Üniform Yüklü Dikdörtgen Temel Altında Oluşan Kayma Gerilmelerinin Hesaplanması

6 th International Advanced Technologies Symposium (IATS 11), 16-18 May 011, Elazığ, Turkey Üniform Yüklü Dikdörtgen Temel Altında Oluşan Kayma Gerilmelerinin Hesaplanması U. Dağdeviren 1 ve Z. Gündüz 1 Sakarya Üniversitesi, Sakarya/Türkiye, udagdeviren@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi, Sakarya/Türkiye, gunduz@sakarya.edu.tr Calculation of Shear Stressess Under Uniformly Loaded Rectangular Foundation Abstract Structures cause extra stresses in the soils. It has to be known that the stress increment values to solve the problems in the geotechnical engineering. It can be seen frequently vertical stress increment expressions for foundations which have different geometry and loading types in literature. But, shear stress increment expressions has been limited to strip and circular foundations. In this study, shear stresses under rectangular foundation have been determined based on Boussinesq s elastic solution. Influence values for shear stress have been presented as graphical to simplify the conclusions. Shear stress expressions which obtained from this method can be used to determine initial static shear stress ratio and correlation factor to estimate liquefaction resistance of soils under rectangular foundations. Keywords Shear stress increment, rectangular foundation, initial static shear stress, analytical solution, numerical solution. Z I. GİRİŞ EMİNLER kendi ağırlıkları ve yapı temellerinin aktardıkları yüklerden dolayı gerilmelere maruz kalmaktadır. Yapıların zemine uyguladığı gerilmeler, yapı altında ve çevresinde sabit olmayıp derinlik boyunca değişim göstermektedir. Yapı altında zeminde oluşan gerilme dağılımları, geoteknik mühendisliğindeki birçok problemin çözümü ve projelerin tasarımında oldukça büyük bir öneme sahiptir. Özellikle yapıların zeminde oluşturduğu düşey gerilme artışları, temeller ya da dolgular gibi yüzey yükleri uygulamalarından dolayı yapı altında zeminde oluşacak oturmaların tahmini için geniş bir kullanım alanı bulmuştur. Dış yüklerin zeminde oluşturacağı gerilmelerin gerçek dağılımında, uygulanan yükün şiddetinin ve uygulandığı alanın boyutlarının yanında zemin özelliklerinin de etkisi söz konusudur. Ancak, zeminin karmaşık yapısından dolayı, zemin içerisinde gerçekçi gerilme-deformasyon analizleri yapmak oldukça zordur. Bu nedenle, zeminlerdeki gerilme artışı genellikle zeminin yarı sonsuz, ağırlıksız, izotrop, homojen ve elastik yarı uzay bir ortam kabulüyle belirlenmeye çalışılmaktadır. Boussinesq (188), Şekil 1 de gösterildiği gibi, düzleme dik olarak etkiyen tekil yükün (P) elastik malzemeler üzerinde oluşturacağı genel gerilme ifadelerini kartezyen koordinat sisteminde, Denklem 1 deki gibi formüle etmiştir []. Şekil 1. Kartezyen koordinat sistemindeki zemin elemanı P 3x z x y y z σ = ( 1 ) + ( ) x υ (1a) 3 π R Rr R + z R r 3 3Pz σ z = (1b) πr 3Pxz τ = (1c) πr = P 3xyz xy τ (1d) xy π R ( R + z ) R 3 ( ) ( R + 1 υ ) Zemin Yüzeyi Burada, R = x + y + z, r = x + y dir. Yukarıdaki gerilme ifadelerinden anlaşılacağı gibi, elastisite teorisinden yararlanarak elde edilen bu çözümlerde, zeminin türü, plastikliği ve sıkılığı gibi parametreler dikkate alınmamakta, her tür zemin (hatta malzeme) için aynı gerilme dağılımları elde edilmektedir. Laman ve Keskin (004), farklı sıkılıktaki kum numuneleri üzerine oturan kare temellerde gerçekleştirdiği deneylerde, aynı derinliklerde ve aynı yükler altında, sıkılık değerinin artmasıyla düşey gerilme değerlerinin önemli miktarda arttığını göstermiştir. Sadek ve Shahrour (007), Boussinesq nun elastik çözümü ile elasto-plastik 19

Üniform Yüklü Dikdörtgen Temel Altında Oluşan Kayma Gerilmelerinin Hesaplanması çözüm karşılaştırmış ve yüklü alan altındaki zemindeki düşey gerilme dağılımında plastisitenin etken bir davranış sergilediğini göstermiştir. Ancak, düşey gerilmelerde bu farkın belirgin şekilde düşük olması nedeniyle, elastik yöntemle belirlenen düşey gerilme hesabının pratikte yeterli sonuçlar verdiği kabul edilmektedir [6, 16]. Yapı yükleri zemine temeller aracılığı ile aktarıldığı için, tekil yük için elde edilen gerilme dağılımları birçok inşaat mühendisliği probleminde gerçekçi olmamaktadır. Fakat tekil yük çözümlerinin integrali alınarak farklı geometride tanımlanan (dairesel, dikdörtgen, trapez vs.) yayılı yüklerin zeminde yol açacağı gerilme dağılımlarını analitik çözümlerle bulmak mümkün olmaktadır [6, 17]. Newmark (193), üniform olarak yüklenmiş B L boyutlarındaki dikdörtgen temelin köşesi altındaki düşey gerilmeyi belirleyebilmek için Denklem 1b deki eşitliği B ve L boyunca integre ederek, Denklem deki ifadeyi elde etmiştir. Daha sonra, Fadum (1948) bu bağıntıyı özetleyerek etki sayısını (I z ) grafik çözüm olarak sunmuştur. Bu grafik çözümler, geoteknik mühendisliğinde büyük bir kullanım kolaylığı sağlamış ve düşey gerilme artışı hesaplarında önemli bir yer almıştır. Bu grafiklerden elde edilen etki sayıları ile üniform yüklü dikdörtgen alanın köşe noktası altındaki zeminde düşey gerilme artışları hesaplanabilmektedir. σ = q. z I z 1/ ( ) 1/ 1 mn m + n + 1 m + n + ( ) + + 1 =. + tan mn 1 m n 4 + + + 1 + + 1 m n m n m n m + n m n + 1 I z π () Burada, m = B/z ve n = L/z olup, bu ifadeler birbirlerinin yerine kullanılabilen türdendir. B ve L dikdörtgen temelin boyutlarını, z, gerilme artışının hesaplanacağı derinliği, q ise dikdörtgen yüklü alandaki üniform taban basıncını göstermektedir (Şekil ). Geoteknik mühendisliğinde, oturma hesaplamalarının gerçekleştirilebilmesi için yapılardan kaynaklanan düşey gerilme artışlarının bilinmesi gerekmektedir. Bu nedenle, farklı geometri ve farklı yükleme şekillerine maruz yapı temellerinin, zeminde oluşturacağı düşey gerilme artışlarının belirlenmesine yönelik pekçok analitik çözüm geliştirilmiştir [1, 13, 8]. Zaman içerisinde geoteknik mühendisliğindeki gelişmeler doğrultusunda düşey gerilmeler yanında yatay gerilmeler ve kayma gerilmeleri ifadelerinin de belirlenmesi gereken problemler oluşmuştur. Bu çalışmada, zemin içerisinde, dikdörtgen yüklü temelden kaynaklanan yatay düzlemdeki kayma gerilmelerinin belirlenebilmesi için analitik ve nümerik çözümler geliştirilmiştir. Elde edilen analitik çözümler için, basitleştirilmiş kayma gerilmesi etki sayısı çözüm diyagramları sunulmuştur. Ayrıca nümerik çözüm için bir bilgisayar programı hazırlanmış ve literatürdeki daire ve şerit temel çözümleri ile bu çalışmada geliştirilen çözümlerin uyumu incelenmiştir. II. KONUNUN GEOTEKNİK MÜHENDİSLİĞİNDEKİ YERİ Geoteknik deprem mühendisliğinde, zeminlerin tekrarlı yükler altındaki davranışları üzerine yapılan çalışmaların çoğu, yapı yüklerinden oldukça uzakta ve eğimsiz yer düzlemindeki zemin davranışı üzerine yoğunlaşmıştır [1]. Serbest saha koşulları olarak da tanımlanan bu gerilme şartlarında, özellikle kumlu zeminlerin tekrarlı yükler altında sıvılaşma potansiyelinin belirlenmesine yönelik literatürde genel bir görüş birliği bulunmaktadır. Ancak, sıvılaşma potansiyeli üzerinde yapıların etkisi tam olarak açıklanamamıştır. Çoğu durumda, yapı altındaki sıvılaşma potansiyelinin analizinde yapının etkisi ihmal edilerek, serbest saha koşullarındaymış gibi zemin davranışı incelenmektedir. Bu durumda, zemin elemanlarının tekrarlı yüklemelerden önce yatay düzlemde herhangi bir statik kayma gerilmesine maruz kalmadığı kabulü yapılmaktadır. Pratikte ise pek çok durumda zemin elemanları yatay düzlemde başlangıç statik kayma gerilmesine maruz kalmaktadır. Yapıdan oldukça uzakta olan veya yapının simetri ekseni boyunca yer alan elemanlarda başlangıç statik kayma gerilmesi oluşmazken, yapı altında, özellikle de yapı köşesi altındaki zemin elemanlarında önemli miktarda başlangıç kayma gerilmeleri oluşmaktadır [19,, 9]. Ayrıca, yamaçlar, dolgular, barajlar ve rıhtım duvarları gibi eğimli yüzey altındaki zemin elemanlarının da sismik yüklemelerden önce başlangıç kayma gerilmesine maruz kaldığı bilinmektedir [, 1]. Bu zemin elemanları, tekrarlı yüklemeler karşısında, başlangıç statik kayma gerilmesi ve dinamik kayma gerilmesinin büyüklüğüne bağlı olarak kısmi gerilme çevrilmesi ya da gerilme çevrilmesi olmayan tekrarlı kayma gerilmelerinin etkisi altında kalacaklardır. Zeminlerin tekrarlı yükler karşısında direnci için geliştirilen prosedürlerin genellikle başlangıç statik kayma gerilmesinin olmadığı (τ s = 0) ve atmosferik basınç (p a =1 atm) altındaki serbest saha koşulları için geliştirildiği görülmektedir. Ancak bu durum her zaman gerçekçi bir model olmamaktadır. Seed (1983), serbest saha koşulları dışındaki zemin elemanları için statik kayma gerilmesi oranı düzeltme faktörü (K α ) ve örtü gerilmesi düzeltme faktörü (K σ ) ile referans tekrarlı gerilme oranının ayarlanması gerektiğini belirtmiştir. ( CRR) ' Kσ Kα CRR = (3) 0 σ = 1; α = Burada, CRR; herhangi bir gerilme durumundaki (σ v0 ve τ s ) tekrarlı direnç oranı, CRR σ =1;α=0 ; referans gerilme durumundaki (σ v0 =1 atm, τ s =0) tekrarlı direnç oranı olarak tanımlanır. K α düzeltme faktörü, eğimli zeminler ve temel yükleri altındaki zeminlerin deprem sarsıntıları gibi tekrarlı yüklerden önce (yani statik şartlarda) maruz kaldığı kayma gerilmelerinin zemin davranışına olan etkisini hesaba katmak için kullanılmaktadır. Yapılan araştırmalar, kumlu zeminlerde, K α düzeltme faktörünün zeminin sıkılığı, efektif çevre gerilmesi ve Denklem 4 de tanımlanan başlangıç statik kayma 130

U. Dağdeviren, Z. Gündüz gerilmesi oranına (α) bağlı olduğunu göstermektedir [11]. τ α = (4) σ s ' v0 Başlangıç statik kayma gerilmesi oranı (α), deprem öncesi durumda, zemin elemanının yatay düzlemine etkiyen kayma gerilmesinin, düşey efektif gerilmeye oranı olarak tanımlanmaktadır. Sonsuz şev durumunda α değeri yaklaşık olarak şev oranına eşit olarak seçilmektedir (Şev oranı = Düşey mesafe / Yatay mesafe) [7]. Serbest saha koşullarında başlangıç statik kayma gerilmesi oranı, α = 0 iken, yapı yakınlarındaki zeminde α sıfırdan farklı değerler almaktadır. Literatürde yer alan laboratuvar çalışmaları, başlangıç statik kayma gerilmesi oranının (α) kumların ve killerin tekrarlı yükler altında davranışını etkileyebileceğini göstermiştir [9, 10, 11, 18,, 4, 6, 7]. Statik kayma gerilmesi oranının belirlenmesi için de, başlangıç statik kayma gerilmesinin doğru olarak tahmin edilmesini gerektirmektedir. Ancak, literatürde, yapı yüklerinin zeminde oluşturduğu kayma gerilmelerinin hesabına yönelik çözümler önemli bir yer bulamamıştır. III. ÜNİFORM YÜKLÜ DİKDÖRTGEN TEMEL ALTINDA OLUŞAN KAYMA GERİLMELERİNİN BELİRLENMESİ A. Analitik Çözüm Boussinesq (188) kabullerine göre, zemin yüzeyinde tekil bir yükün zeminde oluşturacağı kayma gerilmeleri Denklem 1c ve 1d deki gibi ifade edilmiştir. Bu çalışma kapsamında, bir düşey yükün zemin içinde herhangi bir yatay düzlemde (xy düzlemi) oluşturduğu kayma gerilmeleri (τ,τ zy ) araştırılmıştır. Uygulamada tekil yükleme türü ile çok fazla karşılaşılmadığı için bu ifadeler, temel şekillerine uygun olarak integre edilmesiyle anlam kazanmaktadır. x ve y doğrultusundaki temel boyutları sırasıyla B ve L olan üniform yüklü dikdörtgen bir temelin köşe noktaları altında, temel tabanından z kadar derinlikte oluşacak kayma gerilmesi ifadeleri bu integrasyon işlemi ile elde edilebilir. Dikdörtgen temelin dx.dy boyutlarında küçük elemanlara bölünmesi durumunda herbir elemana gelecek tekil yük q.dx.dy olacaktır (Şekil ). Dikdörtgen temelin köşesinin altında z derinliğinde yatay düzlemde oluşacak kayma gerilmesi için, y L z dy dx P(0; 0; z) B Üniform düşey taban basıncı, q (kpa) x Şekil. Kartezyen koordinat sistemindeki zemin elemanı 3qz x. dxdy dτ = () π + ( x + y z ) ifadesi oluşturulabilir. Bu ifadenin dikdörtgen boyutlarınca integrasyonu yapılır ve x ile y yönündeki temel boyutları, m = B/z ve n = L/z dönüşümleri ile normalize edilirse, kayma gerilmesi ifadeleri temel boyutları ve derinlikten bağımsız bir hale dönüştürülebilir. nq τ = π 1 n + 1 ( m + 1) 1 m + n + 1 = Burada, I, xy düzleminde, x doğrultusundaki kayma gerilmesi için etki sayısını ifade etmektedir. m, n değerlerine karşılık gelen I değerleri Şekil 3 de verilmiştir. Benzer işlemler y yönündeki kayma gerilmesi için de gerçekleştirildiğinde, * τ zy = I zy. q = I. q (7) * m 1 1 I zy = I = π m + 1 n + 1 m + n + 1 I ( ) ifadesi elde edilecektir. Burada, I zy = I *, xy düzleminde, y doğrultusundaki kayma gerilmesi için etki sayısını ifade etmektedir. m * = L/z, n * = B/z değerlerine karşılık gelen I * değerleri Şekil 3 de verilmiştir. Böylece (6) ve (7) ifadelerinden, boyutları ve taban basıncı bilinen dikdörtgen temelin köşesi altındaki herhangi bir noktada oluşacak kayma gerilmeleri belirlenebilecektir. Yukarıdaki ifadelerde dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, formül içerisindeki m ve n ifadelerinin birbirlerinin yerine kullanılamayacağıdır. B ve L ifadelerinin kısa veya uzun kenar uzunlukları gibi bir ayrımı yoktur. Buradaki B, x doğrultusundaki temel boyutunu, L ise y doğrultusundaki temel boyutunu göstermektedir. Üniform dikdörtgen yüklü temellerin altındaki zeminde oluşan kayma gerilmelerinin analitik çözümü sonunda elde edilen ifadeler, dörtgenin köşe noktası altındaki bir derinlikte oluşacak kayma gerilmesi artışını vermektedir. Köşe noktası dışında bir noktada kayma gerilmesi artışının hesaplanmak istenmesi durumunda, yüklü alan farklı parçalara bölünerek, her parçanın o noktada oluşturacağı etkinin belirlenmesi ve süperpozisyon kuralı ile net gerilme artışının hesaplanması gerekmektedir. B. Nümerik Çözüm Boussinesq gerilme ifadelerini çözmek için günümüzde nümerik yöntemler de kullanılmaktadır. Bunların içinde en çok bilineni, mevcut yüklü alanın küçük elemanlara q (6) 131

Üniform Yüklü Dikdörtgen Temel Altında Oluşan Kayma Gerilmelerinin Hesaplanması bölünmesi yöntemidir. Bu yöntemde, yüklü alan yüzlerce veya binlerce küçük elemanlara bölünmekte ve her bir elemanın merkezinden nokta yüklerin (P i ) etkidiği düşünülmektedir (Şekil 4). Her bir elemana etkiyen eşdeğer tekil yükün gerilme artışının hesaplanacağı noktada oluşturacağı gerilme artışları ayrı ayrı hesaplanır. Hesaplanan tüm gerilme değerleri toplanarak, istenilen noktada oluşan kayma gerilme artışı (τ, τ zy ) belirlenebilir. q. B. P L i = (8) ES ES 3P i. zi. xi τ = (9) i= 1 π. Ri Burada, ES, dikdörtgen temelin bölündüğü eleman sayısını; P i ; her bir elemana etkiyen eşdeğer tekil yükü, x i, y i, z i küçük elemanların ağırlık merkezi ile gerilme artışının hesaplanacağı noktanın sırasıyla x, y, z koordinatları arasındaki mesafeyi, R i ise her bir küçük elemanın merkezi ile gerilme artışının hesaplanacağı nokta arasındaki mesafeyi göstermektedir. Şekil 4. Küçük elemanlara bölme yöntemi Sistemin bölündüğü eleman sayısı arttıkça, bulunan sonuçlar analitik çözüm sonuçlarına daha da yaklaşacaktır. Coduto (1999) eleman sayısının 1000 den az olmamasını önermiştir. Ancak, özellikle temel yüzeyine (z=0) yakın bölgelerdeki gerilme ifadelerini belirlemek için bu şart yeterli olmamaktadır. Genellikle, küçük elemanların kenar uzunluğunun (b ve l), bu elemanın merkezi ile gerilme artışının hesaplanacağı nokta arasındaki mesafenin (R i ) üçte birden az olması önerilmektedir [3]. Capper ve Cassie (1969), bu oranın üçte birden az olması durumunda hata yüzdesinin %3, dörtte birinden az olması halinde ise hatanın % civarında olacağını belirtmektedirler. Bu çalışmada, hazırlanan bilgisayar programında hatanın mümkün olduğunca küçük mertebelerde kalması için, bu oran ¼ ve parça sayısı en az 10000 olarak seçilmiştir. Nümerik çözüm hesap yöntemi için oluşturulan bilgisayar programının, bu iki şarta göre eleman seçiminde bulunması sağlanmıştır. Şekil de burada belirtilen hususlara göre hazırlanan bilgisayar programının akış diyagramı gösterilmektedir. Şekil. Nümerik çözüm için akış diyagramı Şekil 3. Kayma gerilmesi artışı için etki sayısı (I veya I * ) 13

U. Dağdeviren, Z. Gündüz Hazırlanan bilgisayar programına veri olarak, dikdörtgen temelin boyutları, zemine aktarılan taban basıncı ve gerilme artışının hesaplanacağı derinlik bilgileri girilmektedir. Program, temel boyutları ve gerilme artışının hesaplanacağı noktayı dikkate alarak, sistemin bölünmesi gereken parça sayısını hesaplamaktadır. Programda gerilme artışları tek bir noktada veya o derinlikteki bir doğrultu boyunca hesaplanabilmektedir. Tek nokta seçeneğinde, gerilme artışının hesaplanacağı noktanın (x; y) koordinatları girilmektedir. Bir doğrultu boyunca gerilme artışlarının değişiminin belirlenmesi seçeneğinde ise doğrultunun x veya y değerinin girilmesi gerekmektedir. Bu seçenekte, hesaplamanın yapılacağı doğrultuda, temelin orta noktasından o doğrultu boyunca temel boyutunun 1. katı kadarlık mesafede 16 noktada gerilme artışları hesaplanabilmektedir. Programda, ayrıca, kayma gerilmelerinin yanı sıra düşey gerilme artışları da benzer hesap yöntemi ile hesaplanabilmektedir. Programın ekran görüntüsü ve girdileri Şekil 6 da, sonuçların Excel çıktıları ise Şekil 7 de gösterilmektedir. x=0 x=1.b Şekil 7. Program çıktısının Excel görüntüsü IV. DEĞERLENDİRME Çalışmanın bu bölümünde, analitik ve nümerik çözümlemeleri yapılan dikdörtgen temeller ile literatürde çözümü verilen dairesel ve şerit temeller altında oluşan kayma gerilmesi değerlerinin [8] karşılaştırılmasına yer verilmiştir. Şekil 8 de, farklı temel oranlarındaki dikdörtgen temeller ile dairesel ve şerit temeller için, köşe-orta (O) noktasında oluşacak kayma gerilmesinin derinlik boyunca değişimi görülmektedir. Kare ile dairesel temeller ve L/B oranı büyük olan dikdörtgen temeller ile şerit temellerin altında oluşan kayma gerilmelerinin birbirine yakın değerler vermektedir. Elde edilen bu sonuçlar, çalışmada gerçekleştirilmiş olan analitik çözümü doğrulamaktadır. Ayrıca tüm temel türleri için temel altında oluşacak en büyük kayma gerilmesinin yaklaşık olarak 0.3q olacağı ve bu gerilmenin temellerin uzun kenarının orta noktasında gerçekleşeceği anlaşılmaktadır. Şekil 6. Program ekran görüntüsü L B Şekil 8. Farklı geometrideki temellerin köşesinde oluşacak kayma gerilmelerinin derinlikle değişimi 133

Üniform Yüklü Dikdörtgen Temel Altında Oluşan Kayma Gerilmelerinin Hesaplanması V. SONUÇLAR Zeminde uygulanan dış yüklerden dolayı oluşan ilave gerilmelerin belirlenmesi geoteknik mühendisliğinin önemli konularından birisini oluşturmaktadır. Literatürdeki çalışmaların önemli bir kısmı düşey gerilme artışı üzerine yoğunlaşmıştır. Özellikle son yıllarda, geoteknik deprem mühendisliğinde, yapı yükü altındaki zeminlerde oluşan başlangıç kayma gerilmesi değerlerinin de zeminlerin dinamik davranışını önemli ölçüde etkileyebileceği gündeme gelmiştir. Literatürde, şerit ve dairesel temeller için kayma gerilmesi ifadeleri olmasına karşın, uygulamada en çok karşılaşılan dikdörtgen temeller için kayma gerilmesi ifadeleri kitaplarda yerini alamamıştır. Bu çalışmada, üniform olarak yüklenmiş dikdörtgen temelin altında oluşacak kayma gerilmelerinin belirlenmesi için tam analitik çözüm geliştirilmiştir. Analitik ifadenin çözümünün sade ve kullanışlı bir şekle sokulması için temel boyutu, gerilme artışının hesaplanacağı derinliğe göre normalize edilmiştir. Normalize edilmiş temel boyutları ifadelerinin (m, n) kullanımıyla kayma gerilmesi için etki sayılarını veren grafik çözümler oluşturulmuştur. Boussinesq nun elastik çözümüne dayanan bu ifadelerin pratik amaçlar için kullanılabileceği düşünülmektedir. Elde edilen ifadelerle gerçekleştirilen analizler sonucunda, üniform olarak yüklenmiş dikdörtgen temeller altındaki en büyük kayma gerilmesinin, temel alt yüzeyinde (z = 0 derinliğinde) ve temelin köşe düzleminin ortasında oluşacağı belirlenmiştir. Tüm temel türleri için en büyük kayma gerilmesi değeri yaklaşık olarak τ = 0.3q kadardır. Bu sonuç, depremler sırasında sıvılaşma kaynaklı olarak yapıların yan yatma problemi ile örtüşmektedir. Adapazarı nda sıvılaşma kaynaklı göçmelerin de genellikle kısa kenar doğrultusunda olduğu gözlemlenmiştir. Şerit ve şeride yakın dikdörtgen temeller dışındaki temellerde, yapıdan kaynaklı kayma gerilmelerinin z/b >. derinlik oranından itibaren etkisinin ihmal edilebilir seviyeye indiği görülmektedir. KAYNAKLAR [1] Algın, H.M., Stresses From Linearly Distributed Pressures Over Rectangular Areas, Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., Vol. 4, p.681-69, 000. [] Arangelovski, G., Towhata, I., Accumulated Deformation of Sand with Initial Shear Stress and Effective Stress State Lying Near Failure Conditions, Soils and Foundations, Vol. 44, No. 6, p.1-16, 004. [3] Boussinesq, J., Application des Potentials a L Etude de L Equilibre et due Mouvement des Solides Elastiques, Gauthier-Villars, Paris, 188. [4] Capper, P.L. ve Cassie, W.F., The Mechanics of Engineering Soils, Fifth Edition. Çeviri: Kumbasar, V. ve Kip, F., İnşaat Mühendisliğinde Zemin Mekaniği, Çağlayan Kitabevi, 1969. [] Coduto, D.P., Geotechnical Engineering: Principles and Practices, New Jersey: Prentice Hall, 1999. [6] Das, B.M., Advanced Soil Mechanics, Third Edition, Taylor & Francis, New York, 008. [7] Day, R.W., Geotechnical Earthquake Engineering Handbook, McGraw-Hill, 00. [8] Fadum, R.E., Influence Values for Estimating Stresses in Elastic Foundations, Proc. nd Int. Conf. Soil Mech. Found. Eng., Vol. 3, p.77-84, 1948. [9] Hyodo, M., Murata, H., Yasufuku, N., Fujii, T., Undrained Cyclic Shear Strength and Residual Shear Strain of Saturated Sand by Cyclic Triaxial Tests, Soils and Foundations, Vol. 31, No. 3, p.60-76, 1991. [10] Hyodo, M., Yamamoto, Y., Sugiyama, M., Undrained Cyclic Shear Behaviour of Normally Consolidated Clay Subjected to Initial Static Shear Stress, Soils and Foundations, Vol. 34, No. 4, p.1-11, 1994. [11] Idriss, I.M., Boulanger, R.W., Estimating Kα for Use in Evaluating Cyclic Resistance of Sloping Ground, 8th U.S.-Japan Workshop on Earthquake Resistant Design of Lifeline Facilities and Countermeasures against Liquefaction, Tokyo, Japan, December 16 18, 00, Proceedings to be published by MCEER, 003. [1] Ishibashi, I., Kawamura, M., Bhatia, S.K., Effect of Initial Shear on Cyclic Behavior of Sand, Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 111, No. 1, p.139-1410, 198. [13] Jarquio, R. ve Jarquio, V., Vertical Stress Formulas For Triangular Loading, Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 110, No. 1, p.73-78, January, 1984. [14] Laman, M. ve Keskin, M.S., Kumlu Zeminlere Oturan Kare Temeller Altında Düşey Gerilme Analizi, Türkiye Mühendislik Haberleri, Sayı: 431, s. 3-7, 004. [1] Newmark, N.M., Simplified Computation of Vertical Pressures in Elastic Foundations, University of Illinois Engineering Experiment Station, Circular No. 4, Illinois, 193. [16] Özaydın, K., Zemin Mekaniği, Birsen Yayınevi, İstanbul, 00. [17] Poulos, H.G ve Davis, E.H., Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1974. [18] Rahhal, M.E., Lefebvre, G., Understanding the Effect of a Static Driving Shear Stress on the Liquefaction Resistance of Medium Dense Granular Soils, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 0, No. -8, p.397-404, 000. [19] Rollins, K.M. ve Seed, H.B., Influence of Buildings on Potential Liquefaction Damage, Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 116, No., p.16-18, 1990. [0] Sadek, M. ve Shahrour, I., Use of the Boussinesq Solution in Geotechnical and Road Engineering: Influence of Plasticity, C.R.Mecanique, Vol. 33, p.16-0, 007. [1] Seed, H.B., Earthquake resistant design of earth dams, Proc. Symp. On Seismic Design of Embankments and Caverns, ASCE, Vol. 1, p.41-64, 1983. [] Song, B.W., The Influence of Initial Static Shear Stress on Post-Cyclic Degradation of Non-Plastic Silt, Lowland Technology International, Vol., No. 1, p.14-4, 003. [3] Stoll, U.W., Computer Solution of Pressure Distribution Problem, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, Vol. 86, SM 6, p.1-9, 1960. [4] Uchida, K., Hasegawa, T., Strength-Deformation Characteristics of a Soil Subjected to Initial Shear Stress, Soils and Foundations, Vol. 6, No. 1, p.11-4, 1986. [] Unutmaz, B. ve Çetin, K.Ö., Sismik Zemin Sıvılaşmasında Zemin- Yapı-Deprem Etkileşimi, Teorik ve Uygulamada Zemin Yapı Etkileşimi Sempozyumu, İstanbul, 8-9 Kasım, 007. [6] Vaid, Y.P., Chern, J.C., Effect of Static Shear on Resistance to Liquefaction, Soils and Foundations, Vol. 3, No. 1, p.47-60, 1983. [7] Vaid, Y.P., Stedman, J.D., Sivathayalan, S., Confining Stress and Static Shear Effects in Cyclic Liquefaction, Canadian Geotechnical Journal, Vol. 38, No. 3, p.80-91, 001. [8] Vitone, D.M.A. ve Valsangkar, A.J., Stresses From Loads Over Rectangular Areas, Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 11, No. 10, p.961-964, October, 1986. [9] Yoshimi, Y., Oh-Oka, H., Influence of Degree of Shear Stress Reversal on the Liquefaction Potential of Saturated Sand, Soils and Foundations, Vol. 1, No. 3, p.7-40, 197. 134