ÖZEL SAMANYOLU LİSELERİ

Transkript

1 ÖZEL SMNYOLU LİSELERİ 4. İLKÖĞRETİM MTEMTİK YRIŞMSI 2008 / MRT KİTPÇIĞI BİRİNCİ BÖLÜM Çoktan seçmeli 30 Test sorusundan oluşan ün süresi 90 dakikadır. Bu bölümün bitiminde kısa bir ara verilecektir. Elinizdeki soru kitapçığı çoktan seçmeli birinci bölüme aittir. Sınavla İlgili Uyarılar Cevap kağıdınıza, size verilen soru kitapçığının türünü gösteren harfi işaretlemeyi unutmayınız. Her soru ile ilgili doğru cevabınızı, cevap kağıdınıza işaretleyiniz. Her soru eşit değerde olup puanlama yapılırken doğru cevaplarınızın sayısından yanlış cevaplarınızın sayısının dörtte biri düşülecektir. Sınavda hesap makinesi ve müsvedde kağıdı kullanılması yasaktır. Soru kitapçığının sağ tarafındaki sayfalar boş bırakılmıştır. Bu sayfaları çözümleriniz için kullanabilirsiniz. Sınav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacaktır. Öğrencilerin birbirinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasaktır. Sınav sırasında kopya çeken, çekmeye teşebbüs eden ve kopya verenlerin kimlikleri sınav tutanağına yazılacak ve kişilerin sınavları geçersiz sayılacaktır. Sınav süresince resimli bir kimlik belgesini masanızın üzerinde bulundurunuz. Sınav salonundan ayrılmadan önce cevap kağıdınızı görevlilere teslim etmeyi unutmayınız. Soru kitapçıkları sizde kalacaktır. Başarılar Dileriz NOT : Metin içinde kullanılan bazı gösterimlerin anlamları aşağıda veriltilmiştir. B [B] B ve B noktalarından geçen doğru ve B noktalarını birleştiren doğru parçası B doğru parçasının uzunluğu m( BC) BC açısının ölçüsü m() lan( BC) a b a b açısının ölçüsü BC üçgeninin alanı a sayısı b sayısını böler a sayısı b sayısını bölmez İ

2 1. a ve b birbirinden farklı asal sayılar olsun. aaaa ve bbbb dört basamaklı sayılar olmak üzere ( aaaa bbbb ) 2 çarpımının asal olmayan tüm bölenlerinin toplamı -124 olduğuna göre a b kaçtır? ) 6 B) 10 C) 15 D) 35 E) denklemini sağlayan a tam sayılarının çarpımı kaçtır? ) -4 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4 3. Basamaklarının en az biri 0 olan ve basamakları toplamı 9 olan üç basamaklı kaç pozitif tam sayı vardır? ) 17 B) 19 C) 21 D) 28 E) B Şekilde verilen BCD dikdörtgeni 9 dikdörtgene ayrılmıştır. 2 br 2 6 br 2 Küçük dikdörtgenlerden bazılarının alanları şekilde verilmiştir. Verilenlere göre BCD dikdörtgeninin alanı kaç br 2 dir? 9 br 2 1 br 2 3 br 2 D C ) 64 B) 56 C) 52 D) 48 E) 42 1

3 5. K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } kümesi veriliyor. a, b, c ve d, K kümesinden seçilen farklı sayılar olmak üzere ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri için a + b toplamı kaçtır? ) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) x > 1 ve x R olmak üzere; şağıdakilerden hangisi en büyüktür? ) B) C) D) E) 7. 6 erkek ve 6 kız öğrenci, hiçbir kız yanyana ve aynı zamanda hiçbir erkek yanyana oturmayacak şekilde yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde otururlar? ) 10! -2 9! B) 10! -2 9! + 8! C) 6! 6! D) 6! 5! E) 5! 5! 8. Şekilde verilen BC ni ikizkenardır. lbi = lcl = 10 br ve IBCI = 12 br dir. MNRS, çevresi 20 br olan bir dikdörtgen olduğuna göre; MNRS dikdörtgeninin alanı kaç br 2 dir? ) 16 B) 20 C) 24 D) 36 E) 42 2

4 9. a, b, c, d farklı tam sayılar olmak üzere; (5 - a) (5 - b) (5 - c) (5 - d) = 9 olduğuna göre a + b + c + d toplamı kaçtır? ) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) x2-5x x2 + 5x = 12 şartını sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır? ) 0 B) -5 C) 5 D) -10 E) yşe 1, 2, 5 rakamlarını kullanarak 12 basamaklı bir sayı oluşturuyor. li ise her hamlede bir basamağı seçip o basamak ve sağındaki rakamların toplamını öğrenebiliyor. li bu sayı içerisinde kaç tane 1, kaç tane 2 ve kaç tane 5 olduğunu en az kaç hamlede bulmayı garantileyebilir? ) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) Şekilde O 1 ve O 2 merkezli ve R yarıçaplı eş çemberler O 3 veriliyor. O 1 O 2 O 3 merkezli çember diğer iki çembere ve IO 1 O 2 I doğru parçasına içten teğettir. Verilenlere göre O 3 merkezli çemberin yarıçapı R cinsinden nedir? ) B) C) D) E) Hiçbiri 3

5 13. İlk iki basamağı hariç tüm basamakları kendisinden önce gelen iki basamağın toplamı olan kaç tane 5 basamaklı tam sayı vardır? ) 8 B) 15 C) 62 D) 120 E) Böyle bir sayı yoktur ardışık tam sayının toplamı bir tam küptür. İlk sayı ve son sayı hariç diğer üç sayının toplamı ise bir tam karedir. Buna göre üçüncü sayının alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı kaçtır? ) 8 B) 9 C) 11 D) 15 E) Taban alanı S ve yüksekliği h olan, kare prizma şeklindeki üstü açık bir kovayı sabit hızla yağan yağmur tek başına 1 saatte dolduruyor. Bir musluğu ise tek başına aynı kovayı 6 saatte dolduruyor. Taban alanı 4S ve yüksekliği 2h olan kare prizma şeklindeki kovanın ortasına ve üstüne ya özdeş iki musluk yerleştiriliyor. Üstteki musluk kovayı dolduruyor, ortadaki boşaltıyor ve yağmur yağıyorken prizma kaç saatte dolar? ) B) C) D) E) 16. EF doğru parçası şekildeki gibi BCD dikdörtgenini alanları eşit olacak şekilde ikiye ayırıyor. IDI = br, IFI = 2 br ve IFBI = 1 br olarak verildiğine göre, FKB açısı kaç derecedir? ) 10 B) 15 C) 30 D) 36 E) 45 4

6 17. x bir pozitif tam sayı olmak üzere, 45 x sayısı sadece 0 ve 6 rakamlarından oluşmaktadır. Buna göre x sayısının alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı nedir? ) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) ab1 üç basamaklı pozitif bir sayıdır. ab1 sayısının basamaklarının yerlerini değiştirerek elde ettiğimiz sayılardan en az biri ab1 den büyüktür. Bu şekilde kaç farklı ab1 sayısı vardır? ) 9 B) 25 C) 36 D) 45 E) a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, eşitsizliğini sağlayan a değerleri için sadece bir tane b değeri bulunabiliyor. Buna göre a nın alabileceği en büyük değerin rakamları toplamı nedir? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Şekildeki BCD kirişler dörtgeninin C ve BD köşegenlerinin kesişme noktası K olarak veriliyor. K noktasından sırasıyla D, B, CD kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları P, Q, R olsun. [PK] ve [QR] doğru parçaları T noktasında kesişiyor ve IPQI = 12 br, IPRI = 20 br, IQRI = 24 br olarak veriliyorsa IQTI kaç br dir? ) 20 B) 15 C) 12 D) 10 E) 9 5

7 21. Şekilde verilen BC üçgeni eşkenardır. [EF] [CD] [DG] [BG] IBEI = 14 br, IDGI = 4 br, IEFI = br ve IDCI = 3IBI olarak verildiğine göre E uzunluğu kaç br dir? ) 8 B) 10 C) 6 D) 12 E) x y = 3 x + 6 y denkleminin tam sayılarda kaç farklı ( x, y ) çözümü vardır? ) 0 B) 9 C) 12 D) 16 E) x, y, z reel sayılardır. z 1 olmak üzere, x 2 + y 2 + xy + 3x = 1-4z olduğuna göre; x + y + z kaçtır? ) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) Hakan ile Melih şöyle bir oyun oynuyorlar; Hakan tahtaya iki sayı seçip yazıyor. Melih de aşağıdaki işlemleri istediği kadar kullanarak, Hakan ın yazdığı sayılardan küçüğü ile başlayarak büyüğünü elde etmeye çalışıyor. (1. işlem) Tahtadaki sayıyı silip yerine 9 fazlasını veya 10 katını yazabiliyor. (2. işlem) Tahtadaki sayıyı silip yerine, sayı ile sayının küpünün toplamını yazabiliyor. Eğer Melih, küçük sayıdan, büyük sayıya bu işlemlerden istediklerini kullanarak ulaşabilirse oyunu kazanıyor, aksi takdirde oyunu Hakan kazanıyor. Hakan aşağıdaki ikililerden hangisini verirse, oyunu kazanmayı garantiler? ) (7,2006) B) (2,2007) C) (2,2008) D) (2,2009) E) (3,2010) 6

8 25. a, b, ab - 1, b (ab - 1) - 1,... dizisinin her terimi kendisinden önce gelen iki terimin çarpımının bir eksiğidir. Bu dizide en az iki farklı sayı sonsuz defa geçiyorsa bu diziye Samanyolu dizisi diyoruz. Dizinin Samanyolu dizisi olmasını sağlayan kaç farklı ( a, b ) pozitif tam sayısı sıralı ikilisi vardır? ) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) Sonsuz sayıda 26. p 2 + 3pq + q 2 ifadesini tam kare yapan kaç farklı ( p, q ) sıralı asal sayı ikilisi vardır? ) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) p, q pozitif tam sayılar olmak üzere sadeleştirilemez bir kesirdir. p q = 15! olduğuna göre kesrinin 0 ile 1 arasında olmasını sağlayan kaç farklı (p, q) sıralı ikilisi vardır? ) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) Hiçbiri 28. Dar açılı bir BC üçgeninin, BC kenarına köşesinden ve C kenarına B köşesinden indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla D ve E olarak veriliyor. D ve BE doğruları H noktasında kesişmek üzere; ICDI = 3 br, ICI = 6 br, ICHI = 4 br olduğuna göre BC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç br dir? ) 2 B) C) 4 D) 2 E) 8 7

9 29. x, y R olmak üzere; ) B) 1 C) D) 2 E) Denklemi sağlayan x değeri yoktur. 30. Boş olmayan bir pozitif tam sayı kümesi aşağıdaki koşulları sağlıyorsa bu kümeye TaKeZa kümesi diyelim. (1. Koşul) TaKeZa kümesi hiç asal sayı içermez ve 1 bu kümenin elemanı değildir. (2. Koşul) TaKeZa kümesinin herhangi iki elemanı aralarında asal olamaz. (3. Koşul) TaKeZa kümesinin herhangi bir elemanını aldığımızda bu elemanın 1 dışındaki asal olmayan tüm bölenleri yine TaKeZa kümesinin elemanıdır. Verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Sonsuz elemanlı TaKeZa kümesi vardır B) 1elemanlı TaKeZa kümesi vardır C) Herhangi bir TaKeZa kümesinin tüm elemanlarını bölen 1 den büyük bir tam sayı olmalıdır. D) Öyle bir TaKeZa kümesi vardır ki bu kümenin tüm elemanlarını bölen 1 den büyük bir tam sayı vardır. E) Her TaKeZa kümesinin her alt kümesi yine TaKeZa kümesidir ifadesi yanlıştır. 8

10 ÖZEL SMNYOLU LİSELERİ 4. ULUSL MTEMTİK YRIŞMSI 29 Mart 2008 İKİNCİ BÖLÜM Eşit puan değerinde 3 problemden oluşan bu bölümün süresi 75 dakikadır. Her problemin çözümü için ayrı kağıtlar kullanınız. Her kağıdın başına adınızı, soyadınızı ve problemin numarasını yazınız. Çözümünüzün tam puan alabilmesi için, çözüm yolunuzun açıklanması gerekmektedir. Kısmi çözümler de değerlendirilecektir. Çözüme götüren her bilgi size puan kazandırabilir. Bir sorunun çözümü için birden fazla kağıt kullanabilirsiniz. Kağıt yetmediği takdirde, görevliden ekstra kağıt isteyiniz. Bir çözüm kağıdı, yalnızca bir soruyla alakalı olmalıdır. Yani bir kağıtta kesinlikle birden fazla soruyla alakalı bilgiler olmamalıdır. Elinizdeki soru kitapçığı ikinci bölüme aittir. Sınavda hesap makinası ve verilen cevap kağıtları dışında başka kağıt kullanılması yasaktır. Sınav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacaktır. Öğrencilerin birbirinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasaktır. Sınav sırasında kopya çeken, çekmeye teşebbüs eden ve kopya verenlerin kimlikleri sınav tutanağına yazılacak ve bu kişilerin sınavları geçersiz sayılacaktır. Sınav süresince resimli bir kimlik belgesini masanızın üzerinde bulundurunuz. Sınav salonundan ayrılmadan önce cevap kağıdınızı görevlilere teslim etmeyi unutmayınız. Soru kitapçıkları sizde kalacaktır. Başarılar Dileriz... NOT : Metin içinde kullanılan bazı gösterimlerin anlamları aşağıda veriltilmiştir. B [B] B ve B noktalarından geçen doğru ve B noktalarını birleştiren doğru parçası B doğru parçasının uzunluğu m( BC) BC açısının ölçüsü m() lan( BC) a b a b açısının ölçüsü BC üçgeninin alanı a sayısı b sayısını böler a sayısı b sayısını bölmez

11 İkinci Bölüm 1. DEF eşkenar üçgendir. IBCI = 10 br, DE // BC, (BC) = 50 br 2 olduğuna göre IDEI kaçtır? 2. x 1, x 2, x 3,..., x sayıları pozitif tam sayılardır. olduğuna göre x m = x n olacak şekilde ( m n ve m, n {1, 2, 3,..., 10000}) en az bir (m, n) ikilisi olduğunu gösteriniz. 3. İlk dört terimi sırasıyla 6, 7, 8, 9 olan ve dördüncü terimden sonraki terimleri kendisinden önceki dört terimin toplamının 10 a bölümünden kalan olacak şekilde bir sayı dizisi tanımlanıyor. Bu dizinin herhangi bir yerinde sırasıyla 5, 6, 7, 8 terimlerinin olup olamayacağını gösteriniz. 10