Matematik Öğretiminde Açık-uçlu Problemler İlköğretim Matematik Eğitimi ndedeoglu@sakarya.edu.tr
Kapalı uçlu soru Kısa ve öz cevaplar üretir Patronundan memnun musun? Bu seçimde kime oy vereceksin Açık uçlu soru Cevaplayıcıdan zengin bilgi elde eder Patronunla aranızdaki ilişkiden bahseder misin? Adaylar hakkında ne düşünüyorsun?
Açık uçlu problem (open-ended problem) Matematikte çoğunlukla sorular tek bir sayısal veya matematiksel sonucu almaya yöneliktir. Bu sorular kapalı uçlu olarak nitelendirilir, cevaplar önceden belirlidir: 10 ile 20 arasındaki asal sayılar hangileridir? Verilen üçgenlerden hangileri benzerdir? Açık uçlu problemler, sonuç çeşitliliği ve matematiksel düşünme sürecinde farklı becerilerin sergilenmesine fırsat veren türden problemlerdir. Görsel: http://mste.illinois.edu/users/aki/open_ended/whatisopen-ended.html
Açık uçlu sorular Diyelim ki 8 x 6 sonucunu unuttunuz fakat 5 x 6 = 30 olduğunu biliyorsunuz. Bu bilgiyi kullanarak 8 x 6 sonucunu nasıl bulursunuz?
Bir bahçenin %50 sinde şeftali, %25 inde fasulye, %15 inde mısır ve %10 unda havuç üretimi yapılmak istenmektedir. Aşağıdaki şekil bahçeyi temsil ettiğine göre bahçeyi istenen bilgilere göre bölünüz.
Bir eşkenar üçgenin dik açısı olabilir mi? Açılardan yaklaşım: Eşkenar üçgende açılar birbirine eştir. 90 x 3= 270 derecedir 270 derece bir üçgenin iç açı toplamı değildir. O halde bir eşkenar üçgenin dik açısı olamaz. Kenarlardan yaklaşım: Bir dik açısı varsa hipotenüsü de vardır Hipotenüs bir üçgende en uzun kenardır Kenarlar eş olduğundan bir eşkenar üçgenin dik açısı olamaz
Açık uçlu problemler oluşturma Kapalı uçlu Aşağıdaki sayıların hangileri asaldır? (7-57-67-117) Aşağıdaki örüntü dizisinde sonraki 3 sayıyı yazınız. (1-4-7-10- 13- ) 37 ve 67 sayılarını en yakın onluğa yuvarlayınız. Açık uçlu Can 57 ile 67 nin asal olduğunu düşünmektedir, çünkü sonu asal olan 7 ile bitmektedir. Doğru mu yanlış mıdır? 1-4-7-10-13- örüntü dizisinde 100 diziye ait midir? Açıklayınız. En yakın onluğa yuvarlandığında 37,7 sayısını veren 3 farklı sayı bulunuz.
Kapalı / Açık-uçlu ayrımı Açık-uçlu: Soyut problem: Bir d doğrusu ve aynı düzlemde A ve B noktaları veriliyor. ACB yol uzunluğunun minimum (en kısa) olması şartını sağlayan d üzerinde bir C noktası bulunabilir mi? Gerçek hayat problemi: Ali tarlada çalışırken evinde yangın olduğunu görmektedir. Tarla yakınındaki nehirden kovaya su alarak yangın yerine varmayı planlamaktadır. Ali nehir kıyısında hangi noktadan kovasını doldurmalıdır? Kapalı: Simetri konusunun işlenişinden sonra sorulduğunda. C noktası B noktasını A noktasının (d doğrusuna göre) simetriğine bağlayan doğru ile d doğrusunun kesişiminde bulunduğunda ACB yolunun uzunluğunun minimum olduğunu gösteriniz.
Öğretmenin rolü ve yönergeleri bir problemin açık uçlu kalıp kalmama durumunu etkiler. 3 tane pozitif tam sayı olsun. Bu sayılara karşılık gelen kenar uzunluklarına sahip bir üçgen var mıdır?
İlköğretim 8. sınıf öğrencileri ile bir deneyim (Arsac & Mante, 1983) 1 m x 1,50 m lik bir poster üzerinde yazılmış 6 tane problem tahtaya asıldı. Kısa sorular İlk tepkiler: Çok kolay! Problem 6: Şekilde verilen köşegenin üzerinden geçtiği birim kare sayısını n ve p cinsinden belirtebilir misiniz? p tane birim kare n tane birim kare
İlk seans-problem 6 (1 ders saati): Problem verildikten 4 gün sonra Bireysel ve ikili gruplar halinde çalışma Öğrenci soruları: -n ve p cinsinden neyi yapacağız? -Çizim yapmadan, sadece n ve p verildiğinde kare sayısını bulmayı sağlayan formülü bulmalısınız -Köşegen bir kesişim noktasından geçiyorsa, kareleri nasıl sayacağız? Öğrencilerin çözüm arayışı: Kareli kağıtlar üzerinde araştırma, Özenli çizimlerin gerekliliği (Öğretmen için değil fakat kendileri için çok önemli!)
İlk seans-problem 6 (1 ders saati): 10-15 dakika sonra çözümler bütün gruplar tarafından verildi: ilk çözümler 2 ve hatta tek örnek üzerinden: N köşegenin geçtiği birim kare sayısı olsun: N=n (n,p) için kullanılan 2 örnek: (8,4) ve (6,3) N=n+p-1 (n, p) için kullanılan örnekler (7,4); (5,3); 35 dakika sonra : n çift ise p n/2 ise N=n/2+p p< n/2 ise N=n/2+1 n tek ise N=n/2+0,5+p-1
İlk seans-problem 6 (1 ders saati): Öğretmen öğrencilerin daha kritik bir şekilde araştırmalarını teklif ediyor, veya ters bir örnek vererek öğrencileri şüpheye düşürüyor: -Bulduk, n! -9 ve 6 ile denediniz mi? -(Araştırmadan sonra) Ah, olmamış! Farklı stratejilerle gruplar araştırmalarına yoğunlaşıyor: tablo, koordinat düzlemi
İlk seans-problem 6 (1 ders saati): Öğrenciler daha az öğretmeni çağırıyorlar Ders sonunda hepsinin varsayımları yanlış çıkıyor Bir hafta sonraki derste devam edilmesi kararlaştırılıyor, isteyen evinde de devam edebilir araştırmaya
İkinci seans-problem 6 (1 ders saati): Önceki seansa dair notlar ve varsayımlar çoğu öğrenci tarafından getirilmiyor veya unutuluyor Bazı öğrenciler buldukları formülü yanlışlayacak ters örnekler bulduklarında motivasyonları kırılıyor. Öğretmen grupları motive etmek için: -Doğru formülü bulamasanız da, bulduğunuz formülün hangi durumda geçerli olduğunu belirtebilmeniz de çok enteresan bir sonuçtur. Gruplar tekrar motivasyonlarını yakalıyorlar ve parçalı da olsa formüllerini oluşturabiliyorlar: n, p nin 2 katı ise N=n n, p nin bir katı ise N=n n çift ve p tek ise N=n+p-1 p asal ise N=n+p-1
Üçüncü seans-problem 6 (1 ders saati): Notlar bu sefer unutulmamıştı Varsayımlar tahtaya geçirildi Gruplar ters örnek arayışında bulundular 3 varsayım için ters örnek bulunamıyor: n, p nin bir katı ise N=n p bir asal sayı ve n in bir böleni değil ise N=n+p-1 N=n+p -1 + düğüm sayısı (köşegen üzerindeki nokta sayısı Değerlendirme aşamasında çözüm öğretmen tarafından veriliyor: N=n+p-EBOB(n,p)
Kaynaklar Open-Ended Assessment in Math: http://books.heinemann.com/math/ Arsac, G. & Mante, M. (1983). Des problèmes ouverts dans nos classes de premier cycle. Petit x, 2, 5-33.