Sayısal Sistemler. Dr.Ziya Gökalp Altun

Transkript

1 Sayısal Sistemler Dr.Ziya Gökalp Altun

2 1. SAYI SİSTEMLERİ Kullanılan 4 temel sayı sistemi vardır: Onluk (Decimal), İkilik (Binary), Sekizlik (Octal) ve Onaltılık (Hexadecimal). Sayı sistemlerinin isimleri taban değerlerinden gelmektedir. Günlük yaşamda onluk sistemi kullanmaktayız, ikilik sistem bilgisayar sistemlerinin temelidir, sekizlik ve onaltılık sistemler ikilik sistemin kontrol amaçlı olarak daha çok yazılım ve donanım tasarımı işlemlerinde kullanılmaktadır. Onluk sistemde 10 sayısına "sayı tabanı" ya da sadece "taban" adı verilir. İki basamaklı bir (ab) sayısı 10a+b şeklinde, üç basamaklı bir (abc) sayısı 100a+10b+c şeklinde, dört basamaklı bir (abcd) sayısı 1000a+100b+10c+d şeklinde çözümlenir ve basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder. (abcde)x sayısında (x taban olmak üzere) x>{a,b,c,d,e} kuralı vardır. x tabanındaki sayının basamak değerleri toplamına bu sayının çözümlenmiş şekli veya 10'luk tabana çevirme denir. x tabanında yazılan (abcde)x sayısının a,b,c,d,e rakamlarının her biri x ten küçüktür. Onluk (Desimal) sayı sistemi Onluk (kimi zaman eşanlamlı olarak desimal ya da ondalık olarak da adlandırılır) sayı sistemi tüm rakamlardan oluşur. Yani, sayılarından oluşur. On adet sayı bulunduğu için bu rakam sisteminin tabanı 10'dur. 100 sayısı aynen veya (100)10 şeklinde yazılır. Örnek: 376 = (3 x 100) + (7 x 10) + (6 x 1) = = İkilik (Binary) sayı sistemi İkilik sayı sisteminde sadece 0 ve 1 rakamları kullanılır. Örneğin ikilik sistemdeki 1011 = (1011)2 sayısının onluk (desimal) sistemdeki eşdeğerini bulalım: 1x2 0 = 1 1x2 1 = 2 0x2 2 = 0 1x2 3 = 8 Toplam = (11)10 (1011)2 = (11)10 Sekizlik (Oktal) sayı sistemi Sekizlik sayı sisteminde sadece 0 dan 7 ye kadar olan rakamlar kullanılır. Örneğin sekizlik sistemdeki 147 = (147)8 sayısının onluk (desimal) sistemdeki eşdeğerini bulalım: 7x8 0 = 7 4x8 1 = 32 1x8 2 = 64 Toplam =(103)10 (147)8 =(103)10 1

3 Onaltılık (Heksadesimal) Sayı Sistemi Onaltılık sayı sisteminde 0 dan 9 a kadar olan sayılar ve A dan F ye kadar olan harfler kullanılır. Burada onluk sistemdeki 10 dan 15 e kadar olan sayılar A dan F ye kadar olan harflerle gösterilir. A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 Örneğin (C68)16 sayısı onluk sistemde 3176 sayısını ifade eder. Şöyle ki; 8x16 0 =8 6x16 1 =96 12x16 2 =3072 Toplam = (3176)10 (C68)16=(3176)10 Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür. Fakat Desimal, Oktal ve heksadesimal sayılar birbirine dönüştürülürken BCD kodundan faydalanılması tercih edilir. Sayı sistemleri birbirlerine dönüştürülürken daha kolay bir yöntem izlenir: önce bu sayı BCD kodu ile yazılır, daha sonra ilgili sayı sistemine dönüştürülür. Kodlar kısmında dönüşümler verilmiştir. Onluk sayının ikilik sayıya çevrilmesi: Onluk sayı ikili sayıya çevrilirken İkilik sayının tabanı olan 2'ye bölünür. 9 onluk sayısını İkilik sayıya çevirelim. Tablodan görüldüğü gibi 9 sayısı 2'ye bölünür. Bu işlem bölüm sıfır olana kadar devam eder. Kalan kutusundaki rakamlar aşağıdan yukarı doğru alınarak yan yana yazılır Sonuç: (9)10 = (1001)2 İşlem Bölüm Kalan 9 : : : : İkili sayının onluk sayıya çevrilmesi: ( )2 İkilik sayısını onluk sayıya çevirelim. 1x2 6 +0x2 5 +1x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = 1x64+0x32+1x16+1x8+0x4+1x2+1x1 = = (91)10 bulunur. İkili sayının sekizlik sayıya Çevrilmesi: ( )2 sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürelim. Sondan başlayarak üçerli kümelere ayırma ve eksik bitleri tamamlama (önüne sıfır ekleme) sonucunda, Her bir kümenin temsil ettiği sekizlik sayı yazılırsa ( )2 = (31735)8 eşitliği elde edilir. 2

4 İkilik sayının onaltılık sayıya çevrilmesi: ( )2 sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürelim. Dörderli kümelere ayırma ve eksik bitleri tamamlama sonucunda, D D Her bir kümenin temsil ettiği onaltılık sayı yazılırsa ( )2 = (33DD)16 eşitliği elde edilir. Sekizlik sayının onluk sayıya çevrilmesi : (25)8 sekizlik sayısını onluk sayıya çevirelim. 2 x x 8 0 => 2 x x 1 = = (21)10 bulunur. Onluk sayının sekizlik sayıya çevrilmesi : Onluk sayı sekizlik sayıya çevrilirken sekizlik sayı tabanı olan 8'e bölünür. (84)10 onluk sayısını sekizlik sayıya çevirelim. İşlem Bölüm Kalan 84 : : : 8 1 Tabloda görüldüğü gibi 84 sayısı 8'e bölünür. Daha sonra bölüm kutusundaki sayı tekrar 8'e bölünür. (Bölüm sıfır olana kadar). Kalan kutusundaki sayılar aşağıdan yukarı doğru alınarak yan yana yazılır. Çıkan sayı sekizlik sayıdır. Sonuç: (84)10 = (124)8 Onaltılık sayının onluk sayıya çevrilmesi : (4F8)16 sayısını onluk sayıya çevirelim. 4 x F x x 16 0 => 4 x F x x 1 = = (1272)10 bulunur. Onluk sayının onaltılık sayıya çevrilmesi: Onluk sayıyı onaltılık sayıya çevirirken, sayı onaltılık sayı tabanı olan 16'ya bölünür Örnek olarak (100)10 onluk sayısını onaltılık sayıya çevirelim. İşlem Bölüm Kalan 100 : : Onluk sayı, bölüm sıfır olana kadar 16'ya bölünür. Daha sonra kalan kutusundaki sayılar aşağıdan yukarı doğru alınarak yan yana yazılır. Sonuç: (100)10 = (64)16 Tüm sistemlerdeki sayıların onluk karşılığı için onluk sayı = c n. r n n n=0 c : her bir basamaktaki katsayı r : taban değeri (radix - base) n: basamak (en soldan sıfırdan başlamak üzere) 3

5 örnek: (19)10 (10011)2 (23)8 (13)16 1* *10 0 1*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 2*8 1 +3*8 0 1* * Aşağıdaki tabloda bahsedilen tüm sistemlerin karşılaştırılmasını göreceksiniz. Desimal / Onluk (taban 10) Binary / İkilik (taban 2) Oktal / Sekizlik (taban 8) Hexadesimal / Onaltılık (taban 16) A B C D E F A B C D E F (Tüm sistemlerde taban sayısının yazım şeklinin 10 olduğuna dikkat ediniz) 4

6 2. KARAR VERME ELEMANLARI Sayısal elektronikte 3 temel eleman vardır: VE (AND), VEYA (OR) ve DEĞİL - ters çevirici (NOT Inverter-evirici) geçitleri. Bu geçitleri bir araya getirerek VEDEĞİL (NAND), VEYADEĞİL (NOR), ÖZELVEYA (XOR) ve ÖZELVEYADEĞİL (XNOR) ikincil temel geçitler elde edilir. Tüm bu geçitler uygun şekilde kullanılarak oldukça karmaşık işlemleri/kontrolleri yapabilecek devreler oluşturulur. DOĞRULUK TABLOLARI (TRUTH TABLE) Doğruluk tabloları sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılan en basit ve faydalı yöntemdir. Doğruluk tablosu giriş değişkenlerinin alabileceği olası bütün durumlar için çıkış ifadesinin ne olduğunu gösteren tablodur. Bir doğruluk tablosunda eğer n sayıda giriş değişkeni varsa bu değişkenler olası 2n sayıda değişik durum alabilirler. Örneğin bir sayısal devrenin iki (n=2) giriş değişkeni varsa bu değişkenlerin alabileceği durum sayısı 2 2 =4 iken, üç giriş değişkeni (n=3) için 2 3 =8 farklı durum yazılabilir. Sayısal devreleri tasarlarken en önemli işlerden birisi doğruluk tablosunun oluşturulmasıdır. Doğruluk tablosu oluştururken belli bir amaç için tasarlanacak devrenin giriş değişken sayısı bulunduktan sonra bu giriş değişkenlerinin alacağı olası durumlarda devre çıkışının ne olması gerektiği tabloya yazılmalıdır. Aşağıda A ve B iki giriş değişkeni, Q ise çıkışı göstermek üzere iki giriş değişkeni için oluşturulmuş olan doğruluk tablosu verilmiştir. Girişler Çıkış A B Q VE geçidi (AND gate) Bir VE geçidinin iki veya daha fazla giriş, bir çıkış hattı vardır. Şekilde iki giriş bir çıkışlı VE geçidinin mantık sembolü, doğruluk tablosu ve denk anahtar devresi verilmiştir. VE geçidi tüm girişleri olumlu (1) ise çıkışı olumlu olan geçit türüdür. Herhangi bir ya da birkaç girişi olumsuz ise çıkış da olumsuz (0) olacaktır. Bu tipik bir çarpma işlemidir. 5

7 VEYA geçidi (OR gate) Bir VEYA geçidinin iki veya daha fazla giriş, bir çıkış hattı vardır. Şekilde iki giriş bir çıkışlı VEYA geçidinin mantık sembolü, doğruluk tablosu ve denk anahtar devresi verilmiştir. VEYA geçidi herhangi bir girişi ya da girişleri olumlu (1) ise çıkışı olumlu olan geçit türüdür. Tüm girişleri olumsuz ise çıkış da olumsuz (0) olacaktır. Bu tipik bir toplama işlemidir. DEĞİL geçidi (NOT gate- INVERTER) DEĞİL kapısı bir giriş, bir çıkış hattına sahiptir. Çıkış işareti giriş işaretinin tersi (değilitümleyeni) olur. Şekilde değil kapısı sembolü,doğruluk tablosu ve denk anahtar devresi verilmiştir. DİĞER GEÇİTLER VEDEĞİL NAND (NOT AND) İki girişli VE DEĞİL geçidi (Q=(A.B) = AB ) 6

8 VEYA DEĞİL NOR (NOT OR) ÖZEL VEYA XOR (exclusive OR) İki girişli VEYA DEĞİL geçidi (Q=(A+B) = A + B ) İki girişli ÖZEL VEYA (XOR) geçidi (Q=A B= A.B+A.B) ÖZEL VEYA geçidinin girişleri aynı lojik seviyede ise çıkış Lojik-0, her iki giriş farklı lojik seviyede ise çıkış Lojik-1 olur. Başka bir deyişle giriş seviyeleri farklı ise (eşit değilse) çıkış 1 olacaktır. XOR kısaltılmış smgesi dir. A B=A.B+A.B şeklinde açılır. ÖZELVEYA DEĞİL XNOR (NOT XOR) İki girişli ÖZEL VEYA DEĞİL (XNOR) geçidi (Q= A B=A.B+A.B) 7

9 ÖZEL VEYA DEĞİL geçidinin girişleri aynı lojik seviyede ise çıkış Lojik-1, her iki giriş farklı lojik seviyede ise çıkış Lojik-0 olur. Başka bir deyişle giriş seviyeleri eşit ise (farklı değilse) çıkış 1 olacaktır. XNOR kısaltılmış simgesi dir. A B=A.B+A.B şeklinde açılır. BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Boole tarafından 1854 yılında geliştirilen Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir. Boolean matematiği sayısal devrelerin çıkış ifadelerinin giriş değişkenleri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ulaşması için kullanılır. BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLERİ Boolean matematiğinde kullanılan değişkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilir. Sayısal olarak bir değişken veya fonksiyon iki değer alabilir. Bu değerler 1 veya 0 olacaktır. Değişkenlerin veya fonksiyonların aldığı bu değerler sayısal devrelerde eğer 1 ise YÜKSEK gerilim seviyesi, 0 ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir. Değil veya tümleyen (komplement), boolean matematiğinde değişkenin üzerine çizilen bir çizgi ile gösterilir. Örneğin A ifadesi A nın değili veya A nın komplementi şeklinde okunur. Eğer A=1 ise A =0, A=0ise A =1 olur. Tümleyen (komplement) veya değil için A şeklinde yazım kullanılabilir. A ve B girişlere uygulanan iki değişken ise VE fonksiyonu Boolean ifadesi olarak A.B şeklinde yazılırken VEYA fonksiyonu için A+B şeklinde yazılır. TOPLAMA VE ÇARPMA Boolean toplama temel kuralları aşağıda verilmiştir = = = = 1 Boolean matematiğinin sayısal devre uygulamalarında Boolean toplama VEYA fonksiyonu ile gösterilir. (Dikkat: Matematikte 1+1=2 olduğunu elbette biliyoruz. Yukarıda tablosu verilen toplama işlemleri mantıksal olduğundan (mantıkta 1 i evet, 0 ı hayır olarak düşünürsek) evet+evet=evet olarak uygularız. Ancak ileriki konularda matematiksel toplama devresi yaparken 1+1=0!!! diyeceğiz!) Boolen çarpma işlemi ise VE fonksiyonu ile ifade edilir. Boolean çarpma işlemine ilişkin temel kurallar aşağıda verilmiştir = = = = 1 Not: toplama işlemindeki garipliğin burada olmaması (hem mantıksal, hem matematiksel olarak 1.1=1 ) uygulamada rahatlık sağlar. 8

10 KURALLAR Matematiksel kurallar A+0 = A A.0 = 0 A+1= 1 A.1= A A+A=A A.A=A A+A = 1 A.A = 0 A = A A+A.B = A A+A B = A+B (A+B).(A+C)= A+B.C A.(A+B) = A A.(A +B) = A.B A.B+A.C = A.(B+C) Yer değiştirme kuralı A+B = B+A A.B = B.A Birleşme kuralı A+(B+C) = (A+B)+C A.(B.C) = (A.B).C A.(B+C) = A.B+A.C Dağılma kuralı A+(B.C)=(A+B).( A+C) De Morgan eşitlikleri =A.B A + B =A A. B + B 9

11 3. SAYISAL DEVRE TASARIMI Boolean ifadesinden mantık kapıları arasında uygun bağlantılar yapılması ile sayısal devrenin elde edilmesi işlemine sayısal devre tasarımı adı verilir. Bu bölümde verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrenin çizimi ve sayısal devrelerden Boolean ifadesinin elde edilmesi anlatılacaktır. Boolean İfadesinden Sayısal Devrelerin Çizilmesi Devre tasarlanırken ilk önce Boolean ifadesinde kaç tane giriş değişkenin olduğu, daha sonra bu değişkenlerin hangi Boolean işlemine uygulandığı bulunmalıdır. Çizim sırasında Boolean matematiği işlem sırası takip edilmelidir. İşlem sırası parantez, DEĞİL,VE, VEYA şeklindedir. Örnek: Q=A.B + A.B.C ifadesini gerçekleştirecek sayısal devreyi tasarlayınız. Çözüm: Verilen Boolean ifadesinin çizimine öncelikle VE kapıları ile ifade edilen Boolean çarpma işlemi ile başlarız. Ancak VE kapılarına uygulanacak değişkenlerden DEĞİL olan varsa, öncelikle bu değişken DEĞİL kapısına uygulanarak bu işlem(a ) gerçekleştirilir. DEĞİL i alınan değişken diğer değişken(b) ile VE kapısına ( A.B ) uygulanır. Elde edilmek istenen A.B.C ifadesinde üç değişkenin VE kapısına uygulanması gerektiğinden üç girişli bir VE kapısı ve iki girişli iki VE kapısının ardı ardına bağlanması ile bu işlem gerçekleştirilir. Elde edilen bu iki ifade VEYA kapısına uygulanarak devrenin çizimi tamamlanır. Şekilde Q=A.B + A.B.C ifadesine ait sayısal devre hem iki ve üç girişli VE kapıları ile (a), hem de sadece iki girişli VE kapıları kullanılarak (b) çizilmiştir. Sayısal Devreden Boolean İfadesinin Elde Edilmesi Çizilmiş bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilebilmesi için ilk önce kapı girişlerine uygulanan değişkenler belirlenir. Her kapı çıkışına ait Boolean ifadesi yazılır. Bu işlem devredeki en son kapıya kadar sürdürülür. Örnek: Şekildeki devrenin Boolean eşitliğini bulunuz: Çözüm: A,B,C giriş çizgilerini takip ederek girişleri A ve B olan OR çıkışı A+B ; Girişleri A ve C olan OR çıkışı A+C ; Birinci AND çıkışı C.(A+ B ) ; İkinci AND çıkışı B.(A+C) ; Üçüncü AND çıkışı B.C ; Son olarak devre çıkışı üç girişli OR üzerinden alınmaktadır ve bulunan üç AND çıkışının toplamına eşittir. Yani, Q=C.(A+B ) + B.(A+C) + B.C bulunur. 10

12 Boolean İfadelerinin Sadeleştirilmesi Çoğu zaman sayısal bir devre için elde edilen Boolean ifadesi uzun ve karmaşık olabilir. Devreyi bu haliyle tasarlamak işlemin maliyetinin artmasını ve hata yapma olasılığını beraberinde getirmektedir. Boolean teorem, kural ve kanunlar yardımı ile ifadeler sadeleştirilerek daha az sayıda mantık kapısı ile sayısal devreler tasarlanabilir. Örnek olarak bir önceki örnekte gösterilen devre çiziminden elde edilen eşitliğin sadeleştirilmesine çalışalım. Q=C.(A+B ) + B.(A+C) + B.C Adım 1. Eşitliği açalım: A.C + B.C + A.B + B.C + B.C Adım 2. Aynı olanları birleştirelim (A+A=A kuralı) A.C + B.C + A.B + B.C Adım 3. Çoğunlukta olan C değişkeni parantezine alırsak C(A+B +B) + A.B Adım 4. Yeni oluşan parantez içi denklem (A+B +B)= (A+1)=1 Adım 5. Eşitlik Q=C.(1)+A.B Q=C+A.B şekline dönüşecektir. Adım 6. Elde edilen eşitliğin devresi çizilir. Q=C.(A+B ) + B.(A+C) + B.C devresi Sadeleştirilmiş eşdeğer devre Q=C+A.B Doğruluk tablosu yardımıyla, bu iki devrenin gerçekten eşit olup olmadığını sağlayalım: Öncelikle A,B,C adlı üç değişkenimiz olduğuna göre Doğruluk tablosu 2 3 =8 satırdan oluşacaktır. Her bir satır farklı bir durumu yansıtır. Giriş Q=C.(A+B ) + B.(A+C) + B.C Q=C+A.B Değişkenleri (x) (y) (z) (x)+(y)+(z) (w) C+(w) A B C B A+B C.( A+B ) A+C B.(A+C) B.C Q A.B Q Her bir devre (eşitlik) için sonuçların elde edildiği Q sütun değerlerine bakılırsa aynı oldukları dolayısıyla birbiriyle özdeş olduğu anlamını verir. 11

13 BOOLEAN İFADELERİNİN ELDE EDİLMESİ Bir doğruluk tablosu sayısal devrenin çalışmasına yönelik değişkenlerinin durumuna bağlı olarak çıkışın ne olması gerektiği anlatan tablodur. Tasarım aşamasında en önemli işlemlerden biri olan doğruluk tablosunu oluşturduktan sonra ifadenin mantık kapıları ve bu kapıların birbirleriyle olan bağlantılarının elde edilebilmesi için tablodan Boolean ifadesinin elde edilmesi gerekmektedir. Önceki kısımlarda bu ifadelerin sadeleştirilmesi ve devrelerin çizilmesi anlatıldı. Bu bölümde Boolean ifadelerinin doğruluk tablosundan elde edilmesi anlatılacaktır. Boolean Açılımları ve Standart Formlar Boolean ifadeleri fonksiyonun doğruluk tablosundan elde edilen iki temel açılımdır. Bu ifadeler eğer bir sadeleştirme işlemi uygulanmazsa az sayıda değişken içermesi ender olarak karşılaşılan bir durumdur. Boolean ifadelerinin yazıldığı iki temel açılım mintermlerin toplamı ve maxtermlerin çarpımı olarak gösterilebilirler. Minterm ve Maxterm İkili bir değişken Boolean ifadesi olarak değişkenin kendisi (A) veya değişkenin değili (A ) şeklinde gösterilebilir. VE kapısına uygulanan A ve B değişkenlerinin iki şekilde Boolean ifadesi yazılabileceğinden bu değişkenlerin alabileceği dört durum söz konusudur. Bu dört durum minimum terim veya standart çarpım adını alır. Benzer şekilde n sayıda değişken için 2 n kadar minimum terim yazılabilir. Üç değişkenin alabileceği sekiz (2 3 ) durum olduğundan 0 dan 7 ye kadar olan onluk sayıların ikilik karşılıkları, yazılabilecek durumları vermektedir. Her bir değişken ikilik sayıda eğer 0 ise değili 1 ise değişkenin kendisi yazılarak bulunur. Minimum terim Boolean ifadesini 1 yapan terimdir. Her bir minimum terim mj şeklinde gösterilir. Burada j indisi ilgili ikilik sayının onluk karşılığıdır. Benzer biçimde n kadar değişken için değişkenin kendisi ve değili olmak üzere VEYA işlemini ile birleştirilmiş 2 n kadar durum yazılabilir. VEYA işlemi ile birleştirilmiş bu durumlar ise maksimum terimler veya standart toplama adını alırlar. Her maxterm üç değişkenin VEYA işlemi ile birleştirilmiş halinden elde edilir ve burada ikilik sayıda değişken 0 ise değişkenin kendisi, 1 ise değişkenin değili yazılarak bulunabilir. Aşağıdaki tabloda üç değişkene ait minimum terimleri (Minterm) ve maksimum terimler (Maxterm) görülmektedir. Değişkenler Minterm Maxterm A B C Terim Sembol Terim Sembol A.B.C m0 A+B+C M A.B.C m1 A+B+C M A.B.C m2 A+B +C M A.B.C m3 A+B +C M A.B.C m4 A +B+C M A.B.C m5 A +B+C M A.B.C m6 A +B +C M A.B.C m7 A +B +C M7 12

14 Mintermlerin Toplamı Yukarıda n sayıda değişkene ait 2 n sayıda minimum terim yazılabileceğini ve bu minimum terimlerin fonksiyonu 1 yapan terimler olduğu anlatılmıştı. Boolean fonksiyonunu mintermlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun 1 olduğu her durum için minimum terimler bulunur. Bulunan bu minimum terimler VEYA lanarak fonksiyon mintermlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılır. Örnek: Q(A,B,C)= (1,3,4,7) ifadesiyle verilen Boolean eşitliğini bulunuz. Çözüm: Öncelikle soruda verilen fonksiyon ifadesinin, doğruluk tablosundaki yerleşimi verdiğini, simgesi ile parantez içinde verilen sayıların ifade ettiği terimlerin toplanacağını sayıların Q(A,B,C) tanımıyla A,B,C değişkenlerinden oluşan ikilik sayı karşılıkları (A en değerli-ilk hane, C en değersiz-son hane) ile fonksiyonun 1 sonucunu verdiği durumların belirtildiğini bilmemiz gerekir. Buna göre doğruluk tablosunu oluşturursak: Onluk sıra A B C Q Terim Sembol A.B.C m A.B.C m A.B.C m A.B.C m7 Q(A,B,C) = (1,3,4,7) = (1) + (3) + (4) + (7) Q(A,B,C) = m1 + m3 + m4 + m7 Q(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C (Not: İstenirse doğruluk tablosunu yapmadan verilen sayıların minterm karşılıkları doğrudan yazılabilir.) Q=A.B.C+A.B.C+A.B.C +A.B.C fonksiyonu devresi: 13

15 Maxtermlerin Çarpımı Boolean fonksiyonları maxtermlerin çarpımı olarak da ifade edilebilirler. n sayıda değişkene ait 2 n sayıda maxterm yazılabilir. Bu maxtermler fonksiyonun 0 olmasını sağlayan terimlerdir. Boolean fonksiyonunu maxtermlerin çarpımı formunda yazmak için fonksiyonun 0 olduğu her duruma ait maxtermler bulunur. Bulunan bu maxtermler VE lenerek fonksiyon maxtermlerin çarpımı formunda yazılabilir. Örnek: Aşağıdaki doğruluk tablosundan maxtermleri kullanarak Boolean fonksiyonunu bulunuz: A B C P Çözüm: Doğruluk tablosunun çıkış ifadesinin 0 olduğu her duruma ait maksimum terim bulunduktan sonra bu terimler VE lenerek lojik ifade elde edilir. A B C P A+B+C M A +B+C M A +B+C M P = (A+B+C). (A +B+C). (A +B+C ) P = M0. M4. M5 = (0,4,5) ( sembolü çarpım anlamına gelen Product kelimesinin P harfinden (yunan alfabesindeki pi (π) harfinin büyük yazılımı) gelmektedir.) P = (A+B+C). (A +B+C). (A +B+C ) fonksiyonu devresi: 14

16 Burada ayrıca bilinmesi gereken P(A,B,C)= (0,4,5) fonksiyonu (devresi) Q(A,B,C)= (1,2,3,6,7) fonksiyonunun (devresinin) tümleyenidir (komplementi) yani tersidir. P doğruluk tablosu yerleşiminde P, seviye 0 sonuçlarının karşılığı iken Q aynı doğruluk tablosundaki seviye 1 lerin karşılığıdır. Yani birisi elde edildiğinde diğeri sadece çıkışı evirici (inverter) den geçirmek suretiyle elde edilebilir: P(A, B, C) = Q(A,B,C) veya P(A,B,C) = Q(A, B, C) DİĞER SAYISAL İŞLEMLER n kadar değişkene sahip bir Boolean fonksiyonu için m=2 n olası durum yazılabildiği için, n kadar değişken için yazılabilecek fonksiyon sayısı 2 m kadardır. İki değişken için n=2 olduğundan m=4 ve yazılabilecek fonksiyon sayısı 2 4 =16 dır. X ve Y gibi iki değişkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları aşağıda verilmiştir. Tabloda F0 dan F15 e kadar olan 16 sütundan her birisi X ve Y değişkenlerinden oluşan fonksiyonlardan birinin doğruluk tablosunu göstermektedir. Fonksiyonlar F in alabileceği 16 durumdan elde edilmiştir. Fonksiyonların bazılarında işlemci sembolü vardır. Örmeğin F1, VE işlemine ilişkin doğruluk tablosunu vermektedir ve işlem sembolü. olarak verilmiştir. X Y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F Boolean İşlem İşlem Adı Açıklama Fonksiyonu Sembolü F0= 0 boş İkilik sabit 0 F1= x.y x.y VE - AND x ve y F2= x.y x/y Engelleme x ve y değil F3= x Transfer x F4= x.y y/x Engelleme x değil ve y F5= y Transfer y F6= x.y +x.y x_y ÖZELVEYA - XOR x veya y fakat ikisi birden değil F7= x+y x+y VEYA - OR x veya y F8= (x+y) x y VEYADEĞİL - NOR VEYA değil F9= x.y+x.y x_y ÖZELVEYADEĞİL- XNOR x eşit y F10= y y DEĞİL y nin değili F11= x+y x_y İçerme x veya y değil F12= x x DEĞİL x in değili F13= x +y x_y içerme x değil veya y F14= (x.y) x y VEDEĞİL - NAND VE nin değili F15= 1 Birim eleman İkilik sabit 1 15

17 BOOLEAN FONKSİYONLARININ SADELEŞTİRİLMESİ Boolean fonksiyonlarını teoremler, kurallar ve özdeşlikler yardımı ile indirgeyebileceğimiz önceki bölümde anlatıldı. Ancak yapılan bu sadeleştirme işleminde birbirini izleyen her adım için farklı bir işlem yapma gerekliliği indirgemenin tam olarak yapılamamasına ve hata yapma olasılığını arttırmaktadır. Karnough haritalama yöntemi Boolean fonksiyonlarının indirgenmesinde basit ve dolaysız bir yöntem sağlar. Harita karelerden oluşan bir şemadır. Her bir kare bir mintermi gösterir. Bir Boolean fonksiyonunu doğruluk tablosundan mintermlerin VEYA lanması (çarpımların toplamı) olarak ifade edildiği için haritada fonksiyonun minimum terimleri içerdiği karelerle çevrili bir alanlarla tanımlanabilir. Tasarımcı bu alanlarda uygun bileşkeler alarak en sade ifadeyi elde edebilir. Karnough haritalama yöntemi en fazla altı değişkenli ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılmaktadır. Daha fazla değişken içeren fonksiyonların indirgenmesi için Tablo yöntemi kullanılmaktadır. Karnough haritasındaki kare sayısı giriş değişken sayısı n ise 2 n olarak bulunabilir. Örneğin 2 giriş değişkeni var ise oluşturulacak Karnough haritasındaki kare sayısı 2 2 =4 olarak bulunabilir. Karnough haritalarında düşey doğrultudaki hücrelere sütun, yatay doğrultudaki hücrelere satır adı verilir. İki Değişkenli Diyagramlar İki giriş değişkeni için dört minterm yazılabilir, dolayısı ile haritada her minterme karşılık gelen bir kare olmak üzere dört kare vardır. Aşağıda iki giriş değişkeni için oluşturulmuş Karnough haritası gösterilmektedir. B B B A 0 1 A 0 m 0 m 1 A 1 m 2 m 3 B B B A 0 1 A 0 A.B A.B A 1 A. B A.B İki değişkenli Karnaugh haritası yerleşimi ve A=0 VE B=1 durumuna karşılık gelen hücrenin belirlenmesi B A B B 0 1 A 0 A.B A. B A 1 A. B A.B A=0 VE B=1 durumuna karşılık gelen hücre Harita, bitişik (alt-üst ya da yan yana) hücrelerin gruplandırılmasıyla ve grupların VEYA lanması ile sadeleştirilmiş fonksiyon elde edilir. Bitişik hücrelerin gruplandırılması her bir hücrede çarpımlar halinde görülen değişken sayılarını azaltmaya yarar. Örneğin yukarıdaki tablodaki işaretli hücrenin (A.B) altındaki hücre ile gruplandırılması A.B+A.B = B.( A +A)= B.1 = B anlamına gelecektir, bu da A değişkeninin eksiltilmesi demektir. Zaten alt alta olan iki hücrenin bulunduğu sütun da B sütunuydu, ve A nın her iki durumu için de B değişkeninin olduğunu göstermektedir. Benzer şekilde üst satır bitişik hücreleri ele alırsak A.B + A.B= A.( B +B) = A.1 = A elde edilecektir, B hangi değeri alırsa alsın A=0 durumunun geçerli olduğunu gösterir. Gruplandırmanın önemi ve anlamı daha fazla değişkenli haritalarda daha fazla önem kazanır. 16

18 Üç Değişkenli Diyagramlar Üç giriş değişkeni için (2 3 ) sekiz minterm yazılabilir, dolayısı ile haritada her minterme karşılık gelen bir kare olmak üzere sekiz kare vardır. Aşağıda üç giriş değişkeni için oluşturulmuş Karnough haritası gösterilmektedir. BC A B C 00 B C 01 BC 11 BC 10 A 0 m0 m1 m3 m2 A 1 m4 m5 m7 m6 AB C C 0 C 1 A B 00 m0 m1 A B 01 m2 m3 AB 11 m6 m7 AB 10 m4 m5 BC A B C 00 B C 01 BC 11 BC 10 A 0 A B C A B C A BC A BC A 1 AB C AB C ABC ABC AB C C 0 C 1 A B 00 A B C A B C A B 01 A BC A BC AB 11 ABC ABC AB 10 AB C AB C Mintermlerin yazılım sırasına dikkat edilirse, bitişik her bir satır veya sütun da değişkenin alabileceği değer 1 den 0 a ya da 0 dan 1 geçer. Yani bitişik hücreler arasında sadece bir değişikliğe izin verilir. Bu ise iki bitişik karenin birbiri ile komşu olmasını sağlar. Komşuluk yapabilecek hücre sayısı 2,4,8 (2 nin üs katları) şeklindedir, ancak hangi hücreleri seçeceğiniz hazırladığınız tablo şekline (yukarıda iki satır-dört sütunlu ve dört satır-iki sütunlu tablolar) bağlıdır. Üstte yeralan iki satır-dört sütunlu tabloya göre; m0 m1, m1-m3, m2-m3, m4-m5,m5-m7,m6-m7, m0-m2,m4-m6 yatay komşular; m0-m4, m1-m5,m2-.m6,m3-m7 dikey komşulardır. Bu ikili komşuluklar da birbirine komşu olabilir, bu durumda m0-m1-m3-m2; m4-m5-m7-m6; m0-m1-m4-m5; m1-m3-m5-m7; m3-m2-m7-m6; m0-m4-m2-m6 şeklinde dörtlü dört grup oluşturulabilir. Ayrıca 8 hücrenin tümü 1 ise tüm hücreler komşu demektir, fonksiyon = 1 dir. Dört Değişkenli Diyagramlar Dört giriş değişkeni haritanın on altı kareden (2 4 =16) oluşmasını sağlar. Dört giriş değişkeni için oluşturulan Karnough haritası Şekilde verilmiştir. (a) 16 minterm ve yerleşimini gösterirken, (b) de ise mintermler Boolean ifadesi şeklinde haritaya yeniden yazılmıştır. 17

19 Karnough haritalarında her bir karenin Boolean ifadesi ve minimum terim cinsinden anlamı bulunduktan sonra doğruluk tablosundan veya bir lojik ifadeden bilgilerin haritaya aktarılması gerekmektedir. Doğruluk tablosunda çıkış ifadesi tercih edilen indirgeme şekline göre 1 veya 0 olduğu durumlar Karnough haritasında uygun karelere yazılır. Doğruluk tablosundan bilgileri Karnough haritasına aktarırken, çıkış ifadesine ait durumlar Karnough haritasındaki uygun karelere yazılır. Lojik ifadeden Karnough haritasına bilgileri aktarırken, ifadeyi oluşturan mintermler bulunur. Mintermlere ait karelere 1 diğer karelere 0 yazılır. Lojik ifadeleri Karnough haritaları yardımı ile çarpımların toplamı formunda indirgerken I. Karnough haritasında 1 olan kareler uygun bileşkelere alınır. a) Bileşke oluştururken içinde 1 olan karelerin sayısı 2 n kadar olmalıdır. b) Bir kare birden fazla bileşke içinde bulunabilir. c) Karelerin bileşke oluşturabilmeleri için birbirlerine komşu olmaları gerekmektedir. d) Karşılıklı köşe ve kenarlardaki kareler birbirlerine komşu kare sayılırlar. II. Bileşke sonuçları VEYA lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir. a) Bileşke içinde durum değiştiren değişkenler varsa (1 den 0 a veya 0 dan 1 e) bu değişkenler dikkate alınmaz. b) Bileşke içindeki karelerinde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır. Eğer durum değiştirmeye değişkenler Lojik-0 ise değişkenlerin değili, Lojik-1 ise değişkenlerin kendisi yazılır. örnekler: İki değişkenli harita: Çözüm: Q = A + A.B (Kural gereği çözüm: Q=A +B) B B B A 0 1 A 0 A.B A.B A 1 A. B A.B B B A 1 1 A 0 1 B B A 1 1 A 0 1 grup1 B B A 1 1 A 0 1 grup2 Q={grup1 fonksiyonu} VEYA {grup2 fonksiyonu} Q= A + B İki değişkenli harita: A B Q Q= (0,3) B B B A 0 1 A 0 (00)2=(0)10 (01)2=(1)10 A 1 (10)2=(2)10 (11)2=(3)10 B B A 1 0 A 0 1 Çözüm: Harita yerleşiminde komşuluk ilişkisi olmadığından 1 değerlerini gösteren ifadeler doğrudan yazılır: Q = A. B + A.B = A B = (A B) 18

20 Üç değişkenli harita: Q=A. B. C + A. B.C BC B C B C BC BC A A 0 A B C A B C A BC A BC A 1 AB C AB C ABC ABC BC A B C 00 B C 01 BC 11 BC 10 A A Her iki seçili hücre için ortak değişkenlerin bulunması gerekir. Bu durumda A ve B ortak değişkenler olduğundan çözüm Q=A. B olacaktır. (Not: Problem olarak verilen eşitlik A. B parantezine alındığında da aynı sonuç bulunacaktır.) Üç değişkenli harita: Q=A. B. C + A. B.C + A. B. C + A. B.C Q B C B C BC BC A A Bu durumda dörtlü komşuluk ilişkisi görülmektedir, A=0 ancak diğer elemanların her değeri alabildiği görülmektedir. A seçilmiş tüm 1 değerlerini temsil etmektedir. sonuç: Q=A Üç değişkenli harita: Q= A. B.C+ A. B.C+A. B. C + A. B. C = (1,3,5,7) Q B C B C BC BC A A Seçili alanda dört çarpım terimini eşleştirmek, bir değişkenli C tarafından kapsanan dörtlü bir grup oluşturur. Q=C Üç değişkenli harita: Q=A. B. C +A. B.C + A. B. C +A. B.C+ A. B. C +A. B. C = (0,1,2,3,6,7) Q B C B C BC BC A A Seçili alanda dörtlü ve ikili çarpım terimini eşleştirmek mümkündür ancak iki dörtlü grup oluşturmak daha sade sonuç üretir. A=0 satırının tümü ve B=1 hücrelerinin tümü iki dörtlü grup oluşmasını sağlar, bu durumda sonuç Q=A + B olacaktır. 19

21 Üç değişkenli harita: Q= A. B.C + A. B.C + A. B. C + A. B. C = (0,2,4,6) Q B C B C BC BC A A Seçili alanda dört çarpım terimini eşleştirmek, bir değişkenli C tarafından kapsanan dörtlü bir grup oluşturur. Q=C Üç değişkenli harita: Q= (3,5,6,7) = A BC + AB C + ABC + ABC Sadeleştirilmiş fonksiyon devresi aşağıdaki gibidir. Aşağıda, Karnaugh haritası yöntemiyle karşılaştırabilmek için problemi Boole cebri ile sadeleştirilerek çözümü gösterilmiştir: 20

22 Örnek: Aşağıda doğruluk tablosu verilen fonksiyonu bulunuz. Girişler Çıkış A B C Q Çözüm: Çıkış ifadesine ait durumlar Karnough haritasındaki uygun karelere yazılarak aktarma işlemi tamamlanmış olur. Q=A B C +A BC +A BC+ABC = (0,2,3,6) Q B C B C BC BC A A sonuç: Q= A B + BC + A C 21

23 Dört değişkenli harita: Problem: Q=A B C D +A B C D+A B CD +A B CD+A BCD + A BCD+AB CD +AB CD +ABCD + +ABCD (= (0,1,2,3,6,7,10,11,14,15) eşitliğini sadeleştiriniz. Çözüm: Dört değişkenli Karnaugh haritası yerleşimi aşağıdaki gibidir. C. D C.D C.D C. D A. B A. B A.B A. B Q= A. B + C Dört değişkenli harita: Problem: Q=A B C D +A B CD +AB C D +AB CD (= (0,2,8,10) eşitliğini sadeleştiriniz. Çözüm: C. D C.D C.D C. D A. B A. B A.B A. B Yukarıdaki dört hücre dörtlü bir gruptur çünkü B ve D Boole değişkenleri hepsi için ortaktır. Diğer bir deyişle, dört hücre için B=0 ve D=0 dır. Hücrelerin dört köşesine kıyasla diğer değişkenler (A,B) bazı durumlarda 0 olur, diğer durumlarda 1 olur. Sonuçta (A,B) değişkenleri bu dörtlü grupta yer almaz. Bu tek grup Q=B D sadeleştirilmiş sonucu için bir çarpım terimi olarak haritadan çıkar. 22

24 Problem: Q= (0,1,2,3,8,9,10,11) fonksiyonu için en sade formu bulunuz. Çözüm: C. D C.D C.D C. D A. B A. B A.B A. B Yukarıdaki sekiz hücre sekizli bir gruptur çünkü B Boole değişkeni hepsi için ortaktır. Diğer bir deyişle, sekiz hücre için B=0 dır. Bu tek grup Q=B sadeleştirilmiş olarak bulunur. Problem: Q= (0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14) fonksiyonu için en sade formu bulunuz. Çözüm: Denklem açık yazılmaya çalışıldığında Q=A B C D +A B C D+A B CD +A B CD+A BC D +A BCD + AB C D +AB C D+AB CD +AB CD+ABC D +ABCD elde edilir. Kuralları uygulayarak harfsel sadeleştirme yapmak zordur, kolayca hata yapılabilir. Karnaugh haritası yöntemi ile kolayca çözümlenir: C. D C.D C.D C. D A. B A. B A.B A. B Yukarıdaki on iki hücreden iki adet sekizli grup oluşturulabilir. Çünkü B veya D değişkenleri her bir grup için ortaktır. Diğer bir deyişle, sekiz hücre için B=0, diğer sekiz hücre için D=0 dır. Sonuç Q=B +D sadeleştirilmiş formudur. İstenirse Harita ortasında kalan dörtlü grup sıfırlarla da çözüm bulunabilir. Ancak çözüm olması gerekenin tersidir. Q =BD, bu eşitliğin tersi alınırsa: Q=BD= B + D bulunur ki 1 lerle bulunan sonuçla eşittir. 23

25 BİRLEŞİK DEVRELER (COMBINATONAL CIRCUITS) Birleşik devrelere örnek olarak aritmetik üniteler, bilgi dağıtıcılar (demultiplexers), çoğullayıcılar (multiplexers), kod çözücüler (decoders), kodlayıcılar (encoder), karşılaştırıcılar (comparators), hata kontrolcüler (parity generators - checkers). Belli bir amaca yönelik mantıksal yapılardır, farklı amaçlı başka devrelerle giriş ya da çıkış düzeyinde ortak kullanılabildikleri için ve çıkış sayıları fazla olabildiği için birleşik devreler adını almışlardır. Bu konuya gelinceye kadar kullanılan mantıksal kavramların tümü geçerlidir. n girişli ancak m adet çıkışlı olabilirler n giriş birleşik devre m çıkış ARİTMETİK ÜNİTELER Toplama, çıkarma,çarpma ve bölme gibi aritmetik işlemleri yapan sayısal devrelere aritmetik devreler adı verilir. Sayısal sistemlerde temel aritmetik işlemler toplama ve çıkarma işlemidir. Aslında çıkarma işlemi de bir toplama işlemidir. Çarpma işlemi tekrarlanan toplama, bölme işlemi ise tekrarlanan çıkarma işlemi ile tanımlanır. Toplayıcı Devreler (Adders) Sayısal devreler için toplama işlemini gerçekleştiren devrelere toplayıcılar (adder) adı verilir. Aşağıda ikilik (Binary) sayıların toplamına ilişkin temel kurallar verilmiştir. İkilik toplama işlemi Sonucun x y Elde(Carry) Sonuç(Sum) Onluk karşılığı Yarım Toplayıcı (Half Adder): Bir bitlik iki veriyi toplayan devrelere yarım toplayıcı adı verilir. Bir yarım toplayıcın birer bitlik iki veri girişi için iki giriş, toplam ve oluşan eldenin gösterimi için iki tane çıkışı vardır. Birer bitlik iki veri x ve y olarak adlandırılırsa tasarlanacak devrenin iki binary sayının toplanması işlemini gerçekleştirmesi istenir. Toplama işleminin gösterimi için sonuç (Sum -S ) ve elde (Carry -C) olmak üzere iki tane çıkış olması gerekir. x y yarım toplama devresi S C girişler çıkışlar X Y C S X Y XY XY Çıkışların Boolean ifadesini yazarsak C=XY S=X Y+XY =X Y Yarım toplayıcı doğruluk tablosu, Boolean ifadeleri ve devresi 24

26 Tam Toplayıcı (Full Adder): İkinci temel tür toplayıcı derelere tam toplayıcı (full adder) adı verilir. Üç bitlik verilerin toplanması işlemini gerçekleştiren devrelerdir. Devrenin toplama işlemi için üç giriş, sonucun gösterimi için iki tane çıkışı vardır. Girişlerden ikisi toplama işlemini yapılacağı iki veriyi gösterirken diğer giriş düşük değerlikli basamaktan oluşan elde girişi içindir. X Y C in tam toplama devresi S C out girişler çıkışlar C in X Y C o S S X Y X Y XY XY C C Cout X Y X Y XY XY C C S=C (X Y+ XY )+C(X Y + XY) veya S=C (X Y) * Cout= XY+CinX+CinY * veya Cout= XY+Cin(X+Y) (*) ile işaretli eşitlikleri kullanarak çizdiğimizde tam toplayıcı devre şeması şu şekildedir: KARŞILAŞTIRICILAR( COMPARATORS) Karşılaştırma işlemi girişindeki sayısal bilgilerden birinin diğerine göre büyük, küçük veya eşit olma durumlarının belirlenmesidir. En temel karşılaştırıcı devreleri Özel-Veya (XOR) geçitleridir. Bir Özel-Veya (XOR) geçidinin girişleri farklı iken çıkış 1, girişleri aynı iken 0 dır. (XNOR da durum tam tersidir, yani girişler eşit iken çıkış 1, aksi halde çıkış 0 dır.) A B durum XOR XNOR 0 0 Girişler eşit Girişler eşit değil Girişler eşit değil Girişler eşit 0 1 Özel-Veya geçidi ile girişlerindeki iki bitlik bilginin eşit olup olmadığı görülür. Ancak bir karşılaştırıcının eşitlik durumu ile birlikte bilginin küçük veya büyük olması durumlarını göstermesi beklenir. Örneğin bir bitlik A ve B verilerini karşılaştıran bu karşılaştırma sonunda A>B, A=B, A<B durumlarını gösteren devrenin tasarlanması istenirse devreye ait doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olacaktır; 25

27 A B A>B A=B A<B A>B için: P = A. B A=B için: Q = A. B+ A.B = A B = A B A<B için: R = A.B Bu eşitliklere göre çizilmiş bir-bitlik büyüklük karşılaştırıcı yanda gösterilmektedir KOD ÇÖZÜCÜLER(DECODERS) Sayısal sistemlerde bilgiler ikilik kodlarla tanımlanırlar. n bitlik bir ikilik kod ile 2 n kadar farklı durum tanımlanabilir. Bir kod çözücü, n giriş hattından gelen ikilik bilgileri maksimum 2 n kadar farklı çıkış hattına dönüştüren birleşik bir devredir. Bir kod çözücünün n kadar girişi varsa 2 n kadar çıkışı vardır. İki Bitlik Kod Çözücü İki bitlik bir kod çözücüde 2 giriş 4 çıkış vardır. Böyle bir devre için girişlerin durumuna bağlı olarak sadece tek bir çıkış doğru olacaktır. Aşağıda 2x4 Kod çözücünün doğruluk tablosu, Lojik diyagramı ve sembolü verilmiştir. A B D0 D1 D2 D İki bitlik kod çözücü doğruluk tablosu, sembol ve şeması 26

28 Üç Bitlik Kod Çözücü Üç bitlik kod çözücüde(decoder) üç girişin kodu çözülerek sekiz çıkış üretir. Her çıkış bu üç giriş değişkenine ait bir minimum terimle tanımlanır. Girişlerin durumuna bağlı olarak sadece tek bir çıkışı doğrudur. BCD SEVEN SEGMENT KOD ÇÖZÜCÜ Yedi ayrı Led in uygun bağlanması ile 0-9 arasındaki sayıları görüntüleyebiliriz. Bu işlemi yapan devre elemanına yedi parçalı gösterge(seven segment display) adı verilir. Display led bağlantılarına göre ortak anot veya ortak katot lu olabilir. 7 segment gösterge (display) Ortak anotlu display ortak katodlu display 27

29 Ortak katodlu display için BCD- Seven Segment Decoder doğruluk tablosu (hangi LED lerin hangi sayıda yanacağının göstergesi): A B C D a b c d e f g Her bir çıkışın (a-g) Karnaugh haritası ile ayrı ayrı çıkış fonksiyonları bulunduğunda devre çizimi yandaki gibi olacaktır. (7447 Display Driver) 28

30 MULTİPLEXERS (DATA SELECTORS-ÇOĞULLAYICILAR) Çoğullama çok sayıdaki bilginin, daha az sayıda kanal veya hat üzerinden iletilmesi anlamına gelir. Sayısal çoğullayıcı, birçok giriş hattının birisinden gelen ikilik bilgileri seçen ve tek bir çıkış hattına yönlendiren birleşik bir devredir. Belli bir girişin seçilmesi bir dizi seçme hattı ile kontrol edilir. Bir çoğullayıcı için 2 n sayıda giriş hattı varsa hangi girişin seçileceğini belirleyen n kadar seçme (select) hattı vardır. DEMULTIPLEXLER(BİLGİ DAĞITICILAR-DATA DISTRIBUTORS) Demultiplex (Bilgi Dağıtıcı) tek bir hattan bilgi alan ve bu bilgiyi olası 2 n sayıda çıkış hattından birisi üzerinden ileten bir devredir. Belli bir çıkış hattının şeçimi n kadar çıkış hattının durumları tarafından kontrol edilir. Aşağıda iki seçme hattı ve dört çıkış hattı olan bir DEMUX un doğruluk tablosu, açık devresi, anahtarlama (seçme) mantığı ve lojik sembolü verilmektedir. 29

31 ENCODER (KODLAYICILAR) Kodlayıcı devre (encoder circuit ) kod çözücü devrenin tersi işlemi yapar. Bu devreler, onluk (decimal) veya bilinen klasik şekillerdeki bilgileri sayısal devrelerin işlem yapabileceği şekle dönüştürürler (asansörlerdeki kat düğmelerinde olduğu gibi). Bir kodlayıcının (encoder) 2 n (ya da daha az) giriş hattı ve n sayıda çıkış hattı üretir. Decimal-BCD Encoder Decimal BCD encoder girişindeki decimal bilgiyi kodlayarak BCD kod karşılığını dört çıkışta gösterir. Aşağıda 10x4 encoder lojik sembolü ve doğruluk tablosu verilmiştir. C=XY S=X Y+XY =X Y 30

32 KATALOG 7400 NAND 5400 VE DEĞİL Q=A. B 7402 NOR 5402 VEYA DEĞİL Q=A + B 7404 NOT 5404 DEĞİL / TÜMLEYEN / TERS ÇEVİRİCİ A B Q A B Q A Q Q=A 7408 AND 5408 VE Q=A. B 7432 OR 5432 VEYA Q=A + B 7486 XOR 5486 ÖZEL VEYA Q=A B A B Q A B Q A B Q

33 Eski sınav örnekleri (çalışma soruları) 32

34 No : Name : sign : Duration : 80 minutes Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total ( Free to use one information page whatever you wrote on. If used, give your information page with your answer paper(s) to inspector at the end of exam.) 1. a) Use Karnaugh map to find the simplified Boolean equation for F= (0,2,3,4,6,7,8,9,10,11,15), and draw circuit. b) Use Tabulation method to find the simplified Boolean equation for F= (1,2,3,5,6,7),and draw circuit. 2. Design a combinational circuit with 3 inputs (x,y,z) and 3 outputs (A,B,C). When the binary input is odd numbers, the binary output is one less than the input, otherwise (for even numbers), the binary output is one greater than the input. 3. Design thed FlipFlop circuit using the output table (outputs (Q of each DFF) led indication- shaded box means led is ON): (the circuit is called as Johnson counter) Clock Pulse A B C D 4. Design the TFF circuit to count down the hexadecimal numbers (0 to F) 5. Design the JKFF circuit to realize the state diagram given below: (be careful about order) NOTE: Excitation Tables TRUTH TABLES Prev. Next JKFF TFF DFF JK FLIP FLOP T FLIP FLOP D FLIP FLOP Q(t) Q(t+1) J K T D CLK J K Q(t+1) CLK T Q(t+1) CLK D Q(t+1) X Q(t) 0 Q(t) X Q(t) X X Q(t) 33

35 Outputs Inputs Duration : 75 minutes 6. Use Karnaugh map method to find the simplified Boolean equation for F= (1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,15). 7. Use Tabulation method to find the simplified Boolean equation for F= (1,2,3,5,6,7) and draw circuits using 4x1 MUX. 8. Find equations and draw circuits for a full adder and draw a circuit to add or subtract any 2 five bit number. Show for decimal. (note that circuit is able to calculate (0 to 31)±(0 to 31)) 9. Design a combinational circuit with 3 inputs (x,y,z) and 3 outputs (A,B,C). When the binary input is 1,3,5,7 the binary output is one less than the input. When the binary input is 0,2,4,or 6, the binary output is one greater than the input. 10. Design the circuit to calculate (X + Y) 2 where X is one bit and Y is two bit number. 11. Draw the output signal for the Boolean functions: Q 1 = A B C Q 2 = AB+BC+AC A B C Q 1 Q 2 34

36 CSE205 DIGITAL SYSTEMS & DESIGN midterm (extra) Name & no: sign: Please note that every correct answer is worth 20 points. Think simple Solve simple. Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total 12. Find the simplified Boolean equation and draw circuit for F= (1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,15) with: a. Karnaugh map method b. Tabulation method 13. Find equations and draw circuits for full adder and draw a circuit to subtract 2 five bit number. Show for decimal. 14. Design a combinational circuit with 3 inputs (x,y,z) and 3 outputs (A,B,C). When the binary input is 1,3,5,7 the binary output is one less than the input. When the binary input is 0,2,4,or 6, the binary output is one greater than the input. 15. Design the circuit to calculate (X + Y) *2 where X and Y are two bit numbers. 16. Draw the output signal for the Boolean function: Q(A,B,C) = A' B' + A B' C' + B C + A B' C A B C Q 35

37 Name &Surname: Std.no: Duration : 60 minutes sign 1-(12*2) 2-(3*5) 3-(12*1) 4-(3*8) 5-(25) Total(100) 1. Convert the numbers due to given systems: Binary (2) Octal (8) Decimal (10) Hexadecimal (16) AC 2. a) Simplify the logical expression and draw the simplest circuit; b) Determine the Boolean function Q and simplify to find the simplest function. c) Draw the output signal for the equation: Q(A,B,C) = Σ(0,3,4,7). C B A Q 3. X.X = Y.Y.Y= A +B = X Y= X+YZ= X+X+X= A B C = X Y= X+X = A.B = (A.B ) = (XY) +Z.(X +Y ) = 4. Find the simplest functions using Karnough map: a) Q(A,B,C,D) = Σ(1,3,4,6) b) P = (1,3,4,11,12,13,14,15) c) Y=ABC +B D +A D +B CD 5. Three Way Light Control Switch Problem: Assume a large room has three doors and that a switch near each door controls a light in the room. The light is turned on or off by changing the state of any one of the switches. More specifically, the following should happen: (Switch closed=1 Switch open= 0 Light ON=1 Light OFF=0 ) i) The light is OFF when all three switches are open. ii) Closing any one switch will turn the light ON. iii) Then closing the second switch will have to turn OFF the light. iv) If the light is off when the two switches are closed, then by closing the third switch the light will turn ON. 36