DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Aritmetik işlemler

Transkript

1 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini bildiklerini kabul ediyoruz. Bu işlemler için değişik başka semboller de kullanılmaktadır ancak biz alışılmış olan sembolleri aşağıda veriyoruz. Toplama ( + ) : =329 Çıkarma ( ) : =7787 Çarpma ( veya. ) : 14 23=332 Bölme ( veya veya ) : =248 Cebirsel işlemleri yaparken bazen çarpma yerine. sembolü kullanılmaktadır. Hatta bazen cebirsel değişkenleri kullanırken a çarpı b yerine ab yazarak araya hiç sembol yazmadan ifade edilebilmektedir. Çoğunuz bu işlemleri daha önceden okulda öğrenmiş bulunuyorsunuz. Uzun çarpma ve bölme işlemleri olduğu hesaplamaların olduğu problemleri çözmek çoğu zaman sıkıcı olabilmektedir. Bu durumlarda hesap makinası kullanmak daha hızlı işlem yapmamızı sağlamaktadır. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Eğer bu işlemleri doğru olarak yapamıyorsanız eski bilgilerinizi tekrar ediniz ve bu tür örnekleri doğru çözebilene kadar çalışınız = = = 97

2 4. = 5. = 98

3 4.1. Alıştırmalar (Aritmetik işlemler) Aşağıdaki işlemleri yaparak kendinizi deneyiniz =? =? =? 4. =? 5. =? 6. =? 99

4 4.2. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri, Toplama ve çıkarma, Çarpma, bölme, Dört işlem içeren örnekler, veriyoruz. Şimdi hem toplama hem de çıkarma işleminin kullanıldığı aşağıdaki örneği Örnek Bir otobüs 30 yolcusu ile hareket eder. İlk durakta 6 yolcu iner, 10 yolcu biner; ikinci durakta 20 yolcu iner 10 yolcu biner. Otobüste kaç yolcu kaldı? Bu soruyu çoğunuzun doğru olarak hemen şu şekilde çözebildiğinizi tahmin ediyoruz: 30 6=24, 24+10=34, 34 20=14, 14+10=24 yolcu kalmıştır ki bu doğru yanıttır. Eğer şu soyut matematik işlemi =? ile karşılaşsaydınız yine soldan sağa işlem yaparak aynı şekilde yanıtlardınız. Ancak yanlış olarak çıkarmaları önce yapsaydınız =-16 gibi açıkça yanlış olduğu görülen ve otobüs yolcu problemi için doğru yanıt olmadığı açıkça görülmektedir. Şimdi aşağıda yalnız çarpma ve bölme işlemi olan bir örnek veriyoruz ki burada da yalnız toplama ve çıkarma işleminin olduğu durumdaki gibi soldan sağa doğru işlem yapmakta olduğumuzu görüyoruz. Örnek Bir lokantaya 40 kişilik bir grup gelir. Her bir masaya 4 kişi oturduğuna ve her bir masaya 2 salata tabağı konduğuna göre bu gruba toplam kaç tane salata tabağı konmuştur. Çoğunuz bunu doğru olarak aşağıdaki şekilde yanıtlayabilirsiniz = 10 masa, 10 2 = 20 tabak Eğer hesaplama 100

5 =? şeklinde yazılırsa, soldan sağa kuralı uygulanacaktır. Eğer bu soldan sağa kuralını kullanmazsanız yanlış olan şu işlemi yapmış olabilirsiniz = 40 8 = 5 (yanlış) KURAL; Eğer hesaplamada birden fazla aritmetik işlem varsa, genel kural olarak, 1) Yalnız toplama ve çıkarma işlemi varsa, 2) Yalnız çarpma ve bölme işlemi varsa, Işlemler soldan sağa doğru yapılır. Aşağıda bununla ilgili örneği görüyoruz: Örnek (i) = = 28 (ii) = 26 7 = 19 (iii) = = = = 44 (iv) = = 34 (v) = 70 3 = 210 (vi) = = = = = 48 KURAL: Hesaplamada hem toplama çıkarma hem de çarpma ve bölme varsa çarpma ve bölme işlemleri toplama ve çıkarma işlemlerinden önce yapılır. Eğer parantezler varsa o zaman parantez içlerindeki işlemler önce yapılır. Aşağıda bununla ilgili örneği görüyoruz: 101

6 Örnek Tanesi 75 kuruştan 3 ekmek alınırsa 5 liradan kaç lira para üstü alırsınız? Bütün hesaplamalar aynı birim olarak yapılacağından 5 lirayı kuruşa çevirirsek 5 lira 500 kuruştur. Buna göre, = =275 kuruş bulunur ki bu da 2,75 Türk lirası dır. Doğru yanıta ulaşmak için çarpma işlemi çıkarma işleminden önce yapılması gerekmektedir. Örnek Tanesi 1 TL den 3 ekmek alınırsa 5 liradan kaç lira para üstü alırsınız? 5 1 3=5 3=2 Türk lirası bulunur. Doğru yanıta ulaşmak için çarpma işlemi çıkarma işleminden önce yapılması gerekmektedir. Örnek Bir öğretmen sınıfındaki 180 öğrenciye sınav yapacaktır. Her bir sınıfta 45 öğrenci sınava girecektir. Her bir sınav salonunda 3 gözetmen görevli olacaktır. Toplam kaç gözetmen bu sınavda görevlidir? (180/45)x3=4x3=12 102

7 4.2. Alıştırmalar (Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri, Toplama ve çıkarma, Çarpma, bölme, Dört işlem içeren örnekler) Aşağıdaki problemleri çözerek kendinizi deneyiniz. 1. Bir otobüs 40 yolcusu ile hareket eder. İlk durakta 12 yolcu iner, 8 yolcu biner; ikinci durakta 20 yolcu iner 9 yolcu biner. Otobüste kaç yolcu kaldı? 2. Bir lokantaya 48 kişilik bir grup gelir. Her bir masaya 6 kişi oturduğuna ve her bir masaya 2 süs çiçeği konduğuna göre bu gruba toplam kaç tane süs çiçeği konmuştur. 3. Bir öğretmen sınıfındaki 28 öğrenciye ortak projeler verecektir. 4 öğrenciye ortak bir proje konusu vereceğine göre bu öğretmen kaç proje konusu verecektir = = = = = = = = 103

8 4.3. Parantezler Eğer yapacağımız işlemlerde bir önceki kesimde de bahsettiğimiz gibi parantezler varsa en önce parantez içindeki işlemler yapılır. UYARI: Eğer hesaplamada parantezler varsa önce parantez içindeki hesaplamalar yapılır. Örnek Avrupa birliğine üye ülkelerin her biri 10 milyonar avro parayı Avrupa Birliğinin hesabına yatırmaktadırlar. Her bir ülke 8 milyon avro parayı proje sunarak geri alabilmektedir. 20 avrupa birliği ülkesinin mevcut olduğunu bildiğimize göre bir yıl sonunda Avrupa birliğinin hesabında en az ne kadar milyon avro bulunur. Çözüm. Ülke başına Avrupa birliği hesabına girecek en az para= = Avrupa birliği hesabına girecek en az para=20 ( ) =20x = avrodur. Ya da milyon cinsinden Ülke başına Avrupa birliği hesabına girecek en az para milyon avro olarak=10 8 Avrupa birliği hesabına girecek en az para=20 (10 8) =20x20 =40 milyon avrodur. UYARI Bir hesaplamada yalnız toplama ve çıkarma işlemleri varsa parantezler kaldırılabilir, ancak parantezlerin önünde eksi işareti varsa parantezler kaldırılırsa parantez içindeki bütün terimler 1 ile çarpılmalıdır, yani parantezler içindeki + işaretleri ile işareti olarak ve parantez içindeki işaretleri artı işareti olarak değiştirilmelidir. 104

9 Örnek (82 34) (30 2) =? Parantezleri kaldırmadan, = 20 buluruz ya da parantezleri kaldırarak, = 20 elde ederiz. 105

10 4.3. Alıştırmalar (Parantezler) Aşağıdaki işlemleri yaparak kendinizi deneyiniz. 1. (16 3 4) (32 12) =? 2. (78 33) ( ) =? (46 6) 3 =? 4. 3 (64 2) 16 (12 3) =? 5. 4 (84 2) 12 (12 4) =? 6. ( ) ( ) = 106

11 4.4. Kesirli ifadeler ve Ondalık sayılar Kesirli ifadeler, ondalık sayılar ve yüzdeli ifadelerin hepsi de bütünün parçalarını temsil ederler. Çoğu zaman kesirli ifadeyi ondalık sayıya ya da yüzdeli ifadeyi ondalık sayıya ya da yüzdeli ifadeyi kesirli ifadeye çevirmemiz gerekir. Kesir Ondalık Yüzde 1/4 = = 5 % % 25 Kesirli ifadeyi ondalığa çevirmek. Hesap makinesiyle payı (kesir çizgisinin üstündeki sayıyı), paydaya (kesir çizgisinin altındaki sayıya) böleriz. Örnek = ya da 0, dur. Bu son yazdığımız sayının 8 haneye yuvaraltılmış değeri yani yaklaşık değeridir. Sonu 5, 6, 7, 8 ve 9 ile biten ondalık sayılar bir yukarıya yuvarlanırken sonu 0, 1, 2, 3 ve 4 ile biten ondalık sayılar bir aşağıya yuvarlatılır. Ondalık sayıyı yüzdeye çevirmek. Virgül iki basamak sağ tarafa alınır. Örnek: 0, =%28, Yüzdeyi ondalığa çevirmek. Virgül iki basamak sol tarafa alınır. Burada yapılan yüzdeli ifadeyi 100 e bölüp, yüzde işaretini silmektir. 107

12 Örnek %12,6=0,126 Yüzdeyi kesirli ifadeye çevirmek. Kesir çizgisi çizip paydasına (kesir çizgisinin altına) 100 yazıp paya (kesir çizgisinin üstüne) yüzdeli ifadedeki sayıyı yüzde işareti olmadan yazıp pay ve payda aralarında ortak birden büyük bir sayıya bölünmeyene kadar sadeleşme yapılır. Örnek %64= Ondalık sayıyı kesirli ifadeye çevirmek. Ondalık virgülün nerede olduğuna bağlı olarak ondalık sayıyı kesirli ifadeye şöyle çeviririz. Ondalık virgülden sonra bir basamak varsa kesir çizgisi çizer ve paydasına 10 yazarız payına da o sayıyı yazarız. Eğer ondalık virgülden sonra iki basamak varsa kesir çizgisi çizer ve paydasına 100 yazarız payına da o sayıyı yazarız. Eğer ondalık virgülden sonra üç basamak varsa kesir çizgisi çizer ve paydasına 1000 yazarız payına da o sayıyı yazarız. Eğer ondalık virgülden sonra n basamak varsa kesir çizgisi çizer ve paydasına 10 n yazarız payına da o sayıyı yazarız. Örnek = Örnek = Örnek = 108

13 Kesirli sayıları toplayıp çıkartmak. Kesirli ifadeleri toplamak için her bir kesirli sayının paydasının aynı olması yani kesirli sayıların kesir çizgisinin altındaki sayıların aynı olması gerekir. Eğer paydalar farklı ise en küçük ortak paydayı, yani paydaları OKEK ini bulmamız gerekir. En küçük ortak payda her kesirli sayının paydası tarafından bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak paydayı bulduktan sonra her bir kesirli sayının pay ve paydasını paydası en küçük ortak payda olacak şekilde çarpmalıyız. Payları toplayıp paydaya en küçük ortak paydayı yazarız. Örnek =? Bu kesirli sayılar farklı paydalara sahip, 3 ve 5 paydalarına sahiptir. Bu sayıların ortak katlarını en küçüğü, ortak paydalarının en küçüğü, OKEK i 15 dir, çünkü 15 sayısı hem 3 e hem de 5 e bölünebilen en küçük sayıdır. Birinci kesirli sayının paydasını 15 yapabilmek için pay ve paydasını 5 ile çarpmamız gerekir ve ikinci sayının paydasını 15 yapmak için pay ve paydasını 3 ile çarpmamız gerekir. Buna göre işlemi aşağıdaki şekilde yapıyoruz:. Örnek =? Bu kesirli sayılar farklı paydalara sahip, 3 ve 15 paydalarına sahiptir. Bu sayıların ortak katlarını en küçüğü, ortak paydalarının en küçüğü, OKEK i 15 dir, çünkü 15 sayısı hem 3 e hem de 15 e bölünebilen en küçük sayıdır. Birinci kesirli sayının paydasını 15 yapabilmek için pay ve paydasını 5 ile çarpmamız gerekir ve ikinci sayının paydasını 15 yapmak için pay ve paydasını 1 ile çarpmamız gerekir. Buna göre işlemi aşağıdaki şekilde yapıyoruz:. 109

14 Örnek =? Bu kesirli sayılar farklı paydalara sahip, 4 ve 11 paydalarına sahiptir. Bu sayıların ortak katlarını en küçüğü, ortak paydalarının en küçüğü, OKEK i 44 dir, çünkü 44 sayısı hem 4 e hem de 11 e bölünebilen en küçük sayıdır. Birinci kesirli sayının paydasını 44 yapabilmek için pay ve paydasını 11 ile çarpmamız gerekir ve ikinci sayının paydasını 44 yapmak için pay ve paydasını 4 ile çarpmamız gerekir. Buna göre işlemi aşağıdaki şekilde yapıyoruz:. Kesirli sayıları çarpmak ve bölmek Kesirli sayıları çarpmak için kesir çizgisinin üstündekileri birbiriyle çarpıp kesir çizgisinin üstüne yazarız ve kesir çizgisinin altındaki sayıları birbiriyle çarpıp kesir çizgisinin altına yazarız. Matematiksel olarak söylersek, paylardaki sayıları çarpar yeni sayının payı olarak alırız ve paydadaki sayıları çarpar yeni sayının paydası olarak yazarız. Örnek ve olduğundan, sonuç dir. Kesirli sayıları bölmek için ikinciyi ters çevirip birinci ile çarparız. Örnek İkinci kesirli sayıyı ters çevirip birinci kesirli sayıyla çarparsak, 110

15 elde ederiz. Örnek Bu işlemi kesir çizgisinin üstündeki sayılarla kesir çizgisinin altındaki, payındakilerle paydasındaki, sayıları sadeleştirerek direkt olarak yapabiliriz. Kesirli işlemlerde çarpmayı yaptıktan sonra ondalık sayıya çevirmek, çarpılacak sayıların her birini ondalık sayıya çevirdikten sonra çarpma ile elde edilecek sonuçtan daha doğru sonuç verir. Hesap makinesi kullanırken buna dikkat etmek gerekir. Örnek Kesirli işlemleri yaparak =1 buluruz. Ancak hesap makinesi kullanarak, 0,375 ve buluruz ve bu ondalık sayıları çarparsak, buluruz ki bu da doğru tam sonuç değer değildir. Bilgisayar kullanarak ondalık sayıları hesaplarsak ve çarparsak yine tam olarak 1 değeri elde edilmez. 111

16 4.4. Alıştırmalar (Kesirli ifadeler, Ondalık sayılar) Aşağıdaki işlemleri yaparak kendinizi deneyiniz

17 4.5. Kuvvetler ve Üslü ifadeler Herkes mutlaka metre kare, santimetre küp gibi ifadelerle karşılaşmıştır. 1 metre kare demek kenarları 1 metre olan bir kare demektir. Eğer bir odanın her bir duvarı 4 metre ise bu odanın alanı 4x4=16 metre karedir. Bir sayıyı kendi kendisiyle çarptığımız zaman biz karesini alıyoruz deriz. Bunun için matematiksel notasyon sayının üssü olarak 2 yazmaktır. Örneğin 14 ün karesi 14 2 olarak yazılır. Örnek (2.3) 2 = =4.9 Bir odanın kübik kapasitesini kübik metrelerle uzunluk x (çarpı) genişlik x (çarpı) yükseklik olarak hesaplayabiliriz. Eğer bu uzunlukların her biri eşit ve 4 ise bu takdirde odanın kübik kapasitesi 4.4.4=64 metre küptür, yani 4 3 dür. Bu üslere kuvvet denir ve bir sayının kendi kendisiyle kaç defa çarpıldığını gösterir. 2 ve 3 için kullanılan kare ve küp ifadelerine benzer diğer kuvvetler için terim bulunmamakla beraber kare ve küp için de kullanılmak üzere bir sayının kuvveti ifadesi kullanılır. Aynı sayının kuvvetleri şeklinde olan sayıların çarpımını yaparken kuvvetler (üsler) toplanır taban dediğimiz kuvveti alınan sayının üstüne kuvvet olarak yazılır. Örnek =2 3+5 = 2 8 =

18 Aynı sayının kuvvetleri şeklinde olan sayıların bölümünü yaparken büyük kuvvetden (büyük üsden küçük üs) çıkarılır taban dediğimiz kuvveti alınan sayının üstüne kuvvet (üs) olarak yazılır. sıfırdan farklı olmak üzere = dir. Örnek Her sayının 1. kuvveti kendisidir. Her ne kadar bir sayıyı yazarken 1. kuvvetini belirtmesek de üslü işlemlerde bunun 1. kuvvet olduğunu unutmamalıyız. Örnek Bu örnekte işlem yaparken sayısı olarak alınmıştır. Her sayının 0 ıncı kuvveti 1 dir. sıfırdan farklı olmak üzere dır. Örneğin, = dır dolayısıyla ın değeri 1 dir. Kuvvetler negatif de olabilir kesirli sayı da olabilir. Bir negatif kuvvet 1 sayısının kaç defa o sayıya bölündüğünü belirtir. Örnek

19 Pozitif kuvvetli bir sayı ile negatif kuvvetli bir sayı (aynı bir sayının kuvvetleri şeklinde olan sayılar) çarpmak taban dediğimiz kuvveti alınan sayının üzerine kuvvetleri toplayarak yazmak demektir. Hesap makinelerinin çoğu negatif bir sayının kuvvetini yani negatif bir sayı olmak üzere şeklindeki ifadeyi hesaplamada bizi yanıltır. Negatif sayının pozitif sayıyla çarpımının negatif bir sayı, negatif sayının negatif sayı ile çarpımının pozitif sayı olduğunu dikkate aldığımızda negatif bir sayının çift kuvveti pozitif ve negatif bir sayının tek bir kuvvetinin negatif olduğunu görürüz. Örnek Örnek

20 4.5. Alıştırmalar (Kuvvetler ve Üslü ifadeler) Aşağıdaki işlemleri yaparak kendinizi deneyiniz = 4. = 5. (1,32) 4 (1,32) 3 = = 7. (2,62) 4 (2,62) 3 = 8. (5,683) 3 (5,683 6 = 9. ( 6) 5 ( 6) = 10. ( 4.57) 4 ( 4.57)= 11. ( 6) 5 ( 6) -4 = 12. ( 9,42) 4 ( 9,42)= 116

21 4.6. Köklü ifadeler ve kesirli kuvvetler Bir sayının karekökü, karesi alındığında o karekökü alınan sayıyı veren sayıdır ve farklı biçimlerde ifade edilebilmektedir. Örneğin, 4 ün karekökü = 2 ya da veya şeklinde yazılır. Yaptığımız bu işlemin sağlamasını bulduğumuz sayının karesini alarak yapabiliriz. elde ederiz ki sonucun doğru olduğunu sağlamış olduk. Pozitif ve 1 den farklı herhangi iki sayı ve ve herhangi iki gerçel sayı x ile y olduğunda aşağıdaki kurallar sağlanır ( ) Örnek Örnek Örnek

22 Örnek

23 4.6. Alıştırmalar (Köklü ifadeler ve kesirli kuvvetler) Aşağıdaki işlemleri yaparak kendinizi deneyiniz = 2. = ,5 5 1,5 = = = =8 0.5 = 8 = (2x4)= ( 2)( 4)= ( 2)(2)= ,6 4 0,9 = ,5 5 0,5 = ,4 36 0,2 = , , ,6 = , ,42 = 119

24 4.7. Logaritma Büyük sayıların olduğu işlemleri hesaplamada logaritma kolaylık sağlar. En yaygın kullanılan logaritma tabanı 10 dur. Bir sayının 10 tabanına göre logaritması 10 un kuvvetinin o sayıyı verdiği sayıdır. Alışıldığı üzere 10 tabanına göre logaritma log sembolü ile belirtilir. Örneğin 1000 in 10 tabanına göre logaritması 3 dür, çünkü 1000=10 3 dür ve 100 ün 10 tabanına göre logaritması 2 dir çünkü 100=10 2 dir. Benzer şekilde log 10 = log 10 1 =1 ve log 10000= log 10 4 =4 dür. log dir, çünkü 3, = 10 0,5 dir. Çarpımın logaritması logaritmalar toplamıdır. Bölümün logaritması logaritmalar farkıdır. Üslü sayının logaritması tabanın logaritması ile üssün çarpımıdır. Köklü sayının logaritması kökü alınan sayının logaritması bölü kökdür. Böylece logaritma için genel kuralları aşağıda veriyoruz. Pozitif ve 1 den farklı herhangi iki sayı a ve b ve herhangi iki gerçel sayı x ile y olduğunda aşağıdaki kurallar sağlanır. ve yazalım. den ve den = 120

25 Son eşitlikten de şunu elde ederiz. = Örnek Logaritma kullanarak 4532,62 386,05 sayısını bulunuz. Hesap makinesinde logaritmaları alırsak, log 4532,62 = log 386,05 = buluruz. Buradan da 10 kuvvetlerine göre yazarsak, 4532,62 386,05 7 = = = elde ederiz. Temel kural çarpılan bütün sayıların logaritmalarını alıp toplayıp 10 un üzerine yazmaktır. Bölmede ise bölünen sayının logaritmasını bölen sayının logaritmasından çıkarıp 10 sayısının üzerine yazarız. Örnek Logaritma kullanarak 4632,71 251,07 sayısını bulalım. Hesap makinesinde logaritmaları alırsak, log 4632,71 = 3, log 251,07 = 2, buluruz. Buradan da 10 kuvvetlerine göre yazarsak, 121

26 4632, = 10 3, , = 10 6, = ,5 elde ederiz. Örnek Logaritma kullanarak 4632,71 251,07 sayısını bulunuz. Çözüm. Hesap makinesinde logaritmaları alırsak, log 4632,71 = 3, log 251,07 = 2, buluruz. Buradan da 10 kuvvetlerine göre yazarsak, 4632,71 251,07 = 10 3, , = 10 1, elde ederiz. Örnek Logaritma kullanarak sayısını bulunuz. Çözüm = 10 4, , = 10 4, , = = Örnek Eğer 260(1,04) n = 833 ise n nedir? Çözüm. 260(1,04) n =

27 den (1,04) n = 833/260 (1,04) n = buluruz. Logaritma şeklinde yazarsak, log (1,04) n =log n log 1,04 = log n = elde ederiz. n=30 yazarız. 123

28 4.7. Alıştırmalar (Logaritma) Aşağıdaki işlemleri logaritma kullanarak hesaplayıp kendinizi deneyiniz ,326 = 2. 4,132 28, 24= 3. 12,41 7 = 4. = 5. ise n nedir? 6. ise n nedir? ,3 8, ,2 = 9. (1,44) n = 12 ise n nedir? (1,11) n = 2012 ise n nedir? (1.12) n = 6,422 ise n nedir? 12. (1,2) n = ise n nedir? 124