TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ. ÜNİT TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ + + + + + + Nokta, oğru, oğru Parçası, Işın, üzlem ve Uzay Kavramları Koordinat oğrusu ve Uygulamaları üzlemde ik Koordinat Sistemi ve Uygulamaları nalitik üzlemde Vektör, Vektörlerde Toplama ve Vektörün Gerçek Sayı ile Çarpım İşlemleri çı, çı Ölçüsü ve Uygulamaları nalitik üzlemde ir oğrunun enklemleri ve Uygulamaları Ufuk çizgisinin hangi geometrik yapıya model olabileceğini tartışınız. 1
1. ÜNİT NKT, ĞRU, ÜZLM V UZY Yandaki resmi inceleyiniz. Voleybol sahasının çizgilerini bir kroki ile gösteriniz. Her iki takım oyuncularının kendi sahalarındaki konumunu bu kroki üzerinde işaretleyiniz. Kroki üzerinde oyuncuların konumunu hangi işaret ile gösterdiniz? Mavi formalı voleybol oyuncularından fi le önündeki üç oyuncunun birbirine göre konumları için ne söyleyebilirsiniz? 1 Harita üzerindeki işaretleri inceleyiniz. u işaretlerin neyi gösterdiğini söyleyiniz. Kullanılan farklı işaretler gibi nokta modeli olan örnekler veriniz. İzmir ile Uşak şehirlerinin yerlerini belirten noktaları bir cetvel yardımıyla birleştiriniz. luşan bu çizgiyi her iki yöne sınırsızca uzattığınızda elde ettiğiniz doğru modeline günlük hayattan örnekler veriniz. Harita üzerinde belirtilen yerleşim merkezlerinden hangilerinin bu doğru üzerinde bulunduğunu hangilerinin bulunmadığını söyleyiniz. İki şehrin cetvel ile birleştirilmesinin farklı biçimde olup olamayacağını tartışınız. ynı doğru üzerinde bulunan noktaları nasıl adlandırdığınızı hatırlayınız. 2
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ Nokta, herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terimdir. üyük harfl erle isimlendirilir. noktası, biçiminde gösterilir. oğru, düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan geometrik terimdir. oğrular, üzerinde bulunan iki nokta ile ya da seçilen küçük harfl erle ifade edilir. d d doğrusu ynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal (doğrudaş) noktalar denir. Nokta olarak iz, doğru olarak düz çizgi modeli kullanılır. şağıdaki resimlerde nokta ve doğru modellerini belirleyelim. ir futbol sahasında penaltı atışı için topun konulduğu yer bir nokta modelidir. Gergin bir elektrik teli doğruya; tel üzerindeki kuşlar da doğrusal noktalara model olarak alınabilir. 2 Verilen nda, noktasının solunda kalan noktaları silelim. şeklinde oluşan yeni yapıya ne ad verildiğini hatırlayınız. 3
1. ÜNİT Her iki geometrik kavram için belli bir uzunluktan söz edilebilir mi? noktasının sağında kalan noktaları silelim. şeklinde oluşan yeni yapının hangi isimle anıldığını söyleyiniz ve ölçülebilir olup olmadığını tartışınız. ir doğru üzerinde alınan herhangi iki noktanın sınırladığı geometrik şekle ne ad verilir? ir doğrunun bir noktasından başlayıp düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik terime ışın denir. ir doğrunun herhangi bir parçasına doğru parçası denir. [] nın uzunluğu olarak ifade edilir. Yandaki resimde yıldızların hangi geometrik kavrama model olabileceğini söyleyelim. üyük ayı takım yıldızını oluştururken hangi geometrik yapıyı kullanacağımızı bulalım. Yandaki resimde de görüldüğü gibi yıldızlar noktaya modeldir. üyük ayıyı oluştururken kullandığımız geometrik yapı ise doğru parçasıdır. 4
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ Yandaki resimlerde ışın ve doğru parçası modellerini belirleyelim. çık bir el fenerinden çıkan ışık demetinin her bir ögesi bir ışın modeli oluşturur. Kalem, gergin bir ip parçası, cetvel doğru parçasına örnek olarak verilebilir. 3 utbol, voleybol, basketbol sahalarını ve yazı tahtasını her yöne sınırsızca genişlettiğinizi varsayınız. ynı varsayımı masanın yüzeyi ya da bir binanın cephesi için de düşününüz. Verilen ve benzer olarak seçilebilecek örneklerin kaç boyutlu olduğunu ve geometrinin hangi temel kavramını hatırlattığını söyleyiniz. Şimdi de yandaki gibi bir kâğıt üzerinde,,, ve noktaları alınız. 1. Şekil 5
1. ÜNİT u kâğıdı yandaki şekildeki gibi katlayınız. Noktaların 1 ve 2. şekildeki durumlarını karşılaştırınız. 2. Şekil H 3. Şekil Katlanmış kâğıdın arasına 3. şekildeki gibi bir kalem yerleştiriniz. Kalemin üzerinde bulunan H noktası kâğıdın hangi yüzeyine aittir? ynı biçimde sınıfınızın tabanına, duvarına ve tavanına ait olmayan noktaların yerini düşününüz. u noktaların hepsini içeren geometrik yapıyı söyleyiniz. üzlem uzunluğu ve genişliği, düz ve sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı bulunmayan geometrik terim olarak ele alınır. üzlem olarak paralelkenarsal bölge modeli kullanılır. Tüm noktalar kümesine uzay denir. K L R X Y M Z T Sınıfınızdaki iki duvar ve zeminin birleştiği yer, yandaki şekilde modellenmiştir. u modelde işaretlenen noktalardan düzlemsel olan veya olmayan bazı noktaları bulalım. X, Y, Z ve T aynı düzlemde olduğu için düzlemseldir., ve aynı düzlemde olduğu için düzlemseldir. M, R ve K aynı düzlemde olduğu için düzlemseldir. u noktaların dışında da düzlemsel noktalar vardır. X, Y, Z ve K aynı düzlemde olmadıklarından düzlemsel değildir. 6
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ NLR ÖĞRNİK? TRİM ÇIKLM GÖSTRİM İSİMLNİRM NKT ĞRU oyutsuzdur. Noktası İki yöne sınırsızca uzayan düz çizgidir. ir boyutludur. elli bir noktadan bir yöne doğru sınırsızca uzatılan çizgidir. IŞIN ĞRU PRÇSI ÜZLM UZY ir doğrunun herhangi iki noktası ile sınırlı parçasıdır. Uzunluğu ölçülebilir ve [] nın uzunluğu ile gösterilir. Her yöne sınırsızca genişletilen düz yüzeydir. İki boyutludur.paralelkenarsal bölge ile gösterilir. Uzunluğu, genişliği ve yüksekliği sınırsızca genişletilen, bütün noktaları içinde bulunduran bir yapıdır. P d veya d doğrusu [ [] P üzlemi 3 Uzayı 1. şağıdaki şekli inceleyiniz. oğruları, ışınları, doğru parçalarını isimlendiriniz. oğrusal noktaları belirtiniz. 3. H G d 3 G H d 1 2. arklı dört düzlemi; d 2 Yukarıdaki şekilde işaretlenen,,,,,, G, H noktaları bir dik prizmanın köşeleridir. una göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur, neden? a) ir ortak doğruları olacak, b) ir tek ortak noktaları olacak, c) Hiç ortak noktaları olmayacak, ç) ördünün ortak noktası olmayacak ve dört farklı doğruda kesişecek biçimde çiziniz. a),, G, düzlemseldir. b),,, G düzlemseldir. c),,, G düzlemseldir. ç),,, düzlemseldir. d),, doğrusaldır. 7
1. ÜNİT KRİNT ĞRUSU 4 sansör kabinindeki düğmeleri incelediğinizde her katın bir sayı ile eşlendiğini hatırlayınız. Genellikle zemin kat 0 ile, zeminin altındaki katlar negatif, üst katlar ise pozitif sayılarla eşlenir. enzer yaklaşımla -4, -2, -1, 0, 1, 3 sayılarını d doğrusu üzerinde seçeceğiniz noktalarla eşleyiniz. u eşlemede pozitif sayıları hangi yöne, negatif sayıları hangi yöne yerleştirdiniz? unun için hangi noktadan faydalandınız? ğer, 3 ve 5 sayılarını aynı doğru üzerinde birer noktaya eşlemek isterseniz nelere dikkat edersiniz? Tüm tam sayıların bir doğru üzerindeki noktalarla eşlenip eşlenemeyeceğini tartışınız. Tüm gerçek sayıların bir doğru üzerindeki noktalarla eşlenip eşlenemeyeceğini tartışınız. Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire bir eşlenmesi ile oluşturulan sayı doğrusuna koordinat doğrusu, 0 sayısına karşılık gelen noktaya da başlangıç noktası (orijin) denir. aşlangıç noktasının bir tarafı pozitif diğer tarafı negatif yön olarak alınır. Herhangi bir noktaya karşılık gelen gerçek sayıya bu noktanın koordinatı adı verilir. una göre, 2 1 0 1 2 3 x x doğrusu üzerindeki,, noktaları koordinatlarıyla beraber ( 2), (0) ve (3) olarak ifade edilir. 2, 3 2, 0, 1 ve 2 sayılarını aşağıdaki d doğrusu üzerinde bazı noktalar ile eşleyelim. 8
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 2 3 2 0 1 2 d 5 şağıda verilen koordinat doğrusu üzerindeki noktaların başlangıç noktasına olan uzaklıklarını söyleyiniz. ( 4) ( 2) (0) (3) (6) noktasının koordinatı ile orijine olan uzaklığını karşılaştırınız. noktasının koordinatı ile orijine olan uzaklığını karşılaştırınız. Yaptığınız çalışma size hangi kavramı hatırlatmaktadır? ile noktaları arasındaki uzaklığı söyleyiniz. ile noktalarının koordinatlar farkını bulunuz. ile noktaları arasındaki uzaklığı söyleyiniz. ile noktalarının koordinatları farkını bulunuz. ile noktaları arasındaki uzaklığı söyleyiniz. ile noktalarının koordinatları farkını bulunuz. ile, ile, ile ve ile noktaları arasıdaki uzaklıkları bulunuz ve karşılaştırınız. İki nokta arasındaki uzaklığı, bu noktaların koordinatları farkını ve mutlak değer kavramını ilişkilendirerek bir kural oluşturunuz. ir a gerçek sayısının, koordinat doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına a sayısının mutlak değeri denir ve a ile gösterilir. a, b R olmak üzere, i) a 0 ii) a 0 ise a = a a 0 ise a = a iii) a b = b a dır. Koordinatları (a) ve (b) olan iki nokta arasındaki uzaklık, d(,) olarak ifade edilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır: d(,) = b a Uzunluğu eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. 9
1. ÜNİT Koordinat doğrusu üzerinde ve noktalarının koordinatları ( 1) ve (4) olarak veriliyor. u iki nokta arasındaki uzaklığı bulalım. ile arasındaki uzaklık : 4 ( 1) = 4+1 = 5 =5br dir. G H K x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Yukarıda verilen x koordinat doğrusu üzerindeki [], [], [K], [], [], [HK], [] ve [] dan eş olanları gruplandıralım. 1. grup: [], [] ve [K] 2. grup: [] ve [] 3. grup: [], [HK] ve [] a 3 + 11 a toplamının alabileceği en büyük değeri bulalım. Mutlak değer ifadesinin iki nokta arasındaki uzaklık anlamına geldiğinden hareketle 3 a 11 x çizelim. uradan a 3 + 11 a nın alabileceği en büyük değeri 11 3 =8 olarak buluruz. 10
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 6 Hava sıcaklığındaki 5 o lik değişim için termometredeki sıvının hareketini tartışınız. Yukarıdaki şekilde aynı doğrusal yol üzerinde bulunan üç şehir, ve noktalarıyla gösterilmiştir. =36km ve = dır. una göre, dan hareket eden bir aracın 18 km sonra hangi şehirde olacağını tartışınız. Tartışmalarınız sonucunda yukarıda verilen her iki problemin yanıtının bilinebilmesi için gereken bilgiyi söyleyiniz. Şimdi iki hava yolu şirketinin ve şehirleri arasında x ve y uçakları ile karşılıklı uçtuğunu varsayınız. x uçağının den kalkıp şehrine varması olayında uçuşun başlangıç ve bitiş noktaları hangileridir? İkinci hava yolu şirketinin uçuşu için bu noktaları belirleyiniz. İki uçuşu karşılaştırınız. Uçuşları ifade etmeniz gerekirse hangi şekil veya sembol ile ifade edersiniz? ir hareketin yönünün, başlangıç ve bitiş noktalarının niçin önemli olduğunu tartışınız. Tartışmalarınızdan hareketle aşağıdaki koordinat doğrusunda verilen koordinatlara göre, verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneklere uygun biçimde doldurunuz. M L K H G x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 11
1. ÜNİT aşlangıç Noktası itim Noktası Uzunluğu Gösterimi 3 br K 3 br K H.................. G...... K...... H...... Uzunlukları eşit olan doğru parçalarını gruplandırınız. Gruplarda bulunan doğru parçalarından yönleri aynı olanları küme içinde yazınız. Yönü aynı olan eş doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları, eş yönlü doğru parçalarının kümesine de vektör denir. u küme, elemanlarından herhangi biri ile temsil edilir. PM = RS = TK olmak üzere, P M R S T K x PM, RS ve TK eş yönlü doğru parçaları PM ile temsil edilebilir. G H K L M N x Yukarıdaki koordinat doğrusundaki vektörleri yazalım. u vektörler,, H ve HM dür. 12
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 7 H G x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Koordinat doğrusu üzerinde uzunluğu 1 br olan birkaç vektör işaretleyiniz. aşlangıç noktası orijin olan bazı vektörler yazınız. Yazdığınız bu vektörlerin başka hangi vektörleri temsil ettiklerini bulunuz.,, vektörlerinin uzunluklarını ve yönlerini karşılaştırınız.,, vektörlerinin uzunluklarını ve yönlerini karşılaştırınız. Uzunlukları ve yönleri aynı olan vektörlerin kümesini temsil edebilecek bir vektör seçmek istenirse nelere dikkat edilir? Tartışınız. Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör, başlangıç noktası orijinde olan ne noktasının yer vektörü denir. ir vektörünün boyu, bu vektörün temsil ettiği herhangi bir yönlü doğru parçasının uzunluğuna eşittir ve ile gösterilir. Koordinat doğrusu üzerinde (x) ve (y) noktaları veriliyor. ve noktalarının belirttiği vektör, birim vektör ve x+y=11 ise x ve y nin alabileceği değerleri bulalım. irim vektör veya olabilir. u durumda x-y =1 dir. hâlde, x y = 1 x + y = 11 x = 6 x y = 1 veya y = 5 x + y = 11 x = 5 y = 6 dır. 8 (a) (c) (b) x x koordinat doğrusu üzerinde = k (k > 0) 13
1. ÜNİT şartına uyan noktasının koordinatını a, b ve k cinsinden bulmaya çalışalım. dindiğimiz bilgilere göre ve nu = c a olarak yazabiliriz. Sizler de nu yazınız. şağıdaki noktalı yerleri uygun biçimde doldurunuz. = k c a... = k c a... = k c=...... olur. enzer yaklaşımla, (a) (b) (c) x x koordinat doğrusu üzerinde = k (k 1) şartına uyan noktasının koordinatını a, b ve k cinsinden bulunuz. Her iki durumda noktasının [] na göre konumunu karşılaştırınız. (a), (b) ve (c) olmak üzere [] nı = k olacak biçimde; İçten bölen noktasının koordinatı: c = a + kb 1+ k, ıştan bölen noktasının koordinatı: c = a kb 1 k dır. Özel olarak, [] nı k=1 olacak biçimde içten bölen bir noktası, [] nın orta noktasıdır. x (2) (c) (5) Yukarıdaki x koordinat doğrusu üzerinde verilen, ve noktaları için olacak biçimde alınan noktasının koordinatlarını bulalım. = 2 = c 2 ve = 5 c = c 2 5 c = 2 c 2 = 10 2c 3c = 12 c = 4 bulunur. 14
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ (4) (1) (x) (12) Yandaki şekilde koordinatları verilen noktalar için = 1 3 ve = 1 oranları verilmiştir. 2 una göre noktasının koordinatı olan x i bulalım. = 1 3 y 4 12 y = 1 3 y = 6 ve = 1 2 6 1 x 6 = 1 2 x = 16 bulunur. 1. Koordinat doğrusunda N(3x 5) ve M(6x 30) noktaları arasındaki uzaklık 55br ve (2x-3) verildiğine göre en kısa M nu bulunuz. 2. Koordinat doğrusu üzerinde noktasının koordinatı 2 dir. =5 br olacak biçimde alınan noktasının koordinatının alabileceği değerler kaçtır? 3. a < b < 0 < c olduğuna göre, a b + b c a c ifadesinin eşitini bulunuz. 4. ğrı ağı nın zirvesi deniz seviyesinin 5137 metre üzerinde, Lut Gölü nün dibi ise deniz seviyesinin 422 metre altında olduğuna göre; a) u iki uç nokta arasındaki fark kaç metredir? b) u problemde, başlangıç noktası olarak nereyi aldınız? 5. (-4) (0) (4) (7) Yukarıdaki koordinat doğrusunda koordinatlarıyla birlikte,, ve noktaları verilmiştir.,, ve uzunluklarını bulunuz. 6. (-3) (1) (3) (5) (7) Yukarıda koordinat doğrusunda,,, ve noktaları verilmiştir., ve lerinin uzunluğunu bulunuz. 7. Yukarıdaki koordinat doğrusu üzerinde verilen ve noktalarının koordinatları (x) ve (3) tür. =7 olduğuna göre x değeri kaçtır? 8. (2) (x) (7) Yukarıdaki koordinat doğrusu üzerinde verilen,, noktaları için = 3 2 olacak biçimde alınan noktasının koordinatı olan x değeri kaçtır? 9. ir kâğıda -10 ve +10 aralığını kapsayacak biçimde bir koordinat doğrusu çiziniz. aha sonra bu koordinat doğrusunu K(-3) ve M(5) noktalarından kesin. luşan [KM] doğru parçasını tam ortadan ikiye katlayın. una göre orta noktanın koordinatını bulunuz. 15
1. ÜNİT 10. 11. (6) G(10) (3) (4) (x) (4) (5) L (1) (5) K(8) Yukarıdaki doğrular üzerinde noktalar verilmiştir. G G = L ve K L = 3 ise 2 oranı kaçtır? Yukarıdaki koordinat doğrusu üzerinde verilen, ve noktaları için = 3 olacak biçimde alınan noktasının koordinatı olan x değeri kaçtır? KRİNT ÜZLMİ Satranç tahtasındaki siyah atın bulunduğu yeri belirtiniz. Sinema salonundaki boş koltukların yerlerini söyleyiniz. Yapacağınız belirlemelerde yanılma payınız var mıdır? 9 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 noktasının yerini söyleyiniz. noktasının yerini tam olarak söyleyip söyleyemeyeceğinizi tartışınız. üzlemde bir koordinat doğrusu üzerinde olmayan bir noktasının yerini tam olarak belirlemek için neye ihtiyaç duyulacağını düşününüz. Yukarıdaki sayı doğrusuna, (0) noktasında dik kesişecek biçimde bir sayı doğrusu daha çiziniz. Şimdi noktasının yerini söyleyiniz. x 16
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ üzlemde herhangi bir noktanın konumunu tam olarak belirlemek için kaç koordinat doğrusuna ihtiyaç vardır? 3 2 4 3 2 1 1 1 y 6 5 e 2 2 3 4 e 1 P (2,1) 1 2 3 4 5 6 7 x nalitik düzlemde noktasının yeri (2,1) olarak verilmiştir. Sizler de, ve P noktalarının yerlerini yazınız. aşlangıç noktaları orijinde olan eksenler üzerinde 1br uzunluğundaki e 1 ve e 2 vektörlerini göz önüne alarak; ve nü çiziniz ve bu vektörleri sırasıyla e 1 ve e 2 ile ilişkilendiriniz. P nü çiziniz ve bu vektörü ve ile ilişkilendirip e 1 ve e 2 vektörleri cinsinden yazılıp yazılamayacağını tartışınız. nalitik düzlemde herhangi bir noktanın e 1 ve e 2 vektörleri ile ilişkisini, herhangi bir vektörün de e 1 ve e 2 cinsinden yazılıp yazılamayacağını tartışınız. y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x noktasında dik kesişen iki koordinat doğrusunun oluşturduğu yapıya dik koordinat sistemi, bu sistemin belirttiği düzleme analitik düzlem ve noktasına da orijin denir. Koordinat sistemini oluşturan doğrulardan yatay olanına x ekseni (apsisler ekseni) düşey olanına y ekseni (ordinatlar ekseni) adı verilir. (x,y) gösteriminde, x, noktasının apsisini; y, noktasının ordinatı belirtir. (x,y) ise noktasının koordinatları olarak adlandırılır. Koordinat sistemi {0, e 1, e 2 } ile de gösterilir. üzlemde herhangi bir [] doğru parçasını içten veya dıştan bölen bir noktasının apsisi ve noktalarının apsislerinden, ordinatı ise ve noktalarının ordinatlarından yararlanarak hesaplanır. 17
1. ÜNİT nalitik düzlemde (-2,1) ve (7,13) noktaları ile verilen [] nı içten bölen noktası için = 2 dir. una göre (x, y ) noktasının koordinatlarını bulalım. 0 0 = 2 2 + 2.7 1+ 2.13 x 0 = y 0 = 1+ 2 1+ 2 bulunur. x 0 = 4 y 0 = 9 oğrusal hareket eden bir karınca noktasında bulduğu yemi yuvasına götürmek istiyor. noktasına vardığında yuvasına kadar alacağı yol, geldiği yolun yarı-sına eşit olduğuna göre karıncanın yuvasının hangi renkle gösterilen noktada olduğunu bula-lım. 6 y Karıncanın yürüdüğü zemin üzerinde koordinat eksenlerini çizelim. noktasını orijin kabul edersek (8,6) olur. Karıncanın yuvasını Y(x 0,y 0 ) alalım. una göre k= Y Y = 3 tür. 8 x x 0 = 0 3.8 1 3 y 0 = 0 3.6 1 3 = 24 2 = 12 ve = 18 2 = 9 bulunur. hâlde karıncanın yuvası sarı renk ile gösterilen Y(12,9) noktasıdır. 18
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 1. y 6. y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x 5 4 3 G 2 1 H R S 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 K L 2 N M 3 4 5 P x Koordinatları (2,4), (4,2), (-2,-3), (-3,-2), (-2,3), (3,-2), G(5,0), H(-2,0), K(0,3), L(0,-2) olan noktaları yukarıdaki analitik düzlemde işaretleyiniz. 2. ( 1,2) Yukarıdaki analitik düzlemde işaretlenmiş,,,,,, G, H, K, L, M, N, P, R ve S noktalarının koordinatlarını belirtiniz. 7. y (8,9) y (-1,8) (1,2) x (6,1) x 1. Şekil = 4 3 2. Şekil = 5 2 Yukarıdaki şekilde verilen analitik düzlemde ( 1,2) noktası veriliyor. a) psis ve ordinat eksenlerini çiziniz. b) noktasının koordinatlarını bulunuz. 3.a) x eksenindeki noktaların ordinatı kaçtır? b) y eksenindeki noktaların apsisi kaçtır? c) ksenler üzerindeki noktaların koordinatlarıyla ilgili bir genelleme yapınız. 4.(m, m-n) noktası analitik düzlemde ikinci bölgede olduğuna göre (mn, n-m) noktası hangi bölgededir? 5. ördüncü bölgedeki (a+1,b+7) noktasının x eksenine uzaklığı 4br, y eksenine uzaklığı 3br ise a+b kaçtır? y (1,2) (5,4) 3. Şekil = 3 (x,y) x y (x,y) (1,2) (4,-1) 4. Şekil = 5 2 Yukarıda [] nı 1 ve 2. şekilde içten; 3 ve 4. şekilde dıştan bölen noktasının hangi oranda böldüğü şekil altında verilmiştir. Her bir şekil için noktasının koordinatlarını bulunuz. x 19
1. ÜNİT VKTÖR 10 y 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 1 M J Z 2 N R P e 1 3 4 e 2 L (2,1) S T G K H x nalitik düzlemde, yönlü doğru parçası, x ve y eksenlerindeki değişimi göz önüne alınarak (2,1) bileşenleri ile gösterilmiştir. u gösterimi, yönlü doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktası ile ilişkilendiriniz. u ilişkiyi düşünerek yönlü doğru parçasının nasıl gösterileceğini tartışınız. Yönlü doğru parçalarının gösterimi için bir genelleme yapmaya çalışınız., ve LK yönlü doğru parçalarının bileşenlerini karşılaştırınız., ve LK yönlü doğru parçalarının uzunluklarını Pisagor bağıntısını kullanarak bulunuz ve karşılaştırınız. u üç yönlü doğru parçasının bir temsilciyle gösterilip gösterilemeyeceğini ve eğer gösterilebiliyorsa bunun hangisi olacağını tartışınız. enzer yaklaşımla, önceki sayfada bulunan analitik düzlemde bir temsilciyle gösterilebilecek yönlü doğru parçalarını gruplayınız. u temsilcilere ne ad verildiğini hatırlayınız. MN ve PR yönlü doğru parçalarını bileşenleri ile yazınız. MN ve PR yönlü doğru parçalarının birbirleri cinsinden yazılıp yazılamayacağını tartışınız. Herhangi iki yönlü doğru parçasının hangi durumda birbiri cinsinden yazılıp yazılamayacağını tartışınız. (x 1, y 1 ) ve (x 2, y 2 ) olmak üzere yönlü doğru parçası, bileşenleri olan (x 2 x 1, y 2 y 1 ) ikilisi ile ifade edilir. ileşenleri aynı olan yönlü doğru parçalarının kümesine vektör, bu kümenin herhangi bir elemanına da bu vektörün doğrultusu, başlangıç noktası koordinat sisteminin orijininde olan P vektörüne P noktasının yer vektörü denir. aşlangıç ve bitim noktası aynı olan vektörüne sıfır vektörü denir. Sıfır vektörü 0=(0,0) biçiminde gösterilir. ir vektörün uzunluğu, başlangıç ve bitim noktaları arası uzaklıktır. Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir. oğrultuları aynı olan vektörler birbirinin gerçek sayı katı cinsinden yazılabilir. 20
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ b y a d f K g c x Yandaki analitik düzlemde a, b, c, d ve f ü ve K noktası verilmiştir. Vektörlerin bileşenlerini yazalım ve a) Uzunlukları aynı yönleri farklı, b) Uzunlukları farklı yönleri aynı, c) oğrultuları farklı vektörleri belirtelim. d nün yer vektörünü ve sıfır vektörünü yazalım. a=(2,4), b=(2,4), c=( 2, 4), d=( 1, 2), f=( 1, 2), g=(2,2) a) a ile c, b ile c uzunlukları aynı yönleri farklı vektörlerdir. b) d ile c, f ile c uzunlukları farklı yönleri aynı vektörlerdir. c) g ile diğer vektörlerin doğrultuları farklıdır. d nün yer vektörü f dür. KK=(0,0) sıfır vektörüdür. 11 ntalya dan kalkan bir uçağın iyarbakır aktarmasıyla Kars a ulaştığını, başka bir uçağın ntalya dan kalkıp direkt Kars a uçtuğunu düşünelim. Her iki uçuşun başlangıç ve bitiş noktalarını karşılaştırınız. u iki uçuşu aşağıdaki analitik düzleme taşıyalım. y 4 K K nü ve K ile ilişkilendiriniz. 2 K, ve K bileşenlerini bulunuz ve K nün bileşenleri ile ve K nün bileşenleri arasında ilişki kurunuz. 5 7 x Toplanan iki vektörün bileşenleri ile toplam vektörünün bileşenleri arasında bir genelleme yapınız. 21
1. ÜNİT Herhangi iki vektör u=(u 1,u 2 ) ve v=(v 1,v 2 ) olmak üzere u+ v =(u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) dir. y kış doğrultusu, yönü ve şiddeti u=( 3,3) vektörü ile temsil edilen nehrin kıyısında duran Şenol noktasındadır. Şenol un hareketinin doğrultusu, yönü ve hızı v=( 2, 2) vektörü ile temsil edildiğine göre, Şenol un nehrin karşı kıyısına çıktığında hangi noktada olacağını bulalım. x y Nehrin akış hızından etkilenen Şenol un aldığı yolu veren toplam vektörü u+ v = ( 3+( 2), 3+( 2))=( 5,1)= t olur. ulunduğu konum olan (6,4) itibaren t kadar yüzeceğinden Şenol (1,5) noktasında olur. x 12 şağıdaki çizelgelerde verilen noktalı yerleri doldurunuz. Çizelgelerin altındaki soruları cevaplayınız. u v u + v (2, 1) ( 5, 4) ( 3, 5) ( 4, 3) ( 2, 7) (...,...) ( 7, 4) ( 2, 4) (...,...) ( 5, 3) (2, 8) (...,...) (2010, 2009) (0, 2) (...,...) İki vektörün toplamı bir vektör müdür? Tartışınız. 22
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ u v u + v v + u (3, 2) (4, 7) (3+4, 2+7) = (7, 9) (4+3, 7+2) = (7, 9) (5, 1) (2, 3) (...,...) (...,...) = (...,...) ( 3, 4) (9, 2) (...,...) (...,...) = (...,...) ( 1, 1) ( 3, 4) (...,...) (...,...) = (...,...) u + v ile v + u nun bileşenlerini karşılaştırınız. u v w ( u+ v )+ w u +( v + w) (4, 1) (2, 3) (6, 5) (6, 4) + (6, 5) = (12, 9) (4, 1) + (8, 8) = (12, 9) ( 2, 3) (1, 5) (9, 7) (...,...) + (...,...) = (...,...) (...,...) + (...,...) = (...,...) (5, -3) (4, 4) (2, 2) (...,...) + (...,...) = (...,...) (...,...) + (...,...) = (...,...) ( 2, 4) ( 6, 5) ( 3,, 0) (...,...) + (...,...) = (...,...) (...,...) + (...,...) = (...,...) ( u + v )+ w ile u + ( v+ w) nun bileşenlerini karşılaştırınız. u 0 u + 0 0 + u (3, 5) (0, 0) (3+0, 5+0) = (3, 5) (0+3, 0+5) = (3, 5) ( 2, 3) (0, 0) (...,...) = (...,...) (...,...) = (...,...) (4, 1) (0, 0) (...,...) = (...,...) (...,...) = (...,...) ( 2, 7) (0, 0) (...,...) = (...,...) (...,...) = (...,...) u + 0 ile 0 + u nun bileşenlerini karşılaştırınız. u v u + v v+ u (2, 3) ( 2, 3) (2 2, 3 3) = (0, 0) ( 2+2, 3+3) = (0, 0) ( 1, 4) (1, 4) (...,...) (...,...) = (...,...) (5, 6) ( 5, 6) (...,...) (...,...) = (...,...) ( 7, 8) (7, 8) (...,...) (...,...) = (...,...) u + v ile v + u yu karşılaştırınız. u ile v arasında bir bağıntı kurmaya çalışınız. Her bir çizelgeyi değerlendirerek vektörlerin toplama işlemine göre; kapalılık, değişme, birleşme, birim (etkisiz) eleman ve ters eleman özellikleriyle ilgili çıkarımlarda bulunmaya çalışınız. 23
1. ÜNİT u, v ve w herhangi üç vektör olmak üzere, u+ v yine bir vektördür. (Toplama işleminin kapalılık özellliği) u + v = v+ u (Toplama işleminin değişme özelliği) ( u+ v)+ w = v +( u+ w) (Toplama işleminin birleşme özelliği) u+ 0 = 0+ u ( 0 vektörü toplama işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.) u+ v = v + u = 0 ( v vektörü u vektörünün toplamaya göre tersidir. v= u ) u + ( v + w) = (12,10) ve u + w = (5,2) ise v nü bulalım. u + ( v + w) = u + ( w + v) u + ( w + v) = ( u + w )+ v (5,2) + v = (12,10) v = (12,10) (5,2) v = (7,8) (eğişme özelliği) (irleşme özelliği) 13 u = (3,4) vektörü için aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneğe uygun biçimde doldurunuz. u + u =(3, 4) + (3, 4) = (6, 8) 2. u = 2(3, 4) = (2.3, 2.4) = (6, 8) u + u + u=... 3. u =... u + u + u + u=... 4. u =... u +...+ u =... k tane k. u =... Yaptığınız işlemlerden sonra aynı satırdaki sonuçları karşılaştırınız. k = 1 ise k. u vektörünün bileşenlerindeki değişimi söyleyiniz. 1. u ile u nü karşılaştırınız. 24
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ Şimdi de aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri doldurunuz. u v v u +( v) (3, 2) (4, 8) ( 4, 8) (3+( 4), 2+( 8)) = ( 1, 6) (5, 7) (2, 1) (...,...) (...,...) = (...,...) ( 2, 4) ( 3, 5) (...,...) (...,...) = (...,...) ( 1, 4) (5, 9) (...,...) (...,...) = (...,...) Çizelgede verilen u ve v vektörlerinin bileşenleri arasında fark işlemi yaparak aynı sonuçları elde etmeye çalışınız. k R ve u =(u 1, u 2 ) ve v=(v 1, v 2 ) herhangi iki vektör olmak üzere; k. u = k.(u 1, u 2 ) = (k.u 1, k.u 2 ), u v = u + ( v) dir. u=(m k, 4), v=(5,m+2k) dir. v nün 2 katının toplamaya göre tersi u olduğuna göre m ve k değerlerini bulalım. u+2 v= 0 (m k, 4) + 2(5,m+2k)=(0,0) (m k, 4) + (10,2m+4k)=(0,0) m k+10=0 ve 4+2m+4k=0 m= 6 ve k=4 bulunur. 1. şağıdaki analitik düzlemde verilen vektörlerin bileşenlerini bulunuz. y d c b a 2. şağıdaki analitik düzlemde verilen vektörlerin yer vektörlerini çiziniz ve bileşenleri ile ifade ediniz. a b y c d e e f g k h x f g h k x 25
1. ÜNİT 3. (2,1), (1,4), (-2,3) ve (6,18) noktaları veriliyor. ve vektörlerinin uzunluklarını bulunuz. 9. şağıdaki analitik düzlemde verilen vektörlerin uzunluklarını bulunuz. 4. u=(2,1), v=(1,4), a=( 3, 5), b=( 2,4), x=(4,7), y=(5,6), p=( 1,3), q=( 4,2) vektörleri için u+ v, a+ b, x y ve p q lerini bulunuz. 5. (1,5), ( 2, 0), (3, 1) noktaları veriliyor. + toplam vektörü ile vektörünün bileşenlerini bulunuz. ulduğunuz sonuçları karşılaştırınız. 6. a=( 1,2) vektörü için a+ b= 0 olacak şekilde b vektörünü bulunuz. e b c d f a 7. a = (2,5) ve b =(6, m) vektörleri için 2 a+k b= 0 ise k+m kaçtır? 8. a =( 4,12), b =(2, 1) ve c=( 2,3) leri için a=x b+y c eşitliğini sağlayan x ve y gerçek sayılarını bulunuz. 10. u =(3,1), v =( 1, 4) ve t =(12, 5) vektörleri için; a) 2 u+3 v= w ise w nü bulunuz. b) 3 u+k v= t olacak biçimde k R bulunuz. ÇI Resimleri inceleyiniz. bulunuz. Resimlerdeki ortak yanları bulmaya çalışınız. aha sonra aşağıdaki sorulara karşılık irinci resimdeki kişinin görebileceği ve göremeyeceği cisimleri belirtiniz. Neden göremeyeceğini tartışınız. tartışınız. İkinci resimdeki kalecinin serbest atışta baraj kurdururken neleri göz önüne alacağını Üçüncü resimde görülen saatteki akrep ve yelkovanın konumu için neler söylenebileceğini düşününüz. 26
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 14 r=1br Yanda yarıçapı 1br olan birim çember üzerinde köşesi çemberin merkezinde olan [ ve [ larının birleşimiyle oluşan açıyı inceleyelim. irim çemberde 1br lik yay uzunluğu ve bu yayı gören açının ölçüsü 1 radyan olmak üzere, çemberin tamamını gören açının radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz. irim çemberin uzunluğu 360 eş parçaya ayırıldığında 1 parçayı gören merkez açının 1 derece olduğunu göz önüne alarak çemberin tamamını gören açının kaç derece olduğunu söyleyiniz. ir yayı gören açının ölçüsü hem radyan hem de derece cinsinden ifade edilebildiğine göre radyan ve derece arasında bir bağıntı kurmaya çalışınız. Yandaki çember üzerinde noktasından noktasına giderken izlenen yön ile noktasından noktasına giderken izlenen yönü karşılaştırınız. u yönler ile yayı gören merkez açıyı ilişkilendiriniz. u yönleri saat yönü ile ilişkilendiriniz. üzlemde sabit bir noktadan 1br uzaklıktaki noktaların geometrik yerine birim çember denir. P Yanda oluşturulan şekil iki ışının birleşimidir. u şekle açı denir. çıyı oluşturan RT ve RP ışınlarına açının kenarları ve ortak olan R ye açının köşesi adı verilir. Şekildeki açı P RT, T RP veya R gösterimlerinden R biri ile ifade edilir. T Yandaki şekilde görüldüğü gibi köşesi birim çemberin merkezinde bulunan açı, çember üzerinde 1 br uzunluğunda yay ayırıyorsa r=1br α 1br bu yaya 1 radyan denir. çının birim çemberi kestiği noktalar arasındaki yay uzunluğuna da açının radyan cinsinden ölçüsü adı verilir. irim çemberin çevre uzunluğunu 360 eş parçaya ayırarak her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1 0 biçiminde α = 1 radyan gösterilir. 27
1. ÜNİT ynı açının derece cinsinden ölçüsü, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere, 180 0 = R π dir. Herhangi bir açının bir kenarından diğer kenarına saat yönünün ters yönünde gidildiğinde, açı pozitif yönlü, saat yönü ile aynı yönde gidildiğinde açı negatif yönlüdür, denir. u durum aşağıdaki şekillerde olduğu gibi verilir: Pozitif Yön Negatif Yön K L Yandaki, K, L ve M noktalarının na ait olup olmadığını bulalım. ÇÖZÜM : M noktası [ üzerinde olduğu için L noktası ise [ üzerinde olduğu için na aittir. K ve M noktaları nı oluşturan ışınlar üzerinde olmadığından na ait değildir. Şekilde verilen nın radyan cinsinden ölçüsü m( )= π r= 8cm olduğuna göre uzunluğunu bulalım. 4 Çemberin çevresinin 2πr = 2π.8 = 16π olmasından yola çıkabiliriz. rantı özelliklerinden; 2π radyanlık merkez açı 16π cm ise π radyanlık merkez açı x cm olur 4 ----------------------------------------------------------------- bağıntısı bulunur ve buradan, x.2π = π.16π ise x = 2π elde edilir. 4 28
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ Yukarıdaki resimlerde değirmende suyun çarkı döndürmesi, musluğun açılıp kapatılması, şişe kapağının açılıp kapatılması ile otomobilin hızlanma ve yavaşlama anındaki hız ibresinin hareket yönünü belirleyelim. Suyun çarkı döndürme hareketi soldan bakıldığında negatif yönlüdür. Musluğun açılması pozitif, kapatılması negatif yönlüdür. Şişe kapağının açılması pozitif, kapatılması negatif yönlüdür. raba hızlanırken ibre yönü negatif, yavaşlarken pozitif yönlüdür. 15 y 1 S P(x,y) θ x 1 1 1 Şekildeki birim çember üzerinde alınan P(x,y) noktasıyla ve noktalarının oluşturduğu P dik üçgeninde cos θ ve sin θ değerlerini hesaplayınız. Hesapladığınız sin θ ve cos θ değerlerini P noktasının koordinatları ile ilişkilendiriniz. y Şimdi de P nü uzatalım. y=1 1 S θ P K(k,1) θ T(1,t) [P nın, x=1 doğrusunu kestiği nokta T(1,t) ve y=1 doğrusunu kestiği nokta K(k,1) olsun. θ 1 x T dik üçgeninde tanθ değerini, K dik üçgeninde cot θ değerini hesaplayınız. x=1 x=1 ve y=1 doğrusunu cotθ ve tanθ değerleriyle ilişkilendiriniz. 29
1. ÜNİT x ekseni ile pozitif yönde θ açısı yapacak biçimde birim çember üzerinde seçilen bir P(x,y) noktası için, cos θ = x ve sinθ = y olur. [P nin x=1 doğrusu ile kesiştiği nokta T(1,t) ve y=1 doğrusu ile kesiştiği nokta K(k,1) ise tanθ = t ve cotθ = k olur. u yüzden x eksenine (y=0 doğrusuna) kosinüs ekseni, y eksenine (x=0 doğrusuna) sinüs ekseni, y=1 doğrusuna kotanjant ekseni, x=1 doğrusuna tanjant ekseni adı verilir. Geniş açıların trigonometrik oranları için bu açıların bütünler açılarının trigonometrik oranları bulunur. Geniş açının; Sinüs yerine bütünlerinin sinüsü, Kosinüsü yerine bütünlerinin kosinüsünün 1 katı, Tanjantı yerine bütünlerinin tanjantının 1 katı, Kotanjantı yerine bütünlerinin kotanjantının 1 katı alınır. y=1 kotanjant ekseni kosinüs ekseni y 1 t s sinüs ekseni r=1 θ P x=1 K(k,1) T(1,t) 1 k tanjant ekseni x 1 3 3 K L 1 2 P y 1 3 2 120 o 60 o 1 x Yandaki şekilde birim çember üzerinde x ekseni ile pozitif yönde 120 o lik açı yapan bir P( 1 2, 3 ) noktası işaretlenerek P doğrusu çiziliyor. u çizimden faydalanarak cos 120 0, sin120 0, 2 tan120 0 ve cot120 0 değerlerini bulalım. 1 30 o cos120 0 = cos60 0 = 1 3 T 2 sin120 0 = sin60 0 = 3 2 tan120 0 = tan60 0 = 3 ve cot120 0 = cot60 0 = 3 3 30
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ sin150 0 + cos120 0.tan135 0 sin30 0 cos60 0.cot135 0 oranını hesaplayalım. sin150 0 = sin30 0 = 1 2, sin120 0 = cos60 0 = 1 2, tan135 0 = tan45 0 = 1 16 1 cot135 0 = cot 45 0 = 1 sin1500 + cos120 0.tan135 0 = 2 + ( 1 2 )( 1) sin30 0 cos60 0.cot135 0 1 2 1 = 1 bulunur. 2 ( 1) β k d 1 Yanda birbirine paralel d 1 ve d 2 doğruları ile bunları kesen k doğrusu verilmiştir. m( G)= α ve m( )= β dir. α G d 2 irim kareleri kullanarak α ve β değerlerini karşılaştırınız. H G ve nın birbiri ile ilişkisini kullanarak,,,, H ve G H açılarını α ile ilişkilendiriniz. kurunuz. irbirine paralel d 1 ve d 2 doğrularının k keseni ile oluşturdukları açılar arasında ilişki b a c d k d 1 ile ters açıdır. a = c ile ters açıdır. b = d d 1 // d 2 ise; y x z t G H d 2 ile H yöndeş açılardır. a = x ile yöndeş açılardır. b = y ile H G yöndeş açılardır. d = t ile G yöndeş açılardır. c = z 31
1. ÜNİT ile karşı durumlu açılardır. c+y=180 o ile H karşı durumlu açılardır. d+x= 180 o ile H iç ters açılardır. c = x ile iç ters açılardır. d = y ile G dış ters açılardır. a = z ile H G dış ters açılardır. b = t 5x Yandaki şekilde [//[ dir. m( )=5x, m( )=2x ve m( )=120 0 olduğuna göre x in kaç derece olduğunu bulalım. 2x 120 0 5x [//[ çizelim. 2x 60 0 120 0 m( )=60 0 ( ile karşı durumlu) m( )=m( ) (İç ters açılar) 5x = 2x + 60 0 ise x = 20 0 bulunur. d 3 d 4 Yandaki şekilde verilenlere göre x değerini bulalım. x 10 3x+10 d 1 3x+10 3x+10 d 2 İç ters durumundaki açıların ölçülerinin eşit olması kesilen doğruların paralel olmasıyla mümkün olacağından d 1 //d 2 ve d 3 //d 4 tür. 3x+10 + x 10 = 180 (d 1 //d 2 ) x=45 tir. 32
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 5x 4x 7 11y 19y-7 Yandaki şekilde aynı renkli doğru parçaları birbirine paraleldir. Verilenlere göre x+2y toplamını bulalım. 5x=19y 7 (İç ters açı) 11y=4x 7 (İç ters açı) x=10 ve y=3 bulunur. x+2y=10+2.3 = 16 olur. G d 3 d 4 Yandaki trabzan resminde d 1 //d 2 ve d 3 //d 4 tür. m( )=3y, m( )=72 0, m( )=x 0, m( G)=3z+18 0 olduğuna göre x, y ve z değerlerini bulalım. d 1 d 2 x+72 0 =180 0 x=108 0 (Karşı durumlu açılar) x=108 0 =3y y=36 0 (Yöndeş açılar) x=108 0 =3z+18 0 z=30 0 (Yöndeş açılar) bulunur. 55 0 x Yandaki şekilde ışık bir sıvının içine kırılarak girmekte, tabandaki aynadan yansımakta ve sonra da sıvıyı terk etmektedir. una göre x i bulalım. 40 0 K L T K T çizelim. Işık aynaya geldiği açı ile yansıyacağından m( )= m( ) 33
1. ÜNİT m( )+ m( )+ m( )=180 0 m( )+ 40 0 + m( )=180 0 m( )=m( )=70 0 dir. m( )= m( )=70 0 (Yöndeş açı) Işık aynı açıyla yüzeye ulaşacağından m(l T)=55 0 olur. m(k L)=90 0 m(l T) = 90 0 55 0 = 35 0 olur. x = m( ) + m( K) + m(k L) = 70 0 + 90 0 + 35 0 = 195 0 bulunur. 1. nalitik düzlemde merkezi M(-3, 4) ve yarıçapı 2 br olan çemberi çiziniz. 2.... 120 0... 145 0... 150 0... 180 0... 90 0 60 0... 45 0... 30 0... 0 0... 4. Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 3 katından 10 eksik olduğuna göre bu açının bütünlerinin ölçüsü kaç derecedir? 5. ir açının bütünleyeninin ölçüsünün yarısı, tümlerinin ölçüsünün 3 katından 20 0 eksiktir. u açının ölçüsünü bulunuz. 6.... 210 0... 225 0... 240 0 270 0... 330 0... 315 0... 300 0... a) Yukarıdaki çember üzerinde derece cinsinden verilmiş açıların radyan cinsinden karşılığını yanlarındaki noktalı yerlere yazınız. b) Ölçüsü 8π radyan olan açının derece cin- 3,, noktaları doğrusal olmak üzere 3.m( )=2.m( ) ve m( )= 1 2 m( ) ise m( ) kaç derecedir? 7. L K N sinden değerini bulunuz. 3. k M R T P Şekildeki ile k doğrusunun kesişimini bulunuz. Şekilde [KM // [PR dir. m(l KM) = (3x-25) 0, m(r PT)=(2x+15) 0, m(k NP)=70 0 ise m(r PN) kaç derecedir? 34
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ 8. 30 0 y 11., cos 3π 4, tan 1500 ve cot 135 0 nin değerlerini bulunuz. x 12. irim çemberde 7π 9 radyanlık açı ile 70 0 radyanlık açı arasında kalan dar açının G 20 0 ölçüsü kaç radyandır? [ // [G dir. Şekilde verilenlere göre x y farkını bulunuz. 9. 13. Yandaki şekilde,, ve doğrusal noktalar, [ // [, m( )=6x, m( G)=2y, G 5y 2y G m( G)=5y ve y=2x ise m( ) nü hesaplayınız. [ // [ // [, [G] // [], m( G)=70 0, m( G)=3.m(G ) olduğuna göre m( ) nin ölçüsünü bulunuz. 6x 10. x 0 14. 20 0 100 0 30 0 25 0 50 0 70 0 35 0 x a b Yukarıdaki şekilde verilenlere göre x kaçtır? [ // [ dir. a+b=290 0 olduğuna göre x kaçtır? 35
1. ÜNİT ĞRU NKLMLRİ 17 y (x,y) Yandaki şekilde (4,3) noktasından geçen, üzerinde değişken bir (x,y) noktası olan doğrusunun denklemini yazmaya çalışalım. 3 u 2 4 (4,3) nün yer vektörünü bulunuz. u yer vektörünü aynı doğrultudaki u = (2,3) ve k gerçek sayısı ile ilişkilendiriniz. ulduğunuz eşitliği bileşenler cinsinden yazınız. x şitliğin her iki yanındaki vektörlerin bileşenlerini karşılıklı olarak eşitleyip x ve y değişkenlerini k cinsinden yazmaya çalışınız. k değerini kullanarak x ve y arasında bir bağıntı kurmaya çalışınız. Genel olarak düzlemde bir (x 1,y 1 ) noktasından geçen ve yer vektörü u = (u 1,u 2 ) olan doğrunun, y y (x,y) vektörel denklemi: (x-x 1,y-y 1 ) = k. (u 1, u 2 ) y 1 (x 1,y 1 ) doğrultman vektörü : u = (u 1,u 2 ) u 2 u parametrik denklemi : x = x 1 +u 1.k y = y 1 +u 2.k u 1 x 1 x x şeklinde verilir. Parametrik denklemden elde edilen k değerleri eşitlenerek doğrunun kapalı formdaki denklemi a,b,c R olmak üzere, ax + by + c = 0 biçiminde yazılır. üzlemde (2,-3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi (x 2,y+3)=k(1,4) olarak verilmiştir. u doğrunun doğrultman vektörünü, k parametresine bağlı parametrik denklemini ve kapalı formdaki denklemini bulalım. 36
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ oğrultman vektörü : u(1,4) tür. (x 2,y+3)=(k,4k) x 2=k ve y+3=4k x=k+2 ve y=4k 3 Parametrik denklem : x=k+2 y=4k 3 x 2=k olduğundan y=4k+3 y=4(x 2) 3 kapalı formdaki denklem: 4x y 11=0 üzlemde bir doğrunun parametrik denklemi x= 2k+5, y=7k 3 olarak verilmiştir. u doğrunun vektörel denklemini, doğrultman vektörünü ve kapalı formdaki denklemini bulalım. x = 2k + 5 y = 7k 3 2k = x 5 (x 5,y + 3) = ( 2k,7k) 7k = y + 3 Vektörel denklem : (x 5,y+3)=k( 2,7) oğrultman vektörü : u( 2,7) 2k = x 5 k = x 5 olur. y + 3 = 7( x 5 ) 7x + 2y + 41= 0 kapalı formdaki denklemi bulunur. 2 2 üzlemde bir doğru kapalı formda 4x 3y 2=0 olarak verilmiştir. u doğrunun doğrultman vektörünü, vektörel denklemini ve k parametresine bağlı parametrik denklemini bulalım. 4x 2 = 3y 4x 2 3 = 3y 3 4x 2 x 1 = y 2 3 3 = y 4 tür. x 1 oğrultman vektörü : u = (3,4) tür. 2 3 = y 4 = k x 1 = 3k ve y = 4k olduğundan 2 Parametrik denklem : x = 3k + 1 2 dir. (x 1,y) = (3k,4k) olduğundan 2 y = 4k Vektörel denklem : (x 1,y) = k(3,4) olarak bulunur. 2 37
1. ÜNİT 1. üzlemde ( 5,1) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi, (x+5, y 1) = k. (3, 2) olarak verilmiştir. u denklemden faydalanarak doğrunun doğrultman vektörünü, k R olmak üzere k parametresine bağlı parametrik denklemini, kapalı formdaki denklemini bulunuz. oğru ( 8,m) noktasından geçerse m değeri kaç olur? ĞİM 2. üzlemde, bir doğrunun parametrik denklemi, x = 3 + 4k y = 1 + 5k olarak verilmiştir. u doğrunun vektörel denklemini, üzerindeki herhangi bir noktasını, doğrultman vektörünü, kapalı formdaki denklemini bulunuz. 3. üzlemde, bir doğru kapalı formda 3x 5y+12=0 olarak verilmiştir. u doğrunun vektörel denklemini, doğrultman vektörünü ve k R olmak üzere k parametresine bağlı parametrik denklemini bulunuz. noktasındaki Kaan, yolunu, noktasındaki Miray da yolunu, kullanarak noktasına tırmanacaktır. İkisinin de tırmanışlarda aldığı yolu hesaplayınız. Kaan ve Miray dan hangisi tırmanışlarda daha çok zorlanmıştır? u zorluğun sebebi sizce ne olabilir? uradaki olayı daha önce öğrendiğiniz hangi kavram ile ilişkilendirebilirsiniz? 18 y 6 3 θ 3 7 11 d x Yandaki analitik düzlemde bir d doğrusu,, ve noktaları doğru üzerinde olmak üzere,,, ve noktaları işaretlenmiştir. d doğrusu x ekseni ile pozitif yönde θ o lik açı yaptığına göre; d doğrusu üzerinde alınan, ve noktalarının koordinatlarını yazınız. ve dik üçgenlerinden tanθ değerlerini bulunuz. 38
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ,, noktalarının herhangi ikisinin ordinatlarındaki değişimin apsislerdeki değişme oranı ile bulduğunuz tanθ değerini ilişkilendiriniz. ir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantı, doğru üzerinde seçilen herhangi iki noktanın ordinatlarındaki değişimin, apsislerindeki değişime oranıdır. u orana doğrunun eğimi denir ve eğim m ile gösterilir. oğrunun, x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı θ o ise eğim, m = tanθ olarak ifade edilir. oğru üzerinde seçilen noktalar değişse de eğimde değişiklik olmaz. 3 y 3 1 birim 2 θ 3 θ 3 birim 3 birim d 1 birim x 6 Yanda verilen koordinat düzlemindeki d doğrusunun üzerinde bulunan ve noktalarının koordinatları (3,2) ve (6,3) tür. una göre d doğrusunun eğimini bulalım. m = tanθ = = 1 3 olur. HTIRLTM 90 < θ < 180 ve θ + β = 180 ise tanθ = tan(180 β) = tanβ y 3 1 birim θ 1 birim β 2 2 birim 2 birim β 3 1 3 θ d x Yanda verilen koordinat düzlemindeki d doğrusunun üzerinde bulunan ve noktalarının koordinatları (-1,2) ve (-3,3) tür. una göre d doğrusunun eğimini bulalım. m = tanθ = tan(180 β) = tanβ = = 1 2 olur. 39
1. ÜNİT İzmir den Trabzon a giden bir uçak rdu üzerinde alçalmaya başlıyor. rdu üzerindeyken uçak 8000m yüksekliktedir.rdu nun Trabzon a uzaklığı 180km olduğuna göre Trabzon a uzaklığı 135km olan Giresun üzerinde, uçağın kaç metre yükseklikte olacağını bulalım. 8000m rdu 45km x Giresun 135km Trabzon ÇÖZÜM : Uçak aynı doğrultuda alçaldığından dolayı m =m ise, 8 180 = x 135 x=6km=6000m olur. 19 y y 2 1 (x,y) (5,2) θ (x,2) (3,1) θ (5,1) θ 3 5 x d x nalitik düzlemde (3,1) ve (5,2) noktalarından geçen d doğrusunun eğimini bulunuz. Şimdi de aynı doğru üzerinde değişken bir (x,y) noktası seçerek eğimi, ve noktalarının koordinatlarını kullanarak bulunuz. m ve m lerini ilişkilendirip x ve y arasında bir bağıntı kurunuz. çalışınız. İki noktası bilinen doğrunun kapalı formdaki denklemini veren bir bağıntı bulmaya 40
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ y (x,y) y y y (x 2,y 2 ) θ 2 y 2 x x 1 (x 1,y 1 ) θ y 2 y 1 y 1 x 2 x 1 θ x x 1 2 x d x Yandaki düzlemde verildiği gibi x ekseni ile pozitif yönde θ açısı yapan ve (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) ve (x, y) noktalarından geçen d doğrusu için, tanθ = y y 2 = y y 2 1 = m x x 2 x 2 x 1 olur. Yukarıdaki eşitlikte orantı özellikleri kullanılarak, y y 2 y 2 y 1 = x x 2 x 2 x 1 (Üzerindeki iki noktası bilinen doğru denklemi) y y 2 = m(x x 2 ) (ğimi ve üzerindeki bir noktası bilinen doğru denklemi) eşitliklerine ulaşılır. oğrunun denklemi, y y 2 = m(x x 2 ) eşitliğinde dağılma özelliği kullanılarak, y = mx mx 2 + y 2 ( mx 2 + y 2 = n olmak üzere ) y = mx + n biçiminde de yazılabilir. (1,4) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğrunun denklemini yazalım. y y 1 =m(x x 1 ) y 4= 3(x 1) y= 3x+7 bulunur. Koordinat düzleminde K(4,6) ve L(7,8) noktalarından geçen doğru denklemini bulalım. x 7 7 4 = y 8 8 6 x 7 3 = y 8 2 2x 14 = 3y 24 2x 3y+10 = 0 olarak bulunur. yrıca bu doğrunun eğimi: m = 2 3 = 2 3 tür. u doğruyu 3y = 2x +10 y = 2 3 x + 10 3 biçiminde de ifade edebiliriz. 41
1. ÜNİT 20 Kapalı formdaki denklemleri d 1 : x + 2y 2 = 0 ve d 2 : x 2y 4 = 0 olan doğruların aşağıdaki grafi klerini inceleyelim. y d 1 enklemlerden faydalanarak her iki doğrunun eğimlerini bulunuz ve karşılaştırınız. d 2 x ğimlerden faydalanarak doğruların x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıların ölçüleri için ne söyleyebilirsiniz? çı ölçülerinden faydalanarak doğruların grafi k- lerinin birbirine göre durumları için ne söyleyebilirsiniz? ğimleri eşit olan iki doğrunun birbirlerine göre konumunu tartışınız. y d 2 Şimdi de kapalı formdaki denklemleri R K d 1 : 2x + 3y 6 = 0 d 2 : 3x + 2y + 3 = 0 L β θ M α x olan doğruların yandaki grafi klerini inceleyelim. P d 1 enklemlerden faydalanarak her iki doğrunun eğimini bulunuz. d 2 doğrusunun eğiminden tanβ değerini, d 1 doğrusunun eğiminden tanα değerini yazınız. tanα ve tanθ değerlerini ilişkilendiriniz. HTIRLTM b c a ile tümler açılar ise tan = a c tan = c a dır. tanθ ve tanβ değerlerinden ve hatırlatmadan faydalanarak m(l KM) nü bulunuz. d 1 ve d 2 doğrularının grafi klerinin birbirine göre durumu için ne söyleyebilirsiniz? d 1 ve d 2 doğrularının eğimleri çarpımını bulunuz. ğimleri çarpımı 1 olan doğruların birbirlerine göre durumunu tartışınız. 42
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ üzlemde iki doğrunun eğimleri eşit ise doğrular birbirine paraleldir. u durum, m 1 =m 2 d 1 // d 2 biçiminde ifade edilir. üzlemde iki doğrunun eğimleri çarpımı 1 ise doğrular birbirine diktir. u durum, m 1. m 2 = 1 d 1 d 2 biçiminde ifade edilir. x 2y+4=0 doğrusuna paralel olan ve (1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım. d 1 : x 2y+4=0 m 1 = 1 2 = 1 2 dir. m =m = 1 1 2 2 olduğundan, d 2 : y ( 3)= 1 2 (x 1) d 2 : x 2y 7=0 bulunur. x 2y 1=0 doğrusuna dik olan (k 1)x+y n=0 doğrusu (2, 1) noktasından geçmektedir. una göre k.n değerini hesaplayalım. d 1 : x 2y 1=0 m 1 = 1 2 ve d 1 d 2 olduğundan m 1.m 2 = 1 m 2 = 2 d 2 : (k 1)x+y n=0 m 2 = k 1 2 = (k 1) k=3 ve (2, 1) doğrusunu sağlar. 1 d 2 : 2x+y n=0 2(2) 1 n=0 n=3 bulunur. hâlde, k.n = 3.3 = 9 dur. 21 d 1 : 2x - 3y + 5 = 0 d 2 : 4x - 6y + 7 = 0 denklem sistemini oluşturan kapalı formda verilmiş d 1 ve d 2 doğrularının grafi klerini çiziniz. u doğruların grafi klerinin birbirine göre konumları için ne söylenebilir? oğru denklemlerindeki x değişkeninin kat sayılarının oranını, y değişkeninin kat sayılarının oranını ve sabit terimlerin oranını karşılaştırınız. u oranlarla doğruların grafi klerinin birbirine göre durumunu karşılaştırınız. 43
1. ÜNİT d 1 : 3x - 4y + 7 = 0 d 2 : 6x - 8y + 14 = 0 denklem sistemini oluşturan kapalı formda verilmiş d 1 ve d 2 doğrularının grafi klerini çiziniz. u doğruların grafi klerinin birbirine göre konumları için ne söylenebilir? oğru denklemlerindeki x değişkeninin kat sayılarının oranını, y değişkeninin kat sayılarının oranını ve sabit terimlerin oranını karşılaştırınız. u oranlarla doğruların grafi klerinin birbirine göre durumunu karşılaştırınız. d 1 : x + 3y - 5 = 0 d 2 : 4x - 2y + 6 = 0 denklem sistemini oluşturan kapalı formda verilmiş d 1 ve d 2 doğrularının grafi klerini çiziniz. u doğruların grafi klerinin birbirine göre konumları için ne söylenebilir? oğru denklemlerindeki x değişkeninin kat sayılarının oranını, y değişkeninin kat sayılarının oranını ve sabit terimlerin oranını karşılaştırınız.. u oranlarla doğruların grafi klerinin birbirine göre durumunu karşılaştırınız. üzlemde, a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 ve c 2 R olmak üzere kapalı formları d 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 olan doğrular için; i) a 1 a 2 = b 1 b 2 c 1 c 2 ii) a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 ise d 1 ile d 2 paralel, ise d 1 ile d 2 çakışık ve iii) a 1 a 2 b 1 b 2 ise d 1 ile d 2 bir noktada kesişir. (a 3)x+10y+4=0 ve (b 5)x 5y 7=0 doğrularının birbirine göre paralel olması için a ile b arasındaki bağıntıyı yazalım. a 3 b 5 = 10 5 4 7 a 3 = 2b +10 a = 2b +13 olur. 44
TML GMTRİK KVRMLR V KRİNT GMTRİY GİRİŞ (1 k)x+3y+m 2=0 doğrusu ile 8x 4y+3k 1=0 doğrusu çakışık ise m+k toplamının kaç olduğunu bulalım. 1 k 8 = 3 4 = m 2 3k 1 24 = 4 + 4k k=7 60 = 4m + 8 m= 13 m+ k = 6 bulunur. 2x 3y 5=0 ve 4x+my+11=0 doğruları bir noktada kesişiyorsa m nin hangi değeri alamayacağını bulalım. 2 4 3 m 2m 12 m 6 olur. 1. P(2,5) noktasından geçen u = (3,4) vektörüne paralel olan doğrunun, vektörel, parametrik ve kapalı formdaki denklemlerini yazınız. 2. Parametrik denklemi x= 3+2t ve y=1 3t olan doğrunun vektörel denklemini, doğrultman vektörünü ve kapalı formdaki denklemini yazınız. 3. Kapalı formdaki denklemi x+3y 17=0 olan doğru P( 5,m) noktasından geçtiğine göre bu doğrunun vektörel denklemini, doğrultman vektörünü ve parametrik denklemini yazınız. 4. (5,10) ve ( 3,4) noktalarından geçen doğruyu çiziniz. u doğrunun denklemini yazınız. ğimini söyleyiniz. 5. (3,2) noktasından geçen ve eğimi 4 olan doğrunun denklemini yazınız. 6.şağıdaki seçeneklerde koordinatları verilen ve noktalarından geçen her bir doğrunun varsa eğimlerini bulunuz. a) (1,2), (3,5) b) (0,0), ( 2,3) c) ( 1,4), ( 3,4) ç) ( 3,7), ( 3,14) 7. 2x 3y + 4 = 0 ile 6x ky + 9 = 0 doğrularının paralel olması için k kaç olmalıdır? 8. 4x 8y + 11 = 0 doğrusu kx 5y + 6 = 0 doğrusuna dik ise k kaçtır? 9. 3x 4y + 5 = 0 ve 4x 3y + 10 = 0 doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve 2x + y + 3 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. 45
1. ÜNİT 10. d 2 3 y 4 d 1 x Yukarıdaki şekilde de verildiği gibi analitik düzlemde x eksenini (4,0) ve y eksenini (0, 2) noktasında kesen d 1 doğrusu (0,3) noktasından geçen d 2 doğrusuna diktir. d 2 doğrusunun denklemini yazınız. 2 11. 4x 6y + 9 = 0 doğrusu ile mx + ny 7=0 doğruları çakışık ise m+n kaçtır? 12. şağıda grafi kleri verilen doğrulardan hangisinin eğiminin pozitif, hangisinin eğiminin negatif, hangisinin eğiminin sıfır olduğunu ve hangisinin eğiminin olmadığını noktalı yerlere yazınız. d y d y y d y d x x x x............ ÜNİT SNU ÖLÇM SRULRI 1. Sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktalar; a) Koordinat doğrusunda, b) Koordinat düzleminde, c) Uzayda ne belirtir? 2. Köşelerinin koordinatları ( 2,5), (4,1) ve ( 2,3) olan üçgenindeki [] nın orta noktasını başlangıç noktası, köşesini de bitiş noktası kabul eden vektörün bileşenleri aşağıdakilerden hangisidir? ) ( 4,0) ) ( 3,3) ) (0,3) ) (2, 1) ) ( 2,0) 3. ileşenleri ( 3,3) ve ( 2 3,2 ) olan iki yer vektörü arasındaki açı kaç derecedir? ) 75 0 ) 90 0 ) 105 0 ) 135 0 ) 150 0 4. (m+1,n+5) ve ( 2+n,m 2) noktalarından geçen doğrunun, a) ğiminin sıfır olması için b) ğiminin olmaması için m ve n arasındaki bağıntıyı bulunuz. 5. (k 1)y+(p+3)x+c=0 doğru denkleminde k yi bulmak için aşağıdakilerden hangisini ya da hangilerini bilmek yeterlidir? I) oğru, x eksenine paraleldir. II) oğru, y eksenine paraleldir. III) c nin değerini ) Yalnız I ) Yalnız II ) Yalnız III ) I ve III ) Hiçbiri 46