Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR
Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. I. Baskı: Ocak, 2015, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafi k Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Öğr. Gör. Murat Dağıtmaç Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA (0312-394 55 90) Yayıncı Sertifi ka No: 14749 Matbaa Sertifi ka No: 13987 İletişim Karanfi l 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet:www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
Bu kitabımı; vatan uğruna canlarını feda etmiş aziz şehitlerimize; hayat kaynağım, canım çocuklarım Kaan ve Barış a ithaf ediyorum.
ÖN SÖZ Bu kitap üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Mühendislik Bölümlerinde okutulan Lineer Cebir dersine temel olmasının yanı sıra Lisansüstü düzeyindeki tüm programlarda öğrenim gören öğrencilerin ve akademisyenlerin faydalanacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Ayrıca Lineer Cebir in Matematik Bölümündeki diğer derslerin temeli olması nedeniyle kitabın tüm Matematik derslerine iyi bir kaynak oluşturması planlanmıştır. Bu kitabın en önemli özelliği gerek lisans gerekse lisansüstü hatta servis dersi olarak okutulan Lineer Cebir Dersinin tüm öğrencilerine hitap edecek şekilde bölümlere ayrılarak sade bir dille hazırlanmasıdır. Her bölümün içerisinde konuların daha iyi anlaşılması amacıyla konu ile ilgili yeteri kadar çözümlü sorular ile bölüm sonunda okuyucuların kendilerinin çözmesi için Alıştırmalar verilmiştir. Kitabın yazımında yardımcı olan Arş. Gör. Özcan BEKTAŞ nezdinde tüm geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim. Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU na, Hocamız Sayın Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU na emekleri için teşekkürlerimi sunarım. Prof. Dr. Salim YÜCE Yıldız Teknik Üniversitesi sayuce@yildiz.edu.tr
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 GRUP, HALKA, CİSİM 1.1 Grup... 1 1.2 Halka... 6 1.3 Cisim... 11 Alıştırmalar 1... 14 BÖLÜM 2 VEKTÖR UZAYLARI 2.1 Vektör... 17 2.1.1 Nokta Vektör Eşlemesi... 22 2.2 Düzlemdeki Vektörler Üzerine İşlemler... 22 2.3 Düzlemde Afin Koordinat Sistemi... 30 2.3.1 İki Vektörün Lineer Bağımsızlığı... 30 2.3.2 Afin Koordinat Sistemi... 31 2.4 Vektör Uzayları... 34 2.4.1 Vektör Uzayı Aksiyomlarından Çıkan Sonuçlar... 35 2.5 Vektör Uzayı Örnekleri... 41 2.6 2.5.1 Vektör Uzaylarının Direkt Çarpımı... 47 n Vektör Uzayında Geometrik Yapılar... 49 2.6.1 n de Eğri... 51 2.7 Modül... 52 2.8 Alt Vektör Uzayları... 54 Alıştırmalar 2... 63
İçindekiler BÖLÜM 3 İÇ ÇARPIM UZAYLARI 3.1 İç Çarpım Fonksiyonu... 67 3.2 3.3 n n ve üzerinde Standart İç Çarpım Fonksiyonları... 69 n Öklid Uzayının Metrik Özellikleri... 71 3.3.1 3.3.2 n de Bir Vektörün Uzunluğu... 71 n de İki Nokta Arasındaki Uzaklık... 72 3.3.3 Bir Skalar ile Bir Vektörün Çarpımı... 72 3.3.4 İki Vektör Arasındaki Açı... 73 3.3.5 n de İki Vektörün Dikliği... 74 3.4 İç Çarpımın Geometrik Yorumu... 75 3.4.1 İzdüşüm Vektörü... 77 3.4.2 Doğru ve Düzlem... 78 3.5 İç Çarpım Uzayında Schwartz Eşitsizliği... 80 3.6 Ortonormal Vektör Sistemi... 91 Alıştırmalar 3... 96 BÖLÜM 4 VEKTÖR UZAYLARINDA BAZ VE BOYUT 4.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık... 99 4.2 Vektör Uzaylarında Baz ve Boyut... 104 4.3 Gram Schmidt Ortogonalleştirme Metodu (Ortonormalleştirme Metodu)... 114 4.4 Alt Uzayların Boyutları... 118 Alıştırmalar 4... 124 viii
Lineer Cebir BÖLÜM 5 ÖZEL VEKTÖR UZAYLARI 5.1 Direkt Toplam Uzayı... 127 5.2 İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları: Ortogonal Kompleman... 129 Alıştırmalar 5... 134 BÖLÜM 6 MATRİSLER 6.1 Matrisler... 137 6.2 Matris Uzayı: Matrislerde İşlemler... 141 6.2.1 Toplama İşleminin Özellikleri... 143 6.2.2 Dış İşlemin Özellikleri... 144 6.2.3 Matris Çarpımı... 146 6.2.4 Çarpma İşleminin Özellikleri... 148 6.3 Özel Matrisler... 154 6.4 Bir Matrisin Eşelon Formu... 163 6.5 Elemanter Operasyonlar... 165 6.5.1 Matrisler İçin Elemanter Operasyonlar... 166 6.6 Elemanter Operasyonların Uygulamaları: Çarpanlara Ayırma, Bir Matrisin Tersinin ve Rankının Bulunması, Lineer Bağımsızlık... 171 6.6.1 Çarpanlara Ayırma... 171 6.6.2 Bir Matrisin Tersinin Bulunması... 172 6.6.3 Lineer Bağımsızlık-Bağımlılık... 174 6.6.4 Bir Matrisin Rankı... 175 6.7 Bir Matrisin İzi ve Özellikleri... 179 6.8 Koordinatlar... 182 Alıştırmalar 6... 187 ix
İçindekiler BÖLÜM 7 LİNEER DÖNÜŞÜMLER 7.1 Lineer Dönüşüm, Çekirdek, Rank... 193 7.1.1 Bilineer Dönüşüm... 209 7.2 Boyut Teoremi... 210 7.3 Lineer İzomorfizm... 213 7.4 Hom( V, W ) Uzayı... 222 7.5 Dual Vektör Uzayı... 229 7.6 Ortogonal İzdüşüm... 231 7.7 Bir Lineer Dönüşümün Direkt Toplamı... 234 7.8 Bölüm Uzayı... 235 Alıştırmalar 7... 238 BÖLÜM 8 LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS 8.1 Her Matrise Bir Lineer Dönüşüm Karşılık Gelir... 241 8.2 Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir... 243 8.2.1 Standart Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir... 243 8.2.2 Herhangi Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir... 246 2 8.3 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi... 252 3 8.4 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi... 254 Alıştırmalar 8... 257 x
Lineer Cebir BÖLÜM 9 LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS İLİŞKİLERİNİN UYGULAMALARI 9.1 Bir Lineer Dönüşümün Rankı... 261 9.2 Bazların Değişimi... 265 9.2.1 Baz Değişiminin Bir Diğer Anlamı... 271 9.2.2 Baz Değişiminin En Genel Hali... 274 9.3 Benzerlik... 278 Alıştırmalar 9... 282 BÖLÜM 10 DETERMİNANTLAR 10.1 Permütasyon Kavramı... 283 10.2 Vektör Uzayları Üzerinde n-lineer Fonksiyonlar... 288 10.2.1 Determinant Fonksiyonu ve Özellikleri... 293 10.2.2 Determinant Fonksiyonunun Temel Özellikleri... 295 10.3 Determinat Hesaplamaları... 303 10.3.1 Determinant Açılımları... 305 10.4 Bir Matrisin Eki ve Ek Matris Yardımıyla Matrisin Tersi... 313 10.5 Determinant Uygulamaları... 321 10.6 Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi... 329 Alıştırmalar 10... 334 BÖLÜM 11 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ 11.1 Lineer Denklem Sistemleri... 339 11.2 Katsayılar Matrisinin Tersi Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü... 341 xi
İçindekiler 11.3 Elemanter Operasyonlar Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü... 342 11.3.1 Homojen Lineer Denklem Sistemi... 346 11.4 Determinant Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü: Cramer ve Cramer Olmayan denklem sistemi... 348 11.5 Cramer Olmayan Lineer Denklem Sistemleri... 351 11.6 Lineer Denklem Sistemlerinin Analitik Geometri Uygulamaları... 356 Alıştırmalar 11... 362 BÖLÜM 12 İÇ ÇARPIM UZAYLARINDA LİNEER DÖNÜŞÜMLER 12.1 Dual Uzay... 367 12.2 Sıfırlayan (Annihilatör)... 373 12.3 Bir Lineer Dönüşümün Eki... 374 12.4 Bir Lineer Dönüşümün Transpozu... 378 12.5 İç Çarpım Uzayları Üzerinde Lineer Dönüşüm... 380 12.6 İç Çarpım Uzaylarında Bazı Özel Dönüşümler... 390 12.6.1 Hermit Dönüşümleri ve Matrisleri... 390 12.6.2 Simetrik Dönüşümler ve Matrisleri... 393 12.6.3 İzometri, İç Çarpımı Koruyan Dönüşümler... 394 12.6.4 Üniter Dönüşümler ve Matrisler... 398 12.6.5 Ortogonal Dönüşümler ve Matrisler... 401 12.6.6 Normal Dönüşümler ve Matrisler... 403 12.7 Modüllerin Lineer Dönüşümü... 406 Alıştırmalar 12... 407 xii
Lineer Cebir BÖLÜM 13 LİNEER DÖNÜŞÜMLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME 13.1 Lineer Dönüşümün Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ve Karakteristik Uzay... 411 13.2 Özel Lineer Dönüşümlerin Karakteristik Değeri ve Karakteristik Vektörleri... 417 13.3 Lineer Dönüşümlerde Köşegenleştirme... 422 Alıştırmalar 13... 425 BÖLÜM 14 MATRİSLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME 14.1 Bir Matrisin Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri... 427 14.2 Özel Matrisin Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri... 437 14.3 Cayley Hamilton Teoremi... 445 14.4 Matrislerde Köşegenleştirme... 452 14.5 Özel Matrislerde Köşegenleştirme... 459 Alıştırmalar 14... 462 BÖLÜM 15 ORTOGONAL MATRİSLERİN GEOMETRİSİ 15.1 Ortogonal Matrisler ve Dönme... 470 Alıştırmalar 15... 474 xiii
İçindekiler BÖLÜM 16 ORTOGONAL KÖŞEGENLEŞTİRME 16.1 Spektral Teoremi... 476 Alıştırmalar 16... 481 BÖLÜM 17 POZİTİF TANIMLI MATRİSLER 17.1 Kompleks Pozitif Tanımlı Matrisler... 494 Alıştırmalar 17... 496 BÖLÜM 18 KUADRATİK FORMLAR 18.1 Bilineer Fonksiyonlar... 497 18.2 Kuadratik Formlar... 501 18.3 Kompleks Kuadratik Formlar... 513 18.4 Geometrik Uygulama... 516 18.4.1 Koniklere Uygulama... 517 18.4.2 Kuadrik Yüzeylere Uygulama... 521 Alıştırmalar 18... 523 BÖLÜM 19 MATRİS TEORİSİ 19.1 Matris Fonksiyonları ve Matris Normları... 527 19.1.1 Matris Fonksiyonları... 527 19.1.2 Matris Normları... 529 19.2 Blok Matrisler... 532 19.3 Özel Matrisler... 538 xiv
Lineer Cebir 19.4 Kronecker ve Hadamard Çarpım... 541 19.5 Vektörlerde Diyadik Çarpım... 544 19.6 Bir Matrisin Ayrışımları... 548 19.6.1 Bir Matrisin Özdeğer Ayrışımı (eigenvalue decemposition=evd)... 548 19.6.2 Bir Matrisin Hessenberg Ayrışımı... 548 19.6.3 Bir Matrisin Schur Ayrışımı... 549 19.6.4 Bir Matrisin LU Ayrışımı... 549 19.6.5 Bir Matrisin LDU Ayrışımı... 550 19.6.6 Bir Matrisin Polar Ayrışımı... 550 19.6.7 Bir Matrisin Singüler Değer Ayrışımı (Singular value decomposition=svd)... 551 19.6.8 Matrisler için QR -Ayrışımı... 560 19.7 Üstel Matrisler... 564 19. 7. 1 Kompleks Üstel Matris... 577 19.8 Dual Matrisler... 584 Alıştırmalar 19... 588 BÖLÜM 20 MİNKOWSKİ UZAYINDA LİNEER CEBİR 20.1 n v Minkowski Uzayı... 593 20.2 3 1 Lorentz-Minkowski Uzayı... 599 20.3 Lorentz İç-Çarpımının Geometrik Özellikleri... 610 20.4 Semi Ortogonal Grup... 612 20.5 Lorentz Matris Çarpımı... 615 Alıştırmalar 20... 620 KAYNAKLAR... 622 DİZİN... 623 xv
BÖLÜM 1 GRUP, HALKA, CİSİM 1.1 Grup Tanım 1.1 G boştan farklı bir küme ve T de G üzerinde bir işlem olsun. Eğer T : G G G ( a, b) atb G işlemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ( GT, ) ikilisine bir grup denir. ( ) i Kapalılık özelliği: ab, Giçin atb G ; ( ) ii Birleşme özelliği: abc,, Giçin ( atb) Tc = at ( btc) ; ( iii ) Birim eleman: a G için ate = eta = a olacak şekilde e G vardır. Burada e G elemanına G nin T işlemine göre birim elemanı denir. ( iv ) İnvers eleman: a G için ata = a Ta = e olacak şekilde a G vardır. Burada a G elemanına a G nin T işlemine göre tersi (inversi) denir.
Lineer Cebir Tanım 1.2 Eğer ( GT, ) grubunda T işlemi değişimli ise, yani ab, G için atb = bta ise ( GT, ) grubuna değişimli grup veya Abel grubu denir. Aksi halde gruba sadece grup veya değişimsiz grup denir. Bir ( GT, ) grubu için G kümesi bir sonlu küme ise ( GT, ) aksi halde, sonsuz grup denir. grubuna sonlu grup, Örnek1.1 tam sayılar kümesi ve + toplama işlemi bir grup oluşturur. (,+) grubunun birim elemanı e = 0 dır. Bu grup bir değişimli gruptur. Bununla beraber kümesi ile çarpma işlemi bir grup değildir. Çünkü (, ) ikilisi için grup aksiyomlarından ( iii ) birim eleman özelliği, kümesinin elemanları için sağlanmaz. Örnek1.2 reel sayılar kümesi olmak üzere toplama işlemi ile birlikte bir Abel gruptur. Örnek1.3 rasyonel sayılar kümesi olmak üzere, 0 sayısını dan çıkarırsak yani G = { 0} ise (, ) 2 G ikilisi bir gruptur. Bu grubun etkisiz elemanı e = 1 dir. Ayrıca ab, olmak üzere a 0, b 0 için a b nun inversi b a dır.
Lineer Cebir Örnek1.4 2 { z a ib a, b, i 1 } = = + = kompleks sayılar kümesi üzerinde toplama işlemi z1 = a1+ ib1, z2 = a2 + ib2 olmak üzere ( ) ( ) ( ) ( ) z + z = a + ib + a + ib = a + a + i b + b 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 şeklinde tanımlanır. Bu durumda (,+) ikilisi bir abel gruptur. Tanım 1.3 ( GT, ) ikilisi bir grup olsun. Eğer x G için 2 xtx = x = x ise x G ye idempotent eleman denir. Kısaca idempotent eleman, karesi kendisine eşit olan elemandır. Teorem 1.1 ( GT, ) ikilisi bir grup olsun. Bu durumda, idempotent eleman birim elemandır. İspat Bir ( GT, ) grubunun herhangi bir elemanı x ve birim elemanı da e olsun. x G de bir idempotent eleman ise xtx = x yazabilir. Eşitliğin her iki tarafı x ile işleme tabi tutulursa xt ( xtx) = xtx (1.1) 3
Lineer Cebir ve T birleşimli olduğundan ( xtx) Tx = xtx (1.2) bulunur. (1.1) ve (1.2) eşitliklerinden xt ( xtx) = ( xtx) Tx = xtx yazılabilir. Bu durumda, birim eleman tanımından x = e elde edilir. Teorem 1.2 (, ) GT ikilisi bir grup olsun. ab, G için( atb) = b Ta dir. (Burada a ve b, sırasıyla, a ve b nin tersidir) İspat ab, Gnin tersleri a ve b olmak üzere, ( iv ) grup aksiyomundan ata = a Ta = e btb = b Tb = e yazılabilir. Kapalılık özelliğine göre, ab, G olmak üzere atb G dir ve bir grupta her elemanın tersi var olacağından ( atb) G olacaktır. Göstereceğiz ki atb nin tersi b Ta dir. Yani; ( ) ( ) ( ) ( ) atb T b Ta = b Ta T atb = e dir. 4