DERS 5 imit Süreklilik ve Türev 5.. imit. Bir oksiou;, R verilmiş olsu. Eğer i e akı er iki tarata da er değeri içi saısı e akı oluorsa, saısıa saısı e aklaşırke oksiouu iti te it o as approaes deir ve azılır. vea içi,,,, Örek.? 6 6.,
Eğer i e akı akat de küçük er değeri içi saısı e akı oluorsa, saısıa saısı e solda aklaşırke oksio-uu iti te it o as approaes rom te let deir ve azılır. vea içi,,, Örek.?, - Eğer i e akı akat de büük er değeri içi saısı e akı oluorsa, saısıa saısı e sağda aklaşırke oksio-uu iti te it o as approaes rom te rigt deir ve azılır. vea içi,,,
Örek. Örek. Örek. içi?, -?, -! YOK ve imit Sol it Sağ it?.,
Örek. Öle bir graik çiziiz ki,,,,,,,,, olsu., -,,,,,- 5.. imit ile ilgili bazı özellikler. ve g oksiolar;,, M R ;, g M olsu. Bu takdirde g M g M k k k k g M g M M çitse
Örek. a da Not. bir poliom oksio, İse, olur. Örek. Örek. Bir rasoel Foksiou imiti. Örek.. a a a a a a a a. 5. 5., d d d. 5
5.. Süreklilik. Aşağıdaki oksiolarda er birii ivarıda graiğii gözde geçire:,,, - de sürekli de sürekli değil de sürekli değil Taım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlaıorsa, oksiou de süreklidir deir: var, var,. de sürekli olmaa bir oksioa de süreksiz oksio deir. Taım. a, b R, a < b olsu. Eğer a < < b ola er içi oksiou de sürekli ise, oksiou a, b aralığıda süreklidir deir., -,,,, i sürekli olduğu aralıklar: -,-, -,,,,,,-
Taım. Eğer ise, oksiou de solda süreklidir deir. Taım. Eğer ise, oksiou de sağda süreklidir deir. Örekler. - de sağda sürekli -, de solda sürekli, da sağda sürekli, da e sağda e de solda sürekli
5.. Süreklilik özellikleri. Foksio Sürekli olduğu bölge sabit oksio: R -, kuvvet oksiou: R -, a a poliom ok. : R -, d rasoel oksio: R\{ : d } u, tek : {a : u, a da sürekli} u, çit : {a : ua ve u, a da sürekli} Sosuz imitler.,,,,
Örekler.,, Şaka. Ater eplaiig to a studet, wit various lessos ad eamples, tat, 8 8 Te teaer tried to ek i se reall uderstood tat. So, te teaer gave er a dieret eample:? 5 5 Tis was te result: 5 5
Sosuzda imitler. b b, b, b b b, b, b Örekler., Yata ve Düşe Asimtotlar. ± düşe asimtot ± b b ata asimtot Örek. ve i düşe ve ata asimtotları: olduğuda, düşe asimtot. ve olduğuda, ata asimtot.
Teorem. oksiou a, b aralığıda sürekli ve er a, b içi ise, a er a, b içi > dır; a da er a, b içi < dır., a b Taım. i süreksiz olduğu saıları ile ola saılarıa i parçalaış saıları partitio umbers vea işaret saıları deir. İşaret saıları ve ukarıdaki teorem ardımıla, agi saıları içi > ve agi saıları içi < olduğu kolaa belirleir. Örek. deklemi ile verile oksiou işaret saıları -, ve dir. > ve < ola bölgeler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Bu oksiou graiği aşağıda gösterilmiştir. -
5.5. Türev. deklemi ile verile oksiou ve bir a saısı düşüe. i a ivarıdaki değişim oraıı a a olarak taımladığımızı aımsaalım.aşağıdaki şekle bakarak bu oraı orumla-mağa çalışalım. a a, a Eğim: a a a a, a a a Yukarıdaki ora, i a da a e kadar ortalama değişim oraı average rate o age dır. Bu ora, aı zamada, a, a ve a, a oktalarıı birleştire doğruu eğimidir. Aı şekil üzeride gözlemlerimizi sürdüre. sııra aklaşırke, eşil doğru değişerek teğet durumua gelir. ' a a a ile taımlaa a değerieit varsa oksiouu a daki türevi derivative o at a deir. a a a a, a a, a a a değeri oksiouu a daki alık değişim oraıı istataeous rate o age verir. Bölee görülür ki a değeri i graiğii a, a oktasıdaki teğetii eğimidir. Bölee, i graiğii a, a oktasıdaki teğetii deklemi olur. a -a a
Örek.,? Bölee, i graiğii,, oktasıdaki teğetii deklemi - olur. Her agi bir oksiou içi ile taımlaa oksioua oksiouu türevi deir. Öreğimizde Örek.,?, -? Örek.,? Örek.? ',? ', ' ' '. ' ' YOK! '. '
Örek.,?,? Örek.,? Bir oksiou içi i teki türevi varsa oksiou te türevleebilir dieretiable deir. oksiouu türevii esaplama işlemie türev alma dieretiatio deir. oksiouu türevii esaplama elemie türev almak to dieretiate deir. '. '. '. '
Problemler 5. 5 ve g 9 ise, aşağıdaki itleri esaplaıız. a g b g g. Aşağıdaki itleri esaplaıız. a 5 5 b 5 5. Aşağıdaki itleri esaplaıız. 5 6 a b 5 5 5 5 d 9. Aşağıdaki itleri esaplaıız. a b 5. Aşağıda graikleri verilmiş oksioları süreksiz olduğu oktaları belirleiiz. a b -5 5-6. Aşağıdaki itleri esaplaıız. a 9 6 5 b 9 7 5 9 7. Aşağıdaki oksioları düşe asimptotlarıı buluuz; a düşe asimtot ise, ve sosuz itlerii belirleiiz. a a a b 8 6 8 6
8. Aşağıdaki oksioları düşe ve ata asimtotlarıı buluuz. a b ' 9. Aşağıdaki problemlerde, belirtile iki adımlı işlemi gerçekleştirerek i esaplaıız.. adım: ı sadeleştirilmesi. adım: değerii buluması a 5 b. Aşağıdaki oksiolar içi itii esaplaıız. a b 5 d. Plastik kutu ürete bir şirketi güde adet kutu üretmesi durumuda toplam geliri R 6.5, olarak verilior. Para birimi YT dir. a Üretile kutu saısı 8 de e ükseldiğide gelirdeki değişim edir? b Üretile kutu saısıı bu değişimi içi gelirdeki ortalama değişim oraı edir?. oksiou içi aşağıdaki değerleri buluuz. a, de e kadar değiştiğide deki değişim, b, de e kadar değiştiğide i ortalama değişim oraı, i graiğii, ve, oktalarıda geçe kirişi eğimi, d değeri içi i alık değişim oraı, e i graiğii, oktasıdaki eğimi.. Aşağıdaki oksioları er biri içi deki teğet doğrusuu deklemii azıız. a 5 b d. oksiou içi ' a i buluuz. b i graiğie, ve oktalarıı er biride teğet ola doğruu eğimii buluuz ve er üç durumda da teğet doğrusuu deklemii azıız. i graiğii ve bu oktalardaki teğet doğrularıı çiziiz.