1. ÜNİTE TAM SAYILAR KONULAR 1. SAYILAR 2. Doğal Sayılar 3. Sayma Sayıları 4. Tam Sayılar(Yönlü sayılar) 5. Tam sayılarda Dört İşlem 6. Tek ve çift sayılar 7. Asal Sayılar 8. Bölünebilme Kuralları 9. Asal Çarpanlara Ayırma 10. En Küçük Ortak Kat (E.K.O.K) 11. En Büyük Ortak Bölen (E.B.O.B)
Aynı cinsten varlıkları saymak için kullanılan sayılara SAYMA SAYILARI denilmiştir. Bu sayıları gösterebilmek içinde RAKAM dediğimiz işaretleri kullanmışlardır. Buradan şu tanımlara ulaşabiliriz. RAKAM:Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları onluk sayma sisteminin birer rakamlarıdır. SAYI: Rakamları kullanarak tek başına veya çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye sayı denir. Örneğin 5 hem rakam hem de sayı iken, 85 bir sayıdır ve 8 ile 5 rakamlarıyla yazılır. 1.1 SAYILAR 1.1.1 Doğal Sayılar N={0,1,2,3,4,5,6,7 } kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. N veya D harfleriyle temsil edilir. En küçük doğal sayı 0 (sıfır) dır. 1.1.2 Sayma Sayıları Varlıkları saymaya yarayan, sıfırın dışındaki doğal sayılara sayma sayıları ya da pozitif doğal sayılar denir. Sayma sayıları kümesi ( ) ile gösterilir. = {1,2,3,4,5...n} dir. 1.1.3 Tam Sayılar (Yönlü Sayılar) Bir kış günü, termometrenin 2 dereceyi gösterdiği söylense bunun sıfırın altında veya üstünde olduğunu anlayamayız. Bunu ayırmak için sıfırın üstündeki derece ( + 2), sıfırın altındaki ( - 2) ile gösterilir. Tam sayıları kümesi ( Z ) ile gösterilir. = {1,2,3,4,5...n} Pozitif tamsayılar kümesidir. = {-n... -4,-3,-2,-1} Negatif tamsayılar kümesidir. Pozitif tamsayılar, negatif tamsayılar ve 0 (sıfır) ın oluşturduğu kümeye tamsayılar kümesi denir. 0 (sıfır) negatif veya pozitif işareti olmayan bir tam sayıdır. 17
1.1.3.1 Tam Sayılarda Dört İşlem Toplama: Aynı cinsten çoklukları bir araya getirmeye toplama dendiğini biliyoruz. Yan yana veya alt alta sayılar yazılır ve (+) işareti ile işlem yapılır. Toplanacak sayılar alt alta gelecek şekilde yazılır. Toplamaya önce birler basamağından başlanır, birler basamağının altına yazılır. Sonra onlar, yüzler, binler basamakları toplanır. Toplama sırasında tek haneli sayılar geçilirse onluklar elde tutulur. Örneğin birler basamağındaki sayı 14 ise 4 yazılır, bir onluk kaldığı için onlar basamağına bir eklenerek toplamaya devam edilir, onlar basamağındaki sayı 23 ise 3 yazılır, ikiyüzlük kaldığı için yüzler basamağına iki eklenerek toplamaya devam edilir. ÖRNEK 1: 8 ve 6 nın toplamı 14 eder. 4 yazılır ve 1 onluk onlar basamağında toplanacak sayılara eklenir Yan yana gösterimi 18 + 6 = 24 Toplama işleminde artarda sonsuz sayı toplanabilir. ÖRNEK 2: Yan yana gösterimi 29 + 83 = 112 Çıkarma: Çıkarma, temel aritmetik işlemlerden biridir. İki sayının farkının alınması işlemidir. Azalma anlamı vardır. (-) işaretiyle gösterilir. Toplamada olduğu gibi basamaklar alt alta getirilerek işlem yapılır. Başka bir ifade ile bir sayıdan başka bir sayıyı çıkarmak için ikinci terimin ters işaretlisi ilave edilir (Toplanır ). 18
(+) ile (+) toplamında sonuç (+) olur. (+) ile ( - ) toplamında sonuç değeri büyük olanın işareti olur. ( - ) ile (+) toplamında sonuç değeri büyük olanın işareti olur. ( - ) ile ( - ) toplamında sonuç ( - ) olur. ÖRNEK 3 : 9 den 5 çıkınca kalan 4, birler basamağının altına yazılır, onlar basamağında 2 den 1 çıkınca kalan 1, onlar basamağının altına yazılır. Çıkan sayının birler basamağındaki sayı, çıkarılan sayının birler basamağındaki sayıdan büyük ise çıkarılan sayının onlar basamağından bir onluk alınır ve birler basamağına eklenerek çıkarma işlemi yapılır. ÖRNEK 4 : 0 dan 2 çıkmaz 3 onluktan bir onluk alır 0 a ekleriz. Böylece 10 den 2 çıkınca 8 kalır. 3den bir onluk al dığımız için 2 onluk kalır. 2 den 7 çıkmaz 1 onluktan 1 onluk alırız 2 ye ekleriz. Böylece 12 den 7çıkınca 5 kalır. Çarpma: Temel aritmetik işlemlerden biridir. Çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir.(x) veya (.) işaretleriyle gösterilir. ÖRNEK 5: 20 = 5 + 5 + 5 + 5 yerine 20= 5 4 60 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 yerine 60=10 6 19
Bir çarpma işlemi yapılırken şu kural göz önünde bulundurulmalıdır. (+) ile (+) çarpımında sonuç (+) olur. (+) ile ( - ) çarpımında sonuç ( - ) olur. ( - ) ile (+) çarpımında sonuç ( - ) olur. ( - ) ile ( - ) çarpımında sonuç ( + ) olur. ÖRNEK 6: 3 x (-5) 3 x 5 =15 (-)x(+) - 15 olur. -6 x -2-6 x -2 =12 (-)x(-) +12 olur. İki veya Daha Fazla Basamaklı Çarpan İle Çarpma İşlemi Yapma Çarpanın en sağındaki rakamdan çarpma işlemine başlanır. Sağdan ikinci rakama geçildiğinde bir basamak sola kayılır ve çarpandaki basamak bitinceye kadar bu işleme devam edilir. Bu çarpımlar alt alta toplanır. Çarpmada Kolaylıklar Bir Doğal Sayıyı 10 ile, 100 ile, 1000 ile çarpmak: Çarpılacak doğal sayı yazılır, 10 ile çarpılacaksa sağına bir sıfır, 100 ile çarpılacaksa sağına iki sıfır, 1000 ile çarpılacaksa sayının sağına üç sıfır yazılır... ÖRNEKLER 1: 23 x 10 = 230 478 x 100 = 47800 1247x10000 = 12470000 20
Bir sayıyı 11 ile çarpma 1.yol: Çarpılan sayının önüne bir sıfır konur. Bulunan sayıya çarpılan sayı eklenir. ÖRNEK 7: 45 x 11 = 450 + 45 = 495 2.yol: İki basamaklı sayıların 11 ile çarpımı Sonuç üç basamak çıkacağı için, çarpılan sayının onlar basamağındaki sayı, yüzler basamağına, birler basamağındaki sayı yine birler basamağına yazılır. Çarpılan sayının rakamları toplanır, onlar basamağına yazılır. Toplam 9 dan büyük ise, yüzler basamağındaki sayıya bir eklenir. ÖRNEK 8: 34 x 11 = 3 (3+4) 4 = 374 76x 11 =7 (7+6) 6 = 836 Bir Sayıyı 5 İle Çarpmak Çarpılan sayının sonuna 0 konur. Bulunan sayı ikiye bölünür. ÖRNEK 9: 62 x 5 = 620 : 2 = 310 49 x 5 = 490 :2 = 245 Bölme: Bölmenin Sağlaması: Bölünen = (Bölen x Bölüm) + Kalan 21
Bölünen adı verilen bir sayıyı, bölen denilen öteki sayıda bulunan birimler kadar eşit parçalara ayırmaya bölme denir. Bölme işlemi sırasında bölünenin solundaki ilk basamaktan başlanır, bölen sayı içinde yoksa ikinci basamakla birlikte yapılır, bölümde birinci basamak bulunduktan sonra bölen sayı içinde yoksa ikinci basamakla birlikte bölüme bir sıfır konur. ÖRNEK 10: ÖRNEK 11: Yan yana gösterimi 527930 : 26 = 20305 şeklinde gösterilir. -Yan yana gösterimde kalanı göremeyiz. -Bir sayının 1 e bölünmesi yine bölünen sayıya eşittir 5:1=5 8:1=8 5:0= Tanımsız(Anlamsız) Sıfırın (0) bir sayıya bölünmesi yine sıfır (0) dır. 0 : 7 = 0 0 : 125 = 0 -Bir sayının 0 a bölümü tanımsızdır. -0 (sıfır) ı bir sayıya böldüğümüzde sonuç 0 (sıfır) dır. 1.1.3.2 Tek Ve Çift Sayılar 2 ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar; bölümünden 1 kalınını veren sayılara tek sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere çift sayılar (2n), tek sayılar (2n-1) şeklinde gösterilir. 1. Ç + Ç = Ç 5. Ç. T = Ç 2. T + T = Ç 6. T. T = T 3. T + Ç = T 7. 4. Ç. Ç = Ç 8. 22
1.1.3.3 Asal Sayılar Kedisinden ve 1 den başka böleni bulunmayan 2 ve 2 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43... Sadece 2 çift asal sayıdır. Diğer asal sayılar tektir. 1.1.3.4 Bölünebilme Kuralları 2 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Birler basamağı çift sayı ile biten sayılar, 2 ile tam olarak bölünürler. 2,4,6,8,10,12,14...100,102,...2n 3 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamlarının sayı değerleri toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir. ÖRNEK 12: 17760 sayısı 3 ile tam bölünür. Çünkü,1+7 + 7 + 6 + 0 = 21 ve 21 de 3 ün katıdır. ÖRNEK 13: 43210 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım. ÇÖZÜM: 43210 =4 + 3 + 2 + 1+ 0 = 10 = 3.3 + 1 43210 sayısının rakamlarının sayı değerlerinin toplamının 3 e bölümünden kalan 1 olduğu için 43210 sayısının 3 e bölümünden kalan 1 dir. 4 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Son iki (birler ve onlar) basamağı (iki basamaklı sayı gibi düşünerek) 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür, kalan ise bu sayı 4 ile bölünerek bulunur. ÖRNEK 14: 1348 sayısı 4 ile tam bölünür. Çünkü 1348 sayısının son iki basamağı 48, 4 ile kalansız bölünür. 19108 sayısı 4 ile tam bölünür. Çünkü 19108 sayısının son iki basamağı 08, 4 ile kalansız bölünür. 23
1234 sayısı 4 ile tam bölünmez. Çünkü 1234 sayısının son iki basamağı 34, 4 ile kalnsız bölünmez.12 34 sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 dir. 5 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 e tam bölünür. Bir sayının 5 e bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakamın 5 e bölümünden kalandır.15, 25, 30, 55, 195, 1240, 1300 sayıları 5 ile tam bölünür. ÖRNEK 15: 120 sayısı 5 ile tam bölünür. Çünkü, 120 sayısının son basamağı 0 dır. ÖRNEK 16: 137, 2580, 587963, 4789631 sayılarının 5 ile bölümünden kalanı bulalım. ÇÖZÜM: 137 sayısının son basamağı 7 olduğu için kalanı bulmak için 7 ile işlem yapacağız. 7:5 den kalan 2 dir. 2580 sayısının son basamağı 0 olduğu için kalanı bulmak için 0 ile işlem yapacağız. 0:5 den kalan 0 dir. 587963 sayısının son basamağı 3 olduğu için kalanı bulmak için 3 ile işlem yapacağız. 3:5 den kalan 3 dir. 4789631 sayısının son basamağı 1 olduğu için kalanı bulmak için 1 ile işlem yapacağız. 1:5 den kalan 1 dir. 9 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 ün katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 e bölümünden kalan, rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 a bölümünden kalana eşittir. ÖRNEK 17: 58416741 sayısı 9 ile tam bölünür. Çünkü,5+8+4+1+6+7+4+1 = 36 ve 36 da 9 un katıdır. 24
ÖRNEK 18: 785215537 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım. ÇÖZÜM: 785215537=7 +8+5+2+1+5+5+3+7 = 43 = 9.4 +7785214637 sayısının rakamlarının sayı değerlerinin toplamının 9 a bölümünden kalan 7 olduğu için 785214637 sayısının 9 a bölümünden kalan 7dir. 10 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Birler basamağı 0(sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünür. Bir sayının birler basamağındaki rakam bu sayının 10 a bölümünden kalanıdır. ÖRNEK 19: 1250 sayısı 10 ile tam bölünür. Çünkü birler basamağındaki rakam 0(sıfır) dır. 230587 sayısı 10 ile tam bölünemez. Çünkü birler basamağındaki rakam 7 dir. 10 ile bölümünden kalan 7 dir. 789452 sayısı 10 ile tam bölünemez. Çünkü birler basamağındaki rakam 2 dir. 10 ile bölümünden kalan 2 dir 24580 sayısı 10 ile tam bölünür. Çünkü birler basamağındaki rakam 0(sıfır) dır. 1.1.3.5 Asal Çarpanlara Ayırma İstenen sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasına asal çarpanlara ayırma denir. Asal çarpanlara ayırma işlemi aşağıdaki şekilde yapılır. Önce en küçük sayı asal sayı olan 2 den bölme işlemine başlanarak sayılar bölünür. 2 ye bölme işlemi bitmişse ya da sayı artık 2 ye bölünemiyorsa sırayla 3, 5, 7, 11... bölerek devam edilir. Ta ki artık sayı bölünmeyene kadar bu işlem yapılır. 12 = 2.2. 3 asal çarpanlar={2,3} dir 25
ÖRNEKLER: 48 sayısının asal çarpanları={2,3} dür. 18 sayısının asal çarpanları={2,3} dür. 60 sayısının asal çarpanları={2,3,5,} dir. 420 sayısının asal çarpanları={2,3,5,7} dir. 1.1.4 En Küçük Ortak Kat (E.K.O.K) İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasında en küçük olan sayma sayısına bu sayıların E.K.O.K. u denir. Verilen sayılar asal çarpanlara ayrılır; ortak çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayan çarpanların en büyük üslüleri çarpılır. ÖRNEK 20: 24 ve 60 sayılarının (EKOK) bulalım. EKOK u bulmak için bütün bölenleri çarparız. 26
ÖRNEK 21: ÖRNEK 22: 40,88 ve 256 sayılarının (EKOK) bulalım. =14080 1.1.5 En Büyük Ortak Bölen (E.B.O.B) İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasında en büyük doğal sayıya bu sayıların E.B.O.B u denir. EBOB i bulmak için sayıların asal çarpanları bulunur, ortak çarpanların en küçük üslüleri alınarak birbiri ile çarpılır. Ortak olmayanlar alınmaz. ÖRNEK 23: 24 ve 60 sayısının EBOB unu bulalım. 27
ÖRNEK 24: 48 ve 72 sayısının EBOB unu bulalım. ÖRNEK 25: 40,60 ve 90 sayısının EBOB unu bulalım. EBOB(40,60,90)=2.5=2.5 = 10 28
ÖZET Aynı cinsten varlıkları saymak için kullanılan sayılara SAYMA SAYILARI denilmiştir RAKAM: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir SAYI: Rakamları kullanarak tek başına veya çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye sayı denir. Doğal Sayılar N={0,1,2,3,4,5,6,7 } kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. Sayma Sayıları Varlıkları saymaya yarayan, sıfırın dışındaki doğal sayılara sayma sayıları ya da pozitif doğal sayılar denir Tam Sayılar (Yönlü sayılar) Doğal sayılar ve bunların negatiflerinden meydana gelir. Tek ve çift sayılar 2 ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar; bölümünden 1 kalınını veren sayılara tek sayılar denir. Asal Sayılar Kedisinden ve 1 den başka böleni bulunmayan 2 ve 2 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir. Bölünebilme Kuralları 2 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Birler basamağı çift sayı ile biten sayılar, 2 ile tam olarak bölünürler. 3 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. 4 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Son iki (birler ve onlar) basamağı (iki basamaklı sayı gibi düşünerek) 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür 5 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 e tam bölünür 9 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 ün katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. 10 İle Tam Olarak Bölünebilen Sayılar 29
Birler basamağı 0(sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünür. Asal Çarpanlara Ayırma İstenen sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasına asal çarpanlara ayırma denir. En Küçük Ortak Kat (E.K.O.K) İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasında en küçük olan sayma sayısına bu sayıların E.K.O.K. u denir En Büyük Ortak Bölen (E.B.O.B) İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasında en büyük doğal sayıya bu sayıların E.B.O.B u denir 30
DEĞERLENDİRME SORULARI 1) Aşağıdaki sayılardan hangisi tek sayıdır? A) 1114 B) 3332 C) 7138 D) 4265 E)188 2) Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A) 15 B) 21 C) 19 D) 24 E)9 3) Aşağıdaki sayılardan hangisi 2 ye tam olarak bölünür? A) 11330 B) 44425 C) 22263 D) 66677 E)14425 4) Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 e tam olarak bölünür? A) 20816 B) 25014 C) 37250 D)33323 E)1242902 5) Aşağıdaki sayılardan hangisi 4 e tam olarak bölünebilir? A) 6200 B) 25014 C) 37250 D) 5714 E)3055 6) Aşağıdaki sayılardan hangisi 5 e tam olarak bölünür? A) 1110 B) 55014 C) 26706 D)35353 E)58903 7) Aşağıdaki sayılardan hangisi 9 a tam olarak bölünür? A) 3589 B) 7642 C) 9896 D)2637 E)18725423 8) 360, 200, 160 sayılarının EBOB aşağıdakilerden hangisidir? A) 36 B) 40 C) 20 D) 16 E)24 9) 240, 180 100 sayılarının EKOK aşağıdakilerden hangisidir? A) 1200 B) 1800 C) 1000 D) 3600 E)2400 10) 640 ile 1620 sayılarının EBOB ile EKOK toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 51448 B) 51484 C) 51860 D) 52804 E)512487 31
11) Aşağıdaki işlemlerden hangisi doğrudur? A) 7x0=7 B) 0x7 = 7 C) 7x1 =7 D) 7x7 =7 E) 0x0=1 12)12 basamaklı ABABABABABAB sayısının 9 a bölümünden kalan 3 olduğuna göre, A+B en çok kaç olabilir? A) 1 B) 12 C) 14 D) 16 E) 17 13) Toplamları 205 olan iki doğal sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 8 ve kalan 7 dir. Buna göre büyük sayı kaçtır? A) 177 B) 180 C) 183 D)185 E)188 32