hapter 7 Logic ircuits. State the advantages of digital technology compared to analog technology. 2. Understand the terminology of digital circuits. 3. onvert numbers between decimal, binary, and other forms. 5. Understand the binary arithmetic operations used in computers and other digital systems. 6. Interconnect logic gates of various types to implement a given logic function. 7. Use Karnaugh maps to minimize the number of gates needed to implement a logic function. 8. Understand how gates are connected together to form flip-flops and registers. dvantages of the Digital pproach Provided that the noise amplitude is not too large, the logic values represented by a digital signal can still be determined after noise is added. With modern I technology, it is possible to manufacture exceedingly complex digital circuits economically.
Definitions Positive versus Negative Logic Digital Words In parallel transmission, an n-bit word is transferred on n wires, one wire for each bit, plus a common or ground wire. In serial transmission, the successive bits of the word are transferred one after the other with a single pair of wires. 743.2 inary Numbers 2 7 4 3 2. 3 2 2 7 2 2 2 2 2 3. 5 2
Gray ode 3
omplement rithmetic The one s complement of a binary number is obtained by replacing s by s, and vice versa. (one s complement) The two s complement of a binary number is obtained by adding to the one s complement, neglecting the carry (if any) out of the most significant bit. omplements are useful for representing negative numbers and performing subtraction in computers. Subtraction Using Two s- omplement rithmetic Overflow and Underflow In performing arithmetic using two scomplement arithmetic, we must be aware of the possibility of overflow in which the result exceeds the maximum value that can be represented by the word length in use. 4
5
oolean algebra expressions can be implemented by interconnection of ND gates, OR gates, and inverters. De Morgan s Laws D E F D E F If the variables in a logic expression are replaced by their inverses, the ND operation is replaced by OR, the OR operation is replaced by ND, and the entire expression is inverted, the resulting logic expression yields the same values as before the changes. 6
NND, NOR, and XOR Gates Sum-of-Products Implementation Product terms that include all of the input variables (or their inverses) are called minterms. In a sum-of-products expression, we form a product of all the input variables (or their inverses) for each row of the truth table for which the result is logic. The output is the sum of these products. 7
Product-of-Sums Implementation Sum terms that include all of the input variables (or their inverses) are called maxterms. In a product-of-sums expression, we form a sum of all the input variables (or their inverses) for each row of the truth table for which the result is logic. The output is the product of these sums. 8
Many useful combinatorial circuits known as decoders, encoders, or translators are available as integrated circuits. Karnaugh Maps 9
2
SISL SİSTEMLER nalog - Sayısal (Dijital) İşaretler: Gerçek dünyada karşılaştığımız bir çok fiziksel büyüklüğün (akım, gerilim,sıcaklık, ışık şiddeti vb.) değeri sürekli bir aralık içinde değişmektedir. Sınırlar arasındaki her türlü olası değeri alabilen bu tür işaretlere analog işaretler denir. İkili (binary) sayısal işaretler ise belli bir anda sadece olası iki değerdenbirini alabilirler: -, yüksek alçak, doğru yanlış, açık - kapalı. SISL SİSTEMLER Sayısal Sistemlerin vantajları: Eskiden analog sistemlerin kullanıldığı bir çok alanda günümüzde daha avantajlı olduğundan sayısal sistemler kullanılmaktadır. Örnekler: Fotoğrafçılık, video, ses kayıtları, otomobil motorları, telefon sistemleri vb. Sayısal Sistemlerin vantajları: ir sayısal sisteme belli bir giriş kümesi defalarca uygulandığında hep aynı çıkış kümesi elde edilir. urada aynı giriş kümesinin uygulanması demek her defasında aynı değer dizisinin aynı sırada uygulanması demektir. nalog sistemler ise çevre koşullarından daha çok etkilenirler. Sayısal tasarım (lojik tasarım) dayandığı matematiksel temeller açısından daha kolaydır. yrıca sayısal sistemleri test etmek ve hatalardan arındırmak da analog sistemlere göre daha kolaydır. Esneklik ve programlanabilirlik. Günümüzde sayısal sistemleri programlanabilir bilgisayarlar şeklinde gerçeklemek mümkündür. u sayede aynı tasarım yeni gereksinimlere göre yeniden programlanarak tekrar kullanılabilmektedir. Sayısal verileri bilgisayar ortamında saklamak ve işlemek mümkündür. Sayısal sistemler daha hızlı çalışmaktadır. Sayısal sistemler küçülmekte ve ucuzlamaktadır. Sayısal sistemler gelişmeye devam ediyor. 3
SISL SİSTEMLER SISL SİSTEMLER Sayısal Kodlama: Sayısal sistemler ikili sayısal işaretler üzerinde işlemler yaptıklarından sadece iki farklı değeri işleyebilirler. u nedenle sayısal devreler yardımıyla üzerinde işlem yapılacak olan fiziksel büyüklüklere (gerilim, sıcaklık vs.) ve her türlü veriye (harf, sayı, renk, ses) ikili sayılar karşı düşürülür. Örneğin 8 basamaklı (8 bitlik inary digit ) bir ikili sayı kullanarak 28 tane (256) farklı şey ifade edebiliriz. unlar 256 farklı renk, 256 sembol, ile 255 arası tamsayılar, ile 256 arası tamsayılar, -28 ile +27 arası tamsayılar olabilir. ir ikili değerin (Örneğin ) ne anlama geldiğine o değeri kullanacak olan sistemi (donanım ya da yazılım sistemi olabilir) kişi belirler. u değer bir sayı da olabilir bir renk de. Özellikle sayıların kodlanması büyük önem taşır. u konu mikroişlemci sistemleri dersinde ele alınacaktır. u derste bazı temel kodlama yöntemlerine ilişkin bilgiler verilecektir. SISL SİSTEMLER Sayı sistemleri, tabanlarına göre isimlendirilir. Dijital elektronikte en çok kullanılan tabanlar onluk (decimal), sekizlik (Octal) ve onaltılık (hexadesimal) tabanlardır. Tabanlar (23) Onluk (Desimal) Sayı Sistemi : Desimal sayı sistemi hepimizin bildiği,,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarını kullanan bir sistemdir. Sistemin tabanı 'dur. Örnek olarak 23 sayısını ele alalım; 23 = 2. ² + 3. ¹ +. º ukarıdaki işlemde nokta (.) çarpma işlemi yerine kullanılmıştır. undan sonra çarpma işlemi için nokta işaretini kullanacağız. İkili (inary) Sayı Sistemi: ikili sayı sisteminin tabanı 2'dir. u sistemde kullanılan rakamlar sadeec ve 'dır. u sayı sistemine İngilizce'de ikili sayı anlamına gelen inary Numbers yani inary sayı sistemi denilmiştir. Her sayı dijit olarak ifade edilir ve basamaklar 2'nin kuvveti olarak yazılır. Örneğin 4 dijitten (haneden) oluşan yani 4-bitlik bir sayının bit ağırlıkları 2³,2²,2¹,2º 'dır. it ağırlıklarının en küçük olduğu dijite en küçük değerlikli sayı (Least significant digit, LSD), bit ağırlığının en büyük olduğu dijite ise en büyük değerlikli sayı (Most significant digit) denir. SISL SİSTEMLER inary'den desimale çevirme işlemi: Her bir bit kendi kuvveti ile çarpılır ve hepsi toplanır. Örnek olarak () sayısını ele alalım; () =. 2² +. 2¹ +. 2º = 4 + 2 + = 6 Desimal'den binary'e çevirme işlemi: Çevirmek istediğimiz sayıyı bölüm ikiden küçük olana kadar 2'ye böleriz. İkiden küçük olan bölüm ile başlayarak sırayla sondan başa doğru kalanları yazarız ve elde ettiğimiz bir ve sıfırlarla oluşmuş sayı binary karşılığıdır. Örnek olarak sayısını ele alalım ; /2 = 5 kalan : 5 /2 = 2 kalan : 2 /2 = kalan : sayımız() u kez 5 sayısını ele alalım ; 5/2 = 7 kalan : 7/ 2 = 3 kalan : 3/ 2 = kalan : sayımız() SISL SİSTEMLER SISL SİSTEMLER 4
ÇEVİRİİ (Inverter): Sembol: Giris Çikis Mantık Kapıları Doğruluk Tablosu (Truth Table): VE (ND) KPISI: Sembol: Verilen girişe göre çıkış sinyalini çiziniz. İki veya daha fazla girişli olabilir. Fonksiyon: = Doğruluk Tablosu (Truth Table): 2 giriş = 2 2 = 4 girişlerin değişik kombinezyonu vardır. n = giriş sayısı, girişlerin değişik kombinezyonu = 2 n olur. Giriş Çıkış Üç girişli: 2 3 = 8 değişik kombinezonu vardır. Fonksiyonu: Doğruluk Tablosu = 5
6 Dört girişli, 2 4 = 6 değişik kombinezon. D = D D Çikis sinyalini çiziniz. VE DEĞİL KPISI (Not ND, NND GTE): Sembol: invert (evirme) Fonksiyon: invert demektir. Üç girişli: Fonksiyon: Doğruluk Tablosu: Dört girişli D Fonksiyon: D NND
VE KPISI ( OR GTE): Sembol: Doğruluk Tablosu: İki girişli olduğunda 2 2 = 4 olur. = + = + + = + + + D D Giriş Çıkış İkiden fazla girişi olabilir. Üç girişli olduğunda 2 3 = 8 olur. Doğruluk Tablosu: VE - DEĞİL KPISI (NOT OR NOR GTE): Sembol: evirici(inverter) NOT-OR NOR D = + = + + = + + + D Doğruluk Tablosu: Giriş Çıkış İki adet su deposunun dolu olup olmadığını gösterecek ve ayrıca hangisinin boş olduğunu gösterecek bir lojik devre tasarımı yapınız. Her depo için bir algılayıcı kullanınız. Depo dolu iken algılayıcı 5v () sinyali üretecek, depo boş iken v () üretecek. 7
algilayici (sensor) not Katot + - LED ileri etkilemede Diyot çalisir. L not voltajı katot voltajından,7v (v) daha fazla olursa Diyot çalışır. R L2 R limiting resistor ( - 22) L3 R LED isik yayan diyot (light emitting diode) L 3 ; herhangi ve iki depo aynı anda boşalırsa göstergededir. L ; Depo boşaldığı zaman gösterir. L 2 ; Depo2 boşaldığı zaman gösterir. ir uçak pilotuna inişi geçtiği anda eğer herhangi bir tekerlek açılmadığı zaman ve hangi tekerleğin açılmadığını gösterecek bir sayısal devre tasarlayınız. Her tekerlek için ayrı bir anahtar kullanın. Tekerleklerde kullanılan anahtar, tekerlek kapalı olduğunda (5v) verir, açıldığı zaman (v) verir. sw sw2 sw3 sw: anahtar sw2: anahtar 2 sw3: anahtar 3 sw sw2 sw3 R L3 R L2 L; Herhangi bir veya en az bir tekerlek açılmadığı zaman gösterir. L L ; 3. tekerlek açılmadığı zaman gösterecek. L 2 ; 2. tekerlek açılmadığı zaman gösterecek. R R L ŞRTLI VE KPISI (EXLUSIVE OR GTE): Iki girişli bir elemandır. Genellikle karşılaştırma yapmak için kullanılır. Sembol: Fonksiyon: L 3 ;. terkerlek açılmadığı zaman gösterecek. 8
Doğruluk Tablosu: 4 bitlik iki binari sayısı karşılaştırıp, aynı olup olmadıklarını gösterecek bir sayısal devre tasarlayınız. 3 2 3 2 Iki girişte aynı ise, çıkış olur. R L3 R L2 R L R L L, L, L2 ve L3 ten en az bir tanesi ON olursa iki sayı birbirine eşit değil demektir. Herhangi bir LED ON olmaz ise sayılar eşit demektir. Lambaları yakmak için, çıkış olur. unu göstermek için; Çıkış olursa göstermesi içi; 5V 5V )- VE (ND) Fonksiyonu : VE foksiyonu bir çarpma fonksiyonudur. Q=. olarak ifade edilir. irbirlerine seri olarak bağlanmış ve anahtarları ND fonksiyonudur. u fonksiyonda, Q lambasının yanabilmesi için her iki anahtarında kapalı olması şarttır. nahtarlardan herhangi birisinin açık olması durumunda lamba yanmayacaktır. Doğruluk Tabloları : Lojik fonksiyon her ne olursa olsun uygulamada giriş değişkenlerinin olacağı duruma göre çıkış değişkenlerinin alacağı durumu gösteren tablolara ihtiyaç duyulur. u tablolara doğruluk tablosu denir. Doğruluk tablosu sayesinde hataları görme olanağı ve fonksiyona ait kurallarda görülebilir. ND Doğruluk Tablosu : n: Giriş değişken sayısı 2 n : foksiyonun alabileceği değişik durum sayısı una göre iki girişli VE fonksiyonu için n:2 olur. 2 n Fonksiyonuna göre 2 2 =2.2=4 değişik durum söz konusu olur. Doğruluk tablosunun sütununa yukarıdan aşağıya olmak üzere; () durumları yazılır. sütununa ise yukarıdan aşağıya olmak üzere; () durumları yazılır. 2)- VE (OR) Fonksiyonu : VE fonksiyonu birden fazla anahtarların paralel bağlanması ile elde edilir. şağıdaki şekilde, anahtarları birbirine paralel bağlıdırlar. O halde bu devre bir VE fonksiyonudur. Q lambasının yanabilmesi için veya anahtarlarından herhangi birisinin kapatılması veya her ikisinin de kapalı olması gerekmektedir. VE fonksiyonu matematikte toplama işlemi yapar. Doğruluk Tablosu : Fonksiyonda iki giriş bulunduğundan n=2 olacaktır. 2 n formülünden 2 2 =2.2=4 olur. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : Sembolü : Elektrik Eşdeğeri : Doğruluk Tablosu : Sembolü : Giriş Çıkış Q ND & Q Q Q Giriş Çıkış Q OR > Q 9
3)- DEĞİL (NOT) Fonksiyonu : DEĞİL fonksiyonu, girişteki işareti çıkışta tersine çevirmektedir. Örneğin girişten sinyali uygulandığında çıkış ve girişten sinyali uygulandığında çıkış olur. aşka bir ifadeyle NOT fonksiyonu, tersleme özelliğine sahiptir. Uygulamada bu fonksiyona inverter denilmektedir. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : Sembolü : Giriş Çıkış Q NOT Q 5)- VE DEĞİL (NOR) Fonksiyonu : NOR kavramı İngilizcede OR ve NOT kelimelerinin birleşmesi ile meydana gelmiştir. Pratikte NOR fonksiyonu oluşturabilmek için OR fonksiyonunun çıkışına bir NOT fonksiyonu ilave edilir. u fonksiyon, OR işleminden elde edilen sonucu tersine çevirir. 4)- VEDEĞİL (NND) Fonksiyonu : NND kavramı İngilizcede NOT ve ND kelimelerinin birleşmesi ile meydana getirilmiştir. Pratikte NND fonksiyonu oluşturabilmek için bir ND fonksiyonu çıkışına NOT fonksiyonu ilave etmek yeterlidir. OR > Q NOR > Q ND & Q NND & NOR fonksiyonu Q=+ şeklinde ifade eldir. NND fonksiyonu Q =. şeklinde ifade edilir. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : Giriş Çıkış Q.. Elektrik eşdeğer devresinde ve elemanlarının her ikisinin de açık olması durumunda Q çıkış elemanı aktif olur. Devredeki R direnci ve buton elemanlarının her ikisinin kapalı olması durumunda kısa devre olmasını önlemek için konulmuştur. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : Giriş Çıkış Q Q 6)- X-OR (ÖZEL VE) Fonksiyonu : dından da anlaşılabileceği gibi X-OR fonksiyonu, OR fonksiyonunun özel bir şeklidir. İki giriş ve bir çıkışa sahip olan bir fonksiyondur. Özel Veya ( X-OR ) fonksiyonunun elektriksel eşdeğeri incelendiğinde, devredeki her iki anahtarın da özel çift yollu (jocking) kalıcı tip anahtar olduğu görülmektedir. u anahtar yapısında hem normalde kapalı kontak grubu, hem de normalde açık kontak grubu olmak üzere iki çeşit kontak bulunur. nahtara basıldığında normalde kapalı kontak açılıp, normalde açık kontak ise kapanmaktadır. veya Normalde çık kontak veya Normalde Kapalı Kontak Elektriksel Eşdeğer: Sembolü: Doğruluk Tablosu: Q = Q=.+. Lojik Fonksiyon lok Diyagramı: ND. & OR Giriş Çıkış Q OOLEN EİR VE SDELEŞTİRME (OOLEN LGER SIMPLIFITION) ND > &. Doğruluk tablosunda Q çıkışının aktif olduğu (lojik ) durumlar ve giriş elemanlarının ve gibi farklı değerlere sahip olduğu durumlardır. O halde özel veya fonksiyonu girişleri aynı değerlere sahipse çıkış sıfır, farklı değerlere sahipse çıkış aktif (lojik ) olur. Özel Veya fonksiyonu elektrik eşdeğeri incelendiğinde hem seri hem de paralel kontak gruplarının bulunduğu görülür. u nedenle bu fonksiyon özelliği olan veya anlamında özel veya fonksiyonu olarak isimlendirilmiştir. Özel veya fonksiyonunun pratikte kullanımına en iyi örnek vaviyen tesisler gösterilebilir. ollean ebir Kuralları:. erdeğiştirme Kural (ommutative Law): a) + = + =+ =+ 2. irleşme Kuralı (ssociative Law): a) + ( + ) = ( + ) + b) () = () b) = = = () () NOT: Kapı girişlerindeki sıra ne olursa olsun işlem aynıdır. 2
3. Dağılım Kuralı (Distribute Law): ( + ) = + Temel ebir Kuralları:. + = Sıfır ile OR yapmak değişken kendisini verir. (+) + 2. + = = + = = + = ir sayıyı ile OR yapmak her zaman i verir. 3.. = Sıfır ve ND yapmak her zaman sıfır verir. 4.. = eğer =. = =. = 5. + = eğer = + = = + = Kendisi ile OR yapmak yine kendisini verir. 6. + = = = + = Değerli ile OR yapmak her zaman verir. 7.. = =. = =. = = = + = 8.. = Değili ile ND yapmak her zaman verir. 9. = İki defa değil yapmak kendisini verir.. +. = Isbat: parantezine alınırsa, ( + ) =. = = =. = = =. =. +. = + İsbat: yerine + koyunuz. ( + ) + yerine. ve fazladan bir terimi yazınız. = olduğundan ve + fonksiyonu değiştirmediğinden I ilave etmek fonksiyonu değiştirmez. + + + = ( + ) ( + ) =. ( + ) = + 2. ( + ). ( + ) = + De Morgan Kuralları:. = + 2. + =. + + 2
De Morgan kurallarını uygulayınız. ) D D D 2) ( + ) + ( D(E + F)) K L K. L = ( + ) (D(E + F)) = ( + ) (D(E + F)) = ( + ) (D + E + F) = D + E + F +D + F + F 3) ( + ) + = ( + ) =.. D oolean ebir Kurallarına Göre Mantık Devrelerinin nalizi: D +D (+D) Doğruluk Tablosu: D ( + D) oolean ebir i Kullanarak asitleme: + ( + ) + ( + ) = + + + + = + + + = + + + = + + + Örnek2: + + + + = ( + ) + + + = + ( + ) + = + + = + ( + ) = + ( + ) = + + İlk devre, sadeleştirilmiş devreye göre; Daha az karmaşıktır. Daha az malzeme kullanılır. Daha kolay kurulur. Daha ucuzdur. Daha hızlıdır. 22
Örnek3: + ( + ) + ( + ) ND NOR NOR ND ND OR INVERTER 2 girisli NOR 3 2 girisli ND 3 girisli OR 6 gate + ( + ) + ( + ) ( ) Fonksiyonlar, toplamların çarpımı (product of sums (POS)) veya çarpımların toplamı (sum of products(sop)) şeklinde bulunabilir.. Toplamların Çarpımı (Product of Sums, POS) Formu: = ( + + ) ( + ) ( + ) ==> POS 2. Çarpımların Toplamı (Sum of Products, SOP) Formu: = + + ==> SOP FONKSİONLRIN STNDRT FORMLRI Herhangi bir fonksiyonun, standart formunda tüm değişkenler, her terimde kendisi veya değili olarak bulunmalıdır. = +,, fonksiyon değişkenleri ) Terimlerdeki eksik değişkenler ile (kendisi + değili) ilgili terimler çarpılmalıdır. 2) Daha sonra parantezlerde ortadan kaldırılmalıdır. Terim: eksik ( + ) = (. = ) Terim2: üç değişkende mevcuttur = ( + ) + s = + + = s = ( + + ) ( + + D) ( + + + D) ;,,, D değişkenler T ( + + ) "D" eksik T2 ( + + D) "" eksik standart POS şeklinde ifade ediniz. T = + + ( + + + D). ( + + + D) T2 = + + D ( + + D + ). ( + + D + ) T3 = + + + D standarttır. s = ( + + + D). ( + + + D). ( + + +D) = ( + + + D). ( + + + D) = +, SOP formundaki yi satndart forumda yazınız. T = eksiktir. ( + ) T2 = eksiktir. ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) s = + + + + + s 23
POS SOP Dönüşümü: ( + ) ( + + ) POS Parantezler direk olarak çarpılır. POS SOP paranteleri direk olarak çarpıp açınız. ( + ) ( + + ) = + + + + + = + + + SOP POS Dönüşümü: = + + + +,, n = 3 = 2 3 = 8 kombinezonu vardır. (değiline, kendisine yaz) ( + + ) ( + + ) ( + + ) = ( + + ). ( + + ). ( + + ) Karno Haritaları oolean matematiğinde yapılan sadeleştirmeleri karno haritasında daha kolay ve daha güvenilir yapmak mümkün. Karno haritası, sadeleştirme ve dijital devre tasarımında kullanılmaktadır. Değişken sayısına göre karno haritası düzenlenir. Örneğin 2 değişken ( ), 5 değişken ( D E) gibi. Karno haritası en fazla 6 değişkenli eşitlikleri sadeleştirmede kullanılır. şağıda değişken sayısına göre karno düzenleme anlatılmıştır. Değişken Sayısına Göre Karno Hazırlama : Karno haritasında kaç kutu olacağını 2n (2 üzeri n) formülü ile bulabilirsiniz. N değişken adedini belirtir. şağıdaki tabloda değişkenin değili olan yerlere, değişkenin kendisi olan yerlere de konur. a) 2 Değişkenli karno haritası : (, ) yani 2 2 = 4 kutu b) 3 Değişkenli karno haritası : (,, ) 2 3 = 8 kutu c) 4 Değişkenli karno haritası : (,,, D) 2 4 = 6 kutu Tablodan Karno Haritasına Geçiş : şağıda görülen tablolarda tasarlanacak lojik devrenin giriş ve çıkış durumları görülmektedir. Çıkış durumları tasarımcının isteğine bağlıdır. Çıkışlar, "girişler... iken çıkışlar... olsun" şeklinde tasarlanır. Daha sonra tablodaki çıkış değerleri karno haritasına aktarılır. Karno haritasındaki kutuların sağ alt köşesindeki mavi renkte yazılmış olan numaralar kutu numaralarıdır. u numaralar tabloda da görülmektedir ve çıkış değerleri karnoya bu numaralara göre yerleştirilir. irde daha önceki konuda yani "Karno Haritası Düzenleme" konusunda görüldüğü gibi, yerleştirme, değişkenlerin durumuna göre de yapılmaktadır. Değişkenin değili (') gösterilen yerlere değişkenin olduğu, değişkenin kendisi () gösterilen yerlere de değişkenin olduğu durumlardaki çıkış değerleri yazılır. 24
ukarıdaki tablodaki çıkış değerleri karno haritasına, tabloda görülen kutu numaralarına göre yerleştirilmiştir. Karno haritasındaki kutuların sağ alt köşelerindeki mavi renk numaralar, kutu numaralarıdır. slında tablodan karno haritasına geçiş yapılırken ve değişkenlerinin göz önüne alınması gerekmektedir. ani ve değişkenlerinin olduğu durumdaki çıkış değeri karnoda da ve değişkenlerinin olduğu kutuya yazılmalıdır. u kutu da, görüldüğü gibi nolu kutudur. Daha fazla değişkenli karnolarda da bu kural geçerlidir. u kural ayrıca daha kolaylık sağlar. Karnoda çapraz gruplama yapılamaz. Gruplama yapılırken birbirine yakın olan tüm 'ler gruba dahil edilmelidir. yrıca bir gruba dahil olan, diğer gruba da uyum sağlıyorsa o gruba da alınmalıdır. ir grupta ne kadar çok olursa o kadar sade bir tanım elde edilir. irde aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi en dış kısımda bulunan 'ler gruba alınabilirler. Karno haritasını bir kağıt gibi düşünürsek, üst veya yan kenarlarını uç uca getirdiğimizde bu 'lerin bir grup oluşturabildiğini görürüz. Karno haritasında sadeleştirme yapılırken karno içerisindeki ler gruplandırılırlar. lar ise dikkate alınmazlar. u 'leri gruplandırmanın bir çok yöntemi vardır. yrıca gruplandırmada en doğru olan, en sade olan gruplandırmadır. Şimdi bunları inceleyelim. şağıda karno gruplandırma ve bu grupların tanımı bulunmaktadır. En doğru gruplandırma en sade olanıdır. Grupların tanımları çıkarılırken, grubun kapsadığı kutularda değişiklik göstermeyen değişkenler alınır. Değişiklik gösteren değişkenler etkisiz sayılır. lınan değişken ise tanıma değişkenin değili, ise de değişkenin kendisi yazılır. Örneğin yan tarafta doğru olan karnoda üstteki yatay grubu ele alalım. Grup iki kutu kapsıyor. u kutular 'nın ve 'nin olduğu ('.') kutudur. Diğer kapsadığı kutu ise 'nın, 'nin ise olduğu (.') kutudur. İki tanımı ele aldığımızda ('.') (.') değişkeninin değiştiğini değişkeninin ise sabit kaldığını görüyoruz. u durumda değişkeni etkisizdir. ani, 'da 'de olsa çıkışı etkilemez. Tanım olarak ' 'li alıyoruz. KRNUGH HRİTLRI KULLNRK SDELEŞTİRME KRNUGH Haritaları: 2 Değişkenli Fonksiyonların Haritaları: n = 2 22 = 4 değişik kombinezon haritada 4 değişik yer vardır. Şimdide bu grupların okunuşunu bulalım. İlk önce kırmızı oklarla belirtilen grubu ele alalım. u grubun kapsadığı kutular, dikey olarak ile 'nin olduğu ve 'nın, 'nin ise olduğu kutulardır. atay olarak ise 'nin, D 'nin olduğu ve ile D 'nin olduğu kutulardır. unları düzene soktuğumuzda, dikey ('.') (.'), yatay ('.D) - (.D) olduğunu görürüz. u tanımlardan değişmeyenleri alırsak sonuç, ('.D) olur. Şimdide yeşil oklarla belirtilen grubu ele alalım. Grup dikeyde 'nın 'nin olduğu ve ile 'nin olduğu kutuları kapsıyor. atayda da ile D 'nin olduğu ve 'nin D 'nin ise olduğu kutuları kapsıyor. Dikey ('.) - (.), atay ('.D') - (.D'). Sonuç olarak tanım (.D') olur. u iki sonucunda Veya 'sını alırsak karnonun en sadeleştirilmiş hali Q = ('.D) + (.D') olur. = + K-MP üzerinde gösteriniz fonksiyonunu yerleştiriniz. K-MP (Karnaugh Mapping) haritalarına standart forumdadır. Değişkenler, 2 değişken 4 değişik durumu vardır. 25
s ( ) yi standart hale getiriniz. 2 değişkenli bir fonksiyon haritalandırılırken; 2 değişkenli terimler haritada bir bölgede olur. değişkenli terimler haritede iki bölgede olur. Verilen fonksiyon olarak haritalandırılabileceği gibi önce standart hale getirerek de haritalandırılabilir. 3 Değişkenli Fonksiyonların Haritaları: 3 değişken 2 3 = 8 değişik kombinezon haritada 8 değişik bölge vardır. 3 değişkenli,, standarttır. K-MP üzerinde gösteriniz..yol : ( ). ( ) s 2.yol : K-MP üzerinde gösteriniz. Değili olduğunda olan yerlerdir. 4 Değişkenli Fonksiyonların Haritaları: n = 4 2 4 = 6 değişik kombinezon 6 değişik bölge vardır. D = (, 3, 5, 7) =? = D + D + D +D 26
= D + D + D D NOT: 3 değişkenli bir fonksiyonu; 3 değişkenli terimler bölge 2 değişkenli terimler 2 bölge değişkenli terimler 4 bölge standarttır. = D + D + D D standarttır. = + D Standart degil D Standart s (,,, D) = (D + D) + D = D + D + D.yol: Önce standart hale getirilir sonra tek tek terimler haritaya işlenir. 2.yol: Direk olarak haritaya işlenir. = + D = = = D dikkate alınmaz. yerlerine istenen şartlar sağlanır. u iki yerin ikisine birden yerleştirilir. (,,, D) = + (D).yol: s (,,, D) = + ( + ). (D + D) + D = (D + D + D + D) + D = D + D + D + D 2.yol: (,,, D) = + (D) Sonuç: 4 değişkenli fonksiyonda üç değişken terimler, haritada iki yer tutar. = = yerlerinde şartı sağlanır. 4 yere birden yazılır. = = olan yerler, & D dikkate alınmaz. 27
(,,, D) = + D = yerlerine yazınız. (,,, D) = + + + D, K-MP üzerinde gösteriniz. () s (,,, D) = ( + ) ( + ) (D + D) + D (2) (,,, D) = + D = (D + D + D + D) D = D + D + D + D + D = olan tüm yerler.,, D dikkate alnmaz. D NOT: 4 değişkenli bir fonksiyonda değişkenli terimler haritada 8 yer alır.. Terim: = olan tüm yerler. yerlerine = tümüne yazılır. (8 yer) 2. Terim: =, =, = yerleri yerlerinde tümüne yazılır. 3. Terim: =, = yerleri yerlerinde = şartı sağlanır. Tümüne yazılır. = 4 yer, ancak ikisi daha önce kullanıldığı için geri kalan ikisine yazılır. 4. Terim: D Standarttır. yer; daha önce yeri kullanıldığı için yine aynı yere koymaya gerek yoktur. K MP SDELEŞTİRME K MP kullanarak sadeleştirmede dikkat edilecek kurallar.. 2 n kadar aynı gruba dahil edilebilir. 2 n = 2, 4, 8, 6, 2. Maximum sayıda in aynı gruba dahil edilmesine dikkat edilmelidir. 3. atay ve dikey komşu olan ler aynı grupta yer alabilir. 4. Ortak elemanlı gruplar olabilir. 5. K MP bükülüp döndürülerek komşuluklar yaratılır. 6. ir grubun ismi; o grupta DEĞİŞMEEN değişkenlerden oluşur. 7. Tüm ler herhangi bir grupta yer almalıdır. 2 Değişkenli K MP Sadeleştirme: (, ) = + + fonksiyonunu K MP kullanarak sadeleştiriniz. Grup2= grup = Grup yaptıktan sonra; grup ismlerini yazarken diye yazılır ve gruplara bakarız, harfleri aynı olan değişkenleri alırız ve ismi onun adı olur. 28
3 Değişkenli K MP Sadeleştirme: (,, ) = + + + yi K MP kullanarak sadeleştiriniz. s (,, ) = + + 3D 3D haritada (,, ) = +, yi K MP kullanarak sadeleştiriniz. Verilen sadeleştirilmiş durumdadır. s (,, ) = + (,, ) = + + + 4 Değişkenli K MP Sadeleştirme: (,,,D) = Σ(,3,5,8,9,,5), yi K MP kullanarak sadeleştiriniz. s = (D) = (,3,5,8,9,,5)=D + D + D + D + D +D s(,,,d) = D + + D (,,, D) = D + D + + D, yi sadeleştiriniz. s (,,,D) = D + + + 29