ORTAÖĞRETİM 9. SINIF ÖĞRENCİLERİNİN MUTLAK DEĞER KAVRAMINDAKİ ÖĞRENME HATALARI VE KAVRAM YANILGILARI Hakan ŞANDIR 1, Behiye UBUZ, Ziya ARGÜN 1 1 Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi O.F.M.A.E. Bölümü, ANKARA ODTÜ Eğitim Fakültesi O.F.M.A.E. Bölümü, ANKARA ÖZET: Bu araştırmanın amacı, Ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin mutlak değer kavramındaki performanslarını ve kavramsal yanılgılarını ortaya koymaktır. Bu araştırmanın örneklemini 001-00 öğretim yılında Ankara daki bir lisenin düz ve süper kısımlarından 67 9. sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Araştırmanın verileri, açık uçlu sorulardan oluşan bir kavramsal test, bir işlemsel testten elde edilmiştir. Elde edilen veriler 6 basamaklı bir derecelendirilmeye tabi tutulmuştur. Elde edilen veriler ışığında mutlak değer konusundaki kavramsal sorularda işlemsel sorulara oranla performansın daha düşük olduğu görülmüştür. Buna ek olarak ortaya çıkan kavramsal yanılgıların en önemli nedenlerinin mutlak değerin tanımının ve geometrik yorumunun anlaşılmaması olduğu görülmüştür. 1. GİRİŞ Baykul(1987) matematikte kavramların kazanılması için bu kavramlarla ilgili şemaların zihinde oluşması gerektiğini ve matematikte kavram öğrenmelerinin, bu alanın yapısı itibariyle, birbirine çok sıkı şekilde bağlı olduğunu; diğer bir deyişle matematiğin ön-şart oluş ilişkilerinin en güçlü olduğu alan olduğunu, bu bakımdan bir konunun öğretimine başlanılmadan önce bu konuyla ilgili bilgilerin, kazanılmış olması gereken davranışların öğrencilerde var olup olmadığına bakılması gerektiğini ifade etmiştir. Yeni bir konuya geçmeden önce, bazı ön-şart davranışların kazanılmaması yeni bilgilerin kanılmasını zorlaştırır. Ön-şart oluş ilişkilerinin güçlü olduğu kavramlardan biri de Mutlak Değer kavramıdır. Mutlak değer kavramı; seriler, diziler, yakınsaklık, ıraksaklık, limit, türev gibi pek çok konunun temelidir. Okullarda mutlak değer kavramının öğrenilmesi ve öğretilmesinde bir çok güçlük olduğu bilinmektedir. Türkiye de Matematik eğitimi üzerine yapılan çalışmalara bakıldığında kesirler, ondalık sayı, değişken kavramı, eşitlik çözümleri, kümeler, fonksiyon, olasılık gibi konularda yanlış anlamalar tespit edilmiş ama mutlak değer kavramı ile ilgili her hangi bir çalışmaya rastlanılmamıştır. Yurtdışında ise sadece Perin-Glorian ın (1997) Institutionnalisation en classede seconde: Valuer Absolute, Intervalles, Encadrements, Approximations Premiere Partie: choix globaux des enseignants et resultats des eleves adlı doktora tezi ve Kiser in (1990) Interaction of Spatial Visualization with Computer-Enchanced and Traditional Presentations of Linear Absolute-Value Inequalities adlı makalesine rastlanmıştır. Bundan dolayıdır ki, bu konuyla ilgili bir çalışma yapılma gereksinimi duyulmuştur. Bu araştırmanın amacı, Ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin mutlak değer konusundaki performanslarını ve kavramsal yanılgılarını ortaya koymaktır.. METHOD VE İŞLEM.1. Örneklem Bu araştırmanın örneklemini 001-00 öğretim yılında Ankara daki bir lisenin düz ve süper kısımlarından 67 9. sınıf öğrencisi oluşturmaktadır... Araçlar Bu çalışmada ölçme aracı olarak kullanılmak üzere iki ayrı sınav düzenlenmiştir...1. İşlemsel Sınav İşlemsel Sınav 11 açık uçlu sorudan oluşmaktadır. Bu sorular mutlak değerli ifadelerde eşitlik ve eşitsizlik çözümlerini içermektedir.... Kavramsal Sınav Kavramsal Sınav 8 açık uçlu sorudan oluşmaktadır. Bu sorular mutlak değerin tanımı ve geometrik yorumu ile ilgilidir... İşlem Bu araştırmanın amacı, Ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin mutlak değer kavramı ile ilgili kavramsal ve işlemsel hatalarını ve kavramsal yanılgılarını ortaya koymaktır. Araştırmanın verileri, açık uçlu sorulardan oluşan bir kavramsal sınav, bir işlemsel sınavdan elde edilmiştir. Öğrencilerin her
soruya vermiş olduğu yanıtlar 0-5 arasındaki puan kriterine göre ayrı ayrı değerlendirilmiştir. Bu kriterler aşağıdaki Tablo-1 de verilmektedir. Tablo 1: Değerlendirme kriteri ve puanlama Puan Kriter 0 Cevap yok 1 Tamamen yanlış Bazı kavramlar doğru bazı kavramlar yanlış Çözüm yolu doğru işlem hatası var Cevap var çözüm (neden) yok / 4 Çözüm yolu farklı / İki şıktan bir tanesine cevap vermiş 5 Çözüm yolu ve cevap doğru Bu çalışmada sayfa sınırından dolayı İşlemsel Sınavdan bir soru (soru 5) ve Kavramsal Sınavdan bir soru (soru 7) üzerinde durulacaktır. Bu soruların seçilmesinde ki temel amaç bu soruların birbiri ile paralellik sağlamalarıdır. Bu soruların amacı mutlak değerli ifadelerde eşitsizlik çözümü ve bunların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesidir.. BULGULAR Bu çalışmada seçilen soruların yukarıda belirtilen kriterlere göre değerlendirilmesi Tablo- de verilmektedir. Yukarıdaki kriterlere göre 1,, ve 4 olarak puanlanan öğrenci yanıtları tekrar detaylı olarak incelenmiş ve sahip olunan hatalar ve kavramsal yanılgılar irdelenmiştir. Hatalar ve kavramsal yanılgılar aşağıda sorular bazında tek tek incelenmektedir. Tablo : Soruların kriterlere göre değerlendirilmesi Soru İşlemsel 5 Kavramsal 7 Toplam Kriter F Y F Y F Y Boş 18 7% 10 15% 70 6% Tamamen Yanlış 4% 5 7% 15 6% Çok Yanlış 11 17% 8 4% 79 0% İşlem Hatası 17 6% 1 19% 44 16% Sadece Cevap 4 6% 7 10% 9 11% Tam Doğru 1 0% 5 7% 9 11% Toplam 66 100% 67 100% 66 100% F: Frekans Y: Yüzde.1. Verilerin Çözümlenmesi Soru 5. x + 5 eşitsizliğini çözünüz. (İşlemsel Test) Öğrencilerin %7 si (18 kişi) bu soruyu boş bırakırken %19 u (1 kişi) tam doğru yanıt vermiştir. %4 ü ( kişi) ise tamamen yanlış yanıtlamıştır. %16 sı (11 kişi) de mutlak değer kavramını yanlış kullanmaktan ve eşitsizlik çözümlerini bilmemekten kaynaklanan yanlışlar yapmıştır. %5 i (17 kişi) işaret değiştirme ve dört işlemden kaynaklanan işlem hatası yapmıştır. %6 sı (4 kişi) da tek taraflı çözüm yapmıştır. Mutlak değer kavramını yanlış kullanan öğrencilerin yanıtları daha detaylı irdelendiğinde hataların; i. x µ a b b x µ a b ifadesinin yanlış kullanılması, ii. Mutlak değerin içinin işaret incelemesinin yapılmaması yada yanlış terimin(ör: x + > 0
yerine x + > 0 ifadesi) kullanılması, x µ a < 0 iii. Tek taraflı çözüm yapılması. Yani, x µ a da çözümlerinden sadece birine x µ a > 0 bakılması (genelde x µ a > 0 ), iv. Eşitsizlik çözümleri yapılırken her tarafa aynı terimin eklenip çıkarılmaması, v. Aralık incelenmesi yapılmadığından bulunan sonucun (aralığın) çözüm kümesinde olup olmadığının kontrol edilmemesi, vi. Çözüm kümesinin yanlış gösterilmesi yada hiç gösterilmemesinden kaynaklandığı görülmüştür. Öğrencilerden Merve nin yanıtlarını incelediğimizde, eşitsizlikte mutlak değeri açarken eşitsizliğin yönünü yanlış yazmış olduğunu ve mutlak değer simgesini kaldırmadığını görmekteyiz.. Aynı zamanda eşitsizliğin bir tarafından bir sayı çıkardığında eşitsizliğin diğer tarafından da çıkarması gerekirken sadece eşitsizliğin sağından çıkarmıştır(bak. Şekil 1). Bu da Merve nin hem mutlak değerin tanımı ve özelliklerini bilmediğini hem de eşitsizlik çözümlerinde kavram yanılgılarına sahip olduğunu göstermektedir. Şekil 1. Dilek ise eşitsizliği çözerken işaret incelemesi yapmadan mutlak değer içindeki ifadeyi direk dışarı çıkarmış ve içinin negatif olabileceğini düşünmemiştir (bak. Şekil ). Ayrıca tek taraflı çözüm yapan öğrencilerin tamamı işaret incelemesi yapmamıştır. Dileğin bir diğer hatası da bulduğu sonucu çözüm kümesinde gösterirken aralığı tek bir sayıya indirmesidir. Şekil. Öğrencilerden Göktuğ işaret incelemesi yaparken hangi terimi kullanacağını bilmediğinden yanlış bir terimi kullanmıştır (bak. Şekil ).
Şekil. Buna ek olarak verilen örnekler ve tüm yanlış yanıtlar incelendiğinde öğrencilerin işaret incelemesi yapmadığı ve bu işaret incelemesi sonucu çıkacak aralığın çözümle karşılaştırmadığı görülmüş, böylece bulunan cevabın doğruluğu kontrol edilmemiştir. Eşitsizlik çözüldüğünde bulunan sonuç aynen bırakılmış ve çözüm kümesi gösterilmemiş yada yanlış gösterilmiştir. Soru 7. x + 5 eşitsizliğini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz. (Kavramsal Test) Öğrencilerin %15 i (10 kişi) bu soruyu boş bırakırken tam doğru yanıt verenler %7 dir(5 kişi). %7 si (5 kişi) de soruya tamamen yanlış yanıt vermiştir. %4 si (8 kişi) çok yanlış yanıtlar vermiş %18 i (1 kişi) de işlem hatası yapmıştır. %11 i (7 kişi) ise ya tek taraflı çözüm yapmış yada çözüm yapıp bulduğu sonucu sayı doğrusu üzerinde göstermemiştir. Yanıtlar ayrıntılı olarak incelendiğinde hataların 5. soruda belirtilmiş olan hataların nedenleri ile paralellik gösterdiği görülmüştür. Bunun sebebi öğrencilerin sorudaki ifadeyi direk sayı doğrusu üzerinde göstermek yerine ilk önce soruyu çözmeleri, buldukları sonucu da sayı doğrusu üzerinde göstermeye çalışmalarıdır. 5. soruda sözü edilen hatalara ek olarak; i. Mutlak değerin geometrik yorumunun yapılmaması (bilinmemesi), ii. Eşitsizlik çözümünde sadeleştirme işleminde toplama-çıkarma ile çarpma-bölme işlemlerinin karıştırılması, iii. Sorudaki ifadedeki sayıların aynen sayı doğrusu üzerine yerleştirilmesi, iv. Eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde yanlış gösterilmesinden kaynaklandığı görülmüştür. Öğrencilerden Ahmet, eşitsizlik denkleminin çözümünde sayısını sadeleştirirken arada toplama işareti bulunduğundan dolayı sayısının toplamaya göre tersi olan sayısını eşitsizliğin her tarafına eklemesi gerekirdi. Bunun yerine çarpma işlemine göre tersini olan ile çarpmıştır (bak. Şekil 4). Şekil 4. Öğrencilerden Ali, bulduğu eşitsizlik çözümünü sayı doğrusu üzerinde gösterirken yanlış bölgeyi işaretlemiştir (bak. Şekil 5).
Şekil 5. Sevgi ise mutlak değerli ifadeyi sayı doğrusu üzerinde göstermeyi ifadedeki sayıları sayı doğrusu üzerinde göstermek olarak algılamıştır (bak. Şekil 6). Şekil 6. 4. SONUÇLAR Sorulardan elde edilen yanıtlar ayrıntılı olarak incelendiğinde mutlak değerin tanımının ezberletildiği ve yorumunun verilmediği, geometrik olarak neyi ifade ettiğinden bahsedilmediği yani geometrik yorumunun anlatılmadığı görülmüştür. Öğrenciler soru çözmeye ve test tekniğine alıştırılmış ve verilen bir ifadenin nasıl yorumlanacağı gösterilmemiştir. M.E.B. müfredatında ve ders kitaplarında tamamen soru çözmeye dayalı bir ders anlatımı esas alınmıştır. Öğrencilerin geçmiş konulardan çok fazla kavram yanılgısı ve yanlış algılamalarla geldiği ve bunun yeni konunun öğrenilmesini de zorlaştırdığı görülmüştür. 5. ÖNERİLER Bu araştırma sonuçları göstermektedir ki, mutlak değer konusunda şu hususlara dikkat edilmelidir: Ön-şart gerektiren konulardaki yanılgıların giderilmesi Müfredattaki ders saatlerinin arttırılması Mutlak değerin tanımının üzerinde durulması Mutlak değerin geometrik yorumunun kavrattırılması Aralık incelemesi ve çözüm kümesi üzerinde durulması. 6. KAYNAKÇA Perin-Glorian, M.J. Institutionnalisation en classede seconde: Valuer Absolute, Intervalles, Encadrements, Approximations Premiere Partie: choix globaux des enseignants et resultats des eleves, Yayınlanmamış doktora tezi, Fransa (1997) Kiser, L. Interaction of Spatial Visualization with Computer-Enchanced and Traditional Presentations of Linear Absolute-Value Inequalities, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching,vol.10(1): 85-97,(1990)