ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

Transkript

1 Ünite 4 ÜÇNLR ŞLİ V NZRLİ ölüm 4.3. u ölümde Neler Öğreneceğiz? çıortay ve üçgenin açıortaylarının özelliklerini Üçgenin kenarortaylarının özelliklerini Orta dikme ve üçgenin kenar orta dikmelerinin özelliklerini Üçgenin yüksekliklerinin özelliklerini Neden Öğreneceğiz? Üçgenin yardımcı elemanları hem üçgenleri daha iyi tanımada hem de daha karmaşık geometrik şekilleri analiz etmede önemli bilgiler sunar. Örneğin üçgenin ağırlık merkezi kullanılarak daha karmaşık şekillerin ağırlık merkezleri bulunabilir. Üçgenin Yardımcı lemanları

2 ölüm 4.3. Üçgenin Yardımcı lemanları HZIR MIYIZ? 1. 3x x 6 Şekilde [, nın açıortayı olduğuna göre x kaçtır? 5. şağıda kesişen d, k, l, n ve m doğruları ile ilgili verilen ifadelerdeki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. d T k. ir doğrunun bir çembere teğet olmasının ne anlama geldiğini açıklayınız. 3. l H Yandaki şekilde noktasının l doğrusuna olan uzaklığını gösteren doğru parçası hangisidir? J L H l m n a.... noktaları d doğrusu üzerindeki doğrusal noktalardır. b.... noktaları k doğrusu üzerindeki doğrusal noktalardır. c. k ve l doğruları... noktasında kesişmektedir. ç. m ve d doğruları... noktasında kesişmektedir. 6. şağıda verilen üçgenleri açılarına göre sınıflandırınız. 4. şağıdaki ifadelerin yanlarındaki boşluğa doğru olanlar için yanlış olanlar için Y yazınız. 60 a. (...) İki doğru paralel değilse kesişirler. b. (...) Çakışık olmayan iki doğru birden fazla noktada kesişebilirler. c. (...) noktası [] nın orta noktası ise = dir. ç. (...), P ve noktaları doğrusal P noktası I O H L M P N ve noktaları arasında ve P = P ise 1 1 P = ve P = dir. J 774 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

3 MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir açının açıortayı üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklıkları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 inamik geometri yazılımında bir çiziniz. dım Yazılımın çıortay özelliğini kullanarak nın açıortayını çiziniz. dım 3 çıortay üzerinde herhangi bir noktası alınız. dım 4 noktasından ve kenarlarına dik doğrular çiziniz. Çizdiğiniz dik doğruların ve kenarlarıyla kesim noktalarını sırasıyla ve H olarak isimlendiriniz. dım 5 H H H Yazılımın uzunluk ölçme özelliğini kullanarak, H, ve H değerlerini ölçünüz ve yandaki tablonun birinci satırını doldurunuz. rdından noktasını açıortay üzerinde sürükleyerek noktasının farklı konumları için tablodaki uzunlukların aldığı değerleri gözlemleyerek tablonun diğer satırlarını da doldurunuz. Sonuç Yukarıdaki tabloyu inceleyerek bir açının açıortayı üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları ve bu dikmelerin açının kolları üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyiniz. elirlediğiniz ilişkilerin gerekçelerini açıklayınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 775

4 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Neler Öğreneceğiz? ir açının açıortayını çizmeyi Üçgenin iç ve dış açıortaylarının özelliklerini nahtar Terimler çıortay İç çıortay Teoremi İç teğet çember ış teğet çember ış çıortay Teoremi çıortay aşlarken Oda duvarlarının zeminle birleştiği yerlerde kenar pervazları (süpürgelik) bulunur. Marangozlar, kenar pervazlarını duvarların köşelerine yerleştirirken öncelikle duvarın köşe açısını belirlemek zorundadır. unun nedeni köşelerde süpürgeliklerin tam olarak birleşmesidir. çı belirlendikten sonra her bir pervaz uçlarından belirlenen açının yarısı ölçüsünde kesilir. öylece pervazlar duvarın köşelerinde tam olarak birleşir. Marangozlar aslında duvarın köşesinde oluşan açının açıortayını oluşturmaktadırlar. aha önceki yıllarda bir açıyı eş iki parçaya ayıran ışına açıortay denildiğini öğrenmiştik. şağıdaki çizim çalışmasında pergel-cetvel kullanılarak verilen bir açının açıortayının nasıl çizilebileceği açıklanmıştır. ir çının çıortayını Çizme 1. dım. dım eometrik Çizim Sembol ve österimler n, n T T S S Pergelin sivri ucu noktasına konularak açının kollarını T ve S noktalarında kesen bir yay çiziniz. 3. dım Pergeli TS nun yarısından fazla olacak şekilde açınız ve merkezi S olan bir yay çiziniz. 4. dım T N T N S S Pergelin açıklığını bozmadan merkezi T olan ve bir önceki yayı kesen farklı bir yay çiziniz. Yayların kesim noktasını N olarak isimlendiriniz. ile N noktalarını cetvelle birleştiriniz. 776 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

5 çıortay Yukarıdaki geometrik çizim çalışması sonucunda pergel ve cetvel kullanarak W nın açıortayını çizdiniz. Şimdi de çizmiş olduğunuz [N nın niçin W nın açıortayı olduğunu inceleyelim: T S N İlk çizilen yayın merkezi noktası ve bu yay açının kollarını T ve S noktalarında kestiğinden 6S@ b 6T@ ( 6S@ ve 6T@, merkezli çemberin yarıçapları)dir. enzer sebepten dolayı 6SN@, 6TN@ dir. yrıca 6N@, 6N@ olduğundan... eşlik kuralına göre TN b SN dir. ş üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan TN, SN olur. öylece [N, W nı iki eş parçaya ayırır. onu başında yapılan etkinlikte bir açının açıortayı üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklıkları arasındaki ilişkiyi incelemiştik. şağıdaki teorem bu ilişkiyi göstermektedir. nahtar ilgi şağıdaki şekilde açının oluşturduğu iç ve dış bölgeler gösterilmiştir. Teorem İç bölge ış bölge N ir açının açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. İspat: Verilenler: [N, nın açıortayı; [N, [] ^ [ ve [] ^ [ İstenen: = [N açıortay ise mn ( ) = mn ( ) dir. m ( ) = m ( ) = 90 olduğundan üçgeni ile üçgenlerinin üçüncü açılarının ölçüleri de eşit olur. _, b O halde, 6@, 6@ ` ise... eşlik kuralına göre, elde edilir., b a Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 777

6 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları ş üçgenlerin karşılıklı kenarları eş olacağından = olur. u teorem, [N açıortayı üzerinde alınan her noktanın, açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu göstermektedir., eşliği aynı zamanda = olduğunu da göstermektedir. Sonuç Yukarıdaki teorem bir üçgenin açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu belirtmektedir. u teoremin karşıtı da doğrudur. ir açının iç bölgesinde alınan bir nokta açının kollarına eşit uzaklıkta ise bu nokta açının açıortayı üzerindedir. 1 7 cm x N Yandaki şekilde na ait açıortay [N olmak üzere [N açıortayı üzerinde alınan noktasının [] na olan uzaklığı 7 cm ise bu noktanın [] na olan uzaklığını bulalım. çıortay üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklığı eşit olduğundan = = 7 cm olur. 5 cm 5 cm 5x 3x + 0 Yandaki şekilde verilen noktası nin iç bölgesindedir. noktasının nın kollarına olan uzaklıkları 5 er cm dir. m ( ) = 5x - ve m ( ) = 3x + 0 olduğuna göre m ( ) nın kaç derece olduğunu bulalım. 778 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

7 çıortay noktası nın kollarına eşit uzaklıkta olduğundan bu nokta W nın açıortayı üzerindedir. çıortay bir açıyı iki eş parçaya ayırdığından m ( ) = m ( ) olur. Verilenler yerine yazılırsa 3x + 0 = 5x ve buradan x = 11 olarak bulunur. m ( ) = = 53 dir. 3 ir faul atışında, kalecinin kaleye gelen topu kurtarabilmesi için, topun izleyebileceği yollara eşit uzaklıkta olması gerekir. ksi takdirde kalenin bir tarafını daha çok açık bırakmış olur ki bu onun o tarafa uzanabilme potansiyelini düşürür. una göre kalecinin topun kaleye geldiği anda nasıl bir pozisyon alması gerektiğini bulalım. alecinin iyi pozisyon alması ve kalenin bir tarafını açık bırakmaması için, topun izleyebileceği en uç yollara (gol olmasını sağlayacak yollar) eşit uzaklıkta olması gerekir. olayısıyla kale direklerinin zemine değdiği noktaları ve, topun bulunduğu konumu noktası olarak isimlendirirsek, bir açının açıortayı üzerinde bulunan her nokta açının kollarına eşit uzaklıkta olduğundan kalecinin nın açıortayı üzerinde olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 779

8 MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin bir iç açıortayının bu açının karşısındaki kenar üzerinde oluşturduğu doğru parçalarının uzunlukları ile üçgenin o açıyı oluşturan kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 dım dım 3 N inamik geometri yazılımı yardımıyla bir üçgeni çiziniz. üçgeninin açısına ait açıortayını çiziniz. u açıortayın kenarını kestiği noktayı N olarak isimlendiriniz. Yazılımın uzunluk ölçme özelliğini kullanarak üçgeninin ve kenar uzunlukları ile [N] ve [N] nın uzunluklarını bulup aşağıya yazınız. =... =... N =... N =... dım 4 Yazılımın ilgili özelliğini kullanarak uzunlukları aşağıdaki gibi oranlayınız. lde ettiğiniz oranlar arasındaki ilişkiyi yazınız. =... N =... N dım 5 üçgenini köşe noktalarından hareket ettirerek farklı üçgenler oluşturunuz. Oluşan her yeni üçgen için N ile oranlarındaki ilişkiyi inceleyiniz. ördüncü N adımda elde etiğiniz ilişki değişiyor mu?... dım 6 üçgeninin ve açılarına ait iç açıortaylarını çiziniz. üçgeninin iç açıortaylarının tümü aynı noktada mı kesişmektedir?... dım 7 üçgenini köşe noktalarından hareket ettirdiğinizde a. Oluşan dar açılı üçgenler için iç açıortaylar tek bir noktada mı kesişmektedir? b. Oluşan dik üçgenler için iç açıortaylar tek bir noktada mı kesişmektedir? c. Oluşan geniş açılı üçgenler için iç açıortaylar tek bir noktada mı kesişmektedir? ç. üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktası her zaman üçgenin iç bölgesinde midir? Sonuç Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalar sonucunda bir üçgenin bir iç açıortayının karşı kenarda ayırdığı parçalarla üçgenin diğer kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi ve üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası için elde ettiğiniz ilişkiyi yazınız Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

9 çıortay Üçgenin İç çıortayları ir üçgenin herhangi bir iç açısını eş iki parçaya bölen ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına, n n üçgenin o köşesine ait iç açıortayı denildiğini öğrenmiştik. Yandaki üçgeninde [N], W nı eş N iki açıya böldüğünden, açıortaydır. ir üçgeninin açısına ait açıortayın uzunluğu genellikle n ile gösterilir. ir üçgeninin açısına ait iç açıortayın karşı kenarı kestiği N noktasının karşı kenar üzerinde oluşturduğu [N] ve [N] nın uzunlukları ile üçgenin ve kenarlarının uzunlukları arasında bir ilişki bulunmaktadır. şağıdaki teorem bu ilişkiyi ifade etmektedir. İç çıortay Teoremi Teorem ir üçgende, herhangi bir iç açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, diğer iki kenarın uzunlukları oranına eşittir. N Yandaki şekilde [N], açısının açıortayı olmak üzere N N = dir. İspat: Verilenler: [N], W nın açıortayı N İstenen: N = noktasından geçen ve [N] na paralel olan bir doğru çizelim. u doğru kenarının uzantısını noktasında kessin. una göre, mn ( ) = mn ( ) (verilen) mn ( ) = m ( ) (yöndeş açılar) olduğundan mn ( ) = m ( ) (iç ters açılar) 1443 N m( ) = m ( ) bulunur. u durumda, üçgeni, ikizkenar üçgen olduğundan = olur. üçgeninde, [N] // [] olduğundan temel orantı teoremine göre, N = olur. = olduğundan bu eşitlikte N N yerine yazılırsa = elde edilir. N Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 781

10 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 1 6 Yandaki üçgeninde [], açısına ait açıortaydır. = 4 cm 4 = 6 cm = cm olduğuna göre nu bulalım. üçgeninde [] açısına ait açıortay olduğundan, İç çıortay Teoremine göre = dir. una göre, 4 = den, = 3 cm olarak bulunur. 6 6 Yandaki şekilde [] ve [] sırasıyla ve açılarının açıortaylarıdır. = 6 br, = 8 br ve = 1 br 8 1 ise nun kaç br olduğunu bulalım. nahtar ilgi ve üçgenlerinde [] ve [] sırasıyla ve açılarının açıortaylarıdır. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremi uygulanırsa, =... (*) dir. d c a b una göre a c =b d dir. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, =... (**) dir. (*) ve (**) dan 6 una göre, = orantısı elde edilir. 8 = den = 9 br olarak bulunur Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

11 çıortay Yandaki şekilde [] ve [] sırasıyla ve nın açıortaylarıdır. [] [] = {} = 4 br = 70 br = 56 br ise nu bulalım. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremi uygulanırsa, =... (*) dir. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremi ne göre, =... (**) dir. (*) ve (**) dan una göre, = den = 35 br elde edilir. 56 = x br olsun. una göre, = 35 x br olur. = orantısı elde edilir. [], üçgeninde açısına ait açıortay olduğundan, İç çıortay Teoremi ne göre, 4 x 3 x = orantısından, = & = x x den 105 3x = 4x ise 7x = 105 olur. uradan x = 15 br olarak bulunur Yandaki şekilde [], nın açıortayıdır., [] nın orta noktası = 6 br = 8 br = 4 br ise nu bulalım. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 783

12 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, 6 = elde edilir. una göre, = 6k, = 8k olarak alı- 8 nabilir. = orantısından,, [] nın orta noktası olduğundan = = 4k olur. [], üçgeninde V nın açıortayı olduğundan, İç çıortay Teoremine göre, = orantısından, 6k 4k = eşitliğinden = 6 br elde edilir. 4 Üçgenin iç açıortaylarını gözlemlediğiniz atölye çalışmasında üçgenin iç açıortaylarının bir noktada kesiştiğini belirlemiştiniz. Şimdi ulaşmış olduğunuz bu sonucu teorem olarak ifade edelim ve üçgenin iç açıortaylarının neden bir noktada kesiştiğini ispatlayalım. Teorem I R Üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişir. N İspat Verilenler: bir üçgen; [N], [R], [] sırasıyla, ve açılarının iç açıortayları İstenen: [N] [R] [] = {I} I R ve açılarının açıortaylarını çizelim. u açıortaylar I noktasında kesişsin. 784 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

13 çıortay I R I noktasından üçgenin kenarlarına dik doğrular çizelim. çıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan I = I ve I = I olur. uradan I = I elde edilir. I R I noktası ile noktasını birleştirelim. ir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta bu açının açıortayı üzerinde olduğundan [I] açıortay olur. ir diğer ifadeyle üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişir. Yukarıdaki teoremde, iç açıortayların kesişimi olan I noktasının üçgenin kenarlarına olan uzaklıklarının birbirine eşit olduğu görülmektedir. u nedenle aşağıdaki sonucu yazabiliriz. nahtar ilgi Üçgenin iç açıortayları daima üçgenin iç bölgesinde kesişir. u nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Sonuç Üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası üçgenin kenarlarından eşit uzaklıktadır. İç açıortayların kesim noktası olan I, üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta olduğundan, I noktasını merkez, bu noktanın kenara olan uzaklığını da yarıçap kabul eden bir çember çizilebilir. u çembere üçgenin iç teğet çemberi denir. şağıdaki şekillerde bazı üçgenlerin iç teğet çemberleri gösterilmiştir. nahtar ilgi d R R R O N ar çılı Üçgen N ik Üçgen N eniş çılı Üçgen d doğrusu ile O merkezli çember tek noktada kesişirse d doğrusu çembere teğettir denir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 785

14 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları şağıdaki çizim çalışmasında verilen bir üçgenin iç teğet çemberinin dinamik geometri yazılımı kullanılarak nasıl çizilebileceği adım adım gösterilmiştir. Üçgenin İç Teğet Çemberini Çizme eometrik Çizim 1. dım. dım I R I R N ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni çiziniz. Yazılımın çıortay özelliğini kullanarak üçgeninin iç açılarının açıortaylarını çiziniz. çıortayların kesim noktasını I olarak isimlendiriniz. Yazılımın ik oğru özelliğini kullanarak I noktasından kenarlardan herhangi birine dik doğru çiziniz. u dik doğrunun kenarı kestiği noktayı olarak isimlendiriniz. 3. dım 4. dım R Üçgeninizi köşelerinden tutarak hareket ettiriniz. Üçgenin farklı durumları için içteğet çemberi inceleyiniz. N Yazılımın Çember özelliğini kullanarak merkezi I olan ve noktasından geçen bir çember çiziniz. 786 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

15 çıortay 5 I 4 x 4 8 Yandaki şekilde, bir üçgen ve I noktası da bu üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. = 8 br I = = 4 br ise nu bulalım. α α k 8 I k 4 β β β x 4 I noktası üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğundan bu nokta iç açıortayların kesim noktasıdır. [I] açıortay olduğundan, üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, I I = eşitliğinden I I una göre, I = k ise I = k olur. 8 = = olur. 4 m ^ h= ave mi ^ h= b olsun I = = 4 br olduğundan I üçgeni ikizkenar üçgen ve m( I) = m( I) olur. ir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğundan I üçgeninde, m( I) = α+ β ve m( I) = α+ β olur. m( ) = m( ) + m( ) eşitliğinden α+ β = α + m ( ) olup m ( ) = β olur. m ( ) = m( I) = β ve m ( ) = m( I) = a olduğundan.. benzerlik kuralına göre, + I dır. = x olsun. una göre, I = eşitliğinden I 3k x = ise x = 6 br bulunur. k 4 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 787

16 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları x I 5 Yandaki üçgeninde I noktası iç teğet çemberin merkezi = 5 br = 3 br = 6 br ise = x kaç birimdir? 6 x = 9k 3 3t I 5 5t 5k ir üçgenin iç teğet çemberinin merkezi iç açıortayların kesim noktası olduğundan, [] ve [], sırasıyla ve açılarının açıortayıdır. İç açıortaylar tek noktada kesiştiğinden [I], açısının açıortayı olur. [], açısının açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, 9 = eşitliğinden = den = 9k olarak alınırsa, = 5k olur. 5 I 3 I üçgeninde [I] açıortay olduğundan, = eşitliğinden = eşitliğinden I 5 I I = 3t ise, I = 5t olur. üçgeninde [I] açıortay olduğundan, I = eşitliğinden, I = x = 9k = = br bulunur t 5 = den k = br bulunur. 14k 5t 7 Üçgenin ış çıortayları ir üçgenin herhangi bir iç açıortayının karşı kenar üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının üçgenin diğer kenar uzunlukları ile orantılı olduğunu öğrendik. şağıdaki teorem benzer bir ilişkinin dış açıortaylar için de geçerli olduğunu ifade etmektedir. ış çıortay Teoremi Teorem ir üçgeninde, açısının dış açıortayı kenarının uzantısını noktasında kesiyorsa, = dir. 788 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

17 çıortay İspat Verilenler: bir üçgen, [], W nın dış açıortayı İstenen: = noktasından doğrusuna paralel olan bir doğru çizelim. u doğru kenarını noktasında kessin. m ( ) = m ( ) (iç ters açılar) m( ) = m ( ) (yöndeş açılar) m( ) = m ( ) 13 olduğundan u durumda üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Yani, = dir. üçgeninde, [] // [] olduğundan, Temel Orantı Teoremi nden, = olur. u eşitlikte yerine yazılırsa = olur. 7 Yandaki şekilde [], üçgeninin açısının dış açıortayı 5 = 5 br, = olduğuna göre nu bulalım. ış çıortay Teoremi ne göre = olduğundan + 5 = 5 dir. 10 uradan 5 = + 10 ve buradan = br olarak bulunur. 3 8 Yandaki şekilde m ( ) = m ( ) 4 3 = = = 4 br olduğuna göre nu bulalım. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 789

18 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 180 α α α m ( ) = a olarak alalım. m ( ) = m ( ) olduğundan m ( ) = a olur. 3k k uradan m ( ) = 180 -a dır. = olduğundan m ( ) = 180 -a elde edilir. α 180 α 4 3k nin kenarını doğrultusunda uzatalım ve,, noktaları doğrusal olacak şekilde bir noktası alalım. u durumda m ( ) = a olmalıdır. uradan [], açısının dış açıortayı olur. 3 = = olduğundan = k dersek = = 3k olur. ış çıortay Teoremine göre, = ve buradan 4 = denklemi elde edilir. 4+ 3k 3 u denklem çözülürse 8 + 6k = 1 ise k = olur. = 3k+ 4 = = 6br elde 3 3 edilir. 4 9 x N Yandaki üçgeninde [], açısına ait iç açıortay ve [N], açısına ait dış açıortaydır. = 4 br, = br, N = x ise x değerini bulalım. [], üçgeninde açısına ait iç açıortay olduğundan İç çıortay Teoremine göre, =... (*) dir. [N], aynı üçgende açısına ait dış açıortay olduğundan, ış N N çıortay Teoremine göre, =... (**) dir. (*) ve (**) dan = elde edilir. N N 4 6 x olayısıyla, = + orantısından, 4x = 1 + x den x = 6 br elde edilir. x Sonuç üçgeninde, açısının iç açıortayı [] ve dış açıortayı [] ise, = dir. 790 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

19 MTMTİ TÖLYSİ Önceki çalışmalarımızda üçgenin iç açıortaylarının bir noktada kesiştiğini öğrenmiştik. u atölye çalışmasında bir üçgenin iki dış açıortayının kesim noktasının sahip olduğu özelliği inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 inamik geometri yazılımını kullanarak bir üçgeni çiziniz. dım ve açılarının dış açıortaylarını çiziniz. u açıortayların kesim noktasını olarak isimlendiriniz. dım 3 noktası ile üçgeninin köşesini doğru parçası ile birleştiriniz. dım 4 Oluşan ile nın ölçülerini yazılımın ilgili özelliğini kullanarak bulunuz ve aşağıdaki tablonun ilk satırına yazınız. rdından üçgenini köşe noktalarından sürükleyiniz. m^ h ve m^ h nün farklı değerleri için tablonun diğer satırlarını doldurunuz. m( ) m( ) Sonuç lde ettiğiniz sonuçlara göre bir üçgenin iki dış açıortayının kesim noktası hakkında ulaştığınız sonucu açıklayınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 791

20 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları nahtar ilgi ir üçgende iki dış açıortay ile bu dış açılara komşu olmayan iç açının açıortayı tek noktada kesişir. Üçgenin dış açıortaylarının kesişimi ile ilgili yaptığınız atölye çalışmasında üçgenin iki köşesine ait dış açıortayların ve diğer köşeye ait iç açıortayın bir noktada kesiştiğini belirlemiştiniz. Ulaşmış olduğunuz bu sonucun tüm üçgenlerde niçin geçerli olduğu aşağıda açıklanmıştır. üçgeninde ve açılarının dış açıortayını çizelim. u açıortaylar noktasında kesişsin. L noktasından üçgenin kenarlarına dik doğrular çizelim. çıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan = L ve M = L olur. uradan M = elde edilir. M L noktası ile noktasını birleştirelim. M = ve bir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta bu açının açıortayı üzerinde olduğundan [] açısının açıortayı olur. ir üçgenin iki dış ve bunlara komşu olmayan iç açısının iç açıortayının bir noktada kesiştiğini gösteren yukarıdaki açıklamadan, noktasının üçgenin kenarlarına veya kenarlarının uzantılarına olan uzak- M lıkları arasında, = L = M ilişkisinin olduğu görülebilir. olayısıyla noktasını merkez, bu noktanın kenarlara olan uzaklığını yarıçap kabul eden bir çember çizilebilir. u çembere üçgenin dış teğet çemberi denir. ir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır. ış teğet çemberlerin merkezleri genellikle I a, I b ve I c ile gösterilir. şağıdaki şekilde üçgenin dış teğet çemberleri gösterilmiştir. 79 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

21 çıortay I c I b şağıdaki çizim çalışmasında verilen bir üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin dinamik geometri yazılımı kullanılarak nasıl çizilebileceği gösterilmiştir. I a Üçgenin dış teğet çemberini çizme 1. dım eometrik Çizim. dım ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni çiziniz. Yazılımın çıortay özelliğini kullanarak ve açılarının dış açıortaylarını çiziniz. çıortayların kesim noktasını olarak isimlendiriniz. 3. dım Yazılımın ik oğru özelliğini kullanarak noktasından kenarlardan herhangi birine dik doğru çiziniz. u dik doğrunun kenarı kestiği noktayı olarak isimlendiriniz. 4. dım enzer şekilde üçgenin diğer dış teğet çemberlerini de çiziniz. Üçgeninizi köşelerinden tutarak hareket ettiriniz. Üçgenin farklı durumları için dış teğet çemberleri inceleyiniz. Yazılımın Çember özelliğini kullanarak merkezi olan ve noktasından geçen bir çember çiziniz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 793

22 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Üçgenin çıortaylarının Oluşturduğu çıların Ölçüsü u bölümde üçgenin açıortaylarının kesişimleri ile oluşan açılar incelenecektir. unun için aşağıdaki örnek durumu inceleyelim. Müzikte bir çalgı aleti olarak kullanılan üçgen çalgının iç kısmına şekildeki gibi metalden yeni bir bölme yapılmak isteniyor. u yeni bölmenin köşe noktası olan nin, köşeleri, ve ile gösterilen üçgen çalgının kenarlarına eşit uzaklıkta olması isteniyor. Oluşan açısının ölçüsü ile açısının ölçüsü arasındaki ilişkiyi bulalım. Üçgen çalgı köşeleri olan,, noktaları ile bir üçgeni oluşturalım. noktası üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan iç teğet çemberinin merkezi ve dolayısıyla noktası aynı zamanda üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktasıdır. m( V) m( W ) una göre m ( ) = ve m ( ) = dir. üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180 ve m( V) m( W ) m ( ) + + = 180 olduğundan m( V) + m( W ) m ( ) = (*) olur. üçgeninde m( W ) + m( V) + m( W ) = 180 olduğundan m( V ) + m( W ) = m( W )... (**) dir. (**) eşitliğindeki 180 m( W ) değeri (*) de yerine yazarsak m( V) + m( W ) m( W ) m ( ) = = olduğundan m( W ) m ( ) = 90 + elde edilir. açısının ölçüsü açısının ölçüsünün yarısına 90 eklenerek bulunur. enzer şekilde üçgenin diğer açıortaylarının oluşturduğu açılar da bulunabilir. 794 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

23 çıortay şağıdaki tabloda bu ilişkiler sunulmuştur. üçgeninde [] ve [] iç açıortaylar olmak üzere m( W ) m ( ) = 90 + dir. üçgeninde [T] ve [T] dış açıortaylar olmak üzere T m( W ) m ( T) = 90 - dir. üçgeninde [S], açısına ait dış açıortay ve [S], açısına ait iç açıortay olmak üzere S ms ( ) = m( W ) dir. 1 Yandaki üçgeninde [I] ve [I] sırasıyla ve açılarına ait iç açıortaylardır. m ( ) = 70 ise m( I) değerini bulalım. 70 I m ( ) [I] ve [I] iç açıortaylar ve m( I) = m( I) = 90 + = = 15 elde edilir. olduğundan Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 795

24 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Yandaki şekilde m( I) = 75 m ( ) = 30 m ( ) = 70 ve I m( I) = 55 ise m( I ) kaç derece olduğunu bulalım Yandaki gibi [ ve [ olacak şekilde ve noktaları belirleyelim. m( I ) + m( I) + m ( ) = 180 olduğundan m( I ) = 75 ve m( I) + m( I ) + m( ) = 180 eşitliğinden m( I) = 55 bulunur. I olayısıyla [I] ve [I], üçgeninde sırasıyla ve açılarının dış açıortayları olur. ir üçgende iki dış açıortay ve diğer köşeye ait bir iç açıortay bir noktada kesiştiklerinden [I], üçgeninde açısına ait iç açıortay olur. ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 olduğundan, m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180 eşitliğinden m ( ) = 80 olur. ( ) [I] açıortay olduğundan m( m 80 I ) = = = 40 bulunur. 796 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

25 NİMİZİ SINYLIM çıortay avrama ve Muhakeme 1. şağıdaki şekillerden hangilerinde noktasının açısının açıortayı üzerinde olduğu kesinlikle söylenebilir? a. b. 3 c P a. T R H = b.? P P Yandaki şekilde noktası üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ve noktası ise dış teğet çemberlerden birinin merkezidir. una göre aşağıda soru işareti ile gösterilen ifadeleri bulunuz.? =. şağıdaki ifadelerin önlerindeki boşluğa doğru olanlar için, yanlış olanlar için Y yazınız. a. (...) ar açılı bir üçgende iç teğet çemberin merkezi üçgenin içindedir. b. (...) ik üçgende üçgenin iç teğet çemberinin merkezi üçgenin hipotenüsü üzerindedir. c. (...) eniş açılı üçgende üçgenin iç açıortayları aynı noktada kesişmezler. ç. (...) Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi daima üçgenin iç bölgesindedir. d. (...) ir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır. 4. O 6 13 O = 6 cm, O = 13 cm veriliyor. Yandaki şekilde [O, O nın açıortayı olmak üzere bu açıortay üzerindeki ve noktalarından O nın kollarına dikmeler çiziliyor. una göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına, yanlış olanların yanına Y yazınız. a. (...) O = 6 cm b. (...) O =13 cm c. (...) = 7 cm ç. (...) = 5 cm Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 797

26 çıortay NİMİZİ SINYLIM 1.. lıştırmalar 8 6 Yandaki üçgeninde = 16 br 16 = 1 br α 1 = 8 br = 6 br m ( ) = a olduğuna göre m ( ) nin a cinsinden değeri nedir? = 6 cm, = 9 cm, = 4 cm Şekildeki üçgeninde nde [], W nın açıortayı olduğuna göre kaçtır? 3. Şekildeki nde 5 4 [], V nın açıortayı = 4 cm = 5 cm olduğuna göre değeri kaçtır? H = 8 br, = 3 br olduğuna göre değeri kaçtır? N 8 40 m ( ) = 40 ise mn ( ) kaçtır? 70 I olduğuna göre m^ih kaçtır? H Yandaki üçgeninde [], açısının iç açıortayı ve [H] ise dış açıortayıdır. Yandaki üçgeninde [N], açısının iç açıortayı [], açısının dış açıortayı Şekildeki üçgeninde I, ve açılarının iç açıortayların kesim noktası ve m ( ) = Yukarıdaki üçgeninde [], açısının açıortayı, = 6 cm, = 3 cm, = 4 cm Yandaki şekilde I, üçgeninin, ve açılarının dış açıortaylarının kesim noktası ve m ( ) = 80 olduğuna göre kaçtır? m( I ) ise kaçtır? I 798 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

27 NİMİZİ SINYLIM çıortay N 3. I Şekildeki üçgeninde N noktası üçgenin dış teğet çemberinden birinin merkezi ve mn ( ) = 40 olduğuna göre m^h kaçtır? Uygulama ve Problem Çözme 9 olduğuna göre 1 6 oranı kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi = 1 br = 9 br = 6 br Şekildeki üçgeninde noktası iç teğet 8 çemberin 6 merkezi ve, ve noktaları doğrusaldır. = 8 br, = 6 br ve m( V) = 90 ise oranı kaçtır? 4. Yukarıdaki şekilde I ve noktaları sırasıyla üçgeninin iç teğet ve dış teğet çemberlerinin merkezileri ve m( I ) = 110 olduğuna göre m ( ) kaçtır? Şekildeki üçgen biçimindeki düzenekte sarı ışık kenarından mavi ışık ise kenarından içeriye dik olarak girmekte ve eşit hızda ilerlemektedir. Işıklar ilk kez kesiştiklerinde yeşil nokta oluşmaktadır. üzenekte =15 cm, = 9 cm, = 1 cm olduğuna göre [] kenarı üzerinde oluşan yeşil ışık ve köşelerine kaç cm uzaklıktadır? 5. Şekilde I, üçgeninin iç teğet çemberinin I merkezi ve, I, N doğrusal olmak üzere N 9 + = 15 cm = 9 cm I olduğuna göre IN oranı kaçtır? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 799

28 MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin ağırlık merkezini (üçgenin sınırladığı bölgenin ağırlık merkezi) nasıl belirleyeceğimizi ve ağırlık merkezinin üçgenin kenarortaylarıyla olan ilişkisini inceleyeceğiz. raç ve ereçler: arton kâğıt, makas, kalem, cetvel. dım 1 ir kartona üçgen çiziniz ve makasla kesip çıkarınız. dım aleminizin arka düz kısmı ile üçgeni zemine paralel olacak şekilde dengeye getiriniz. dım 3 Üçgen dengede iken kalemin üçgene değdiği noktayı olarak işaretleyiniz. dım 4 Üçgenin köşelerini,, olarak isimlendiriniz. etvelinizi kullanarak üçgenin köşeleri ile noktasından geçen doğrular çiziniz. u doğruların üçgenin kenarlarını kestiği noktaları,, ile gösteriniz. 800 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

29 MTMTİ TÖLYSİ dım 5 etvelinizi kullanarak üçgenin, ve kenarlarında oluşan doğru parçalarının uzunluklarını belirleyiniz ve aşağıdaki tabloda uygun boşluklara yazınız. [] kenarı [] kenarı [] kenarı =... =... =... =... =... =... dım 6 Tabloya göre üçgenin, ve kenarlarında oluşan doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklayınız. dım 7 etvelinizi kullanarak noktasının, üçgenin, ve köşeleri ile,, noktalarına olan uzaklıklarını ölçünüz. lde ettiğiniz sonuçları aşağıdaki tabloya yazınız. noktasının köşe noktalarına uzaklığı noktasının,, noktalarına olan uzaklığı Oranlar =... =... =... =... =... =... =... =... =... Tabloya göre noktasının üçgenin köşelerine olan uzaklıkları ile kenarlarına olan uzaklıklarının oranı arasındaki ilişkiyi açıklayınız Sonuç Yaptığınız işlemler sonunda üçgenin ağırlık merkezine ilişkin olarak belirlemiş olduğunuz özellikleri açıklayınız Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 801

30 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Neler Öğreneceğiz? Üçgenin kenarortaylarının kesim noktası ve kenarortayla ilgili özellikleri nahtar Terimler enarortay ğırlık merkezi Üçgende enarortay aşlarken nadolu nun en eski camilerinden biri olan Sivas Ulu amii, minaresinin eğikliği ile dikkat çekmektedir. aminin minaresi kendi eksenine göre 5 eğik durumdadır. Her yıl eğilmeye devam eden minarenin yıkılmaması için yenileme çalışmaları yapılmaktadır. Minarenin eğilmesine karşın henüz yıkılmamasının nedeni ağırlık merkezidir. inalarda ağırlık merkezinin en uygun noktada oluşturulması binanın her türlü yük altında daha dayanıklı olmasını sağlamaktadır. Sembol ve österimler V a unu biliyor muydunuz Önceki konularımızda bir üçgenin açıortaylarını ve bu açıortayların sahip olduğu temel özellikleri öğrendik. u konumuzda üçgenin diğer bir yardımcı elemanı olan kenarortayı ve temel özelliklerini öğreneceğiz. ir üçgende, bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait kenarortayı denildiğini öğrenmiştik. Yandaki şekilde üçgeninin kenarına ait kenarortayı çizilmiştir. üçgeninin a, b, c kenarlarına ait kenarortayların uzunlukları genellikle V a, V b ve V c ile gösterilir. Yapmış olduğunuz atölye çalışmasında bir üçgenin ağırlık merkezi ile ağırlık merkezinin üçgenin kenarortaylarıyla olan ilişkilerini belirlediniz. şağıdaki teorem bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini göstermektedir. Teorem ule yapan çocukların yaptıkları kulenin yıkılmaması için ağırlık merkezini doğru ayarlamaları gerekir. ir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir. 80 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

31 Üçgende enarortay İspat Verilenler: bir üçgen; [], [], [] sırasıyla, ve kenarlarına ait kenarortaylar unu biliyor muydunuz İstenenler: [] [] [] = {} ve kenarlarına ait ve kenarortaylarını çizelim. u kenarortaylar noktasında kesişsin. ve noktalarını birleştirelim. [] orta taban olduğundan [] // [] ve = dir. u durumda.. benzerlik kuralına göre + ve = = dir. Sivas Ulu ami nin minaresi 5 lik bir eğriliğe sahip olmasına karşın yıkılmamaktadır. unun nedeni minarenin ağırlık merkezinin düşey izdüşümünün, minarenin yer ile temas alanının içinde kalmasıdır. ğer önlem alınmaz ve minare eğrilmeye devam ederse, rüzgâr vb. dış kuvvetlerin etkisiyle minarenin ağırlık merkezi minarenin yer ile teması alanlarının dışına taşacak ve minare bu nedenle yıkılabilecektir. Şimdi de üçgeninde ve kenarlarına ait ve kenarortaylarını çizelim. u kenarortaylar noktasında kesişsin. ve noktalarını birleştirelim. [] orta taban olduğundan [] // [] ve = dir. u durumda.. benzerlik kuralına göre ' ' + ' ve = = dir. ' ve kenarlarına ait kenarortaylar, kenarına ait kenarortayı aynı oranda böldüğü için ve noktaları çakışıktır. u nedenle üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir. Yukarıdaki teorem üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini göstermektedir. İspattan da görülebileceği gibi bu nokta üçgenin kenarortaylarını belli bir oranda bölmektedir. şağıdaki sonuç bu durumu açıklamaktadır. unu biliyor muydunuz Planörün düzgün uçabilmesi için ağırlığın planörün kanatlarına eşit dağılabilmesi gerekir. u yüzden planöre binecek olan pilot, planörün ağırlık merkezinde bulunmalıdır. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 803

32 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları nahtar ilgi Sonuç enarortayların kesim noktası niçin üçgenin ağırlık merkezidir? ildiğiniz gibi bir doğru parçasının orta noktası bu doğru parçasının denge noktasıdır. m n k m k n ir üçgenin kenarortaylarının kesim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir. ğırlık merkezi üçgenin kenarortaylarını ye 1 oranında böler. =, =, = dir. ir üçgeninin sınırladığı bölge şekilde de görüldüğü gibi [] ye paralel doğru parçalarıyla doldurulabilir. u doğru parçalarının denge noktaları üçgeninin [] kenarına ait kenarortayını oluşturur. u nedenle üçgeninin ağırlık merkezi bu kenarortay üzerinde olur. enzer durum diğer kenarortaylar için de geçerlidir. O halde üçgenin ağırlık merkezi bu kenarortayların kesim noktasıdır. 1 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi = (4x ) br = (x + 3) br olduğuna göre nu bulalım. noktası, üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan = dir. 4x uradan - = orantısından x = 4 br olarak bulunur. = + olduğundan = 4x + x + 3 = 5x + 1 ve buradan = = 1 br x + 3 olur. Yandaki üçgeninde [] [] = {} 3 = = = cm = 3 cm olduğuna göre üçgeninin çevresinin tam sayı olarak en az ve en çok kaç cm olacağını bulalım. 804 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

33 Üçgende enarortay =, = ve [] [] = {} olduğundan noktası nin ağırlık merkezidir. noktası üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan = cm ise = = 4 cm ve = 3 cm ise = = 6 cm olur. üçgeninde üçgen eşitsizliğine göre, 6 4 < < ve < < 10 yazılır. üçgeninin çevresi kenar uzunluklarının toplamı olduğundan, < < ve 1 < Ç( ) < 0 bulunur Çevre O halde üçgeninin çevresi tam sayı olarak en az 13 cm ve en fazla ise 19 cm olarak bulunur. 3 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. 6 x [] ve [], açısının açıortayıdır. = 6 br olduğuna göre = x değerini bulalım. noktası üçgeninin ağırlık merkezi ve [] olduğundan [], kenarına ait kenarortay olup = dir. [], açısının açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, = eşitliği yazılabilir. uradan 6 = eşitliğinden = 3 br bulunur. [] kenarortay olduğundan = dir. olayısıyla = x = 3 br elde edilir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 805

34 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 4 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. T L [L] [] = {T} T = cm olduğuna göre nu bulalım. nahtar ilgi 3k L k k N M Üçgenin ağırlık merkezi ile orta tabanın kenarortay üzerinde ayırdığı uzunluklar köşeden başlamak üzere 3,1 ve sayılarıyla orantılıdır. L = 3k L = k N = k nahtar ilgi x T L T = x cm olsun. [L] // [] olduğundan TL + dir. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olduğundan = olur. L T 1 x u orantıdan = ve = x elde edilir. = T + + eşitliğinden = x olarak bulunur. üçgeninde noktası ağırlık merkezi olduğundan = ve x + = (x ) eşitliğinden x = 6 cm elde edilir. = x = 6 = 1 cm olarak bulunur. 5 4x H x + 6 Yandaki şekilde noktası üçgenin ağırlık merkezi H [] ve [H] // [] dir. H = 4x H = x + 6 olduğuna göre nu bulalım. k k M Üçgenin herhangi bir kenarortayı üzerinde alınan bir nokta, kenarortay uzunluğunu ye 1 oranında bölüyorsa bu nokta ağırlık merkezidir. 4x H x + 6 kenarına ait kenarortayını çizelim. noktası ağırlık merkezi olduğu için, = dir. [H] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine H göre, = eşitliği yazılabilir. H 4x u eşitlikten, = ve x = 6 cm elde edilir. x + 6 = H + H = 5x + 6 = = 36 cm olarak bulunur. 806 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

35 Üçgende enarortay İnceleyelim Yandaki üçgeninde [], kenarına ait kenarortay = 6 br = 3 br = 5 br Üçgenin ağırlık merkezinden yararlanarak dörtgenlerin ağırlık merkezlerini belirleyebiliriz. unun için aşağıdaki etkinliği yapabilirsiniz. ir kartona dörtgeni çizip makasla kesiniz. ise nu bulalım. 6 [] kenarortay ve = = olduğundan noktası üçgeninin ağırlık merkezi 3 olur. noktası ağırlık merkezi olduğundan [], kenarına ait kenarortay ve = dir. uradan = ve = 10 br olarak bulunur. Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi m ( ) = 130 = ise m ( ) değerini bulalım. etvelinizi kullanarak dörtgeninin [] nı çizerek dörtgeni iki üçgene ayırınız. u üçgenlerin ağırlık merkezlerini bularak 1 ve ile gösteriniz. 1 [] nı uzatarak kenarını kestiği noktayı ile isimlendirelim. [] kenarortay ve ağırlık merkezi olduğundan, = dir., [] nin orta noktası olduğundan 130 = = ve = olduğundan, = = elde edilir. m ( ) + m ( ) = 180 olduğundan m ( ) = 50 dir. üçgeni ikizkenar üçgen ve üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 180 olduğundan m ( ) = 80 bulunur. ikizkenar üçgeninde m ( ) + m ( ) = m ( ) = 80 olduğundan m ( ) = 40 dir. m ( ) + m ( ) + m ( ) + m ( ) = 360 olduğundan m ( ) = 360 dir. u eşitlikten m ( ) = 140 olarak bulunur. enzer şekilde [] nı çiziniz ve aynı işlemleri yapınız. Oluşan bu iki üçgenin ağırlık merkezini 3 ve 4 ile gösteriniz. 3 4 [ 1 ] ve [ 3 4 ] doğru parçalarının kesim noktasını belirleyiniz. lde ettiğiniz nokta dörtgenin ağırlık merkezidir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 807

36 Üçgende enarortay NİMİZİ SINYLIM avrama ve Muhakeme 1. şağıda verilen boşlukları uygun ifadelerle tamamlayınız. a. Üçgenin ağırlık merkezi üçgenin... kesim noktasıdır. 3. Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. = 1 cm b. ir üçgende ağırlık merkezi kenarortayları... oranında böler. olduğuna göre kaçtır? lıştırmalar 1. 3x x 5 + = 5x + olduğuna göre kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi = 3x Yukarıdaki üçgeninde =, = 4 br, = br, = 3 br ise kaçtır?. noktası üçgeninin, noktası üçgeninin ağırlık merkezleridir. = 18 cm ise kaçtır? ise + kaçtır? [], üçgeninde kenarının kenarortayı [] // [] = 15 cm = 6 cm 808 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

37 NİMİZİ SINYLIM Üçgende enarortay 1. Uygulama ve Problem Çözme 1 M Yandaki şekilde noktası üçgeninin, M noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. [] // [] // [] ve = 1 br 3. ise kaçtır? [] ve [], üçgeninin sırasıyla ve kenarlarına ait kenarortaylarıdır. [] // [] = 18 cm olduğuna göre; a. ve kaçtır? b. kaçtır?. + + kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi ve üçgeninin kenarortaylarının uzunlukları toplamı 45 cm olduğuna göre, 4. ise kaçtır? noktası üçgeninin ağırlık merkezi [] // [] = cm Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 809

38 Üçgende enarortay NİMİZİ SINYLIM 5. Ç evre( ) una göre oranı kaçtır? Ç evre( ) Yanda verilen şekilde, ve noktaları üçgeninin kenarlarının orta noktalarıdır olduğuna göre + kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgenin, noktası üçgeninin ağırlık merkezleri,,,, ve,, noktaları doğrusal = cm = 8 cm 6. 4 [] ve [], üçgeninin sırasıyla ve kenarlarına ait kenarortaylardır. =,, noktaları doğrusal ve = 4 cm ise kaçtır? 8. olduğuna göre kaçtır? x + 3x-6 Yandaki üçgeninde [] ve [] üçgeninde kenarortaydır. = x + = 3x Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

39 NİMİZİ SINYLIM Üçgende enarortay 9. L 6 4 olduğuna göre L + kaçtır? [] ve [] üçgeninde sırasıyla ve kenarlarına ait kenarortaylar [] // [] [] // [] L = 4 cm = 6 cm 1. H ise H = olduğunu gösteriniz. 6 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi = 10. üçgeninde iç teğet çemberin merkezi ağırlık merkezi [] // [] 13. = 3 cm = 1 cm = 16 cm 4 H L d ise kaçtır? Yukarıdaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. noktasından geçen bir d doğrusu üçgenin ve kenarlarını sırasıyla ve noktalarında kesiyor. 11. üçgeninin kenarlarının orta noktaları,, olsun. üçgeninin kenarortaylarının uzunlukları toplamı 60 cm ise,, noktalarını köşe kabul eden üçgeninin kenarortaylarının uzunlukları toplamı kaç cm dir? [H] ^ d, [] ^ d, [L] ^ d = 4 br, L = br olduğuna göre H kaçtır? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 811

40 MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin kenar orta dikmelerinin ve yüksekliklerinin kesim noktalarını inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 ir üçgeni çiziniz. üçgeninin kenarlarının orta noktalarını bulunuz. u noktalardan üçgeninin kenarlarına dikmeler çiziniz. (ynı işlemi yazılımın orta dikme özelliğini kullanarak da yapabilirsiniz.) H dım Çizdiğiniz kenar orta dikmelerinin kesim noktasını gözlemleyiniz. Tüm kenarların orta dikmeleri aynı noktada mı kesişmektedir?... dım 3 üçgenini köşe noktalarından tutarak sürükleyiniz. Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişimlerini gözlemleyerek aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Oluşan dar açılı üçgenler için kenar orta dikmeler tek noktada mı kesişmektedir? b. Oluşan dik üçgenler için kenar orta dikmeler tek noktada mı kesişmektedir? c. Oluşan geniş açılı üçgenler için kenar orta dikmeler tek noktada mı kesişmektedir? üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası her zaman üçgenin iç bölgesinde midir? çıklayınız Sonuç Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalar sonucunda üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası için elde ettiğiniz ilişkileri yazınız Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

41 MTMTİ TÖLYSİ dım 4 Yazılımın ilgili özelliğini kullanarak çizdiğiniz kenar orta dikmeleri gizleyiniz. Şimdi de üçgeninin her bir kenarına ait yükseklikleri çiziniz. dım 5 Çizdiğiniz yüksekliklerin kesim noktasını gözlemleyiniz. ütün kenarlara ait yükseklikler aynı noktada mı kesişmektedir?... dım 6 üçgenini köşe noktalarından tutarak sürükleyiniz. Üçgenin yüksekliklerinin kesişimlerini gözlemleyerek aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Oluşan dar açılı üçgenler için yükseklikler tek noktada mı kesişmektedir? b. Oluşan dik üçgenler için yükseklikler tek noktada mı kesişmektedir? c. Oluşan geniş açılı üçgenler için yükseklikler tek noktada mı kesişmektedir? üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası her zaman üçgenin iç bölgesinde midir? çıklayınız Sonuç Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalar sonucunda üçgenin yüksekliklerinin kesim noktası için elde ettiğiniz ilişkileri yazınız Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 813

42 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Neler Öğreneceğiz? Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasını Üçgenin çevrel çemberini Üçgenin yüksekliklerinin kesim noktasını Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri aşlarken Çekül, bir ipin ucuna küçük bir ağırlık bağlayarak düz, dikey bir çizginin elde edilmesi amacıyla oluşturulmuş bir araçtır. Marangozlar ve inşaat ustaları çekül kullanarak yaptıkları mobilya ya da duvarların zemine dik ve düz bir yüzey oluşturup oluşturmadığını belirler. nahtar Terimler Orta dikme Çevrel çember Yükseklik iklik merkezi P ir doğru parçasına orta noktasından dik olan doğruya, orta dikme denir. Yandaki şekilde P doğrusu [] nın orta dikmesidir. şağıdaki çizim çalışmasında pergel-cetvel kullanılarak verilen bir doğru parçasının orta dikme doğrusunun nasıl çizilebileceği açıklanmıştır. oğru Parçasının Orta ikmesini Çizme eometrik Çizim 1. dım. dım Sembol ve österimler etvelinizi kullanarak bir [] çiziniz. h a Pergelinizi nin yarısından fazla olacak şekilde açınız ve merkezi olan şekildeki gibi iki yay çiziniz. 3. dım 4. dım Pergelin açıklığını bozmadan merkezi olan bir önceki yayları kesen iki yay daha çiziniz. Yayların kesim noktalarını ve olarak isimlendiriniz. ve noktalarını cetvelle birleştiriniz. 814 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

43 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri Yukarıdaki geometrik çizim çalışması sonucunda pergel ve cetvel kullanarak [] nın orta dikmesini çizdiniz. Çizmiş olduğunuz doğrusunun niçin [] nın orta dikmesi olduğunu açıklayalım: ve noktalarını yandaki şekildeki gibi ve noktaları ile birleştirelim. Yaylar çizilirken pergelin açıklığı değiştirilmediğinden = = = olur. u durumda =, = ve = olduğundan, (... şlik uralı) dir. enzer üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan, dir. üçgeni ikizkenar ve [], açısının açıortayı olduğundan hem kenarortay hem de yüksekliktir. olayısıyla bu doğru [] nın orta dikmesidir. Yukarıdaki çizimde ve merkezli yaylar çizilirken pergelin açıklığı bozulmadığından ve noktalarına eşit uzaklıktaki iki nokta ( ve noktaları) belirlenmiştir. u ilişki bir doğru parçasının kenar orta dikmesi üzerinde alınan her noktanın doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğunu göstermektedir. una göre kenar orta dikmeler için aşağıdaki sonucu yazabiliriz. Sonuç ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır. ğer P, doğrusu [] nın orta dikmesi ise P = dir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 815

44 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 1 Şekilde doğrusu [] nın orta dikmesi ve x + 14 = x + 14 = 4x + olduğuna göre nu bulalım. 4x + ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğundan = dır. uradan 4x + = x + 14 eşitliğinden x = 6 ve = 4x + = = 6 olarak bulunur. ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her noktanın doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğunu öğrendik. şağıdaki sonuç bunun karşıtının da doğru olduğunu belirtmektedir. Sonuç ir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, bu doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. ğer = ise noktası [] nın orta dikmesi üzerindedir. Yandaki şekilde 8 8 = = 8 cm 5 5 = = 5 cm = 1 cm 1,, noktaları doğrusal olduğuna göre değerini bulalım. 816 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

45 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri ir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan bir nokta bu doğru parçasının orta dikmesi üzerinde olduğundan [], [] nın orta dikmesidir. u durumda [] ^ [] dir.,, noktaları doğrusal olduğundan noktası da [] nın orta dikmesi üzerindedir. olayısıyla = = 1 cm dir. Matematik atölyesinde bir üçgeninin kenar orta dikmelerinin tek noktada kesiştiğini belirlediniz. şağıdaki teorem ulaştığımız bu sonucu ifade etmektedir. Teorem N L ir üçgenin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir. H İspat Verilenler: bir üçgen, N, L ve H noktaları kenarların orta noktaları İstenen: enar orta dikmeler bir noktada kesişir. H L ir üçgeninin ve kenarlarına ait kenar orta dikmelerini çizelim. u orta dikmelerin kesim noktası olsun. noktasını üçgenin ve köşelerine birleştirelim. ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğundan =... (*) dir. Şimdi de noktasını ile birleştirelim. enzer sebeplerden dolayı =... (**) dir. ikkat ir üçgenin kenar orta dikmeleri üçgenin köşelerinden geçmek zorunda değildir. N H L (*) ve (**) dan = olur. u durumda noktası, ve noktalarına eşit uzaklıkta olur. ir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktaki her nokta doğru parçasının orta dikmesi üzerinde olduğundan noktası [] nin orta dikmesi üzerindedir. u ise üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesiştiğini gösterir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 817

46 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Yukarıdaki ispattan aşağıdaki sonuca ulaşılabilir. Sonuç N L ir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası üçgenin köşe noktalarından eşit uzaklıktadır. H Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olduğundan, merkezi üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası olmak üzere üçgenin köşe noktalarından bir çember geçer. u çembere üçgenin çevrel çemberi ve bu çemberin merkezi olan kenar orta dikmelerinin kesim noktasına da üçgenin çevrel çemberinin merkezi denir. şağıdaki çizim çalışmasında verilen bir üçgenin çevrel çemberinin dinamik geometri yazılımı kullanılarak nasıl çizilebileceği adım adım gösterilmiştir. Üçgenin Çevrel Çemberini Çizme 1. dım. dım eometrik Çizim O O ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni çiziniz. Yazılımın orta dikme özelliğini kullanarak üçgeninin kenar orta dikmelerini çiziniz. Orta dikmelerin kesim noktasını O olarak isimlendiriniz. 3. dım Yazılımın Çember özelliğini kullanarak merkezi O olan ve üçgenin köşelerinden geçen bir çember çiziniz. Üçgeni köşelerinden tutarak hareket ettiriniz. Üçgenin farklı durumları için çevrel çemberi inceleyiniz. 818 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

47 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri Yukarıdaki çizim etkinliğinde bir üçgenin çevrel çemberinin merkezinin her zaman üçgenin iç bölgesinde bulunmadığını gözlemlediniz. arklı üçgen çeşitlerine göre çevrel çemberin merkezi üçgenin içinde, üzerinde ya da dışında olmaktadır. Çevrel çemberin merkezi, üçgen eğer dar açılı ise üçgenin iç bölgesinde, dik açılı ise üçgenin kenarında ve geniş açılı ise üçgenin dışındadır. İnceleyelim âğıt katlayarak da bir üçgenin çevrel çemberinin merkezini belirleyebilirsiniz. unun için; 1. Makasla bir üçgen kesiniz. ar açılı üçgen ik üçgen eniş açılı üçgen. ir köşesinden tutup diğer köşesiyle birleşene kadar üçgeni katlayınız. 3 Şekildeki üçgeninde = 1 = [] ^ [] [] ^ [] = 1 br olduğuna göre değerini bulalım. 3. âğıdı tekrar açınız ve iz yerini kaleminizle çiziniz. =, = olduğundan noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. yrıca [] ^ [], [] ^ [] ve ve noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğundan [] ile [] sırasıyla [] ve [] kenarlarının kenar orta dikmeleridir. u durumda noktası aynı zamanda üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. 4. iğer kenarlar için de aynı işlemleri tekrarlayınız. 5. Çizdiğiniz doğru parçalarının kesim noktası çevrel çemberin merkezidir. O halde noktası üçgeninin köşelerine eşit uzaklıktadır. u durumda = = 1 br olur. noktası ağırlık merkezi olduğundan = ve buradan = 6 br olarak bulunur. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 819

48 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları ikkat 4 yükseklik kenar orta dikme ocatepe İlkokulu, evzi Çakmak Ortaokulu ve Zafer Lisesinin bulunduğu bir alana yeni bir pastane açılmak istenmektedir. çılacak bu pastanenin her üç okula da eşit mesafede olması planlanmaktadır. Yandaki şekilde her bir okulun bu alandaki konumları verilmiştir. ir üçgenin yükseklikleri ile kenar orta dikmelerinin aynı doğrular olduğu düşüncesi çok yaygın karşılaşılan bir kavram yanılgısıdır. Pastanenin yeri una göre pastanenin nereye yapılması gerektiğini çizimle gösterelim. landaki her üç binayı, ve noktalarıyla gösterirsek bir üçgeni elde ederiz. Pastanenin yapılması istenen yer üçgenin her üç köşesinden de eşit uzaklıkta olmalıdır. una göre bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası üçgenin köşelerinden eşit uzaklıkta olduğundan üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası olan noktası, pastanenin yapılacağı yerdir. Üçgenin Yüksekliği ir üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına indirilen dik doğrunun, karşı kenarda kestiği nokta ile köşeyi birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. 6@ = 6@ ar açılı üçgen 6@ = 6 eniş açılı üçgen 80 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

49 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri şağıdaki çizim çalışmasında pergel-cetvel kullanılarak bir doğruya dışındaki bir noktadan dik doğrunun nasıl çizilebileceği açıklanmıştır. ir oğruya ışındaki ir Noktadan ik oğru Çizme 1. dım. dım eometrik Çizim âğıdınıza bir d doğrusu çiziniz ve bu doğrunun dışında bir noktası alınız. d d Pergelinizi d doğrusunu iki noktada kesecek şekilde açınız. Pergelinizin sivri ucunu noktasına koyarak d doğrusunu kesen iki yay çiziniz. Yayların d doğrusunu kestiği noktaları ve olarak isimlendiriniz. 3. dım 4. dım d H d H Pergelinizi nun yarısından fazla olacak şekilde açınız. Pergelinizin sivri ucunu noktasına koyarak merkezi olan bir yay ve bu yayı kesen merkezi olan bir başka bir yay çiziniz. u yayların kesim noktasını H olarak isimlendiriniz. ile H noktalarını birleştiren bir doğru çiziniz. Çizdiğiniz H doğrusu d doğrusuna dik bir doğrudur. Yukarıdaki çizim çalışmasında bir doğruya dışındaki bir noktadan dik bir doğru çizdiniz. enzer şekilde bir doğruya üzerindeki bir noktadan da dik doğru çizilebilir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 81

50 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları İnceleyelim azı üçgenlerde kenar orta dikmeler ve yükseklikler aynıdır. u üçgenler hangileridir? Matematik Tarihi Üçgenin kenar orta dikmeleri ve yükseklikleri ile ilgili matematik atölyesinde üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini keşfetmiştiniz. şağıda üçgenin yüksekliklerinin niçin bir noktada kesiştiği açıklanmıştır. ir üçgeni alalım. Öyle bir üçgeni çizelim ki üçgeninin kenar orta noktaları üçgeninin köşe noktaları olsun. ir üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesiştiğini biliyoruz., ve noktaları üçgeninin kenarlarının orta noktaları olduğundan üçgeninin kenarları üçgeninin kenarlarına daima paraleldir. u nedenle üçgeninin kenar orta dikmeleri aynı zamanda üçgeninin yükseklikleridir. uradan üçgeninin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiği elde edilir. Sonuç H ir üçgenin yükseklikleri aynı noktada kesişir. u noktaya üçgenin diklik merkezi denir. Yandaki şekilde H diklik merkezidir. uler 1765 te herhangi bir üçgenin diklik merkezinin, çevrel çemberinin merkezinin ve ağırlık merkezinin doğrusal olduğunu göstermiştir. Siz de bir dinamik geometri yazılımı yardımıyla bir üçgen çiziniz ve bu üçgende bu üç özel noktayı gözlemleyiniz. evilliers (005). eneralization of the nine-point circle and uler line. Pythagoras Yukarıdaki sonuca göre bir üçgenin yükseklikleri bir noktada kesişmektedir. u noktanın yeri üçgenin açılarının türüne göre değişiklik göstermektedir. şağıdaki şekilde farklı üçgenlerin yüksekliklerinin kesim noktasının yeri gösterilmiştir. H ar açılı üçgen ik üçgen eniş açılı üçgen ( noktası diklik merkezi) ( noktası diklik merkezi) ( noktası diklik merkezi) Yukarıdaki şekillerden diklik merkezi üçgen dar açılı ise üçgenin iç bölgesinde, dik açılı ise dik kenarların kesiştiği köşede ve geniş açılı ise üçgenin dış bölgesinde olduğu görülmektedir. H 8 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

51 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri NİMİZİ SINYLIM avrama ve Muhakeme 1. şağıda verilen ifadelerden doğru olanlara yanlış olanlara Y harfi koyunuz. (...) Üçgende iki yüksekliğin kesim noktasından üçüncü yükseklik de geçer. (...) eniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgeninin iç bölgesindedir. (...) Üçgenin herhangi bir kenarının kenar orta dikmesi, daima bu kenarın karşısındaki köşeden geçer. (...) ir eşkenar üçgenin kenarortayları ve yükseklikleri aynı noktada kesişir. (...) Herhangi bir üçgenin kenar orta dikmeleri ve yüksekliklerinin kesim noktası daima aynıdır. 3. Şekilde üçgeninin yükseklikleri gösterilmektedir. hmet üçgeninde noktasının ağırlık merkezi ve = olduğunu iddia etmektedir. 3 hmet in bu iddiasını niçin doğru olmayacağını açıklayınız. lıştırmalar 1. H 4x Yandaki şekilde H ^ []. 1 3 x + 4 = dir. Verilenlere göre H değerini bulunuz. Şekilde,, noktalarında bulunan 1,, 3 numaralı oyuncular sırasıyla, ve kenarlarına en kısa yoldan koşmak istiyorlar., ve noktalarının oluşturduğu üçgen dar açılı üçgendir. u koşu esnasında üç oyuncu da aynı anda çarpıştıklarına göre çarpıştıkları yer neresidir?. x 10 O y Yandaki şekilde O noktası üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası olduğuna göre x ve y değerleri kaçtır? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 83

52 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri NİMİZİ SINYLIM 3. H α Yandaki şekilde H noktası üçgeninin hem diklik merkezi hem de çevrel çemberin merkezidir. 1. Uygulama ve Problem Çözme 0 40 Yandaki şekilde noktası üçgeninin diklik merkezi [], açısının açıortayı, una göre m( W ) = a kaç derecedir? ise m ( ) kaç derecedir? [] ^ [] m ( ) = 40 m ( ) = 0 4. şağıdaki üçgenlerde a ve b değerlerini bulunuz. a. b. 40 H α 10 H 70 L M β Yandaki şekilde noktası üçgeninin diklik merkezi [], nın açıortayı [] ^ [] m ( ) = 15, m ( ) = 70 ise m ( ) kaç derecedir? 5. şağıdaki üçgenlerde P noktası üçgeninin diklik merkezi olduğuna göre a ve b değerleri kaçtır? a. b. P α 0 30 L P 50 β M 3. H Yanda verilen üçgeninde [] ^ [] dir. mh ( ) = 0 mh ( ) = 60 mh ( ) = 10 ise mh ( ) kaç derecedir? 84 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

53 Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri NİMİZİ SINYLIM 4. Yandaki şekilde [] // [] m ( ) = m ( ) m ( ) = 90 = 10 cm = 8 cm ise nu bulalım. ir üçgende diklik merkezinin yükseklikleri ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımının sabit, yani üçgeninin diklik merkezi ise = = olduğunu gösteriniz H 1 ise H kaç birimdir? Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. = 5 br = 1 br H = 4 br 6. İki yüksekliği eş olan üçgenin ikizkenar üçgen olduğunu gösteriniz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 85

54 ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları ÖLÜM ÖZTİ çıortay H ir üçgende iki dış açıortay ile bu dış açılara komşu olmayan iç açının açıortayı tek noktada kesişir. u nokta üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir. ir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır. ir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır. çıortayların Oluşturduğu çılar İç çıortay Teoremi N ir üçgende, herhangi bir iç açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, diğer iki kenarın uzunlukları oranına eşittir. [N], açısının açıortayı olmak üzere = dir. N N ir üçgenin iç açıortayları üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta bir noktada kesişir. u noktaya üçgenin iç teğet çemberinin merkezi denir. ış çıortay Teoremi üçgeninde [], V nın ve [], W nın iç açıortayları m( W ) olmak üzere m ( ) = 90 + dir. üçgeninde [], V nın ve [], W nın dış açıortayları m( W ) olmak üzere m ( ) = 90 - dir. ir üçgeninde, açısının dış açıortayı kenarının uzantısını noktasında kesiyorsa, = dir. üçgeninde [], açısına ait dış açıortay ve [], m ( ) açısına ait iç açıortay olmak üzere m ( ) = dir. 86 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

55 Üçgenin Yardımcı lemanları Üçgende enarortay ir üçgenin kenarortayları aynı noktada kesişirler. u noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir. u nokta kenarortayı :1 oranında böler. M Üçgende Orta ikme ve Yükseklik P ir üçgenin kenar orta dikmeleri, üçgenin köşe noktalarından eşit uzaklıkta bulunan bir noktada kesişir. u noktaya üçgenin çevrel çemberinin merkezi denir. ğer P, [] nın orta dikmesi ise = dir. H ir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan bir nokta, bu doğru parçasının orta dikmesinin üzerindedir. ir üçgenin yükseklikleri de bir noktada kesişir. u noktaya üçgenin diklik merkezi denir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 87

56 ölüm Üçgenin Yardımcı lemanları ÖLÜM ĞRLNİRM 1. Yandaki şekilde 4. Yandaki şekilde m ( ) kaç derecedir? [ // [ [], nın [], nın [] nın açıortayı ise ise m ( ) kaç derecedir? H [ // [ [], [H] açıortay mh ( ) = Yandaki şekilde [ // [ m( ) = m ( ) [], nın açıortayı ve m ( ) = Yandaki üçgeninde [], nın açıortayı = 10 br = 6 br ise m ( ) kaç derecedir? ise nun alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaç birimdir? H Yukarıdaki şekilde [ // [ [H], nın [], nın açıortayı ve mh ( ) = 40 ise m ( ) kaç derecedir? Yukarıdaki ve üçgenlerinde [], W nın ve [], W nın açıortaylardır. = 15 br, = 6 br, = 10 br ise kaç birimdir? 88 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

57 ölüm Üçgenin Yardımcı lemanları ÖLÜM ĞRLNİRM 7. Yandaki üçgeninde,, ve noktaları doğrusaldır. 10. ise kaç birimdir? [], nın açıortayı m ( ) = m ( ) = 3 br 6 3 Yandaki üçgeninde [], açısının iç açıortayı, [], açısının dış açıortayıdır. = 6 br, = 3 br ise kaç birimdir? Yandaki şekilde [] ^ [] [], nın açıortayıdır.,, noktaları doğrusal [] // [] = 9 br, = 5 br ise kaç birimdir? ise kaç birimdir? 8 Yandaki şekilde [] ^ [] [] [] dir. [] ve [] açıortaylardır. = 0 br = 8 br 9. Yandaki üçgeninde [], W nın açıortayı = = 6 br + = 1 br ise kaç birimdir? Yandaki şekilde m ( ) = m ( ) dir. = 3 br = 4 br = 5 br ise kaç birimdir? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 89

58 ölüm Üçgenin Yardımcı lemanları ÖLÜM ĞRLNİRM = 1 br ise değerini bulunuz. Yandaki şeklide, ve noktaları doğrusaldır. [] [] = {} = 10 br = 5 br = 6 br 16. x x x + 4 Yandaki üçgeninde ve noktaları sırasıyla ve kenarlarının orta noktalarıdır. = x br, = x + 4 br, = x br ise kaç birimdir? Yandaki üçgeninde m ( ) = m ( ) = 6 br 17. Yandaki üçgeninde = = + = 7 br = 8 br ise + kaç birimdir? 4 = 3 ise kaç birimdir? 18. Yandaki üçgeninde I 4 J H 8 Yandaki şekilde I, üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir., J, ve noktaları doğrusal [] // [] 10 ise kaç birimdir? [] açıortay ve ağırlık merkezidir. = 10 br = 1 br, J = 6 br, J = 4 br, = 8 br ise + J toplamı kaç birimdir? 830 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

59 ölüm Üçgenin Yardımcı lemanları ÖLÜM ĞRLNİRM 19. Yandaki şekilde. 3 H ise kaç birimdir?, üçgeninin ağırlık merkezidir. [] // [H] = H = 3 br H 46 Yukarıdaki şekilde H noktası, üçgeninin dışındadır. [H] ^ [], [H] ^ [] =, = m( ) = 46 ise mh ( ) kaç derecedir? 0. Yukarıdaki üçgeninde [], W nın açıortaydır. = =, = 15 br ise kaç birimdir? 3. α O 15 5 mo ( ) = 15, mo ( ) = 5 Yandaki şekilde O, üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. 1. Yandaki üçgeninde ağırlık merkezidir. ise mo ( ) = a kaç derecedir? ise kaç birimdir? [] [] = {} = br O α Yandaki üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O noktasıdır. m ( ) = 35 ise mo ( ) kaç derecedir? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 831

60 ölüm Üçgenin Yardımcı lemanları ÖLÜM ĞRLNİRM H 8 Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. = 4 br = 8 br = 6 br Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. m ( ) = 30 m ( ) = 0 ise kaç birimdir? H 0 ise m( ) kaç derecedir? 6. H 6 ise kaç birimdir? 4 6 Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. = = 6 br = 4 br 9. H 6 3 Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. H = br = 3 br = 6 br ise H kaç birimdir? 7. Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. 10 H = 10 br H = br H = 4 br 30. Yandaki üçgeninde H diklik merkezidir. 4 H H 8 [H] ^ [] = mh ( ) = 8 ise H kaç birimdir? ise m ( ) kaç derecedir? 83 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

61 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik ÜNİT ĞRLNİRM I α 0 40 Yandaki üçgeninde m ^ h= 60 m ^ h= 40 m ^ h= 0 3. ir üçgeninde köşesinden çizilen yükseklik ile köşesinden çizilen iç açıortay üçgenin içinde yer alan H noktasında kesişmektedir. mh ^ h= 110 ise mh ^ h kaç derecedir? ) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 m^ h= m^ h ise m ^ h= a kaç derecedir? 4. ) 60 ) 70 ) 80 ) 90 ) 100 şağıdaki eşitliklerin hangisi sağlanırsa O O ile üçgenleri eş olur? ) = ) = ) = ) = ) =. x Yandaki şekilde [] [] [] [] m ^ h= 140 m ^ h= x 5. ve birer dik üçgen = = kaç derecedir? ) 13 ) 0 ) 7 ) 34 ) 40 olduğuna göre oranı nedir? ) 1 ) 1 ) 4 1 ) ) 3 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 833

62 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik ÜNİT ĞRLNİRM I 6. ikizkenar üçgen ve = dir. enar uzunlukları birer tam sayı olmak üzere çevresi 4 cm olan kaç farklı üçgeni vardır? 9. Şekildeki, üçgeninin ağırlık merkezi, ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 [] // [] ve = olduğuna göre x 4 Yandaki şekilde = 5 br = 8 br = 4 br = ise oranı kaça eşittir? ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 büyük tamsayı değeri kaçtır? = x in en ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) x üçgeninde m ^ h= m ^ h = x = y [] // [] 10. β α y x d θ Yandaki şekilde üçgeninin ve kenarlarını kesen d doğrusu çiziliyor. I. x = β II. a = y III. x = θ y olduğuna göre nun x ve y cinsinden ifadesi nedir? ) x + y ) y x ) y x ) y x + ) x y + IV. a = x oşullarından hangisi veya hangileri tek başına verilirse, şekilde daima benzer iki üçgen oluşur? ) Yalnız IV ) I ve IV ) II ve III ) I, II, III ) I, II, IV 834 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

63 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik ÜNİT ĞRLNİRM I 11. Şekildeki üçgeninde I, üçgenin iç I teğet çemberinin merkezi, ise dış teğet T çemberlerinden birinin merkezidir.,, T doğrusal olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? I., I, doğrusaldır bir üçgen m ^ h= m ^ h m ^ h= 30 m ^ h= 75 α II. m^ Ih+ m^ h= 90 dir. III. m^ Ih> m ^ h IV. mi ^ h+ mt ^ h= 90 dir. olduğuna göre m^h= a kaç derecedir? ) 15 ) 0 ) 5 ) 30 ) 35 ) I, II ve III ) I ve IV ) III ve IV ) I, III ve IV ) I, II ve IV = x 10 [] [] [] [] m ^ h= m ^ h = 10 br 8 Yukarıdaki resimde görüldüğü gibi noktasından ok yönünde hareket başlayan bir kişi [] ve [] ye eşit uzaklıkta olan bir H noktasında durmak istiyor. olduğuna göre = x kaç br dir? ) ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 una göre dan ok yönünde kaç m yürümelidir? ) ),5 ) 3 ) 3,5 ) 4 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 835

64 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik ÜNİT ĞRLNİRM II 1. Yandaki şekilde bir üçgen, eşkenar üçgen, ve ise birer ikizkenar üçgen olmak üzere m^h kaç derecedir? α H m ^ h= a kaç derecedir? eşkenar üçgen, = H, m ^ h= 80 olduğuna göre ) 35 ) 30 ) 5 ) 0 ) 15 ) 100 ) 105 ) 110 ) 115 ) b f c a d e üçgeni ikizkenar, =, T T olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. h a = h f V a, V d a ve d kenarlarına ait kenarortay uzunlukları, n, n ve açılarına ait açıortay uzunlukları h a :a kenarına ait yüksekliğin uzunluğunu göstermek üzere şekildeki ve üçgenleri için aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? O O I., ise V = V a d O II. n = n ise, III. V a = h a ise, O O O IV. =, = ve bu üçgenlerin karşılıklı O O herhangi birer açıları eş verildiğinde, dir. ) I ve III ) II ve III ) I, III ve IV ) I ve IV ) I, II ve III II. n = V f III. V a = V e IV. h a = n ) Yalnız I ) I ve II ) II, III ve IV ) I, II ve IV ) I ve IV 5. üçgeninde x m ^ h = 30 m ^ h= m ^ h, =, 30 = olduğuna göre m ^ h= x kaç derecedir? ) 50 ) 45 ) 40 ) 35 ) Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

65 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik ÜNİT ĞRLNİRM II 6. h a c b d 80 e f 40 Yanda verilenlere göre en kısa kenar hangisidir? ) h ) d ) c ) b ) a 8. Şekildeki katlanabilir merdiven uçları, ve noktası olan basamağından şekildeki gibi katlanmış ve diğer ucu yere değdirilmiştir. arası mesafe 300 cm olduğuna göre arası mesafe kaç cm dir? 7. I II III IV noktasından noktasına gidecek biri I, II, III, IV nolu yollardan gidince yürüyeceği mesafeler sırasıyla x, y, z, k br olduğuna göre x, y, z, k arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangileri olamaz? I. y < x < z < k II. y < z < x < k III. y < x < k < z IV. y < z < k < x V. x < y < z < k ) Yalnız V ) III ve V ) IV ve V ) I, II ve IV ) III, IV ve V ) 180 ) 150 ) 15 ) 75 ) Şekildeki üçgeninde, x 6 m ^ h= m^ h 4 = = 6 br 6 = br = 4 br ise = x uzunluğunu bulunuz. ) 5 ) 4 ) 17 4 ) üçgeninde = 1 br 1 = br = 10 br α = ve 80 m ^ h= olduğuna göre m ^ h= a kaç derecedir? ) 1 4 ) 0 ) 30 ) 35 ) 40 ) 50 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 837

66 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik ÜNİT ĞRLNİRM II x 5 5 üçgeninde m ^ h= 30 m ^ h= 30 m ^ h= 5 m ^ h= 5 olduğuna göre m ^ h= x kaç derecedir? 14. I. ğırlık merkezi II. İç teğet çemberin merkezi III. iklik merkezi IV. Çevrel çemberin merkezi Yukarıdaki noktalardan hangileri daima üçgenin iç bölgesindedir? ) 0 ) 5 ) 30 ) 35 ) 40 ) I ve II ) I ve IV ) I, II ve III 1. ) II ve IV ) I, III ve IV x 6 Yandaki şekilde bir üçgen,, doğrusal m ^ h= 90, m ^ h+ m ^ h= 90 H I P = 4 cm, = 6 cm ise = x kaç cm dir? 13. ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 x 6 H 3 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi H = cm = 6 cm ar açılı üçgen şeklindeki düz bir alanın köşelerinde bulunan üç bisikletli, üçgenin iç bölgesinde seçilecek bir bitiş noktasına doğru doğrusal bir yol boyunca yarış yapacaklardır. itiş noktası P,, H, I noktalarından hangisi veya hangileri olursa üç yarışmacı için de yarış pistinin uzunlukları kesinlikle eşit olur? (P: Çevrel çemberin merkezi, : ğırlık merkezi, H: diklik merkezi, I: İç teğet çemberin merkezi) = 3 cm ve mh ^ h= mh ^ h olduğuna göre = x kaç cm dir? ) Yalnız ) P ve ) Yalnız P ) P ve H ) I ve ) 4 ) 6 ) 7 ) 8 ) Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik

67 VP NHTRI 3. Ünite: ONSİYONLR ölüm dı: 3.1. onksiyon avramı ve österimi Hazır mıyız? ğlenceli matematik soruları: 1. ulmaca doldurma 1.a. x 1.b. y = x c. y = 3x ç. y = x. x = 4, y = x = {(1, 5), (1, 8),(, 5), (, 8),(3, 5), (3, 8)} 5. a = {1,4} = {3,5,7} x ( 1,10), ( 3,13), (5,1), (3,4), (1,7) a + 4b 11. = 8 x 1. 7 = 3x a, b, ç, d 14.a., 1, 0, 1, 14.b. 7, 14, 1, 8, c. 11, 17, 3, 9, a. y = 3x b. y = 6x c. y = x , ( 1, 4) onu dı: onksiyon avramı endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a. fonksiyon 1.b. tanım kümesi, değer kümesi 1.c. görüntü kümesi 1.ç. bağımsız, bağımlı 4.a. fonksiyon 4.b. fonksiyon değil 1.c. fonksiyon değil 1. 4 tanesi fonksiyondur. lıştırmalar: 1. f() = {1, 8, 6, 13, 0}. f() = {3, 5, 7, 9} 3. 5/ (14, 6] 6. ( 7, 1] 7. f( 5) =, f(7) = f(3) = 36, f(6) = 60 9.a. 3x 3 9.b. 6x c 7x 4 9.ç. 6x a. 3x 3 10.b. 18x 4x c. x + 4x d. x 4 4x a. x + 6x b. x x + 11.c. x 1x d. x 4 + x + 1.a. 4x 5 1.b. x x c. 16x + 48x ç. x 4 x [ 19,31] 14. a = 15. c = 17/ 16.a b c ç f ve g eşit fonksiyonlardır. 19. f ve g eşit fonksiyonlardır. 0.a. 1 0.b c. 0.ç. 0 0.d. 4 0.e. 4π 1. I. Y = x + 7 II. Y = x 4 III. Y = x IV. Y = 3x 5. { 7, 3, 1, 6}, { 44, 86, 98,16} 3. 1/10 4. f(a) = 4a 3 f(b + 1) = 4b + 1, f(d) = 8d 3, f(3k + 1) = 1k + 1, f(c ) = 4c 11 6.tanım kümeleri aynı olmadığından eşit fonksiyonlar değildir. 7. a = 4 8. şit onksiyonlardır. x 11 x x 4 x 1 3x fx ( + 1) =, fa k =, f( x) =, f( 3x 1) =, fx ( x 13 x 1) =, fx ( ) = y = x b = d = 3/4 onu dı: 3.1. irim, Sabit ve oğrusal onksiyonlar endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a. irim fonksiyon. 1.b. sabit fonksiyon. 1.c. doğru.. d, d, d, d, y, d 3.a. fonksiyon belirtmez, denklem belirtir. 3.b. fonksiyon belirtir. 3.c. fonksiyon belirtmez, cebirsel ifadedir. 3.ç. onksiyon belirtir. 3.d. fonksiyon belirtmez, çember denklemidir. 3.e. fonksiyon belirtir. 3.f. fonksiyon belirtir fonksiyon değil. fonksiyon belirtir 3. fonksiyon değil 5. f(x) = 5x, g(x) = a k a = 1, b = 0 x x a = 9. f(1) = doğrusal fonksiyon, sabit fonksiyon, birim fonksiyon. 16.a m = 4/3 17. a. f(x) = 3x b c 8 16.ç 3x ölüm eğerlendirme 1.a. 5 1.b. 3 1.c. 5 1.ç. a + 4a 1 1.d. x4 3 1.e. x4 4x 1. f : Z + 1, R, f(x) = x + 1/x, f(4) = 17/4 3. f :, f( x) x, x f 1 17 R " R = + c m 4 = 4 6. = {1, 3/,,5/} 7. a = 5 8. f( 1) = 1, g(1) = 1, f(1) = 1 = 1, g( 1) = 3, f ve g eşit fonksiyon değildir. 9. değer kümeleri eşit olmadığından fonksiyonlar eşit değildir. 10. eşit 11. eşit değil eğişken vardır(t) / eşit değildir. x = 0 için g(0) = 1 h(0) = / / a. 6x b.13 3.c. 6x ç. 6x d. 6x 11 3.e.6x 1x f(x) = 5x 1 f(x 8) = 5x f(x) = x raştırma Soruları: 1.a. f(x) = ax + b ise b = 0 durumunda.. f(x) = ax + b ise f(x y) = f(x) f(y), a(x y) + b = ax + b ay b, a(x y) + b = a(x y) n olup eşit olmaz. 3. mx + n = 0 x = değeri lineer fonksiyonun eşitliğini sağlayan m değer dolayısıyla köktür. 4. vet en az iki nokta bir doğru belirtir.. ölüm dı: 3. onksiyon rafikleri Hazır mıyız? 1.a. (3,) 1.b. (3, ) 1.c. ( 3, 3) 1.ç. (, ). (, 3) 6. x =, x = 7. x = 8.x = 4 noktası y {, 1,, 5} 13. x [0, 3] 14. y = x + 1 doğrusunun eğimi 1, y = x + 4 doğrusunun eğimi, y = x + 4 doğrusunun eğimi, y = 3x 6 doğrusunun eğimi 3 tür. onu dı: onksiyon rafiklerini Okuma ve Yorumlama endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a. x, y 1.b.grafik 1.c. tanım, değer.a. belirtir.b.belirtmez.c. belirtir.ç. belirtmez Uygulama ve Problem Çözme: 1. f() = {6,10,1}. [1,4] 3. [,5] 4. [, 1/] [1/,] 5. 4/ a[ 3,] [1,3] b.( 1,) ( 1,3) şekilde ( 1,1) noktası gösterilmeli 1.a. f:r R 1.b.{0,1,3} 1.c.[0,3] 1.ç.{ 1,0,1,} 1.d.[ 1,] 13.a. g:r R 13.b. {0,1,3,4} 13.c. [3,4] 13.ç. [0,] 13.d.{ 3,,0,1,} 14.a. x y 19/1 11/1 1/4 5/1 15/1 17.a. 5,3,1, 1, 3 17.b.,1,0, 1, 3/ 18. fonksiyon, fonksiyon, değil, değil, değil 19. a. değil 19.b. fonksiyon 19.c.fonksiyon 19.ç.fonksiyon 19.d. fonksiyon 19.e.değil 19.f. fonksiyon 19.g. fonksiyon

68 onu dı: 3... f(x) = x n içimindeki onksiyonların rafikleri endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1. f ve h için n negatif çift tam sayı g ve k da ise n negatif tek tamsayıdır.. g, f, h 3.a. 5,1,5 3.b. 4,9, 1 3.c. [1,4] ç.[,6] 4.a. 4,0,4 4.b. a nın bir gerçek sayısı yok b = 0, c = 1 4.c. [1,16] 4.ç. [1,3] veya [ 1, 3] 5.a. 1,0,8 5.b.,1,3 5.c. [ 8,8] 5.ç. [1,] 6.a. 1/3, 1,1,1/3,1/4 6.b.1, b nin gerçek değeri yok 6.c.[1/,1] 6.ç. [ 1, 1/] onu dı: 3..3 oğrusal onksiyonlarla İlgili Uygulamalar endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.4.a..b.1/3.c./3.ç.tanımsız.d.0 3.a.1 3.b. 4/3 3.c.0 3.ç.tanımsız 4. 5/< /3<1<<3 5. c 6.a b. f:[0,90] [0,900], f(x) = 10x c ç.90 sn 7.a. f:n N,f(x) = 900x b onu dı: y = f(x) onksiyonunu rafiği ile f(x) = 0 enklemi rasındaki İlişki endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1. 4,16.a. ( 9/5, 3/5).b. ( 7/5,6/5) 3. f(x) = x + 1, g(x) = 5 x 4.a. 1,4 4.b. 4.c. 3/, 4.ç.,1,3 4.d.0 4.e. / a. x = 1/, y = 1 7.b.x = 1, y = 1, 7.c. x = 3, y =, 7.ç. x = 3, 7.d. y = 1 8. c = ,1, onu dı: 3..5 Parçalı Tanımlı Verilen onksiyonlar ve rafikleri endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 4.a = 1, b = 3 5.a. p(t) = 5 + 0(t 1) 6.a.14 6.b. birinci tarife p(t) = 5 + 0,33(t 50) ikinci tarife p(t) = 5 + 0,1t ikinci tarife daha uygun. onu dı: 3..6 ire ir ve Örten onksiyonlar endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme:.ire birdir 3.Örtendir lıştırmalar:.a. bire bir ve örten.b.ne bire bir ne de örten c.bire bir ama örten değil, ne bire bir ne de örten 3.a. ne birebir ne de örten 3.b.bire bir ama örten değil 4.a. ne birebir ne de örten 4.b. bire bir ama örten değil 5. bire bir ve örten, ne bire bir ne de örten H bire bir ve örten, f 1 1 ama örten değil, h 1 1 değil ama örten 7. i.ire bir değil, örten değil ii.ire bir değil, örten değil iii.ire bir fakat örten değil iv.ire bir fakat örten değil v.ire bir değil örten değil vı.ire bir fakat örten değil vıı.ire bir fakat örten değil vııı.ire bir ve örten 3.. ölüm eğerlendirme 1.a. x,y 1.b. rafiksel 1.c. tanım, görüntü 1.ç. pozitif, büyüdükçe y eksenine 1.d. negatif, küçüldükçe y eksenine 1.e. f(x) = 0 1.f. x eksenine, bir noktada 1.g. bire bir ve görüntü kümesi R. f() = { 6,3, 9, 18} 3. f() = { 5, 7, 9, 11, 13} 4.a. Tanım kümesi : [,4], değer kümesi: R, görüntü kümesi: [ 8,10] 5. a. f:[1, 8] [4, 3] 5.b. g : [d, a]u [b, c] {m} U [n, k) 5.c. h: R R 6. a,b,c fonksiyondur. 7. m + n = 1 8. f(3) = /3 11.a b. 11.c ç. 4/3 11.d e f g ğ h ı i a. f(a) = k, f(b) = l, f(c) = n 13.b. Tanımsız 14.a. bire bir, örten 14.b. bire bir değil, örten 14.c. bire bir, örten 14.ç. bire bir değil, örten 15.a. Ç = { 3} 15.b. Ç = { 3,4} 15.c. Ç = {3} 15.ç. Ç = { } 15.d. Ç = { 5,,} 15.e. Ç = { 4,6} 15.f. Ç = {} 15.g. Ç = {} 15.h. Ç = {0} 15.i. Ç = {0} a. (0,5] 8.b. f() = {5,7} 8.c. [0,7] 8.ç. [ 1,]U[4,5] 9.a. f : [,] [ 4,4] 9.b. f() = { 1,0,1} 9.c. f() = [0,4] 9.ç. = [0,] 9.d. = {0,1, } 30.b. f(x) = x/10 31.a. [1,4] 31.b. (1,) 31.c. 1 3x+ 3, 0 < x 5 31.ç. [ 1,0] 31.d. 0 3.e. fx ( ) = ( 33.f. x+ 3 x> , 98,6 1 Ünite eğerlendirme I: 1.a. y = x b. y 1 1.c. y = x 1ç. y + 1 = x.a. y çıktısı x çıktısına eşittir..b. ütün x girdileri için y çıktısı dir..c. y çıktısı x girdisinin katının 3 eksiğidir..ç. y çıktısı x girdisinin karesidir..d. y çıktısı x girdisinin küpüdür,.e. y çıktısı x girdisinin mutlak değeridir. 3.a.Tanım kümesi [1,3] tür. eğer kümesi [,4] tür. örüntü kümesi f([1,3]) = [ 1,3] tür. c. (1, 3/, 9/4, 11/4, 3) 4. (III.) 5. I,II, III 6. I, III 7. a,b,c 8.a b. 1/3 8.c.0 8.ç. 1 8.d. 9.a.0 b. c. ç.4 d. 10.a. x 1 10.b. x c.4x 3 10.ç.6x 5 10.d.x 3 10.e. x 3 11.a.1 11.b. c.(0, ) 1.a.9 1.b. 3 1.c.7 ve a = 5/ 14.n = 4 15.c = t = n = / /6. ( 1/] (1/, ) 3.b. (5,1) 4. (0,9) 6.vet, çünkü değer kümesinde boşta eleman yok 7.b. Harcanan benzin miktarı = lınan yol/10 8.a. (f(x) = x) b a. 6 km 9.b a ne örten ne de birebir: i, v örten:ii, vii bire bir: iii hem bire bir hem örten: iv, iv 3. f ne birebirdir, ne de örtendir, g birebir değildir ama örtendir, h birebir ancak örten değildir, m birebir ve örtendir. 33.a.9 33.b c.6a 5 33.ç.10x 5 34.a b.9a + 1a 35. f(x) = x x + 4y = veya a.{ 1,1} 40.b.{ 1/,} 40.c.[ 1/,0) 40.ç.(0,1/] a. 1 b.x c. x 1 45.a.{,6,8} 45.b.[0,] 45.c.[,6] 46.a.{ 4,0,3} 46.b.{ 3,, 1} 46.c. ( 4, 3] 47.a.{,,0,1,4} 47.b.{, 1,0.,1,} 47.c.[ 3, 1]U[1,3] 47.ç.[1,] Ünite Testi II Ünite Testi III Ünite Testi IV Ünite Testi V Ünite Testi VI Ünite Testi VII ÜNİT: şlik ve enzerlik ölüm dı: 4.1. şlik Hazır mıyız? 1. g, f, ı, c, d, ç, e, b, a, h. Ø, {},, //, 90 o, doğrusal 3.a. {6} 3.b. (, 3) 3.c. {3} 3.ç. (, 9) 3.d. {7} 3.e. (0, 11) , onu dı: Üçgende çılar endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a. açıortay 1.b. kenarortay 1.c. yükseklik.a..b..c. Y.ç..d..e. Y.f..g..h. Y3.a. 3.b. 3.c. Y 3.ç. 3.d. Y 4.a b.90 5.a. ; ; Y 5.b. ; ; Y 5.c. ;Y;; 6. x > y > z lıştırmalar: 1.a.70 1.b c d e. 50 o. a = 8 b = 6 c = e = 86, d = x = 60, y = x = 40, y = x = 40, y = m = a = 80, b = 40, c = 60, d = a = 80 o a = 40 b = 0, c = 30, d = 80, e = a = 0, b = 135, c = 115 Uygulama ve Problem Çözme: a = 70, b = 70, i = a = 80, b = < x < a+ b =

69 onu dı: Üçgenlerin şliği endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a., 1.b. XYZ, PRS 1.c. HJ, PLR.a..b..c. Y.ç. Y 3.a., (..) 3.b., (...) 3.c., (...) 3.ç., (..) 3.d., (...) 3.e., (..) lıştırmalar: x = a + b Uygulama ve Problem Çözme: 5.a b. onu dı: İkizkenar ve şkenar üçgen endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a. 1.b. 1.c. Y 1.ç. 1.d. 1.e. Y 1.f. lıştırmalar: 1.a. 0 1.b c. 0 1.ç d a b c ç d. 4 Uygulama ve Problem Çözme: x = z = 6,5, y = x = a + b x = a onu dı: Üçgenin enarları İle çıları rasındaki İlişkiler endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1. < ; < ; >. m ( ), m ( ) m( ), m( ) ; m ( ), m ( ) ; m ( ), m ( ) 3.a. 3.b. 3.c. 4.a. 4.b. 4.c. Y 4.ç. Y 4.d. 4.e. Y 4.f. Y 5. a, b, ç 6. a, b, c, d 7.a. 7.b. Y 7.c. 7.ç. Y lıştırmalar: 1.a. b < a < c 1.b. a < b < c 1.c. c > b > a 1.ç.e > g > f 1.d. d > c > b > a 1.e. e < d < f 1.f.d > e > f 1.g. e > a = b = d > c.a. b.b. e.c. h.ç. f 3.a. d 3.b.a 3.c. c 3.ç. d 4. x > y > z 5.a. Oluşur 5.b.Oluşmaz 5.c.Oluşmaz 5.ç.Oluşur 5.d. Oluşur 6.a. 3 < x < 7 6.b. 0 < x < 0 6.c. 3 < x < 6 6.ç. 8 < x < c > b > a Uygulama ve Problem Çözme: z > x > y > t > p > k 5. z > x > y h x > 1 (Y), x > 3/ (), 3/ < x < 5 (Y), x < 5 (Y) n küçük 1 br ve en büyük 5 br z > y > x Sadece şekil III 8. 8 x noktası i ii ölüm eğerlendirme , b ölüm dı: 4.. Üçgenlerin enzerliği Hazır mıyız? a..b..c..ç..d. b ç 3. a, e 4. a = 4, r =, k =, b = y = 6, x = 6, 15, 18 y = 15, 0, 35 onu dı: Üçgende Orantılı oğru Parçaları endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a. 1.b. 1.c.Y.a..b..c..ç a. // 4.b. // 4.c. // 5 3 lıştırmalar: x = 4, y = a. 6 4.b. 1 5.a. 5.b. 5.c x = 3, y = Uygulama ve Problem Çözme: = 4, H = 48, L = 96 7.a b III onu dı: 4... Üçgenlerin enzerliği endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a., 1.b. m( W), m( V), m( V ).a..b..c..ç. 3.a. 3.b. 3.c.Y 3.ç. 4.a. 4.b.Y 4.c. 5.a. 5.b. Y 5.c. 6.a. 6.b. Y 6.c. 6.ç. 6.d. Y 6.e. Y lıştırmalar: 1.a. (..), 1.b. (..) 1.c. ML (...) 1.ç. LM (...) 0 1.d. MNP (...).a. 8.b..c. 15.ç. x = 1, y = 3.d..e. x = 6, y = Uygulama ve Problem Çözme: a. 3.b. 3.c. 4.a. 4.b c. 5.a. 5.b a. 6.b c onu dı: Üçgenlerin enzerliğini Problem Çözme ve Modellemede ullanma endimizi Sınayalım 1 Problemler: , , ölüm eğerlendirme ,48 7 ölüm dı: 4.3. Üçgenin Yardımcı lemanları Hazır mıyız? 1.10 o 3. [] 4.,Y,, 5. a. T,H,, 5.b. T,J,, 5.c. 5. ç. onu dı: çıortay endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.b., Y, Y,, 3. a. 3. b. 4.,,,Y 33 lıştırmalar: 1. a Uygulama ve Problem Çözme: , onu dı: Üçgende enarortay endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1.a.enarortaylarının 1.b. :1 7 lıştırmalar: cm 3. cm 4. 6br 5. cm 16 Uygulama ve Problem Çözme 1.a. 4 br, 8br 1.b. br.30 cm 3.3 cm 4.6 cm cm 7.16 cm cm cm cm br onu dı: Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri endimizi Sınayalım avrama ve Muhakeme: 1., Y, Y,, Y.iklik merkezi lıştırmalar: , a.40 b a b. 40 Uygulama ve Problem Çözme: ölüm eğerlendirme Ünite eğerlendirme I Ünite eğerlendirme II

70 açı: ynı doğru üzerinde bulunmayan, başlangıç noktaları ortak iki ışının kesişimi. Işınlar açının kolları, ortak başlangıç nokta da açının köşesi olarak adlandırılır. açı-kenar-açı (...) eşlik kuralı: İki üçgenin köşeleri arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı ikişer açı ve bu açıların arasında kalan kenarların eşliğini ifade eden kural. açıklık: ir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark. açıortay: ir açıyı iki eş açıya ayıran ışın. ağırlık merkezi (üçgen): ir üçgenin kenarortaylarının kesiştiği nokta. ağırlıklı ortalama: ir veri grubundaki her bir verinin belirli bir ağırlık değeri ile çarpımının toplamının verilerin sayısına bölünmesi ile elde edilen değer. akış diyagramı ispat biçimi: eometride, bir teoremin ispatında ifadelerin mantıksal bir sıra içinde ve bu ifadelerin gerekçelerinin ise hemen altlarındaki kutularda yer aldığı gösterim biçimi. alan: ir yüzeyin bulunduğu düzlemde kapladığı yer. ir yüzeyi kaplamak için gerekli birim karelerin sayısı. alt çeyrek: ir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca terim, veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sol tarafta kalan veri grubu alt grup olmak üzere, alt grubun ortancasına alt çeyrek denir. alt küme: ir kümesinin elemanlarından bazılarının oluşturduğu küme. oş küme ( ) ve kümenin kendisi de kümesinin bir alt kümesidir altın oran: eğeri = 1, olan bir irrasyonel sayı. analitik düzlem: ik kesişen iki koordinat doğrusunun oluşturduğu yapının belirttiği düzlem. nalitik düzlem üzerindeki her bir nokta elemanları gerçek sayı olan sıralı ikililere karşılık gelir. aritmetik ortalama: ir veri grubundaki sayıların toplamının, veri sayısına bölünmesi ile elde edilen değer. asal sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan doğal sayı. ayrık kümeler: Ortak elemanı olmayan kümeler. Sözlük bağımlı değişken: ağımsız değişkene bağlı olarak değeri değişen değişken. bağımsız değişken: ağımlı değişkenlerde bir değişime neden olmak için manipüle edilen değişken. benzer terimler: ynı değişkenleri içeren ve bu değişkenlerin kuvvetlerinin aynı, katsayıların aynı veya farklı olduğu terimler. bileşen: ir bileşim ya da birleşimi oluşturan öğelerden her biri. bire bir fonksiyon: Tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünün diğer elemanların görüntülerinden farklı olduğu fonksiyonlar. birim fonksiyon: Tanım kümesindeki her değeri kendisiyle eşleyen fonksiyon. boş küme: Hiç elemanı olmayan küme. bilimsel gösterim: 1 a < 10, a R, b Z olmak üzere bir sayının a 10 b şeklindeki gösterimi. birim çember: Merkezi (0, 0) noktası (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çember. birleşim kümesi: İki kümenin elemanlarının tamamının oluşturduğu küme. bütünler açılar: Ölçüleri toplamı 180 olan iki açı. Ç çelişki: oğruluğu (veya yanlışlığı) kabul edilen durum ilgili tutarsızlık. çelişki yöntemiyle ispat: Verilen ifadenin tersinin doğru olduğunu kabul edip bir çelişki elde etmeye dayalı ispat biçimi. çevrel çember: ir çokgenin tüm köşelerinden geçen çember. Örneğin, bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. çeyrekler açığı: Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki fark. çizgi grafiği: İlgili verilerin bir dizi nokta (sıralı ikili) ile gösterildiği ve bu noktaların düz çizgilerle birleştirildiği bir tür grafik. Çizgi grafiği genellikle bir niceliğin zamana bağlı değişimini göstermek için kullanılır. çözüm kümesi: ir denklemi ya da eşitsizliği sağlayan tüm değerlerin oluşturduğu kümesi.

71 daire grafiği: ir niceliğin bütün içindeki oranının daire üzerinde dilimlerle ifade edildiği grafik türü. değer kümesi: onksiyonun tanımlı olduğu çıktı değerlerinin oluşturduğu küme. denklem: İçinde en az bir bilinmeyenin bulunduğu eşitlik. değişim oranı (hızı): ir nicelikteki değişimin, başka bir niceliğin değişimine oranı. değişken: ir problem ya da bir dizi işlem bağlamında değişen (farklı değerler alan) değer. dış açı: ir çokgende herhangi bir iç açının bütünleyeni. dış açıortay: ir çokgenin bir dış açısını iki eş parçaya ayıran ışın. dış merkez: bk. dış teğet çemberin merkezi. dış teğet çemberin merkezi (üçgen): Üçgenin iki dış açıortayı ile bu dış açılara komşu olmayan iç açısının açıortayının kesim noktası. dik açı: Ölçüsü 90 olan açı. diklik merkezi: Üçgenin yüksekliklerin kesim noktası. dik kenar: ik üçgende dik açıyı oluşturan kenarlardan her biri. dik üçgen: İç açılarından biri 90 olan üçgen. dikey doğru testi: ir grafiğin x-eksenine dikey doğrular çizilerek bir grafiğin fonksiyon grafiği olup olmadığını anlama yöntemi. doğrusal fonksiyon: Tanım ve değer kümesi reel sayılar olan f(x) = ax + b (a 0 ve b R) biçimindeki fonksiyon. doğru orantı: eğişkenlerden biri artarken (veya azalırken), diğerinin de arttığı (veya azaldığı) orantı. eş üçgenler: arşılıklı açıları ve kenarları eş olan üçgenler. eşit fonksiyon: Tanım ve görüntü kümeleri aynı, tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünün de aynı olduğu fonksiyonlar. eşit kümeler: lemanları aynı olan kümeler. eşitlik: İçinde = sembolü bulunan matematik cümlesi. eşitsizlik: İçinde <, >,, veya sembollerinden en az birinin bulunduğu matematik cümlesi. etkisiz eleman: ir küme ve üzerinde bir işlem tanımlandığında kümedeki her elemanı verilen işleme göre yine kendisine dönüştüren eleman. evren: İçinde bir cismin bulunabileceği yerlerin tümünü gösteren kavram, bütün var olanları içinde bulunduran şey. evrensel küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları içine alan küme. - - H fonksiyon: ir kümenin (tanım kümesinin) her bir elemanını başka bir kümenin (değer kümesinin) bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişki. görüntü kümesi: Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu küme. grup genişliği: ir histogramda açıklık değerinin grup sayısına bölümüne en yakın tam sayı. Örneğin açıklk ı! 9 = 58,. 6 " grup genişliği. grup sayıı s! 5 gerçek sayılar: oğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümesinin hepsini kapsayan ve R ile gösterilen sayı kümesi. hipotenüs: ir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar. histogram: Veri genişlikleri eşit olan farklı aralıklardaki veri sayılarını gösteren grafik türü. eş açı: Ölçüleri eşit olan açılar. eş doğru parçaları: Uzunlukları eşit olan doğru parçaları. eşkenar üçgen: Üç kenarının uzunlukları birbirine eşit olan üçgen.

72 iç ters açı: Paralel iki doğruyu kesen üçüncü bir doğrunun iki yanında ve paralellerin içinde altlı üstlü ortaya çıkan dört açıdan her biri. iç açı: ir çokgenin ardışık iki kenarının oluşturduğu ve çokgenin içinde bulunan açı. İ iç açıortay: ir çokgenin bir iç açısını iki eş parçaya ayıran ışın. iç merkez: bk. iç teğet çemberin merkezi. iç teğet çemberin merkezi (üçgen): ir üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta. a c içler dışlar çarpımı: = olmak üzere a ve d değerlerinin (dışlar) b ve c değerleriyle çarpımının eşit olması: b d a d = b c ilişkisizlik: eğişkenler arasında artma veya azalmayla ilgili herhangi bir ilişki söz konusu olmadığında bu durum ilişkisizlik olarak adlandırılır. iki kolonlu ispat biçimi: eometride, bir teoremin ispatında ifade ve ifadelerin gerekçelerinin karşılıklı iki sütun şeklinde yer aldığı ispat biçimi. iki kümenin farkı: ir kümede olup diğerinde olmayan elemanların kümesi. ikizkenar üçgen: enarlarından herhangi ikisi eş olan üçgen. imkansız olay: erçekleşme olasılığı olmayan olay. irrasyonel sayılar: İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılamayan sayılar. ispat: ilinen matematiksel kural, özellik, sonuç veya tanımları kullanarak bir yargının doğru veya yanlış olduğunun gösterilmesi. kapsama: ir kümenin başka bir kümenin elemanlarının hepsini içermesi. karekök: ir sayının eş iki çarpanından biri. kartezyen çarpım: İlk bileşeni kümesinden ikinci bileşeni kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesi. kesin olay: Olma/gerçekleşme olasılığı 1 olan olay. kesişim kümesi: İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme. kenar-açı-kenar (...) eşlik kuralı: İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede, karşılıklı ikişer kenar ve bu kenarların oluşturduğu açıların eşliğini ifade eden kural. kenar-kenar-kenar (...) eşlik kuralı: İki üçgenin köşeleri arasında kurulan birebir eşlemede, karşılıklı kenarların eşliğini ifade eden kural. kenarortay: Üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası. kesikli veri: Sürekli verilerin aksine, sonlu veya sayılabilir belli bir aralıkta her değeri alamayan veriler. Örneğin; kişi sayısı, araç sayısı vb. osinüs Teoremi: Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü ile üçüncü kenarının uzunluğu arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem. koordinat düzlemi: bk. analitik düzlem. koordinat doğrusu: erçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire bir eşleştirilmesi ile oluşturulan sayı doğrusu. kutu grafiği: ir veri grubundaki en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini gösteren bir tür grafik. küme: İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesnelerden oluşan topluluk. kümenin elemanları: ir kümeyi oluşturan nesneler. L M N liste yöntemi: üme elemanlarının, küme parantezleri içinde her eleman arasına virgül konularak liste şeklinde herhangi bir sırayla verildiği gösterim biçimi. medyan: bk. ortanca. merkezi eğilim ölçüsü: ir sayı dizisini temsil eden tepe değer, ortanca ve aritmetik ortalama değerleri. merkezi yayılım ölçüsü: ir sayı dizisindeki terimlerin birbirine yakınlığını veya uzaklığını belirten standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı değerleri. mod: bk. tepe değer.

73 mutlak değer: ir gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığı. x, x < 0 mutlak değer fonksiyonu: f: R " R, f( x) = - + ( x, x 0 ifadesi ile tanımlanan ve tanım kümesindeki her gerçek sayıyı, sayı doğrusu üzerinde orijine olan uzaklığına eşleyen fonksiyon. negatif yönlü ilişki: İki farklı değişkenden biri artarken diğer değişken azalıyorsa bu iki değişken arasındaki ilişkiye negatif yönlü ilişki. O oran: İki çokluğun (niceliğin) bölme şeklinde birbiri ile a karşılaştırılması: a : b, b orantı: İki ya da daha fazla oranın eşitliği. orta dikme: ir doğru parçasına orta noktasından dik olan doğru. ortak özellik yöntemi: ir kümeyi elemanlarının taşıdığı şartları veya özellikleri belirterek ifade eden gösterim biçimi. ortanca: ir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında veri grubunu eşit sayıda iki gruba ayıran değer. örten fonksiyon: eğer kümesindeki her elemanın tanım kümesinden en az bir elemanla eşleştiği fonksiyon. P - R paradoks: oğru olduğu varsayıldığında çelişki ürettiği gibi yanlış olduğu varsayıldığında da çelişki üreten yargısal ifade. paragraf ispat biçimi: eometride, bir teoremin ispatının paragraf şeklinde detaylı açıklamaların birlikte verildiği ispat biçimi. parçalı tanımlı fonksiyon: Tanım kümesinin ayrık alt kümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksiyonlar. Pisagor Teoremi: ir dik üçgende, hipotenüs (c) ile dik kenarların (a ve b) uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem: dik üçgeni c = a + b pozitif yönlü ilişki: İki farklı değişkenden biri artarken diğer değişkende artıyorsa bu iki değişken arasındaki ilişkiye pozitif yönlü ilişki denir. rasyonel sayı: a, b Z (b 0) ve a, b aralarında asal olmak a üzere, şeklinde bir kesir olarak ifade edilebilen sayı. b sabit: eğişmeden kalan değer. sabit fonksiyon: Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinden yalnızca bir eleman ile eşleyen fonksiyon. saçılma grafiği: bk. serpme grafiği. serpme grafiği: İki farklı değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve kuvvetini gözlemlemek için verilerin sıralı ikililer olarak grafik üzerinde gösterildiği grafik türü. S sıralı ikili: kümesinden alınan bir a elemanı ile kümesinden alınan bir b elemanı kullanılarak oluşturulan (a, b) şeklindeki yeni eleman. simetrik fark: ( ) ve ( ) kümelerinin birleşimi: ( ) ( ) Sinüs Teoremi: Üçgenin kenar uzunlukları ve bu kenarların karşılarındaki açı ölçülerinin sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem. sonlu küme: leman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen küme. sonsuz: Verilmiş olan her büyüklükten daha büyük olan. sonsuz küme: Sonlu olmayan küme. standart sapma: ir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi veren merkezi yayılım ölçüsü. sürekli veri: esikli verilerin aksine belli bir aralıkta bütün değerleri alabilen veriler. Örneğin; bir cismin kütlesi ve boyu, zaman, uzaklık vb. sütun grafiği: Verilerin eksenler üzerinde sütunlarla veya çubuklarla ifade edildiği grafik türü. Tanım kümesi: ir fonksiyonun tanımlı olduğu küme. teorem: oğruluğu ya da yanlışlığı bir akıl yürütmeler silsilesi ile ispatlanabilen matematiksel ifade. T tepe değer: ir veri grubunda en çok tekrar eden değer. ters orantı: eğişkenlerden biri artarken diğeri azalan orantı.

74 trigonometrik oranlar: ir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki oranlar. tümler açılar: Ölçüleri toplamı 90 olan açılar. tümleyen küme: İstenen kümede olmayıp evrensel kümede olan elemanların kümesi. uzay: bk. evren. U - Ü üçgen: oğrusal olmayan üç noktayı, ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu geometrik şekil. üçgenin dış teğet çemberleri: ir üçgende kenarlara dıştan teğet olan çemberler. üçgen eşitsizliği: ir üçgende, herhangi iki kenar uzunluğunun toplamının üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olması. üst çeyrek: ir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca terim, veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sağ tarafta kalan veri grubu üst grup olmak üzere, üst grubun ortancasına üst çeyrek denir. V - Y Venn şeması: üme elemanlarının kapalı bir eğri veya çokgenin içinde, her bir elemanın yanına birer nokta konularak gösterildiği gösterim biçimi. vücut kitle indeksi: Vücut kütlesinin (kg) boy uzunluğunun (m) karesine oranı ile hesaplanan ve bir insanın vücudundaki yağ oranının tahmini göstergesi olan bir ölçü. yardımcı çizim: ir teoremi ispatlayabilmek ya da bir problemi çözebilmek için kullanılan ek çizim. yatay doğru testi: x-eksenine paralel doğrular çizerek verilen fonksiyon grafiğinden fonksiyonun bire bir veya örtenliğini ortaya koymakta kullanılan bir yöntem. yöndeş açı: Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde, kesenin aynı tarafında kalan aynı yönlü açılar. yükseklik: Üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen dik doğru parçası.

75 aynakça ngel,. R., bbott,.., & Runde,.. (004). Survey of Mathematics with pplications. New York, NY: ddison- Wesley. ufmann, R. N., Lockwood, J. S., Nation, R.., & legg,.. (010). Mathematical xcursions ( nd ed.). oston: rooks/ ole engage Learning. ello, I. (009). asic college Mathematics (3 rd ed.). New York: Mcraw-Hill ompanies. oyer,.., Merzbach, U.. ve simov, I. (1991). History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons. aki,. (008). uramdan Uygulamaya Matematik ğitimi. Trabzon: Harf Yayıncılık. arnes. (007). ncyclopedia of Trigonometry. elhi: lobal Media. ajori. (198). History of Mathematical Notations: Volume 1, Notations In lementary Mathematics. London: The Open ourt ompany Publishers. ajori. (1930). History of lementary Mathematics. London: Macmillan. evilliers, M. (005). eneralization of the nine-point circle and uler line. Pythagoras, 61, ökdal,. (1999). Heron ve rahmagupta ormülleri. Matematik ünyası,, 0-4. öker, L., (1997). Matematik Tarihi ve Türk İslam Matematikçilerinin Yeri. İstanbul: M Yayınları. eijzer, R., bels, M., Wijers, M., rinker, L. J., Shew, J.., ole,. R., & Pligge, M.. (006). Ratios and rates. Mathematics in ontext. hicago: ncyclopædia ritannica, Inc. rebs,. R. (004). roundbreaking Scientific xperiments, Inventions and iscoveries of the Middle ges and the Renaissance. London: reenwood Pub. Lial, M. L., Hornsby, J., & Mcinnis, T. (01). eginning and intermediate algebra (5 th ed.). oston: Pearson ducation. Mceague,. P. (010). asic Mathematics (7 th ed.). elmont: rooks/ole engage Learning. Miller, J., O Neill, M., & Hyde, N. (009). asic college mathematics ( nd ed.). New York: Mcraw-Hill ompanies. Murdock, J., amischke,., ve amischke,. (007). iscovering lgebra: n Investigative pproach ( nd ed.). meryville, : ey urriculum Press. Pickover,.. (009). The Math ook. New York: Sterling Publishing. Serra, M. (008). iscovering eometry: n Investigative pproach. meryville, : ey urriculum Press. T.. Milli ğitim akanlığı Talim ve Terbiye urulu aşkanlığı. (013). Ortaöğretim Matematik ersi (9, 10, 11 ve 1. Sınıflar) Öğretim Programı. nkara: T.. Milli ğitim akanlığı. Topdemir,. H. (011). Hipparkhos ve Trigonometrinin oğuşu. ilim ve Teknik, 58, Türk il urumu. (01). Yazım ılavuzu. nkara: Türk il urumu Yayınları. Türk il urumu. (011). Türkçe Sözlük. nkara: Türk il urumu Yayınları. Verma, S. (008). The Little ook of Maths Theorems, Theories & Things. Sydney: New Holland Publishers. Wells,. (011). eometrinin izli ünyası. İstanbul: oruk Yayınları. Yağcı, M. (004). ermat-toricelli Noktası. Matematik ünyası, 1,

76 Ünite No Sayfa No örselin lındığı Web Sayfası Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal fotoğrafler Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijial resimler Orijinal çizim 3 56 Orijinal çizim örsel aynakçası Ünite No Sayfa No örselin lındığı Web Sayfası Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim dijitalimaj.com Orijinal çizim dijitalimaj.com dijitalimaj.com Orijinal çizim Orijinal çizimler Orijinal çizimler dijitalimaj.com Orijinal çizim 4 69 Orijinal çizim Orijinal çizim dijitalimaj.com Orijinal çizim Orijinal çizim 4 70 Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Ünite No Sayfa No örselin lındığı Web Sayfası dijitalimaj.com 4 70 Orijinal çizim 4 74 Orijinal çizim 4 75 Orijinal çizimler 4 76 Orijinal çizimler 4 76 dijitalimaj.com 4 73 Orijinal çizim 4 74 Orijinal çizimler Orijinal çizimler dijitalimaj.com Orijinal çizimler Orijinal çizimler Orijinal çizim dijitalimaj.com Orijinal çizimler 4 76 Orijinal çizimler Orijinal çizimler Orijinal çizimler dijitalimaj.com dijitalimaj.com Orijinal çizimler 4 79 Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim dijitalimaj.com foto.aa.com.tr dijitalimaj.com 4 81 Orijinal çizimler Orijinal çizimler Orijinal çizimler 4 80 dijitalimaj.com 4 81 Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim