Sorular Doğru Boş Yanlış

SABANCI ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KULÜBÜ 3. LİSELER ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. AŞAMA 20 NİSAN 2009 PAZARTESİ BAŞLANGIÇ: 10:00 BİTİŞ: 12:00 Ad: Soyad: Yarışma No: Açıklamalar 1. Bu kitapçıkta çoktan seçmeli 30 adet soru bulunmaktadır. Soruların puanlandırması şu şekildedir: Sorular Doğru Boş Yanlış 1 15 8 2 0 16 25 12 3 0 26 30 16 4 0 2. Tüm sorularda E şıkkı; sorunun cevabı şıklarda yok, şıklarda birden çok doğru yanıt var, verilen bilgilerle soru çözülemez anlamına gelir. 3. Geometri sorularında çizimler doğru oranlar dikkate alınarak çizilmemiştir. 4. Cep telefonu ve hesap makinesi kullanımı sınav süresince yasaktır. 5. İlk yarım saat süresince sorularınızı sorabilirsiniz. İlk yarım saatin sonunda sorulan sorulara toplu olarak yanıt verilecektir. İlk yarım saatten sonra soru sormak yasaktır. 6. Bu aşamada en yüksek puanı alan 50 kişi yarışmanın ikinci aşamasına katılmaya hak kazanacaktır. Ayrıca katılan her okulun birincisi de bu 50 kişi arasında yer alamasa da ikinci turda yer alma hakkı kazanacaktır. 7. İlk sorudan başlayarak en uzun doğru cevap zincirini yapan öğrenci de ödüllendirilecektir. 8. Bu aşamada en yüksek okul puanını alan dört okul üçüncü aşamada yarışmaya hak kazanacaktır. Okul puanları hesaplanırken her okuldan en yüksek puanı alan üç öğrencinin puanlarının ortalaması dikkate alınacaktır. 9. Son sayfada bulunan cevap anahtarına cevaplarınızı işaretlemeniz beklenmektedir. Soru kitapçığının diğer kısımlarına yapılan işaretlemeleriniz dikkate alınmayacaktır. 10. Cevap anahtarına işaretlemeniz için ek süre verilmeyecektir. Yarışma esnasında salondan dışarı çıkmak yasaktır. Acil durumlarda gözetmen eşliğinde yarışmacının salondan ayrılmasına izin verilecektir. 1

1) Bir okul bahçesinin her yerine homojen olarak yağmur yağmaktadır. Bu okul bahçesine birisi 2 br lik ayrıtlara sahip, diğeri 3 br lik ayrıtlara sahip küp biçimli iki kutu bırakılıyor. Bunlardan büyük hacimli olan 27 dakikada dolduğuna göre, diğeri kaç dakikada dolmuştur? (Kutuların yağmur altına aynı anda bırakıldıkları varsayılacak.) A) 8 B) 12 C) 18 D) 27 E) 2) Sadece Salı günleri olan bir ders için öğretmen şöyle bir açıklama yapıyor: Dönem 14 hafta sürecek ve dönem boyunca toplam 5 tane yoklama alınacaktır. Bir haftanın yoklama alınma olasılığı ilgili haftanın başında hesaplanıyor. Örneğin, ilk hafta yoklama alınma olasılığı a/b = 5/14 tür. İkinci hafta yoklama alınma olasılığı ise, eğer ilk hafta yoklama alınmışsa 4/13, alınmamışsa 5/13 olacaktır. Bu durumda, a/b nin ardışık iki hafta için aynı olmasını sağlayacak biçimde a/b nin çözüm kümesi nedir? A) {} B) {1} C) (1/4, 3/4) D) (0, 1) E) 3) A sayısının rakamları toplamı 35, B sayısının rakamları toplamı ise 14 tür. Buna göre A.B aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 712911623 B) 910450435 C) 661723650 D) 861233174 E) 4) Karesiyle kendisinin farkı 100 ile tam bölünen pozitif sayılara "iyi sayı" diyelim. 100' den küçük kaç tane "iyi sayı" vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5) Bir eşkenar üçgenin içinde alınan bir X noktasından kenarlara inilen dikmelerin kendi aralarında üçgen eşitsizliğini sağlama olasılığı nedir? (Üçgen Eşitsizliği: a,b,c bir üçgenin kenarları olmak üzere a-b < c < a+b şeklindedir.) A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 2/3 E) 6) Özel bir hayvanat bahçesinin sahibi olan Ozan ile hayvan bakıcısı Can arasında şöyle bir telefon konuşması geçiyor: Ozan: Selam Can! Bahçemize yeni ziyaretçiler geliyor. 5 ya da 7 maymunu bahçemizde koruma altına alacağız. Ama açıkçası 5 mi olsun, 7 mi olsun kararsızım. Çünkü maymunların ikisi çok küçük. Can: Benden istediğiniz nedir? Ozan: Senden onlar için öncelikle 35 tane muz almanı istiyorum. Ama bu 35 muzu öyle gruplara ayır ki, ben 7 maymunla da dönsem, 5 maymunla da dönsem, muzları onlara eşit olarak dağıtabilelim. Can: Peki!!! 2

Can, 35 muzu en az kaç gruba ayırmalı ki Ozan'ın isteğini yerine getirebilsin? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 7) Bir parkta karşılıklı duran 6 kişilik, asimetrik desenli ve farklı renklerde iki bank vardır. Bu banklara 6 sı kız, 6 sı erkek olmak üzere 12 kişi oturacaktır. Bu grup, karşı karşıya oturacak olanlar farklı cinsiyetten olmak şartıyla banklara kaç farklı şekilde oturabilir? A) 2 9. 3 6. 5 2 B) 2 11. 3 2. 5 4 C) 2 11. 3 2. 5 6 D) 2 14. 3 4. 5 2 E) 8) A)47 B) 49 C) 51 D) 53 E) 9) 4 basamaklı bir sayı, tahmin edilerek bulunmaya çalışılıyor. Her tahminden sonra ipuçları ediniliyor. Her (+) işareti bir rakamın doğru basamakta tahmin edildiğini, her (-) işareti ise bir rakamın aranan 4 basamaklı sayının içinde bulunduğunu fakat yanlış basamakta tahmin edildiğini söylüyor. Örnek: Aranan sayı : Tahmin: İpucu: 3987 3754 (-), (+) Binler basamağındaki 3 için bir (+) ve birler basamağındaki 7 için bir (-) elde edilmiş demektir. Rakamları farklı 4 basamaklı bir sayı bulunmaya çalışılıyor. İki tahmin yapılıyor. İki ipucu veriliyor. Aranan sayı : Tahmin: İpucu:? 1234 (-), (-), (+)? 5678 (-) Aranan sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 1328 B)1357 C)4731 D)9245 E) 10) EFD bir ikizkenar dik üçgendir. EF = FD = 6 br ve J ağırlık merkezidir. F köşesi sabit tutularak üçgen, düzlem üzerinde 45 döndürülüyor. Yeni üçgenin ağırlık merkezi ise K oluyor. İki ağırlık merkezi arası JK = x kaç birimdir? A) 4( ) B) 2( ) C) 2( ) D) 2( ) E) 3

11) 10 birimlik bir çubuk herhangi bir noktasından iki parçaya ayrılıyor. Bu parçalardan birinin ötekinin 6 katından büyük olma olasılığı kaçtır? A) 2/7 B)1/7 C)1/6 D)7/10 E) 12) f(n) fonksiyonu, f(n) = f(n-1) + f(n-2) şeklinde tanımlanıyor. f(8) - f(5) değeri, hangi n sayısı için f(n) değeri bilinirse hesaplanabilir? A)5 B) 6 C) 7 D)8 E) 13) 2009! sayısı m.21 x şeklinde yazılmak isteniyor. x en büyük değerini aldığında sayısını tam sayı yapan en büyük y kaçtır? A) 333 B) 382 C) 667 D)1000 E) 14) Bir sınavda, sorular üç bölümde (SÖZ, SAY-1, SAY-2) soruluyor. Tüm soruları doğru cevaplayan bir öğrencinin 3 farklı puan türündeki puanları, her bölümün katkısı göz önünde bulundurularak, aşağıdaki tabloda gösteriliyor: SÖZ SAY-1 SAY-2 Toplam Sözel Puanı 70 20 10 100 EA Puanı 50 25 25 100 Sayısal 30 30 40 100 Puanı Soru Sayısı 80 40 40 160 Bu sınavda yanlış doğruyu götürmüyor. Örnek: SÖZ bölümünden 40, SAY-1 bölümünden 8 soruyu doğru cevaplayan ve başka doğru cevabı olmayan bir öğrencinin sözel puanının 39, EA puanının 30, sayısal puanının ise 21 olması bekleniyor. Tüm soruları yanıtladığı bilinen bir öğrenci her üç puan türünde de 95,00 puan aldığına göre, bu öğrencinin her bölümden yaptığı yanlış sayıları aşağıdakilerden hangisidir? SÖZ SAY-1 SAY-2 A) 2 3 3 B) 3 2 3 C) 3 3 3 D) 4 2 2 E) 4

15)Yandaki dikdörtgenler prizmasının boyutları 6, 8 ve 10 birim olarak veriliyor. Bu prizmayı içerisine alan en küçük hacimli silindir kaç π br 3 tür? A)250 B)264 C)276 D)280 E) 16) Sayı doğrusu üzerinde ardışık 2n adet sayı seçiliyor. Bu sayılardan ilk n tanesi bir kutuya, ikinci n tanesi başka bir kutuya atılıyor.birinci ve ikinci kutudan rastgele birer tane sayı seçiliyor, farklarının mutlak değeri alındıktan sonra sonuç tahtaya yazılıyor. Daha sonra tahtada yazan tüm sayılar toplandığında sonuç 196 çıkıyor. Öyleyse başlangıçta kaç sayı seçilmiştir? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 17) Bir okulda düzenlenen piyango çekilişinde 1 den 5 e kadar numaralandırılmış toplar sırasıyla ve belirli zaman aralıklarıyla yanda verilen silindirin içerisine düşüyor. Çekilişin sunucusu herhangi bir anda, silindirin en üstündeki topu alıyor ve topun üzerindeki sayıyı tahtaya yazıyor. Tahtadaki sayı beş basamaklı olduğunda kazanan numara belirlenmiş oluyor. (Sunucunun aldığı topları silindire geri koymadığı düşünülecek.) Bu piyango çekilişi için bilet almış 4 arkadaşın, piyango biletleri üzerindeki sayılar aşağıdaki gibidir: Sarp: 34251 Ayberk: 2453 Berkut: 43152 Emir: 14352 Çekiliş anlatılan biçimde yapılacaksa, bu arkadaşlardan hangisinin çekilişi kazanma şansı yoktur? A) Emir B) Berkut C) Ayberk D) Sarp E) 18) BAC bir dik üçgen, FGDE ve KIHD birer karedir. KE = ED olarak verildiğine göre, oranı kaçtır? A) B) C) D) E) 5

20)Yandaki şekilde verilenlere göre BE = x kaç br dir? A) 2 B) 2 C) 3 D) 4 E) 19) CD = 2 -, BC = 1 Yukarıdaki şekilde verilenlere göre s(bâc) açısı kaç derecedir? A) 45 B) 52.5 C) 57.5 D) 60 E) 21) Yandaki şekilde AB = BC dir. Verilenlere göre kaç derecedir? A) 7.5 B) 15 C) 22.5 D) 30 E) 22) m 0, n 0 için; m!+n³ = n⁶+8m+1 eşitliğini sağlayan kaç farklı (m,n) tamsayı ikilisi vardır? A) 0 B)1 C)2 D)8 E) 23) A, B ve C sayı doğrusu üzerinde bulunan 3 farklı noktayı temsil ediyor. Noktalardan biri 0 (sıfır) noktasına 2, diğeri 3 ve sonuncusu da 5 birim uzaklıktadır. Aralarında A+B+C=0 gibi bir eşitlik söz konusudur. Bu durumda B ile C arasında rastgele seçilen bir noktanın A ile B arasında olma olasılığı kaçtır? A) 0 B)1/3 C)1/5 D)1/10 E) 24) Elimizde boyutları 3,4,5 birim uzunlukta olan bir dikdörtgen prizma var. Bu prizmanın bir köşesini x,y,z eksenlerinden oluşan bir koordinat uzayının orijinine, yani (0,0,0) noktasına gelecek şekilde ve her kenarı tam olarak bir eksene paralel olacak biçimde yerleştiriyoruz. Koordinat düzleminin orijininde bulunan bir karınca, her bir adımda +x, +y veya +z yönlerinde 1 birim hareket edebilmektedir. Buna göre karınca prizmanın, uzayın (3,4,5) noktasındaki köşesine kaç farklı şekilde ulaşabilir? 6

A) 12! / (3!.4!.5!) B) C(12,3).C(12,4).C(12,5) C) P(12,3).P(12,4).P(12,5) D) (12!) 3 / (C(12,3).C(12,4).C(12,5)) E) 25) Bir atlet antrenman için ağırlık kaldırmaktadır. Bunun için tek el ile kaldırılabilen bir çubuk, bu çubuğun iki ucuna da takılacak ikişer adet 2, 3 ve 4 er kg lık ağırlık diskleri ve onları taktıktan sonra onları sabitleyecek iki adet vida bulunmaktadır. (Çubuk ve vidalar ağırlıksızdır.) Sporcu, dengeyi sağlayabilmek için diskleri simetrik olarak kullanmaktadır. Yani ağırlıklar takıldıktan sonra çubuk orta noktasına göre simetrik olacaktır. Sporcu, diskleri takarken bir eliyle çubuğu tutmakta ve bu sebeple de enerji harcamaktadır. Harcadığı enerji, toplam kaldırdığı disklerin ve onları havada tuttuğu sürenin çarpımına eşit kabul edilecektir. Bütün disklerin ve vidaların çubuğa takılma süresini eşit ve t birim zamandır. Sporcunun bu ağırlıkları takarken harcayabileceği minimum enerjiye J min, maksimum enerjiye J max dersek J min /J max nedir? (Diskin çubuğa değdiği andan itibaren sporcu o diski kaldırıyor kabul edilecektir.) A) 86/107 B) 87/107 C) 86/106 D) 87/106 E) 26) + = sin(x) denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) 1 B) π/2 C) π/4 D )π E) 27) Matematikle eğlenmesini iyi bilen bir pire vardır. Bu pire ne zaman 2x 2 birim ileri zıplasa x 2 birim de geriye zıplamaktadır. Bu pire çember üzerinde hareket etmek istiyor. Havadaki konumunun nerede olduğunu umursamadan, yere düşeceği noktaların çember üzerinde olmasına dikkat ediyor. Pirenin; yarıçapı 357 birim olan bir çember üzerinde, x=1 ile hareketine başlayıp her ileri zıplayışında x i bir artırarak, hareket edemeyecek duruma gelinceye kadar kaç zıplayış yapması gerekmektedir? (İleri zıplayış saat yönünde, geri zıplayış ise saat yönünün tersine olacaktır. Tüm zıplamalar doğrusaldır.) A) 18 B) 25 C) 26 D) 35 E) 28) o o o o o o o o o o o o o o o Yanda kayak yarışması düzenlenen bir parkurun idealleştirilmiş kuşbakışı profili verilmektedir. Noktalar bu parkurdaki her bir bayrak direğini temsil etmektedir. o o o o o o 1 2 3 4 5 6 7 7

Bu bayrak direklerine değerek aşağıya doğru kaymakta olan bir yarışmacının 3 numaralı bitiş çizgisinden yarışmayı bitirme olasılığı nedir? (Yarışmacı her seferinde kendisine yakın iki bayrak direğinden ve son sırada da kendisine yakın iki bitiş çizgisinden birini tercih etmektedir.) A) B) C) D) E) 29) Yandaki ABCE dik yamuğunda, AED ve CEA üçgenleri benzerdir. EC = 10 ve s(aĉe) = s(bĉa) olarak veriliyorsa, Ç(DBC) kaç br dir? A) 15 B) 18 C) 20 D) 22 E) 30) 907483 sayısının rakamlarının arasına istenilen sayıda ve istenilen yere çarpma işareti eklenerek yeni çarpımlar elde ediliyor. Bu çarpımlardan kaç farklı çift sayı elde edilebilir? A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) Cevap Anahtarı 1 A B C D E 16 A B C D E 2 A B C D E 17 A B C D E 3 A B C D E 18 A B C D E 4 A B C D E 19 A B C D E 5 A B C D E 20 A B C D E 6 A B C D E 21 A B C D E 7 A B C D E 22 A B C D E 8 A B C D E 23 A B C D E 9 A B C D E 24 A B C D E 10 A B C D E 25 A B C D E 11 A B C D E 26 A B C D E 12 A B C D E 27 A B C D E 13 A B C D E 28 A B C D E 14 A B C D E 29 A B C D E 15 A B C D E 30 A B C D E 8