Çizelgeleme Üretim Planlama ve Kontrol 2 Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Üretim Planlama ve Kontrol 2
Yukarıdaki terimler arasında geçen; S i çoğunlukla P i içinde düşünülür (Yâni (S i =0) varsayımı yapılır). L i ; sipârişin teslim edilmesi plânlanan d i zamanından önce veya sonra bitmesi durumunu belirten bir ölçüdür. (L i <0) olması işin erken bittiğini gösterir, yâni bir gecikme yoktur ve iyi bir servis durumu sözkonusudur. (L i >0) olması ise, gelişmenin kötü olduğunu, yâni bir gecikmenin bulunduğunu gösterir.
Diğer bir deyişle L i, gecikmenin gelişme seyrini gösteren bir büyüklük olarak nitelendirilebilir. Performansın değerlendirilmesi açısından gecikmenin değerlendirilmesi ve mâliyete bağlanması daha uygundur. Bu bakımdan pozitif değere sahip olan gecikme önem taşır ve L i yerine T i değişkeni kullanılır.
Terimler, tezgâh sayısı birden fazla olduğu zaman değişiklik gösterir ve kullanılan her tezgâh için ayrı ayrı tanımlanır. Örneğin P ij ; j tezgâhında yapılacak i işinin işlem süresini gösterir. C ij ; j tezgâhında yapılan i işinin tamamlanma zamanını gösterir.
Diğer değişkenler de benzer şekilde düşünülür ve hesaplamalar da bu yeni duruma göre, yâni tüm tezgâhlar düşünülerek yapılır. m; kullanılan tezgâh sayısı olmak üzere, örneğin yayılma süresi şu şekilde hesaplanır: M = Enb {C ij (i=1,2,,n), (j=1,2,,m)}
Gantt Diyagramı İle İş Çizelgeleme Bu diyagramda her tezgâhta yapılacak işler, zamanın bir işlevi şeklinde gösterilir. Daha önce tanımladığımız iş çizelgeleme faaliyetinde kullanılırlar. Yatay çizgilerin tezgâhları gösterdiği bu diyagram, varolan durumu açıkça gözönüne serdiği için yararlıdır. Ancak Gantt diyagramları, varolan kötü bir durumun iyileştirilebilmesi için herhangi bir çözüm üretme özelliğine sahip değillerdir.
Örnek Beş iş (i), iki tezgâh (T 1 ve T 2 ) üzerinde 3-2-4-5-1 sırasıyla yapılmakta, her iş önce T 1 de, ardından T 2 de gerçekleştirilmektedir. İş süreleri (ZB) tabloda verildiği gibidir:
Örnek Gantt sıralama diyagramı (iş çizelgesi) şekildeki gibi olacaktır (x ekseni zaman (ZB), y ekseni tezgâh adı, kutuların içine yazılan değerler ise iş numaralarıdır). Gantt sıralama diyagramı (3-2-4-5-1 iş sırası)
Örnek Bu diyagram incelendiği zaman; Tamamlanma zamanının 28. ZB olduğu, T 1 in boş kalmadığı, T 2 nin toplam 4 ZB boş kaldığı, 2, 4 ve 5 no.lu işlerin T 2 de toplam 6 ZB beklediği görülmektedir.
Örnek Burada birinci tezgâhtaki en son işin tamamlanma zamanı 25, ikinci tezgâhtaki en son işin tamamlanma zamanı ise 28 olduğuna göre yayılma süresi M = Enb (25; 28) = 28 ZB
Tek makine problemleri Kabuller n adet tek işlemden geçecek iş aynı anda işlenmeye hazırdır. İşlerin hazırlık zamanları işleme sırasından bağımsızdır ve işlem süreleri bilinmektedir. Makine arızasız çalışmakta ve sırada iş varken boş kalmamaktadır. Makineye yüklenen iş bitişine kadar kesintiye uğramadan işlenmektedir.
Amaçlar En son işin tamamlanma süresini kısaltmak (makespan minimization) Ortalama iş akış süresini azaltmak (minimizing mean flow time) İşlerin ortalama bekleme zamanını azaltmak (minimizing mean waiting time) Ortalama gecikme süresini kısaltmak (minimizing mean lateness) Geciken işlerin sayısını azaltmak (minimizing number of tardy jobs)
Tek makine problemlerinde sıralama kuralları FCFS (First Come First Served): Sisteme ilk gelen iş ilk çıkar prensibine göre sıralama SPT (Shortest Processing Time): İşlem süresine göre en küçükten en büyüğe sıralama EDD (Earliest Due Date): Teslim zamanlarına göre en küçükten en büyüğe sıralama CR (Critical Ratio): Kritik orana (Kritik oran = (Teslim zamanı Şimdiki zaman) /İşlem süresi ) göre sıralama
Örnek İş No İşlem Süresi Teslim zamanı 1 11 61 2 29 45 3 31 31 4 1 33 5 2 32
FCFS (First Come First Served) (İlk giren ilk çıkar kuralına göre sıralama) Sıra Bitme zamanı Teslim zamanı Geç kalma 1 11 61 0 2 40 45 0 3 71 31 40 4 72 33 39 5 74 32 42 Toplam 268 121 Ortalama akış süresi = 268 / 5 = 53.6 Ortalama geç kalma = 121 / 5 = 24.2 Geç kalan iş sayısı = 3
SPT (Shortest Processing Time) (En kısa işlem süresine göre sıralama) Sıra İşlem süresi Bitme zamanı Teslim zamanı Geç kalma 4 1 1 33 0 5 2 3 32 0 1 11 14 61 0 2 29 43 45 0 3 31 74 31 43 Toplam 135 43 Ortalama akış süresi = 135 / 5 = 27 Ortalama geç kalma = 43 / 5 = 8.6 Geç kalan iş sayısı = 1
EDD (Earliest Due Date) (En erken teslim zamanına göre sıralama) Sıra İşlem süresi Bitme zamanı Teslim zamanı Geç kalma 3 31 31 31 0 5 2 33 32 1 4 1 34 33 1 2 29 63 45 18 1 11 74 61 13 Toplam 235 33 Ortalama akış süresi = 235 / 5 = 47 Ortalama geç kalma = 33 / 5 = 6.6 Geç kalan iş sayısı = 4
Critical Ratio (CR) (Kritik oran kuralına göre sıralama) Kritik oran = (Teslim zamanı Şimdiki zaman) / İşlem süresi Şimdiki zaman: t = 0 Sıra İşlem süresi Teslim zamanı Kritik Oran 1 11 61 61/11 = 5.55 2 29 45 45/29 = 1.55 3 31 31 31/31 = 1.00 4 1 33 33/1 = 33.00 5 2 32 32/2 = 16.00 En küçük değere sahip olduğu için 3. iş ilk olarak atanır. 3. iş tamamlandığında t = 31 anında yeni bir değerlendirme yapılır.
Critical Ratio (CR) (Kritik oran kuralına göre sıralama) Şimdiki zaman: t = 31 Sıra İşlem süresi Teslim zamanı Şimdiki zaman Kritik Oran 1 11 30 30/11 = 2.73 2 29 14 14/29 = 0.483 4 1 2 2/1 = 2.00 5 2 1 1/2 = 0.50 2. iş en küçük kritik orana sahip olduğundan atanır. t = 60 anında yeni bir değerlendirme yapılır.
Critical Ratio (CR) (Kritik oran kuralına göre sıralama) Şimdiki zaman: t = 60 Sıra İşlem süresi Teslim zamanı Şimdiki zaman Kritik Oran 1 11 1 1/11 = 0.91 4 1-27 -27 < 0 5 2-28 -28/2 < 0 4. ve 5. işler geç kalmıştır, önce 4, sonra 5 ve en son 1. iş atanır.
Critical Ratio (CR) (Kritik oran kuralına göre sıralama) Sıra İşlem süresi Bitme zamanı Teslim zamanı Geç kalma 3 31 31 31 0 2 29 60 45 15 4 1 61 33 28 5 2 63 32 31 1 11 74 61 13 Toplam 289 87 Ortalama akış süresi = 289 / 5 = 57.8 Ortalama geç kalma = 87 / 5 = 17.4 Geç kalan iş sayısı = 4
Kural Karşılaştırma Ortalama Akış Süresi Ortalama Geç Kalma Geç Kalan İş Sayısı FCFS 53.6 24.2 3 SPT 27.0 8.6 1 EDD 47.0 6.6 4 CR 57.8 17.4 4
Tek makinede iş sıralama problemi için bazı sonuçlar Ortalama akış süresini minimize eden kural SPT dir. Ortalama akış süresi, ortalama bekleme zamanı ve ortalama gecikme ölçütleri (amaçları) birbirine denktir. Amaç maksimum gecikmeyi minimize etmek ise sıralama EDD kuralına göre yapılmalıdır.
Örnek Yalnızca tek bir hizmet noktasına sahip bir XYZ firmasının yükleme iskelesinde dört adet tır yük boşaltmak için beklemektedir. Tırlar limana geliş sıralarına göre isimlendirilmişlerdir. Şimdiki zamanın öğleden sonra saat 01:00 olduğunu varsayalım. Her bir tırın boşaltma yapması için gerekli süreler ve malların işletmede bulunması gereken saatler tabloda verilmiştir. Buna göre her bir kurala göre sıralamaları bularak ortalama akış zamanını, ortalama gecikmeyi ve geç kalan iş sayısını bulunuz.
Örnek
Örnek
3 1:30 p.m. p.m. 15/14 20/35* 1-4-3-2
Tek makine probleminde geç kalan işlerin sayısını minimize etmek: Moore algoritması
Örnek
Örnek(devam)
Öncelik kısıtları olması durumunda tek makine çizelgeleme problemi: Lawler algoritması İşlerin tamamlanabilmesi için öncelik koşullarının olduğu durumlarda Lawler algoritması güçlü bir tekniktir. Lawler algoritmasında ilk olarak en son tamamlanması gereken iş çizelgelenir. Yani algoritma son yapılması gereken işten başa doğru giderek sıralamayı yapar. Her bir adımda öncelik gerektirmeyen işler belirlenir.
Tabloda 6 iş için işlem süreleri ve teslim zamanları verilmiştir. Bu işler için öncelik ilişkileri ise şekildeki gibidir. Maksimum gecikmeyi minimize edecek çizelgeyi bulunuz. Örnek
Çözüm İlk olarak en son (6. sırada) çizelgelenecek iş belirlenir. Öncelik ilişkilerine bakıldığında bu işler 3, 5 veya 6 olabilir. Toplam işlem süresi: 2+3+4+3+2+1=15. Amacımız maksimum gecikmeyi minimize etmek olduğundan bu üç işten en az gecikecek olanı alırız. min {15-9, 15-11, 15-7}=min{6, 4, 8}=4. Bu da 5. işe karşılık gelir, dolayısıyla 5. iş 6. sıraya yerleştirilir. Daha sonra 5. sırada çizelgelenecek iş belirlenir. 5. işin işlem süresi 2 birim olduğundan bu anda toplam zaman 15-2=13 tür.bu sırada yapılabilecek işler ise 3 ve 6 dır. min{13-9, 13-7}=min{4, 6}=4. Bu da 3. işe karşılık gelir. Dolayısıyla 5. sırada 3. iş yapılır.
Çözüm 4.sırada yapılacak iş de benzer şekilde hesaplanır. Bu andaki toplam zaman 13-4=9 dur. Bu aşamada çizelgelenebilecek işler 2 ve 6 dır. min{9-6, 9-7}=min{3, 2}=2. 4. sırada 6. iş yapılır. 3. sırada çizelgelenecek iş için önce toplam zaman hesaplanır. 9-1=8. Bu sırada 2 ve 4. işler çizelgelenebilir: min{8-6, 8-7}=min{2, 1}=1. 4. sırada 3. iş çizelgelenir. Bu noktada 2. sırada çizelgelenecek işi bulmamız gerekir. Çizelgelenmemiş işler 1 ve 2 dir. Öncelik kısıtlarından dolayı 2. iş ikinci sırada 1. iş ise 1. sırada yapılır.
Çözüm Optimum çizelge 1, 2, 4, 6, 3, 5 olup, maksimum gecikme 4 gündür.
Örnek
Akış Tipi Atölyelerde İş Sıralama Yöntemleri n İş-2 Tezgâh (n*2) Durumu İçin Sıralama Yöntemleri İki tezgâhtan geçecek n tane işin, aynı teknolojik sırayı izleyerek işlenmesi gerektiğini varsayalım. Bu tip serî iş akışı bulunan (n*2) sıralama problemlerinde bulunan en iyi iş sırasınınşu amaçları eniyilemesi istenir: Yayılma süresinin enküçüklenmesi İşlerin ortalama bekleme süresinin enküçüklenmesi Tezgâhların ortalama boş kalma süresinin enküçüklenmesi
Bu istekleri gerçekleştiren iş sırasının bulunması, Johnson yöntemi (J1-A) ile gerçekleştirilir. Bu yöntem; P ij : i. işin j. tezgâhtaki işlem süresi olmak üzereşu adımlardan oluşur: 1. Her işin birinci ve ikinci tezgâhtaki en küçük işlem süresi [Enk (P i1 ; P i2 )] bulunur. Aynı süreye sahip olanlardan herhangi biri seçilebilir. 2. En küçük işlem süresi birinci tezgâhta olan işler, birinci tezgâhtaki iş sürelerine göre küçükten büyüğe sıralanırlar. Aynı süreye sahip olanlardan herhangi biri öne konabilir.
3. En küçük işlem süresi ikinci tezgâhta olan işler, ikinci tezgâhtaki iş sürelerine göre büyükten küçüğe sıralanırlar. Aynı süreye sahip olanlardan herhangi biri öne konabilir. 4. Bu sıralar bozulmadan, önce birinci tezgâha göre bulunan sıradaki işler, sonra ikinci tezgâha göre bulunan sıradaki işler, önce birinci ve ardından ikinci tezgâhlarda işlenir.
Johnson yönteminin bir başka uygulamaşekli (J1-B) iseşu adımlardan oluşmaktadır: 1. Tüm işlem süresi tablosundaki en küçük süre bulunur. Eğer eşit en küçük iki süre değeri varsa, üstteki sırada olan seçilir. İkisi de aynı sırada olursa, sol sütundaki seçilir. 2. Bu süre birinci tezgâha ilişkin ise, bu sürenin sırasındaki iş, ilk iş olarak belirlenir. İkinci tezgâha ilişkin ise, bu sürenin sırasındaki iş sonuncu iş olarak belirlenir. 3. Bu işin sırası çizilerek tablodan çıkarılır. 4. 1-3 arası adımlar, tüm işler sıralanıncaya dek yinelenir.
Örnek Beş iş (i), iki tezgâhta (T 1 -T 2 ) tezgâh sırasıyla yapılmaktadır. Bu tezgâhlardaki işlem süreleri (ZB), tabloda verilmiştir. Yayılma süresini enküçükleyen iş sırasını belirleyelim.
Örnek J1-A yöntemini uygulayalım: 2, 4 ve 5 no.lu işlerin birinci tezgâhtaki (T 1 ) süreleri, ikinci tezgâhtaki (T 2 ) sürelerinden küçüktür. Bu işler, (P 21 P 41 P 51 ) olduğundan (2-4-5) şeklinde sıralanır. 1 ve 3 no.lu işlerin ikinci tezgâhtaki süreleri, birinci tezgâhtaki sürelerinden küçüktür. Bu işler, (P 32 P 12 ) olduğundan (3-1) şeklinde sıralanır. Bu işleri en kısa zamanda bitirecek iş sırası, bulunan bu iki sırayı bozmadan birleştirmek sûretiyle bulunur: (2-4-5-3-1)
Örnek Bu sıralamanın Gantt diyagramı, şekilde verilmiştir. Gantt sıralama diyagramı (2-4-5-3-1 iş sırası) Görüldüğü gibi, tüm işlerin tamamlanması için 21 ZB ne gereksinim vardır. T 1 hiç boş kalmamakta, T 2 ise 1 no. lu iş için 1, 5 no. lu iş için ise 2 olmak üzere toplam 3 ZB boş kalmaktadır.
Örnek Her biri iki tezgâhtan (T 1 -T 2 ) tezgâh sırasıyla geçecek olan beş işin (A, B, C, D, E) bu tezgâhlardaki işlem süreleri (ZB), hazırlık süreleri dahil olmak üzere tablodaki gibidir. Yayılma süresini enküçükleyen iş sırasını belirleyelim.
Örnek J1-B nin uygulama sonuçları aşağıdaki tabloda görülmektedir. En iyi sıralama (D-C-E-B- A) olarak bulunmuştur. Buna göre çizilen Gantt sıralama diyagramı şekilde görülmektedir. Buna göre yayılma süresi 31 saat ile, tezgâh bekleme süresi ise toplam 8 saat (T 2 için) ile en küçük değerleri alır.
Johnson Yöntemi İle n İş-3 Serî Tezgâh (n*3) Sıralama Problemlerinin Çözümü n işin her biri, sırasıyla A, B, C tezgâhlarından geçiyorsa; yayılma süresini enküçükleyen iş sırasını saptamak üzere geliştirilmiş etkin ve pratik bir teknik yoktur. Ancak bâzı özel durumlar için problemin en iyi çözümünü bulmak olanaklıdır. Belirli koşullar sağlandığı takdirde Johnson yönteminin (J1-A veya J1-B) geliştirilmiş şekli (J2) ile en kısa zamanda işlerin bitirilmesini sağlayacak iş sırasının bulunması kolaydır.
Johnson Yöntemi İle n İş-3 Serî Tezgâh (n*3) Sıralama Problemlerinin Çözümü Bu koşullar sağlanmadığı takdirde, analitik yöntemlerle işlerin en kısa zamanda bitirilmesini sağlayacak iş sırasının bulunması zor ve zaman alıcı olabilir. J2 yönteminin uygulanabilmesi için A i : i. işin A tezgâhındaki işlem süresi B i : i. işin B tezgâhındaki işlem süresi C i : i. işin C tezgâhındaki işlem süresi olmak üzere aşağıdaki iki koşuldan birinin sağlanması gerekir:
Johnson Yöntemi İle n İş-3 Serî Tezgâh (n*3) Sıralama Problemlerinin Çözümü Enk A i Enb B i Enk C i Enb B i J2 yönteminin uygulanabilmesi için ikinci tezgâhın (B) tümüyle birinci (A) veya üçüncü (C) tezgâhın yönetimi altında olması gerekir. İki koşuldan biri sağlandığı zaman iki yapay tezgâh (A * ve C * ) tanımlanır. Yapay işlem süreleri şöyledir: A i * = A i + B i C i * = B i + C i Bu tanımlamadan sonra bu iki yapay tezgâh kullanılarak J1-A veya J1-B yöntemiyle sıralama yapılır.
Örnek Beş parça (i), sırasıyla A, B ve C tezgâhlarında işlenerek üretilmektedir. Bu üretim ile ilgili işlenme süreleri (A i, B i, C i ), tabloda verilmiştir. Yayılma süresini enküçükleyen iş sırasını belirleyelim.
Örnek J2 yöntemini kullanalım: Enk A i = 3 Enb B i = 5 Enk C i = 5 olup (Enk C i Enb B i ) koşulu sağlanmaktadır. A * ve C * yapay tezgâhlarını tablodaki gibi oluşturabiliriz. Aynı tabloda en iyi sıra (4-3-5-2-1) da J1-B yöntemiyle belirlenmiştir.
Johnson Yöntemi İle n İş-3 SerîTezgâh (n*3) Sıralama Problemlerinin Çözümü J2 yönteminin özel bir çözümü vardır. İlk iki tezgâha (A ve B) ve son iki tezgâha (B ve C), koşullar dikkate alınmaksızın J1-A veya J1-B yöntemi uygulandığında, her iki sonuç da aynı sırayı veriyorsa bu iş sırası optimaldir.
Örnek Tabloda (5*3) tipi bir sıralama problemi verileri görülmektedir.
Örnek (A-B) tezgâh ikilisine J1-A yöntemi uygulandığında (2-5-4-1-3) iş sırası elde edilir. Aynı şekilde (B-C) tezgâh ikilisine de J1-A yöntemi uygulandığında (2-5-4-1-3) iş sırası elde edilir. Dolayısıyla bu sıra, optimal iş sırasıdır.
n İş-m Serî Tezgâh (n*m) Durumu CDS Algoritması İle (n*m) Sıralama Problemlerinin Çözümü Serî iş akışının olduğu, iki veya daha fazla (n tane) işin ve üçten fazla (m tane) tezgâhın bulunduğu statik sıralama problemlerinde, yayılma süresini enküçükleyecek iş sırasının belirlenmesi için kesin bir yöntem yoktur. Bu problemlerde (n!) olası çözüm olması ve bunlardan salt birinin, verilen performans ölçütünü eniyilemesi, özellikle hesaplama açısından büyük zorluklar getirir. Bu problemlerin çözümü için en iyi çözüme yaklaşan bâzı yaklaşımlar geliştirilmiştir.
4.5.3.1. CDS Algoritması Campbell, Dudek ve Smith'in geliştirdiği bir yaklaşım (CDS algoritması), bu tip problemlerde başarı sağlamıştır. Bu yaklaşım, (n*3) sıralama problemlerinde olduğu gibi iş sürelerinde toplamlar elde ederek Johnson yönteminin (J3) kullanımını sağlamaktadır. Bu yaklaşımda, m tezgâhlı bir sistemde (m-1) adet grupta 2 kümeli iş süreleri elde edilmekte ve bu kümelerin her birine J1-A veya J1-B yöntemi uygulanmaktadır. Bu çözümlemede n tane işin tezgâhlardan aynı sırada geçtikleri varsayılmaktadır.
4.5.3.1. CDS Algoritması Çözümlemenin genel yapısı; t m : İşlerin m no.lu tezgâhtaki işlem sürelerinin kümesi olmak üzere tablodaki gibidir. CDS algoritmasının en büyük yararı, en iyi (veya en iyiye yakın) iş sırasının belirlenmesinde, olası tüm sıraların araştırılmasının önlenmesidir.
4.5.3.1. CDS Algoritması CDS algoritmasının genel çözüm yapısı
Örnek Altı parça (a, b, c, d, e, f), dört tezgâhtan (T 1 -T 2 -T 3 -T 4 ) tezgâh sırasıyla geçerek işlenmekte olup işlem süreleri (ZB), tabloda verilmiştir. Bu işlerin yayılma süresini enküçükleyecekşekilde sıralanması için yapılan işlemler (CDS algoritmasının uygulanması) sonucu bulunan ara sonuçlar da tablolarda verilmiştir.
Örnek Bu problemde (4 1=) 3 grup elde edilebilir.
Örnek
Örnek
Örnek Elde edilen bu üç tablodan; Birinci tablo için J1-A yönteminin uygulanması sonucu en iyi sıralama (fc-d-b-e-a) olarak bulunur. Hem ikinci, hem de üçüncü tablolar için J1-A yönteminin uygulanması sonucu elde edilen en iyi sıralama (c-d-f-b-e-a) olarak bulunur. Elde edilen iş sıralarının Gantt diyagramları çizilip yayılma süreleri hesaplandığında,şu sonuçlar elde edilir:
Dolayısıyla (c-d-f-b-e-a) iş sırasının yayılma süresi daha az olduğu için, çözüm olarak bu sıra kabul edilir. Bunun yanısıra tüm seçenek iş sıraları denendiğinde en iyi sıralamanın, 485 ZB yayılma süresi değeriyle (c-d-b-f-a-e) ve (c-d-b-f-e-a) iş sıraları olduğu bulunmuştur. CDS algoritması yaklaşımındaki hata payı ise olmaktadır. Örnek [(487 485) / 485 =] % 0,41
Roy Algoritması ile Hesaplanması Daha önce Gantt diyagramları kullanılarak yayılma süresini belirlemiştik. Bunu Gantt diyagramını çizmeden, bir matris üzerinde belirleyebiliriz. Roy algoritması olarak adlandırılan bu yöntemin temel aşamaları, aşağıdaki gibi özetlenebilir: 1. Birinci işin birinci tezgâhta yapım süresi (P 11 ), matris elemanı olarak görevlendirilir. 2. Birinci iş için erken başlama (EB) ve erken sona erme (ES) değerleri bulunur: 1. EB(P 11 ) = 0 2. ES (P 11 ) = EB(P 11 ) + P 11
Roy Algoritması İle Hesaplanması 3. İkinci işin birinci tezgâhta yapım süresi (P 21 ), matris elemanı olarak görevlendirilir. 4. İkinci iş için de EB ve ES değerleri bulunur: EB(P 21 ) = ES(P 11 ) ES (P 21 ) = EB(P 21 ) + P 21 5. Diğer tüm işler için EB ve ES değerleri bulunur: EB(P ij ) = Enb [ES(P i 1,j ); ES(P i,j 1 )] ES(P ij ) = EB(P ij ) + P ij
Roy Algoritması İle Hesaplanması 6. Tezgâhlar ve işler için bekleme süreleri bulunur: Tezgâh bekleme süresi = EB (P ij ) ES (P i 1,j ) İş bekleme süresi = EB (P ij ) ES (P i,j 1 ) 7. İşlerin işlem süreleri düğümler içinde gösterilerek, her tezgâh için alt alta gelecek şekilde, yörünge ağına benzer bir matris düzenlenir. 8. Düğümlerin sol üst köşesine, o düğümün EB, sağ alt köşesine ise o düğümün ES değerleri yazılır.
Roy Algoritması İle Hesaplanması 9. Soldan sağa olan düğüm bağlantılarının üstüne ve yukarıdan aşağıya olan düğüm bağlantılarının yanına da, sırasıyla iş ve tezgâh bekleme süreleri -parantez içindeyazılır. 10. Son düğüme ilişkin ES değeri (son işin son tezgâhtaki tamamlanma zamanı), yayılma süresini verir.
Örnek Bir önceki örneğin çözümü ile iki farklı iş sırası ortaya çıkmıştı ve bunlardan (c-d-f-b-e-a) iş sırası ile işlem yapma durumunda yayılma süresinin 487 olduğu belirtilmişti. Şimdi bu süreyi, Roy algoritması ile hesaplayalım. Bu iş sırasına göre tezgâhlardaki işlem süreleri tablodaki gibidir.
Örnek
Örnek c ve d işleri ile T 1 ve T 2 tezgâhlarının bulunduğu (2*2) lik matris bölgesini ele alalım. Bu bölgedeki süreler, matrisin düğümlerini oluşturacaktır. Bu bölge için EB ve ES değerleri ile tezgâh ve iş bekleme sürelerini hesaplarsakşekildeki durumu elde ederiz. Ara çözüm
Örnek c işi T 1 de en erken 0 zamanında başlar ve en erken (0+7=) 7 zamanında sona erer. c işi T 2 de işlem görmeye en erken 7 zamanında başlar ve 47 ZB lik yapım süresinden sonra en erken (7+47=) 54 zamanında sona erer. T 3 ve T 4 için sağa doğru iki düğüm daha oluşturulur. d işi, T 1 de en erken, c işinin T 1 deki yapım süresinin bitimi olan 7 zamanında başlar ve 8 ZB lik yapım süresinden sonra en erken (7+8=) 15 zamanında sona erer. f, b, e ve a işleri için aşağıya doğru dört düğüm daha oluşturulur. d işinin T 2 de en erken ne zaman işe başlayabileceği konusunda elimizde iki değer vardır:
Örnek Bunlardan birincisi d işinin T 1 deki işlem tamamlanma zamanı olan 15. Diğeri ise c işinin T 2 deki işlem tamamlanma zamanı olan 54. Bu sürelerden daha büyüğü olan 54 ü, d işinin T 2 de işe en erken başlama zamanı olarak almak uygundur. Çünkü d işinin T 2 de yapılmaya başlanabilmesi için hem T 1 deki d işinin yapılmış olması, hem de T 2 de daha önce yapılmakta olan c işinin bitirilmiş olması gerekmektedir. Bunu sağlayan değer ise 54 dür.
Örnek T 1 ve T 2 için c-d işleri arasında iş bekleme süresi 0 dır. c işi için T 1 ve T 2 arasındaki tezgâh bekleme süresi 0 dır. d işi için ise T 1 ve T 2 arasındaki tezgâh bekleme süresi (54 15=) 39 ZB dir.
Örnek Görüldüğü gibi işler en erken 487 ZB nde bitirilmektedir. İşler için boş bekleme sürelerişuşekilde belirlenir: c : 0 + 0 + 0 = 0 d : 39 + 0 + 42 = 81 f : 112 + 0 + 0 = 112 b : 93 + 0 + 0 = 93 e : 131 + 76 + 12 = 219 a : 100 + 98 + 11 = 209
Örnek Tezgâhlar için boş bekleme süreleri iseşöyle belirlenir: 1 : 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 2 : 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 3 : 44 + 68 + 33 + 0 + 0 = 145 4 : 0 + 8 + 50 + 0 + 0 = 58 Toplam iş bekleme süresi 0 + 81 + 112 + 93 + 219 + 209 = 714 ZB olup toplam tezgâh bekleme süresi ise 0 + 0 + 145 + 58 = 203 ZB olarak bulunur.