) = f ort = b f(x) dx eşitliğini yni eşitliğini sğlyn bir c syısı vrdır. f(x) dx = f(c)(b ) Örneğin f(x) = + x 2 fonksiyonu [, 2] rlığınd sürekli olduğu için, integrller için ortlm değer teoremine göre, [, 2] rlığınd 2 ( + x 2 ) dx = f(c)[2 ( )] eşitliğini sğlyn bir c syısı vrdır. Bu özel durumd, c syısını kesin olrk bulbiliriz. ] 2 [x + x3 = 3f(c) 3 eşitliğinden f(c) = f ort = 2 bulunur. Dolyısıyl + c 2 = 2 olduğundn c = ± olrk bulunur.

17 .4. BIR FONKSIYONUN ORTALAMA DEĞERI 7 Örnek 3. Bir cismin hızı şğıdki prmetrik denklemle verilmiştir.(t zmn) x = t, y = t 3/2 Hrekete bşlyıp 4sn hreket ederse, bu süre içerisindeki ortlm hızı nedir? Çözüm: Ortlm hız b y dx formulüyle bulunbilir. Prmetrik denklem kullnılırs x = t dx = dt Vort = ( ) 4 t 3/2 dt = t 5/2 4 = 6/ /2