Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara e-mail :ozbek@science.ankara.edu.tr 1. Giriş Olasılık ve İstatistiğin temel kavram ve kanunlarının öğretilmesi sürecinde simülasyon (benzetim) önemli yer tutmaktadır. Bu çalışmada, Model ve Simülasyon kavramları hakkında kısaca açıklama yapıldıktan sonra, üç problem ele alınarak bilgisayar destekli simülasyon çalışmalarına örnek verilmiştir.. Model Model, gerçek dünyadaki bir olgunun veya sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji,...) kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir temsilidir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey model kurucunun gerçeği "anlayışının" bir ürünüdür. Her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir. Modeller değişik biçimlerde sınıflandırılmaktadır. Matematiksel modeller anlatım gücü en fazla ve en geçerli olan modellerdir. Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya bakış açısına bağlı olarak modellemede farklı durumlar sözkonusu olabilir. Gerçek dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede insan aklının en güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik özellikle, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde ön plana çıkmaktadır. 3. Simülasyon Bir olay, süreç veya sistemle ilgili bir özelliğin ya da davranışın model üzerinde gözlenmesine simülasyon (simulation) denir. Simülasyona matematiksel modellerde, analitik veya nümerik (sayısal) bir çözüm bulunamadığında başvurulduğunu hatırlatalım. Simülasyon ile elde edilen gözlemlerin gerçek dünyadakine göre ucuz, çabuk ve tekrarlanabilir şekilde elde edilmesi ve özellikle stokastik modellerde çok değişik koşullar altında gözlemleme imkanı vermesi bazı durumlarda simülasyonu birinci sırada tercih edilen bir yöntem haline getirmektedir. Ancak, simülasyon sonucunda gerçek olay, süreç veya sistemle ilgili "model üzerinde yapılan deneyler" ile bazı gözlem değerlerinin elde edildiği unutulmamalıdır. Simülasyon, eğitimde (pilot eğitimi, iş oyunları, savaş oyunları, rasgeleliğin kavratılması,...) maliyeti düşük ve kullanışlı bir yöntemdir. Özellikle stokastik modellerdeki simülasyonda rasgeleliğin sağlanması (olasılık dağılımlarından rasgele sayı üretilmesi) ve simülasyon sonucunda elde edilen "gözlem" değerlerine bağlı sonuçların "iyiliği" sorunları istatistiksel olarak çözülmesi gerekenlerden başlıca ikisidir. Rasgele sayı üretimi kendi başına bir araştırma sahasıdır. Reel sayıların (, 1) aralığından rasgele sayı üretilmesi başka bir ifade ile 1 birim uzunluklu bir doğru parçasındaki noktaların rasgele seçilmesi işleminin hesap makinalarında yer alan RND tuşu veya bilgisayarda bulunan bir fonksiyon yardımıyla gerçekleştirildiğini belirtelim. 4.Örnekler Örnek 1
Yarıçapı 1 br. olan bir pul, taban yarıçapı 4 br. olan bir silindirin içine atıldığında tabanın merkez noktasını örtmesi olasılığı nedir? 1.Model : Deneyin sonucu, taban ile pulun merkez noktaları arasındaki uzaklık olarak belirlensin yani bu uzaklık ölçülmüş (gözlenmiş) olsun. Bu uzaklık 1 br. den küçük olduğunda pul tabanın merkez noktasını örtmüş olur. d. Şekil- d :Tabanın merkezi ile pulun merkezi arasındaki uzaklık, A : Pulun silindir tabanının merkezini örtmesi olayı, olsun. Bu durumda, Ω { d : d 3} A { d : d 1} dir. İki merkez arasındaki uzaklığı gösteren d sayısı deney sonucunda ile 3 arasında bir değer olacaktır. Olasılık ölçüsü olarak, A B Ω için " A' nin aralik uzunlugu" P( A) " Ω' nin aralik uzunlugu" ) alınırsa, olasılık uzayı ( Ω, B, P olmak üzere bu uzayda (modelde) sorulan olasılık P( A) 1 3 olarak bulunur. Ω.Model : Deneyin sonucu, başlangıç noktası silindirin tabanının merkezinde olan bir dik koordinat sistemine göre, pulun merkez noktasının bu koordinat sistemindeki konumu olarak belirlensin. y.(,y) Şekil-3 Bu durumda, Ω { ( y, ) R : + y 9 } ve A B Ω P için " A' nıı alan ölçüsü " A) " Ω ' nıı alan ölçüsü" ( olmak üzere (,, P ) B Ω Ω olasılık uzayında (modelinde)
{(, ) : 1} A y R + y örtme olayının olasılığı P ( A ) π 1 1 π 3 9 olarak bulunur. Bu örnekteki deney iki farklı şekilde modellendi. Bu modellerden hangisi tercih edilecektir? Her iki modelin verdiği sonuç deney yapılarak karşılaştırılabilir. Ankara Üniversitesi İstatistik Bölümü öğrencileri ile istatistik laboratuvarında yapılan deneyler açık bir şekilde ikinci modeli desteklemiştir. Örnek Hücrelerin çoğalması sırasında erken mitos savhasında diploid organizmaların hücrelerinde bulunan kromozom çiftlerindeki iki kromozomun yerlerinin rasgele veya bu iki kromozom arasında bir etkileşme olup olmadığı merak konusudur. r yarıçaplı bir daire içindeki iki kromozomun yerleri rasgele ise aralarındaki uzaklığın olasılık dağılımı ne olur? X, r yarıçaplı bir dairenin içinden rasgele seçilen iki nokta arasındaki uzaklık olmak üzere X in olasılık dağılımı nedir? Teorik yollardan X in olasılık dağılımı nasıl bulunabilir? Olasılık ve İstatistik dersi öğrencileri için bu oldukça ağır bir soru olmaktadır ve gözlediğimiz kadarıyla olumlu cevap gelmemektedir. r Şekil-4 Simülasyon yaparak, yani r 1 yarıçaplı daireden rasgele iki nokta seçip aralarındaki X uzaklığı gözlemlenebilir. Bu işlemi 85 defa tekrarlayıp elde edilen 1,,..., 85 lerin histogramı çizildiğinde (Şekil-5), bu histogram X rasgele değişkeninin dağılımı hakkında bir fikir verecektir. Teorik olarak X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f( ) [ ] arccos( r. r ) r 1 (. r ), < π <. r olarak elde edilir (Tuckwell, 1988, sayfa ). f yoğunluk fonksiyonunun r 1 için grafiği Şekil-6 da verilmiştir. Görüldüğü gibi simülasyondan elde edilen histogram olasılık yoğunluk fonksiyonunun biçimi hakkında bir fikir vermektedir. Hemen ikinci bir soru daha sorulsun. r E( X ) X [ ] arccos( ) 1 (. r r. r ) π. r rasgele değişkeninin beklenen değeri nedir? olmak üzere bu integralinin hesabı zordur. Simülasyona başvurduğumuzda yukarıdaki 85 gözlemin aritmetik ortalaması 8.95 olarak bulunmuştur. d r 1 için
15 n c y u e q re F 1 5 4 6 8 1 C1 1 14 16 18 Şekil-5 Şekil-6 5. Sonuç Verilen örneklerden görülebileceği gibi, simülasyon çalışmaları kurulan model üzerinde yapılmakta, dolayısıyla simulasyon sonuçları modelin verdiği sonuçları desteklemektedir. İlgilenilen olguyu modelleme sürecindeki bakış açısına bağlı olarak değişik modeller oluşturulabileceğinden simulasyon sonuçları da değişecektir. Deneye göre, simülasyon ile elde edilen gözlemler bilgisayarda kolay ve hızlı biçimde elde edilir. Özellikle görsel ve hareketli görüntülerle desteklenen simülasyon programları eğitim sürecine katılanların dikkatini çekerek, konunun zevkli hale gelmesini sağlar. Bu çalışmada ele alınan örneklerin Deney-Model-Simülasyon üçlüsünün herbiri içinde belli çözümleri vardı. Örneğin Buffon un iğne problemi için de bu yapılabilir. Ancak, düzlemde işaretlenmiş belli bir noktanın 1 cm. üstünden küçük boncukların bırakılması ve düştükten sonra boncuk ile işaretlenmiş nokta arasındaki uzaklığın ölçülmesi deneyinde bir model kurmak mümkün görünmemektedir. Bu durumda simülasyon da yapılamayacaktır. Ancak uzaklığın dağılımı hakkında deney yaparak elde edilen gözlemlerden istatistiksel sonuç çıkarım yapılabilir (önerilen bir dağılıma uyum iyiliği testi, olasılık yoğunluk fonksiyonu tahmini gibi). Kaynaklar : - Akdeniz, F.; Olasılık ve İstatistik, Ankara Üniversitesi Basımevi, Ankara, 1984. - Morgan, B.J.T.; Elements of Simulation, Chapman and Hall, 199. - Öztürk, F.; Matematiksel İstatistiğe Giriş, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yay-No:1, 1993. - Öztürk, F., Özbek L., Kaya, M.F.; İS351 İstatistik Laboratuvarı, AÜFF, İstatistik Bölümü, 1993. - Tuckwell, H.C.; Elementary Applications of Probability Theory, Chapman and Hall, 1988.