DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev

Transkript

1 DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik ve türev i taımlaaağız. 5.. imit. Bir oksiou;, R verilmiş olsu. i i içie ala bir açık aralığı belki dışıda er oktasıda taımlı olduğuu kabul ede. Taım. Eğer i e akı er iki tarata da er değeri içi saısı e akı oluorsa, saısıa saısı e aklaşırke oksiouu iti deir ve vea içi azılır. Yadaki şekli ieleerek taım üzeride düşüüüz. ise, saısı e solda vea sağda aklaşırke i graiği üzerideki, oktası, oktasıa aklaşır.,,,, Örek.? Saısal olarak,, e akı bir saı olursa, saısı 4 e akı olur Yadaki şekilde izleiiz. Dolaısıla, 4 4., 4 Örek.? 4 deklemi ile taımlaa oksiou değeri içi taımsız, aak dışıda tüm reel saılar içi taımlıdır. Arıa, de arklı er içi 4 4 olduğuda, 4 tür.

2 Ders 5.78 Eğer deir. ola bir saısı oksa, oksiouu içi iti oktur Örek. deklemi ile taımlaa oksiou içi taımsız akat i dışıdaki er değeri içi taımlıdır., e aklaştıkçaer iki tarata da gittikçe büüe değerler alır. Bu edele, oksiouu içi iti oktur. vea içi olup olmadığı araştırılırke i e er iki tarata da akı değerleri, ai em de küçük em de de büük değerleri içi i e akı olup olmadığı kotrol edilmektedir. i e sadee bir tarata akı değerleri içi de i e akı olup ulmadığı sorgulaabilir. Bu düşüe bizi tek alı it kavramıa götürür. Taım. Eğer i e akı akat de küçük er değeri içi saısı e akı oluorsa, saısıa saısı e solda aklaşırke oksiouu iti deir ve azılır. vea içi,,, Örek 4.. Buu görmek içi, < olua <, ve bölee, - olduğuu görmek eter. Yukarıdaki taımda, eğer ise, olduğu görülür. Aak, bu öermei tersi doğru değildir. Örek 4 te olduğu gibi i e akı akat de küçük

3 imit Süreklilik ve Türev 79 değerleri içi, e akı olduğu alde i e akı akat de büük değerleri içi, e akı olmaabilir. Hatta, oksiou i de büük değerleri içi taımlı dai olmaabilir. Taım. Eğer i e akı akat de büük er değeri içi saısı e akı oluorsa, saısıa saısı e sağda aklaşırke oksiouu iti deir ve azılır. vea içi,,, Örek 5. Örek 4 teki gibi, > olua >, ve bölee, - olduğua dikkat ediiz. Yukarıdaki taımda, eğer ise, olduğu görülür. Aak, bu öermei tersi doğru değildir. Örek 5 te olduğu gibi i e akı akat de büük değerleri içi, e akı olduğu alde i e akı akat de küçük değerleri içi, e akı olmaabilir. Hatta, oksiou i de küçük değerleri içi taımlı dai olmaabilir. Tek alı itlerle it arasıdaki ilişkii bir ümle ile şöle iade edebiliriz: Bir oksiouu, e aklaşırke itii var olabilmesi içi gerek ve eter koşul, i, e em solda em de sağda aklaşırke itlerii var olması ve bu itleri eşit olmasıdır. Sembolik olarak, ve.

4 Ders 5.8 Örek 6. ve olduğuda mevut değildir. Graikte,, -, >, < olduğuu gözlemleebilirsiiz., Örek 7. biçimide, < parçalı taımlı oksiou içi ve bölee dir., Örek 8. Öle bir graik çiziiz ki,,, ve,,,,, olsu. Aşağıda verile graik bu koşulları sağlar., -,,,,,-

5 imit Süreklilik ve Türev imit ile ilgili bazı özellikler. ve g oksiolar;,, M reel saılar; M g, olsu. Bu takdirde M g. M g. k k. k k. M g. M M g. çitse. M g ise, içi er içie ala bir araliktaki i. Örek. Başta beşii özelliği kullaarak 5 5 olduğuu görürüz. Kuşkusuz, aı it başka özellikler kullaılarak da esaplaabilir. Yukarıdaki özellikleri ugulaması olarak poliom oksioları iti içi bir kural geliştirebiliriz. bir poliom oksio, a a a a ise, olur. Örek Örek. 5 Poliom oksioları iti içi geliştirile kural ve bölümü iti içi iade edile özellik kullaılarak d p r rasoel oksiouu iti, d olmak koşulula, d p d p olarak buluur. Örek a a a a

6 Ders Süreklilik. Aşağıdaki oksiolarda er birii ivarıda graiğii gözde geçire Bu graikler öeki öreklerimizde geçmişti..: 4 4 4,,, - de sürekli de sürekli değil de sürekli değil Bu graiklerde ilki, de taımlı bir oksiou graiği olup graik üzeride koordiatı de küçük akat e akı ola bir okta seçip kalemimizi uuu o oktaa getirsek, graiği, kalemimizi kâğıtta iç aırmada kadırarak koordiatı ola,4 oktasıı sağıa doğru izleebiliriz. İkii graik, de taımlı olmaa bir oksiou graiği olup graik üzeride koordiatı de küçük akat e akı ola bir okta seçip kalemimizi uuu o oktaa getirsek, graiği, kalemimizi kadırarak sağa doğru izlemee çalıştığımızda, aıda kalemi kâğıtta aırmamız gerekir. Üçüü graik de de taımlı olmaa bir oksiou graiği olup graik üzeride koordiatı de küçük akat e akı ola bir okta seçip kalemimizi uuu o oktaa getirsek, graiği, kalemimizi kadırarak sağa doğru izlemee çalıştığımızda, aıda kalemi kâğıtta aırmamız ve atta sektirmemiz gerekir. Taım. Eğer aşağıdaki üç koşul sağlaıorsa, oksiou de süreklidir deir: var, var,. de sürekli olmaa bir oksioa de süreksiz oksio deir. Örek. Yukarıda graiklerii gördüğümüz oksiolarda ilk graiğe karşılık gele ve deklemi ile taımlaa oksio de süreklidir; çükü, 4 4 dir. deklemi ile taımlaa ve ikii graiğe karşılık gele oksio, de süreksizdir; çükü, taımsızdır. deklemi ile taılaa ve üçüü graiğe karşılık gele osio da de süreksizdir; çükü, taımsızdır. Bu oksio içi arıa de mevut değildir.

7 imit Süreklilik ve Türev 8 Taım. a, b R, a < b olsu. Eğer a < < b ola er içi oksiou de sürekli ise, oksiou a, b aralığıda süreklidir deir. Örek. Graiği aşağıda verile oksiouu sürekli olduğu aralıkları belirlee., -,,,,,- Graiği ielemeside, i sürekli olduğu aralıkları -,-, -,,, ve, aralıkları olduğu görülür. Bir aralık üzeride sürekli ola oksioları öemli bir özelliğii asıta aşağıdaki teorem aşikâr görümekle birlikte ispatı görüdüğü kadar kola değildir. Teorem. oksiou a, b aralığıda sürekli ve er a, b içi ise, a er a, b içi > dır; a da er a, b içi < dır., a b Bu teoremde ararlaılarak, bir oksiou sıır değerii aldığı vea süreksiz olduğu saılar bilidiği takdirde o oksiou agi aralıklar üzeride poziti, agi aralıklar üzeride egati değerler aldığı kolaa belirleebilir. Taım. Bir oksiou sıır değerii aldığı vea süreksiz olduğu saılara o oksiou işaret saıları deir.

8 Ders 5.84 Örek. dir. deklemi ile verile oksiou işaret saıları -, ve > ve < ola aralıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: Graiği aşağıda gösterilmiş ola bu oksio, -,- ve, aralıklarıda egati, -, ve, aralıklarıda poziti değerler alır. - Taım 4. Eğer ise, oksiou de solda süreklidir deir. Taım. Eğer ise, oksiou de sağda süreklidir deir. Örek. Karekök oksiou, da sağda süreklidir., da sağda sürekli

9 imit Süreklilik ve Türev 85 Örek 4. ile verile oksio de solda sürekli, - de sağda süreklidir. Bu oksiou graiği üzerideki er, oktası içi ve olduğua dikkat ediiz. -, - de sağda sürekli de solda sürekli Örek 5. ile verile oksio da e solda e de sağda süreklidir., da e sağda e de solda sürekli Bildiğimiz oksiolarda bazılarıı ve sürekli oldukları bölgeleri listelee. Foksio Sürekli olduğu bölge Sabit oksio R -, Kuvvet oksiou R -, a a poliom oksio R -, u p Rasdoel Foksio d R\{a : da } -ii kök tek ise, {a : u oksiou a da sürekli} çit ise, {a : ua ve u, a da sürekli}

10 Ders Sosuz imitler ve Düşe Asimtotlar. oksiou bir reel saısıı içie ala bir açık aralığı belki ariç er oktasıda taımlı olsu. Eğer, e solda ve sağda aklaşırke değerleri sıırsız olarak artıorsa,, e aklaşırke oksiouu iti sosuzdur vea, e aklaşırke sosuza ıraksar deir. Bu durumda, vea içi azılır. Bezer şekilde, eğer, e solda ve sağda aklaşırke değerleri sıırsız olarak azalıorsa,, e aklaşırke oksiouu iti eksi sosuzdur vea, e aklaşırke eksi sosuza ıraksar deir. Bu durumda, azılır. vea içi Aşağıdaki şekilleri bu taımlar içi açıklaıı olaağıı düşüüoruz.,,, e solda vea sağda aklaşırke i itii sosuz vea eksi sosuz olması da ukarıdakilere bezer biçimde taımlaabilir. Öreği,, e sağda aklaşırke i itii sosuz olması ve, e sağda aklaşırke i itii eksi sosuz olması aşağıdaki graiklerde gösterilmiştir.,,

11 imit Süreklilik ve Türev 87 Sosuz itlere birkaç somut örek vere. Örek.. Saısal olarak, içi ve olduğua dikkat ediiz., Örek. ve. Saısal olarak, içi ve ; içi ve olduğua dikkat ediiz., Örek. ve 4 4. Saısal olarak, içi 4 ve 4 ; 4 olduğua dikkat ediiz içi 4 ve Daa öeki derslerimizdebak.9 verdiğimiz düşe asimtot taımıı it gösterimi kullaarak şöle iade edebiliriz: Eğer aşağıdaki,,,,, durumlarıda biri geçerli ise, doğrusu oksiouu graiğie düşe asimtottur vea oksiouu düşe asimtotudur deir. Örek 4. Yukarıdaki öreklerde, doğrusuu i graiğie ve aı zamada i graiğie düşe asimtot olduğu; doğrusuu da ü graiğie düşe asimtot olduğu görülür. i graiğie bir 4 4 düşe asimtot daa vardır: - doğrusu. Çükü, 4 ve 4.

12 Ders Sosuzda imitler ve Yata Asimtotlar. eragi bir reel saı olmak üzere, aralığıda taımlı bir oksiou içi sıırsız olarak artarke, ai içi değerlerii asıl değiştiğii bilmek isteriz. Eğer sıırsız olarak artarke değerleri bir b saısıa aklaşıorsa, bu takdirde, sosuza ıraksarke i iti b dir deir ve azılır. Eğer b vea içi b b ise, i büük değerleri içi oksiouu graiği aşağıdaki iki durumda birie bezeeektir. b b,, b b Bezer biçimde, eragi bir reel saı olmak üzere -, aralığıda taımlı bir oksiou içi sıırsız olarak azalırke, ai içi değerlerii asıl değiştiğii bilmek isteriz. Eğer sıırsız olarak azalırke değerleri bir b saısıa aklaşıorsa, bu takdirde, eksi sosuza ıraksarke i iti b dir deir ve azılır. Eğer b vea içi b b ise, i büük değerleri içi oksiouu graiği aşağıdaki iki durumda birie bezeeektir. b b,, b b Bu taımlara ek olarak,,, ve gösterimlerii agi alamda kullaıldığıı okuuu taraıda kolaa alaşılabileeğii kabul edioruz.

13 imit Süreklilik ve Türev 89 Örek. İlk dersimizi solarıdaki Bak. aklaşık değerlerle ilgili tartışmalarda olduğu görülür., Örek. Biraz aritmetik, olduğu ve itle ilgili özellikler kullaılarak, olduğu görülebilir. Daa öeki derslerimizdebak.9 verdiğimiz ata asimtot taımıı it gösterimi vea b ise, b kullaarak şöle iade edebiliriz: Eğer b doğrusu oksiouu graiğie ata asimtottur vea i ata asimtotudur deir. Örek. Yukarıdaki öreklerimizde, doğrusuu i grasiğie, doğrusuu i graiğie, doğrusuu da i graiğie ata asimtot oldukları görülür Türev. deklemi ile verile oksiou ve bir a saısı düşüe. i a ı içie ala bir aralıkta taımlı olduğuu kabul ede ve bu aralıkta a a akı bir a saısı alarak a a oraıı oluşturalım. Bu ora, bağımsız değişke i kadar değişmesi durumuda bağımlı değişke te ortaa çıka değişimi bağımsız değişkedeki değişime ola oraıı iade etmektedir. Bu edele, bu ora, i a da a e kadar

14 Ders 5.9 ortalama değişim oraı olarak adladırılır. Aşağıdaki şekilde de görüleeği üzere, i a da a e kadar ortalama değişim oraı aı zamada, i graiği üzerideki a, a ve a, a oktalarıı birleştire doğruu eğimidir. a a, a Eğim: a a a a, a a a Aı şekil üzeride gözlemlerimizi sürdüre. sııra aklaşırke, i graiği üzeride a, a ve a, a oktalarıı birleştire doğru değişerek teğet durumua gelir. a a, a a a, a a a Taım. oksiou a saısıı içie ala bir aralıkta taımlı olmak üzere ' a a a ile taımlaa ' a değerieit varsa oksiouu a daki türevi deir. a değeri oksiouu a daki alık değişim oraıı verir. Taımda eme öeki gözlemlerde, ' a değeri i graiğii a, a oktasıdaki teğetii eğimidir. Bölee, i graiğii a, a oktasıdaki teğetii deklemi olur. ' a a a Örek. deklemi ile verile oksiou içi '

15 imit Süreklilik ve Türev 9 dir. Bölee, i graiğii,, oktasıdaki teğetii deklemi - olur. Taım. Heragi bir oksiou içi ' ile taımlaa oksioua oksiouu türevi deir. ' ü taım kümesi, ' i taımlı olduğu tüm değerleride oluşur. Örek. Buda öeki öreğimizde ele aldığımız deklemi ile verile oksiou içi ' dir. ' ü taım kümesi tüm reel saılar kümesi R dir. Örek. ile taımlaa oksiouu ele alalım. Bu oksiou taım kümesi tüm reel saılar kümesidir. ' i bulmaa çalıştığımız zama ' elde ederiz ki bu it mevut değildirede?. - dışıda er reel saı içi ' mevuttur. Öreği ' dir. Dolaısıla, ' ü taım kümesi R\{-} dir. Örek 4. deklemi ile taımlaa sabit oksiou türevi ' dır. ' ü taım kümesi R dir. Örek 5. deklemi ile verile karekök oksiouu türevi '

16 Ders 5.9 olarak elde edilir. Burada, öreği ' olduğuu görebilirsiiz. Örek 6. deklemi ile taımlaa küp oksiouu türevi ' olarak elde edilir. ' ü taım kümesi [, dur. Bir oksiou türevi esaplaırke, ukarıdaki öreklerde olduğu gibi er seeride taım kullaılmaz. Türev esabıda kullaıla çeşitli kural ve ötemler geliştirilmiştir. Bular, bir soraki dersimizi kousuu oluşturaaktır. Bir oksiou içi i teki türevi ' varsa, oksiou te türevleebilir deir. oksiouu türevii esaplama işlemie türev alma deir. oksiouu türevii esaplama elemie türev almak deir. Bu dersimizi türevi ugulamasıa bir örekle soladıralım. Örek 7. Çouk bisikleti ürete bir şirketi adet bisiklet üretmek içi toplam gideri Gi 5. YT olarak verilior. a Üretile bisiklet saısı 4 de 5 e ükseldiğide giderdeki değişim edir? b Üretile bisiklet saısıı bu değişimi içi giderdeki ortalama değişim oraı edir? 5 bisiklet üretildiği ada giderdeki alık değişim oraı edir? Bu soruları sırasıla şöle aıtlaabiliriz: a Gi 5 Gi4 45 YT. Gi5 Gi4 b 5 4 YT. Gi5 Gi5.[5 Gi'5. YT. 5 ]

17 imit Süreklilik ve Türev 9 Problemler 5. Aşağıdaki itleri esaplaıız. a d 5 5 b 4 e ç g 9. Aşağıdaki itleri esaplaıız. a b ç. 5 ve g 9 ise, aşağıdaki itleri esaplaıız. a g b g g ç g 4. Aşağıda graikleri verilmiş ola oksioları süreksiz olduğu oktaları belirleiiz. a b Aşağıdaki itleri esaplaıız. a b ç 6. Aşağıdaki oksioları düşe asimptotlarıı buluuz; a düşe asimtot ise, ve sosuz itlerii belirleiiz. a a 4 a b

18 Ders Aşağıdaki oksioları düşe ve ata asimtotlarıı buluuz. a b ç ' 8. Aşağıdaki problemlerde, belirtile iki adımlı işlemi gerçekleştirerek i esaplaıız. ' ü taım kümesii belirleiiz.. adım: ı sadeleştirilmesi.. adım: değerii buluması. a b d 9. Aşağıdaki oksiolar içi a 4 b 4 5 itii esaplaıız. ç. Aşağıdaki oksioları er biri içi deki teğet doğrusuu deklemii azıız. a 5 b ç. 4 oksiou içi ' a i buluuz. b i graiğie, ve 4 oktalarıı er biride teğet ola doğruu eğimii buluuz ve er üç durumda da teğet doğrusuu deklemii azıız. i graiğii ve bu oktalardaki teğet doğrularıı çiziiz.. oksiou içi aşağıdaki değerleri buluuz. a, de 4 e kadar değiştiğide deki değişim, b, de 4 e kadar değiştiğide i ortalama değişim oraı, i graiğii, ve 4, 4 oktalarıda geçe kirişi eğimi, ç değeri içi i alık değişim oraı, d i graiğii, oktasıdaki teğetii eğimi.. Plastik kutu ürete bir şirketi güde adet kutu üretmesi durumuda toplam geliri Ge 6.5, 4 olarak verilior. Para birimi YT dir. a Üretile kutu saısı 8 de e ükseldiğide gelirdeki değişim edir? b Üretile kutu saısıı bu değişimi içi gelirdeki ortalama değişim oraı edir? kutu üretildiği ada gelirdeki alık değişim oraı edir?