AĞIRLIKLI SİYAH ÇİZGİ YÖNTEMİ İLE YOL PROJELENDİRMEDE TOPRAK İŞLERİ OPTİMİZASYONU

AĞIRLIKLI SİYAH ÇİZGİ YÖNTEMİ İLE YOL PROJELENDİRMEDE TOPRAK İŞLERİ OPTİMİZASYONU A. Burak Göktepe 1, A. Hilmi Lav 2 ve Selim Altun 1 SUMMARY Earthwork cost is of the important factors influencing the highway designs. Basically, cut-fill balancing and minimizing the total amount of earthwork are essential for the optimization of earthwork costs. In a vertical alignment process, ground line is first plotted on the profile and the grade line is adjusted as close as possible to the ground line. However, ground line involves axial elevations and cannot characterize the entire cross section. This situation may result in serious mistakes especially for mountainous terrains. Weighted Ground Line Method (WGLM) is a numerical technique based on the calculation of a hypothetical ground line optimizing the earthworks. In this paper, the philosophy and the benefits of WGLM are explained. ÖZET Yol projelerini belirleyen önemli etkenlerden birisi, toprak işleri maliyetleridir. Toprak işleri maliyetlerini minimize etmek için, kazõ-dolgu dengelemesinin yapõlmasõ ve toplam imalat miktarõnõn azaltõlmasõ esastõr. Uygulamada, en uygun kõrmõzõ çizginin belirlenmesi için, boykesite çizilen siyah çizgiye en yakõn hattõn geçirilmesi amaçlanõr. Fakat, siyah çizgi, yol eksenindeki kotlar kullanõlarak çizilmektedir ve bu eksen kotlarõ tüm enkesiti ifade etmemektedir. Özellikle, dağlõk arazilerden geçen yol güzergahlarõ için bu durum, önemli hatalara neden olabilmektedir. Ağõrlõklõ Siyah Çizgi Yöntemi (ASÇY), eksen kotlarõndan geçen siyah çizgi yerine, toprak işlerini optimize edecek hayali bir siyah çizginin belirlenmesini mümkün kõlan sayõsal bir yöntemdir. Bu bildiride, ASÇY yönteminin dayandõğõ esaslar ve sağlayacağõ yararlar açõklanmaktadõr. 1. GİRİŞ Yol tasarõmõnda, hesaba katõlmasõ gereken bir çok etken vardõr. Bu etkenler, yol sõnõfõ, hizmet düzeyi, trafik karakteristikleri, geometrik kõsõtlar, topoğrafik koşullar, zemin özellikleri, çevresel faktörler ve sosyo-ekonomik etkileşimler ana başlõklarõ altõnda toplanabilir. Temel olarak, yol projelendirme iki aşamada gerçekleştirilir. Birinci aşamada, ilgili etkenler hesaba katõlarak en uygun geçki seçeneği belirlenir. İkinci aşamada ise, seçilen geçkiye en uygun kõrmõzõ çizgiye karar verilir. En uygun kõrmõzõ çizgi, proje karakteristikleri çerçevesinde dikkat edilmesi gereken geometrik kõsõtõlar, 1 Yrd. Doç. Dr. Ege Üniversitesi, İnşaat Müh. Bölümü, 35100, Bornova, İzmir 2 Doç. Dr. İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Müh. Bölümü, 80626, Maslak, İstanbul 228

toprak işleri, araç işletim maliyetleri ve kamulaştõrma harcamalarõ dikkate alõnarak seçilir. Bunlar arasõndan, toprak işleri maliyetleri kazõ-dolgu ve nakliye miktarlarõna, araç işletim maliyetleri yol eğimlerine ve kamulaştõrma harcamalarõ ise kamulaştõrma genişliğine bağlõdõr. Diğer yandan, toprak işeri optimizasyonunun gerçekleştirilmesi için iki ölçüt söz konusudur. Bunlar, kazõ-dolgu dengelemesinin yapõlmasõ ve toplam toprak işi miktarõnõn minimize edilmesidir. Ağõrlõklõ Siyah Çizgi Yöntemi (ASÇY), kazõ-dolgu dengelemesi ve toplam toprak işi minimizasyonu için geliştirilmiş bir yöntemdir [1]. Bu yöntem, her enkesit için toprak işini optimize edecek hayali bir siyah kot (Ağõrlõklõ Siyah Kot) hesaplanmasõ esasõna dayanmaktadõr. Böylece, boykesitte enkesite ait eksen kotlarõ yerine Ağõrlõklõ Siyah Kotlar (ASK) kullanõlmakta ve en uygun kõrmõzõ çizgi bu yeni kotlara göre çizilmektedir. Ayrõca, bu yöntemde, kazõ kesitinden alõnan malzemenin uygunluğu, zemin kabarma miktarõ ve dolgu yapõlõrken uygulanan mekanik enerji sonucu oluşan sõkõşma oranlarõ da hesaba katõlmaktadõr [2]. Bu çalõşmada, ASÇY ile ilgili temel bilgiler verilerek, bu yöntemin sağlayacağõ yararlar açõklanmaktadõr. Böylece, gerek yol projelendirmede, gerekse su kanalõ inşaatõ gibi geçki kullanan ve toprak işi optimizasyonu gerektiren işlerde çalõşan mühendislere yardõmcõ olmak amaçlanmaktadõr. 2. LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Yol konumlandõrma (geçkinin ve kõrmõzõ çizginin belirlenmesi), iki nokta arasõndaki en uygun seçeneği bulmayõ hedefleyen, yatay ve düşey düzlemde tanõmlanan, üç boyutlu ve doğusal olmayan kõsõtlara sahip bir optimizasyon problemidir. Bu optimizasyon probleminin çözümü için, topoğrafik, geometrik, çevresel ve sosyoekonomik parametreleri kullanan doğrudan arama esaslõ bir optimizasyon tekniğinin kullanõlmasõ gerekmektedir. Çünkü, klasik optimizasyon algoritmalarõ (doğrusal programlama, azalan eğim bileşeni yöntemi, en küçük kareler, v.b.), bu karmaşõk optimizasyon probleminde mevcut olan ve aşağõda belirtilen maddeler nedeni ile başarõlõ olamazlar [2-5]: Çok sayõda doğrusal olmayan kõsõt, Doğrusal olmayan ve çok değişkenli amaç fonksiyonu, Türevi alõnamayan bir amaç fonksiyonu, Çözüm uzayõ içinde bir çok yerel minimum noktasõ. Literatürde, yapõlan çalõşmalarõn çoğunda, bu optimizasyon problemi iki boyutlu olarak ele alõnmõştõr. Böylece, yatay düzlemde (geçki) veya düşey düzlemde (kõrmõzõ çizgi) optimizasyon yapõlmasõ hedeflenmiştir. Bu doğrultuda, ilk gerçekleştirilen çalõşmalarõn bazõlarõ sadece geçkinin (yatay düzlemde) optimizasyonu üzerine yoğunlaşmakla birlikte, bu yapõlan çalõşmalar son derece kõsõtlõ ve yetersiz kalmõştõr [6-9]. Diğer yandan, araştõrmacõlarõn büyük bir çoğunluğu, problemi düşey düzlemde ele almõş ve en uygun kõrmõzõ çizginin belirlenmesini hedeflemişlerdir [10-18]. Bu gerçekleştirilen çalõşmalarda, doğrusal programlama, tamsayõ programlama, azalan eğim bileşeni yöntemi, rastgele arama, dinamik programlama ve genetik algoritma gibi çok farklõ türlerde optimizasyon yöntemleri kullanõlmõştõr. 229

Bununla birlikte, az sayõda araştõrmacõ ise, problemi üç-boyutlu olarak ele almõş ve çözüm önerileri sunmuştur. İlk olarak, yatay düzlem sonlu sayõda dikdörtgene bölünmüş ve her elemana bağõl maliyetler ilişkilendirilmiştir. Sonraki aşamada ise, maliyeti minimum yapan seçenek, bir azalan eğim bileşeni algoritmasõ kullanõlarak hesaplanmaya çalõşõlmõştõr [19]. Üç-boyutlu konumlandõrma optimizasyonu üzerine yapõlan bu öncül çalõşmada, bir çok kabul yapõlmõş ve bu yöntemlerin her zaman doğru çözümü sağlamasõ (hatta bir çözüm sağlamasõ) mümkün olmamõştõr. Bunu takiben, üçboyutlu optimizasyona yönelik çok farklõ bir çalõşma Chew v.d. [14] tarafõndan gerçekleştirilmiştir. Bu çalõşmada, kübik eğri enterpolasyonu ve durum parametrizasyonu teknikleri birlikte kullanõlmõştõr. Son yõllarda ise, yukarõda belirtilen nedenlerden dolayõ, bu probleme ancak bir doğrudan arama algoritmasõ ile çözüm bulunabileceği sonucuna varõlmõş ve genetik algoritma tabanlõ üç-boyutlu optimizasyon modelleri geliştirilmiştir [3-5,20]. Genetik algoritma tabanlõ teknikler, problemin doğasõna uygun olmakla birlikte, tanõmlama aşamasõndaki zorluklar, bazõ durumlarda çözüm bulunamayõşõ, elle hesaplamaya uygun olmayõşõ ve uzun hesaplama süreleri gibi dez avantajlara sahiptirler. Bunlardan ayrõ olarak, optimizasyon işlemlerinde siyah kot yerine hayali bir ağõrlõklõ kotun kullanõlmasõnõ öneren Ağõrlõklõ Siyah Çizgi Yöntemi (ASÇY) gerek el hesaplamalarõ gerekse bilgisayar tabanlõ algoritmalar için geliştirilmiştir [1]. Bu yöntem, arazinin enkesitsel olarak topoğrafyasõnõ ele alarak kazõ-dolgu dengelemesini ve toplam toprak işi minimizasyonunu mümkün kõlmaktadõr. Çeşitli zemin parametrelerini de hesaba katan bu yöntemin diğer bir avantajõ, herhangi bir optimizasyon tekniği (Genetik algoritma, dinamik programlama, doğrusal programlama, v.b.) ile birlikte olarak kullanõlmaya uygun olmasõdõr [2]. 3. AĞIRLIKLI SİYAH ÇİZGİ YÖNTEMİ Klasik yöntemlerde, en uygun kõrmõzõ çizginin geçirilmesi için, geçkiye ait eksen kotlarõnõn oluşturduğu siyah çizgiye en yakõn hattõn belirlenmesi esastõr. Hatta, kõsõtlar çerçevesinde mümkün olduğu takdirde, siyah çizginin üzerinden geçen bir kõrmõzõ çizginin en uygun seçenek olduğu düşünülür. Fakat, gerçekte siyah kotlar, enkesit üzerinde tek bir noktayõ ifade etmekte ve toprak işi genişliği içinde kalacak diğer kotlarõ içermemektedir. Bu yaklaşõm, özellikle dağlõk arazilerde önemli hatalara yol açmakta ve üçüncü boyuttaki bazõ bileşenlerin hesaba katõlmamasõ sonucuna götürmektedir. Bu noktadan hareketle geliştirilen Ağõrlõklõ Siyah Kot (ASK), kazõ-dolgu dengelemesi ile toplam toprak işi minimizasyonunu gerçeklemekte ve arazi üzerinde gerçekte bulunmayan hayali bir kot değerini ifade etmektedir. Bu kot (h w ), kazõ ve dolgu alanlarõnõ birbirine eşit kõlmakta ve aşağõdaki matematiksel ifade ile verilmektedir: n m i= 1 i= 1 S C ( i) = S F ( i) ( y = hw için) (1) Burada, h w ASK yõ, S C is kazõ alanlarõ vektörünü, S F dolgu alanlarõ vektörünü, n enkesit içindeki kazõ alanlarõ sayõsõnõ ve m ise enkesitteki dolgu alanlarõ sayõsõnõ temsil etmektedir. Şekil 1 de, p adet noktaya sahip bir enkesit ve ilgili matematiksel notasyon 230

görülmektedir. Diğer yandan, ASK nõn hesaplanmasõ için aşağõdaki bağõntõ kullanõlabilir [1]: h w = L 0 f () x dx + { S + S } CS L = p 1 i= 1 FS = [ A( i,1) A( i 1,1 )] [ A( i + 1,2) A( i,2) ] + 2 (,2) A( 1,2) A p + { S + S } CS FS (2) Bu bağõntõda, f(x) tabi zemini ifade eden fonksiyonu, L toprak işi genişliğini, A(i, 1) i noktasõna ait y koordinatõnõ (kotu), A(i, 2) i noktasõna ait x koordinatõnõ (mesafeyi), S CS kazõ şevinde oluşan üçgen şeklindeki fazla alanõ ve S FS de dolgu şevinde oluşan üçgen şeklindeki eksik alanõ temsil etmektedir. Kazõ ve dolgu şevlerine ait bu alan düzeltmeleri, h w hesaplamasõnda bu kesimlerdeki farklõlõklarõn hesaba katõlmasõ için yapõlmaktadõr. Bu alanlar, kazõ şevi için çõkarõlmalõ ve dolgu şevi için eklenmelidir. ASK nõn hesaplanmasõ ve düzeltme alanlarõ ile ilgili detaylar Şekil 1 de verilmektedir. y A(1,1) = y 1 Tabi zemin fonksiyonu, y=f(x) S CS A(p,1) = y p A(p,2) = x p h w A(1,2) = x 1 S FS Dolgu şevi Kazõ şevi L: Toprak işi genişliği x 0 Şekil 1. ASK hesaplamasõ için kullanõlan temsili enkesit L Diğer yandan, Formül 1 den kolaylõkla görülebileceği gibi, toprak işi genişliğinin (L) hesaplanabilmesi için yolun kõrmõzõ kotunun bilinmesi gerekmektedir. Ancak, kõrmõzõ kotlar bu aşamada bilinmemektedir ve zaten ASK nõn hesaplanmasõ da bu kotlarõn belirlenebilmesi için yapõlmaktadõr. Ağõrlõklõ Siyah Çizgi Yöntemi (ASÇY) nde bu sorunun giderilmesi için yinelemeli bir prosedür önerilmiştir ve bu yinelemeli çözüme ait detaylar, Şekil 2 de verilmektedir. Bu prosedürde, başlangõç toprak işi genişliği (L 0 ) yol platform genişliği için hesaplanmakta, daha sonra bulunan toprak işin genişliği için başlangõç ASK sõ (h w0 ) bulunmaktadõr. Bunu takiben, bulunan ASK ile yeni toprak işi genişliği elde 231

edilmekte ve bu işlemler ardõşõk olarak bulunan iki ASK arasõndaki fark ( h i ) belirli bir hata seviyesinden (δ) küçük olana kadar sürdürülmektedir [1] y L 0 hw1 L 1 L k-1 x L L 1 L 2 L 3 h w1 h w2 h w3 h w4 h 1 h 2 h 3 k : Yineleme sayõsõ δ : Hata seviyesi h k -1 <δ : Hata kriteri L k-2 L k-1 h wk-1 h wk h k-1 Şekil 2. Toprak işi genişliğinin belirlenmesi için kullanõlan yinelemeli prosedür [1] Bu işlemler sonucu bulunan ASK lar, kazõ alanlarõnõn tamamõnõn dolguda kullanõlabileceği esasõna dayanmaktadõr. Ancak, kazõ kesitinden alõnan bir zemin kabarmakta, nakliye sõrasõnda bir miktar eksilmekte ve dolgu yapõlõrken mekanik kompaksiyon sebebi ile sõkõşmaktadõr. İlaveten, kazõ kesitindeki her zemin, mühendislik özellikleri (taşõma gücü, oturma, drenaj, v.b.) açõsõndan yol dolgusunda kullanõlmaya uygun olmayabilir. Bu nedenle, kazõdaki birim alan ile dolgudaki birim alanõ eşleştirmek, toprak işleri optimizasyonu açõsõndan yanlõş sonuçlara yolaçan bir yaklaşõmdõr. ASÇY de bu belirtilen zemin özelliklerini hesaba katmak için, aşağõda belirtilen üç ayrõ zemin parametresi kullanmaktadõr [2]: P S Kabarma yüzdesi, P A Uygunluk oranõ, P C Sõkõşma yüzdesi. Bu parametreler içerisinden, uygunluk yüzdesi (P A ), kazõlan malzemenin ne kadar bir kõsmõnõn dolguda kullanõlabilmeye uygun olduğunu tanõmlamaktadõr. Uygunluk ise, taşõma gücü, sõvõlaşmaya yatkõnlõk, oturma miktarõ, drenaj özellikleri ve don dayanõmlarõ gibi mühendislik özellikleri açõsõndan değerlendirilmesi gereken bir kavramdõr. Diğer yandan, bu parametreler, bir yol geçkisi boyunca KM den KM ye değişebilen özelliklerdir ve belirli aralõklarla tanõmlanmalõdõr. Sonuç olarak, ASÇY de belirtilen zemin parametrelerinin birleştirilmiş etkisi tek bir değişken (C M ) ile ifade edilmekte bunun hesaplanmasõ için aşağõda verilen bağõntõ kullanõlmaktadõr: 232

C M P = ( 1+ PS ) ( 1 + P ) A C Bu formülde, C M, boyutsuz bir büyüklük olan Malzeme Katsayõsõ nõ ifade etmektedir. Böylece, belirtilen malzeme özelliklerinin de ele alõnmasõ ile, Formül 1, aşağõdaki şekilde yeniden yazõlabilir: m n F ( i) = S C i= 1 i= 1 S C M ( i) (4) Çok açõktõr ki, C M > 1 ise, kazõ alanlarõnõn azaltõlmasõ, eğer C M < 1 ise, dolgu alanlarõnõn azaltõlmasõ ihtiyacõ vardõr. Bu alan düzeltmesinin bir sonucu olarak, daha önce bulunan ASK (h w ) nõn yeniden hesaplanmasõ gerekmektedir. Böylece, zemin parametrelerinin de hesaba katõldõğõ yeni ASK değeri (h w ) daha gerçekçi bir kazõ-dolgu optimizasyonu yapabilmektedir. Eğer, h w ile h w arasõndaki değişim Η ile gösterilirse, aşağõdaki eşitlik son durumu belirtmek için yazõlabilir: h ' = h H w w ASÇY algoritmasõnda yapõlmasõ gereken son işlem, zemin parametreleri için gerekli ASK değişiminin ( H) miktarõnõn hesaplanmasõdõr. Bu değerin bulunmasõ için ASÇY de aşağõdaki bağõntõ kullanõlmaktadõr [2]: g( H) ( H) C1 H = (6) L Bu formülde, C 1 = 1 C M ile bulunan bir katsayõyõ göstermektedir ve g( H) ile L( H) fonksiyonlarõnõn değerleri ise aşağõdaki formüller ile hesaplanmaktadõr: g v ( H) : S ' ( i) y = ( h H ) için (7) i= 1 C ( H ) : L' y = ( h H için L w ) w Formül 7 ve Formül 8 de, S C, yeni ASK pozisyonu (y = h w ) için bulunan kazõ alanlarõ toplamõnõ, v yeni ASK pozisyonu için kazõ alanlarõ sayõsõnõ ve L ise, H yer değiştirmesine bağlõ olarak hesaplanan toprak işi genişliğini ifade etmektedir. Özetle, Formül 6 da verilen bağõntõ ASK yer değişimine ( H) bağlõdõr ve bu denklemin kökü yinelemeli bir yaklaşõm ile çözülebilir. Doğrusal interpolasyon (Yanlõş Nokta Yöntemi) kök bulma tekniği bu problemin çözümünde kullanõlabilecek bir yöntemdir [21,22]. Bu teknikte, denklemin kökünü bulmak için bir başlangõç aralõğõ [a, b] seçilir. Bu aralõk seçilirken f(a) ile f(b) nin ters işaretli olmasõ gerekir. Daha sonra, [a, f(a)] ve [b, f(b)] noktalarõnõ birleştiren doğrunun x eksenini kestiği nokta (c, 0) aşağõdaki formül kullanõlarak hesaplanõr [21,22]: f ( b) ( b a) c = b (9) f ( b) f ( a) (3) (5) (8) 233

Kesim noktasõnõn bulunmasõnõn ardõndan, aşağõda verilen üç seçenekten bir tanesinin gerçekleşmesi söz konusudur: f(a) ve f(c) ters işaretli ve kök [a, c] aralõğõnda yer almakta, f(c) ve f(b) ters işaretli ve kök [a, b] aralõğõnda yer almakta, f(c) = 0 (Kökün bulunmasõ durumu). Kökün bulunmamõş olmasõ (ilk iki seçenekten birisinin gerçekleşmesi) durumunda, b noktasõ c noktasõna eşitlenir ve aynõ yineleme tekrarlanõr. Bu yinelemeler, kök bulunana kadar devam eder. Şunu belirtmek gerekir ki, yapõlan yinelemelerin hepsinde ilk nokta [a, f(a)] sabit tutulur ve diğer nokta [a, f(a)] değiştirilir. Bu yönteme ait grafiksel gösterim, Şekil 3 de verilmektedir [22]. a, f(a) c 2 c 1 c 0 a 0 = a 1 = a 2 =... b 3 b 0 b 2 b 1 Bulunacak kök b, f(b) Şekil 3. Doğrusal enterpolasyon ile kök bulma prosedürünün grafiksel gösterimi Sonuç olarak, doğrusal enterpolasyon ile H õn bulunmasõnõn ardõndan düzeltilmiş ASK (hw ) Formül 5 kullanõlarak hesaplanõr. Bu yinelemeler boykesit üzerindeki her nokta için tekrarlanarak ASÇY sonlandõrõlõr. 4. SONUÇLAR Bu bildirinin amacõ, kazõ-dolgu dengelemesi ve toplam toprak işi minimizasyonu için geliştirilmiş olan Ağõlõklõ Siyah Çizgi Yöntemi (ASÇY) ni açõklamak ve hesap easalarõ hakkõnda bilgi vermektir. Bu yöntem, enkesitlere ait eksen kotlarõ yerine, optimizasyon seviyesini ifade eden hayali bir siyah kot kullanõlmasõnõ ve kõrmõzõ çizginin bu referans yardõmõ ile geçirilmesini hedeflemektedir. Bu yöntem kullanõlarak, yol projelerinde önemli ekonomik kazanõmlar sağlanabilecektir. ASÇY nin önemli avantajlarõndan bir tanesi, elle hesaplama yapõlmasõna da uygun olmasõdõr. İçerdiği iki adet yinelemeli prosedür, bir miktar işlem güçlüğü çõkarsa da, yazarlarõn tecrübeleri bu yinelemelerin en fazla üç adõm sürdüğü yönündedir. 234

Yöntemin açõklanan formunda, yol üzerindeki enine eğim hesaba katõlmamõştõr. Bu ihmal, içerilen hata miktarõnõn küçüklüğü sebebi ile yapõlmõştõr. İstenildiği takdirde, kazõ-dolgu şevi alanlarõ düzeltmesinde olduğu gibi, küçük bir üçgen alanõ bulunan alan değerine ilave edilmelidir. Bu yöntem, sadece yol projelerinde değil, toprak işi optimizasyonu gerektiren ve bir geçki içeren açõk kanal kazõsõ gibi diğer inşaat işlerinde de uygulanabilir. 235

KAYNAKLAR [1] Goktepe,A.B. ve Lav,A.H. (2003) Method for Balancing Cut-Fill and Minimizing the Amount of Earthwork in the Geometric Design of Highways, Journal of Transportation Engineering, ASCE, Vol. 129, No. 5, pp. 564-571, (İngilizce). [2] Goktepe,A.B. ve Lav,A.H. (2004) Method for Optimizing Earthwork Considering Soil Properties in the Geometric Design of Highways, Journal of Surveying Engineering, ASCE, Vol. 130, No. 4, pp. 183-190, (İngilizce) [3] Jong, J-C. (1998) Optimizing Highway Alignments with Genetic Algorithms, PhD Dissertation, Department of Civil And Environmental Engineering, University of Maryland, College Park, Maryland, (İngilizce). [4] Jong,J-C. ve Schonfeld,P. (2003) An Evolutionary Model for Simultaneously Optimizing Three-Dimensional Highway Alignments. Transportation Research Part B, Vol. 37, pp. 107-128, (İngilizce). [5] Jha, M.K. (2003) Criteria-Based Support System for Selecting Highway Alignments, Journal of Transportation. Engineering, ASCE, Vol. 129, No.1, pp. 33-41, (İngilizce). [6] Howard,B.E., Bramnick,Z. ve Shaw, J.F.B. (1968) Optimum Curvature Principle in Highway Routing, Journal of Highway Division, American Soc. of Civil Eng., Vol. 94. No.1, pp. 61-82, (İngilizce). [7] Athanassoulis, G.C. ve Calogero, V. (1973) Optimal Location of a New Highway from A to B: A Computer Technique for Route Planning, PTRC Seminar Proc.,Cost Models and Opt. in Highways, Ses.L9, PTRC, London, (İngilizce). [8] Shaw,J.F.B. ve Howard,B.E. (1982) Expressway Route Optimization by OCP., Journal of Transportation Engineering, ASCE, Vol.10, No.8, pp.227-243, (İngilizce). [9] Trietsch,N.R. (1987) Comprehensive Design of Highway Networks, Transportation Science, Vol. 21, No.1, pp.26-35, (İngilizce). [10] Hayman,R.W. (1970) Optimization of Vertical Alignment for Highways Through Mathematical Programming, Highway Res. Record, Vol. 306, pp. 1-9, (İngilizce). [11] Murchland,J.D. (1973) Methods of Vertical Profile Optimization for an Improvement to an Existing Road, PTRC Seminar Proc., Cost Models and Optimization in Highways, Session L12, London, (İngilizce). [12] Easa, S.M. (1988) Selection of Roadway Grades that Minimize Earthwork Cost Using Linear Programming, Transportation Research, Part A, Vol.22A, No.2, pp. 121-136, (İngilizce). [13] Goh,C.J. ve Chew, E. P. (1988) Discrete and Continuous Models for Computation of Optimal Vertical Highway Alignment, Transportation Research Part B, Vol. 22B, No. 6, pp. 399-409, (İngilizce). [14] Chew,E.P.,Goh, C.J., Fwa, T.F. (1989) Simultaneous Optimization of Horizontal and Vertical Alignments for Highways, Transportation Research Part B, Vol. 23B, No.5, pp. 315-329, (İngilizce). 236

[15] Fwa,T.F. (1989) Highway Vertical Alignment Analysis by Dynamic Programming, Transportation Research Record No.1239, Transportation Research Board, Washington D.C., pp. 1-9, (İngilizce). [16] Moreb,A.M. (1996) Linear Programming Model for Finding Optimal Roadway Grades that Minimize Earthwork Cost, European Journal of Operational Research, Vol. 93, pp. 148-154, (İngilizce). [17] ReVelle,C.S.,Whitlatch,E.E. ve Wright, J.R. (1997) Civil and Environmental Systems Engineering, Prentice Hall Inc., New Jersey, (İngilizce). [18] Fwa,T.F., Cha,W.T., and Sim, Y.P. (2002) Optimal vertical alignment for highway design, Journal of Transp. Engineering, ASCE, Vol.128, No.5, pp.395-402, (İngilizce). [19] Turner,A.K. ve Miles,R.D. (1971) A Computer-Assisted Method of Regional Route Location, Highway Research Record, Vol. 348, pp. 1-15, (İngilizce). [20] Jong,J-C. ve Schonfeld,P. (1999) Optimizing Vertical Alignments with Genetic Algorithms, Proc.78 th Annual TRB Meeting, 99-0719, Washington, D.C, (İnglizce). [21] Chapra,C.C. ve Canale,R.P. (1998). Numerical Methods for Engineers, 3rd Ed. McGraw-Hill Co., Singapore, (İngilizce). [22] Mathews J.H. (1992). Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, 2 nd Ed. Prentice Hall Inc. New Jersey, (İngilizce). 237