Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.
Chapter 3 Boole Fonksiyon Sadeleştirmesi ve Uygulamaları
Karnaugh haritaları=> K Haritası Pratikte kullanılan Boole fonksiyonları çok karışık ve uzun ifadeler olabilir. Ancak, Boole cebri teoremleri aynı çıkışı veren basit devreler elde etmek için, yani Boole ifadelerini sadeleştirmek için kullanılabilir. Boole teoremleri sadeleştirme için kullanılabilmesine rağmen sadeleştirme işlemi için belirli kurallar ya da bir algoritma yoktur. Sistematik bir şekilde sadeleştirme yaparak minimum sayıda değişmez içeren basit ifade elde etmek için Karnaugh haritası veya kısaca K-haritası olarak bilinen grafiksel teknik kullanılır. Bu teknik SOP fonksiyolarına uygulandığında çıkan ifadede şunları garantiler : Ifadede minimum çarpım teriminin bulunmasını. Her terim minimum sayıda değişmez içermesini.
K-Haritası K-haritası kare hücrelerden oluşan bir diyagramdır. Her kare (hücre) bir mintermi temsil eder. Bu karelerin sayısı 2n e eşittir. Burada n fonksiyondaki değişkenlerin sayısıdır. Yani, doğruluk tablosuna benzer, ancak her hücre giriş değişkenlerinin nin bir kombinasyonunu temsil eden hücrelerin bir dizisi olarak düzenlenmiştir. Hücreler öyle yerleştirilmiştir ki verilen fonksiyonun sadeleştirilmesi için sadece hücrelerin uygun şekilde gruplanmasıyla yeter. K-haritaları 5 değişkene kadar olan ifadeler için kullanılır, ancak 5 değişkenlileri sadeleştirme biraz zor olabilir. Bu sebeple sadeleştirmelerde 4e kadar olan değişkenliler ele alınacaktır.
Doğruluk Tablosunu K-map e Haritalama Giriş Değişkenleri Minterm A B C m i 0 0 0 A B C 0 0 1 A B C 0 1 0 A BC 0 1 1 A BC 1 0 0 AB C 1 0 1 AB C 1 1 0 ABC 1 1 1 ABC K-haritasında 2x4 lük bir dizi olarak gruplandırılmış 8 hücre vardır. BC A 00 01 11 10 0 m 0 m 1 m 3 m 2 1 m 4 m 5 m 7 m 6 Haritada bir hücreden komşu bir hücreye geçerken sadece 1 bit değişir. Haritanın dış kenarları da birbiriyle komşu sayılır (sol kenar ile sağ kenar yani m 0 ile m 2 ve m 4 ile m 6 komşudur.
Giriş Değişkenleri 4-Değişkenli K-Haritası Minterm A B C D m i 0 0 0 0 m 0 0 0 0 1 m 1 0 0 1 0 m 2 0 0 1 1 m 3 0 1 0 0 m 4 0 1 0 1 m 5 0 1 1 0 m 6 0 1 1 1 m 7 1 0 0 0 m 8 1 0 0 1 m 9 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 12 m 13 m 15 m 14 m 8 m 9 m 11 m 10 1 0 1 0 m 10 1 0 1 1 m 11 1 1 0 0 m 12 1 1 0 1 m 13 Üst kenar ile alt kenar komşudur. Sol kenar ile sağ kenar komşudur. 1 1 1 0 m 14 1 1 1 1 m 15
K haritasına Standart SOP Fonksiyon Haritalama Kanonik SOP formundaki fonksiyonda bulunan mintermlerin olduğu hücrelere 1 yerleştirilir. Kalan hücrelere de 0 yerleştirilir BC A 00 01 11 10 0 m 0 1 m 1 0 m 3 0 m 2 0 1 m 4 0 m 5 1 m 7 1 m 6 0 f (A,B,C)=Σ m(0,5,7)
K-map gruplama kuralları K-haritasında fonksiyonu temsil eden tüm "1" leri girdikten sonra, aşağıdaki kurallara uygun şekilde "1 içeren bitişik hücreleri daire içine al: 1. Herhangi bir Grup 1, 2, 4, 8, veya 16 tane hücre içermelidir. Yani 2 nin katları sayısınca. (16 lı grup 4 değişkenli fonksiyonlar içindir) 2. Bir gruptaki her hücre gruptaki bir veya birden çok hücre ile komşu olmalıdır, ancak gruptaki bütün hücrelerin birbirine bitişik olması gerekmez. 3. Birinci kurala sadık kalmak şartıyla en çok sayıda 1 içeren grup oluşturulmalıdır. 4. Haritadaki her 1 en az bir gruba eklenmelidir. Herhangi bir 1 birkaç grupta aynı anda bulunabilir. Grupların birbirinden farklı hücreleri olduğu sürece problem olmaz
K-haritasındaki 1 lerin Gruplandırılması 4-değişkenli k-harita grupları 3-değişkenli k-harita grupları Grup3 Grup2 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 1 1 11 1 10 1 1 Grup1 Grup4 A BC 00 01 11 10 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Grup1 Grup3 Grup2
Kanonik SOP Boole fonksiyonunu u sadeleştirmek Guruplandırılmış haritadan en sade çarpım terimlerini ve böylece en sade SOP ifadeyi bulmak için 1. Her bir hücre grubu, grup içinde sadece tek form içeren (tümlenmiş yada tümlenmemiş) değişkenden bir çarpım terimi oluşturur. Grup içinde tümlenmiş veya tümlenmemiş her ikisini de içeren değişkenler elenir x'yz + x yz'= x'y 2. N-değişkenli fonksiyon için; 1-hücreli bir grup, aynı mintermi sağlar (minimizasyon yok), 2-hücreli grup bir değişken minimizasyonu kazancını ve dolayısıyla n-1 değişkenli bir çarpım terimi sağlar. 4-hücreli grup 2-değişken minimize edilmesini ve dolayısıyla n-2 değişkenli bir ürün terimi verir. 3. K-haritasındaki tüm minimum çarpım terimleri elde edildiğinde, minimum SOP ifadesi oluşturacakşekildeşekilde toplanır.
Haritadan minimum SOP İfade eldesi CD AB 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 1 B AC ACD B + AC + ACD
3 lü K-Haritası BC A A B 00 01 11 10 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Grup3 Grup1 C Grup2 F(A,B,C)= BC+AB+A B C Grup 1 de A+A var ve B ile C nin kesişimi Grup 2 de C+C var ve A ile B nin kesişimi Grup 3 te yok ve A,B ve C nün kesişimi
4 lü K-Haritası A AB CD 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 D B 1. grup C+C var ve A,B ve D nin kesişimi 2. grupta A+A ve C+C var ve B ve D nün kesişimi 3. grupta yok ve A, B, C ve D nün kesişimi F(A,B,C,D)=A B D+BD +AB C D
K-harita örnekleri
K-Harita Örnekleri
Başlıca Gruplar Başlıca grup, haritada komşu kareleri mümkün olan maksimum sayıda birleştirerek elde edilen bir çarpım terimdir. Bir karedeki bir minterm, sadece bir başlıca grup kapsamına giriyorsa, o başlıca grubun gerekli olduğu söylenir. Sadeleştirme yapılırken önce gerekli başlıca gruplar kullanılır.
Başlıca gruplar A AB CD 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 B Başlıca gruplar AB, CD, AD, B C Buradaki bütün başlıca gruplar gereklidir D F(A,B,C,D)= (2,3,7,8,9,10,11,13,15)
Başlıca gruplar A AB CD 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 B Başlıca gruplar AB, CD, AD, B C, BD AD ve CD grubu gerekli başlıca grup değildir. D F(A,B,C,D)= (2,3,5,7,8,9,10,11,13,15)
İhmal edilen Koşullar Bazı durumlarda tüm ikili kombinasyonlar fonksiyonu tanımlamak için gerekli değildir (veya izin verilmez). Örneğin BCD kodu kombinasyonları: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, ve 1111 izin verilmez; bu durumlara çıktı üzerindeki etkileri açısından İhmal edilen" olarak davranılabilir. Doğruluk tablosunda ve K-haritasında ihmal edilen çıkışlar X olarak işaretlenir Bir K-haritası içinde, her X 0 veya 1 olarak kabul edilebilir. Böyle bir durumda en iyi sadeleştirmeyi sağlayan durum seçilmelidir. BCD nin ihmal edilen durumdaki izin verilmeyen kombinasyonlar: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 AB CD 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 x x x x 10 m8 m9 x x
K-Haritası POS Sadeleştirme Yaklaşım aynıdır K-Haritasında 1 leri gruplamak yerine POS terimlerini ifade eden 0 lar gruplanır. Değişkenlerin 0 olduğu satır ve sütunlar kendisini 1 olduğu satır ve sütunlar tersini gösterir. BC A B 00 01 11 10 0 1 0 1 1 A 1 0 0 1 0 C
K-Haritası POS Sadeleştirme Gruplanan ifadeler POS formatında yazılır F (A,B,C)=(B+C )(A +C)(A +C) BC A B 00 01 11 10 0 1 0 1 1 A 1 0 0 1 0 C
Boole Fonksiyonlarının Gerçeklenmesi
İki aşamalı NAND ve NOR yapıları SOP & POS
İki Aşamalı NAND Devresi
NAND Kapısı Temel NAND kapısının sembol ve doğruluk tablosu aşağıdadır: AND-Invert (NAND): X Y NOT AND NAND ile gösterilir. X Y Küçük daire ters fonksiyonu temsil eder X Y NAND 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 NAND sembolü Invert-OR olarak dabilinirir
NAND Kapısı Evrenseldir NAND kapıları ile herhangi bir Boole fonksiyonu gerçeklenebilir NAND kapıları, invertör veya VE / VEYA olarak kullanılabilir bir girişli NAND kapısı bir invertördür Çıkışı invert edilmiş NAND VE ile eşdeğerdir Girişleri invert edilmiş NAND VEYA ile eşdeğerdir
2-Seviyeli NAND Uygulaması Fonksiyonu sadeleştir ve SOP olarak ifade et. En az iki değişmezi olan her çarpım terimi için NAND kapısı çizin. Her NAND kapısının girişleri, terimin değişmezleridir dir. Bunlar birinci aşama NAND kapılarıdır. Birinci aşama kapıların çıkışlarının bağlandığı tek bir ikinci aşama NAND kapısı çizin. Tek değişmezli bir terim için birinci aşamada bir inverter kullanılabilir ya da değişmezin tersi alınarak ikinci aşama NAND kapısına direk bağlanabilir.
NAND NAND Uygulaması Aşağıdaki SOP İfadesini İnceleyin : F = XZ + WY Z Bir 2-level VE-VEYA VEYA devresi kolayca NAND- NAND devresine dönüştürülebilir. X Z W Y Z X Z W Y Z F X Z W Y Z F F F = XZ + WY Z
Çok aşamalı NAND devresi F=(CD+B).A+BC Her kapıyı NAND eşleniğine çevirin Aynı hat üzerindeki her ikili inverter grubu birbirini etkisiz hale getirir F = ( CD + B) A + BC
F=(AB +A B).(C+D )
İki Aşamalı NOR Devresi
NOR Kapısı Aşağıda Temel NOR kapısı sembol ve doğruluk tablosu verilmektedir : OR-Invert (NOR): X Y NOT OR, NOR ile gösterilir. X + Y Küçük daire ters fonksiyonu temsil eder X Y NOR 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 Invert-AND sembolü NOR içinde kullanılabilir
NOR Uygulaması NOR kapıları herhangi bir Boole fonksiyonu uygulayabilirsiniz NAND kapıları, tersleyici olarak kullanılabilir, yada to implement AND / OR operatör Tek girişli bir NOR kapısı bir inverter dür NOR terslenmiş çıkış ile OR a denktir NOR terslenmiş giriş ile AND e denktir
2-Seviyeli NOR Uygulaması fonksiyonu sadeleştir ve POS olarak ifade et. En az iki değişmezi olan fonksiyonu her toplam terimi için NOR kapısı çizin. Her NOR kapısı girişleri, terimin değişmezleridir. Bu birinci düzey kapıların bir grubunu oluşturmaktadır. Birinci düzey kapıların çıkışlarından gelen girişleri ile tek bir ikinci düzey NOR kapısı çizin. Tek değişmezli bir terim, ikinci düzey NOR kapısının bir giriş olarak tamamlanır ve ilk seviye bir inverter veya tümleyeni olabilir. NAND uygulamasının ikizidir
NOR NOR uygulaması Aşağıdaki POS İfadesini İnceleyin : F = ( X + Z)( W + Y + Z) bir 2-level VE-VEYA VEYA devresi kolayca NOR-NOR devresine dönüştürülebilir. X Z W Y Z X Z W Y Z F X Z W Y Z F F
İki aşamalı NOR F=(A+B).(C+D).E Çok Aşamalı NOR F=(AB +A B)(C+D )
Exclusive OR Fonksiyonları: Tek & Çift Fonksiyon Parite Üretimi Kontrolü
Exclusive OR / Exclusive NOR Exclusive-OR (XOR) mantık devrelerinde yaygın olarak kullanılan önemli bir Boole fonksiyonudur. XOR fonksiyonu : Doğrudan kendine has bir elektronik devre üretilebilir. Ya da VE, üretilebilir. VEYA gibi standart kapılar kullanılarak Exclusive-NOR (XNOR) fonksiyonunun tümleyenidir fonksiyonu XOR ve XNOR kapıları kompleks kapılardır. XOR
XOR / XNOR Semboller ve Tablolar XOR X Y X Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 XOR Sembolü XNOR X Y X Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 XNOR Sembolü XNOR denklik fonksiyonu olarak da bilinir.
XOR / XNOR Kullanımı XOR/XNOR için SOP ifadesi: XOR fonksiyonu: X Y = X Y + X Y XNOR) fonksiyonu: X Y = X Y + X Y XOR ve XNOR kullanım alanları: Toplayıcı/Çıkarıcı/Çarpıcı birimleri Sayıcılar Parite üretici ve kontrol edicileri Aslen XOR ve XNOR kapıları sadece 2 giriş için tanımlıdır. İkiden fazla giriş için XOR a tek fonksiyonu XNOR a çift fonksiyonu denir.
XOR Uygulamaları XOR için SOP devresi : X Y = X Y + X Y
XOR / XNOR Özdeşlikler X 0 = X X X = 0 X 1 = X X X = 1 X Y = Y X X Y = X Y = X Y ( X Y) Z = X (Y ( X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z Z) = X Y Z XOR ve XNOR birleşme özelliği olan operatörlerdir
Tek Fonksiyon XOR fonksiyonu, 3 veya daha fazla değişkene genişletilebilir. 3 den fazla değişken için, XOR tek fonksiyon olarak adlandırılır Değişkenlerdeki 1 lerin toplam sayısı tek ise fonksiyon 1 sonucu verir. X Y Z = X Y Z+X YZ +XY Z +XYZ YZ X 1 1 1 1 X Y Z WX YZ 1 1 1 1 1 1 1 1 W X Y Z
Çift Fonksiyon XNOR fonksiyonu, 3 veya daha fazla değişkene genişletilebilir. 3 den fazla değişken için, XNOR çift fonksiyon olarak adlandırılır Değişkenlerdeki 1 lerin toplam sayısı çift ise fonksiyon 1 sonucu verir. (X Y Z) = X Y Z +X YZ+XY Z+XYZ YZ X 1 1 1 1 (X Y Z) WX YZ 1 1 1 1 1 1 1 1 (W X Y Z)
Çift / Tek Fonksiyon uygulaması 2-girişli XOR ile 3-girişli tek fonksiyon tasarım: 3-girişli tek fonksiyon : F = (X Y) Z X Y Z F 2-girişli XOR ve XNOR kapıları ile 4-girişli çift fonksiyon tasarım : W 4-girişli çift fonksiyon : X F = (W X) (Y Z) Y Z F
Parite Üretimi ve Kontrolü n bitlik tek veya çift sayıda 1 e sahip bir koda parite biti eklenince (n +1) bitlik kod üretilir Tek parite biti: (n +1) bitlik kodda 1 lerin sayısı tektir Böylece tek parite biti oluşturmak için çift fonksiyon kullan Çift Parite biti: (n+1) +1)-bitlik kodda 1 lerin sayısı çifttir. Böylece çift parite biti oluşturmak için tek fonksiyon kullan Tek pariteyi kontrol etmek için (n+1) +1)-bit kod kontrolü için bir çift fonksiyon kullan Çift pariteyi kontrol etmek için (n+1) +1)-bit kod kontrolü için bir tek fonksiyon kullan
Parite Üretimi ve Kontrolü n-bit kod Verici Parite Üretici (n+1)-bit kod Parite Kontrol Error Alıcı 3-bit kod için çift parite üretim ve kontrolü gösterilmektedir 3-bit tek fonksiyonu çift parite bitini üretmek için kullanılır 4-bit tek fonksiyonu gönderilen kodlardaki parite hatasını kontrol eder (X,Y,Z) = (0,0,1) parite üretimi sonucu (X,Y,Z,P) = (0,0,1,1) ve E = 0 Eğer iletim sırasında bir bit bozulursa E çıkışından 1 alınır X Y Z X Y Z P P E
Parite Üretimi ve Kontrolü 3-bit kod Parite Hata X Y Z ÇP E 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 X Y Z P X Y Z P E