a a 0 a 4a

Transkript

1 İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri parabol adı verilen eğrilerdir. f() = a + b + c fonksionunda b = 0 ve c = 0 alınırsa f() =a fonksionu elde edilir. Şimdi de bu fonksionun grafiğini çizelim. = f() = a fonksionunda in her değeri için nin aldığı değerler hesaplanabilir. Ancak, kabaca çizim apabilmek için in aldığı değişik değerlere karşılık nin alacağı değerleri gösteren tablo apılarak grafik çizilir.. = f() = a ve a > 0 ise, = f() = a + 4a a 0 a 4a + 4a a a > 0 ve Riçin f() a 0 olduğundan parabolün kolları eksenin pozitif önündedir. Bu durumda parabolün en alt noktası olan (o,o) noktasına parabolün tepe noktası denir.

2 . = f() = a ve a < 0 ise, = f() = a + 4a a 0 a 4a a 4a a > 0 ve Riçin f() a 0 olduğundan parabolün kolları eksenin negatif önündedir. Bu durumda parabolün en üst nokrası olan (o, o) noktası probolün tepe noktasıdır. Burada, (-,4a) ile (,4a) ve (-,a) ile (,a) noktaları eksenine göre simetriktir. halde ekseni (= 0 doğrusu) f() = a parabolünün simetri eksenidir. Örnek : =, = ve 3 = 4 parabollerini anı analitik düzlemde çizelim

3 Örnek : = -, = - ve 3 = - 4 parabollerini anı analitik düzlemde çizelim. 0 3 SNUÇ: f() = a + b + c de, a büüdükçe parabolün kolları eksenine aklaşır (kollar daralır). a küçüldükçe parabolün kolları ekseninden uzaklaşır (kollar açılır). SRU Aşağıdaki şekilde = m parabolü verilmiştir. [A] [AB], [AB] = A ve B = 0 birim olduğuna göre, m kaçtır? = m B 0 A A) B) C) D) 4 E) 8 A = a olsun. AB =a olur. AB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ugulanırsa, a + (a) = 0 a 4a 0 5a 0 a bulunur.

4 halde B(a, a) olduğundan B(, ) olur. Bu nokta parabolün denklemini sağlaacağından, m m( ) karedir? SRU : m Aşağıdaki şekilde dir. parabolü verilmiştir. ABC karesinin alanı kaç birim C B A A) 4 B) C) D) E) 4 ABC karesinin bir kenarının uzunluğu k birim olsun. Bu durumda B noktasının apsisi ve ordinatı k olur. B(k, k) noktası parabol üzerinde olduğundan parabolün denklemini sağlar. halde, de k için k k k olur. A(ABC) k 4 birim karedir. f() = a + b + c Fonksionunun Grafiği: Cevap : E f :R R, = f() = a + b + c fonksionunun grafiğini (parabol) çizebilmek için apılması gereken işlemleri sıralaalım.. Parabolün kıllarının önü tespit edilir:

5 a > 0 ise parabolün kolları eksenin pozitif önünde, a < 0 ise parabolün kılları eksenin negatif önündedir. Örnek: = f() = parabolünün kolları a = > 0 olduğundan ekseninin pozitif önündedir.. Parabolün tepe noktasının koordinatları bulunur: a + b c üç terimlisi tam kare apılırsa, f() = a + b + c b 4ac b = a( + ) olur. a 4a Burada, b a 4ac b r ve 4a k denirse, f() = a + b + c a( r) + k parabolünün T(r, k) tepe noktasının koordinatları, r b a 4ac b ve k 4a dır. Örnek : Y = parabolünün tepe noktasının koordinatları, r b a 4ac b k 4a ( 4) 4. Buradan T(, -) dir. Uarı: olur. f() = a + b + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olmak üzere, bu nokta probolün denklemini sağlaacağından, k = f(r) olarak da bulunabilir. 3) Parabolün eksenini kestiği noktaların (varsa) koordinatları bulunur: Parabolün eksenini kestiği noktaların ordinatı = 0 olduğundan, = a + b + c = 0 olur. Bu denklemin reel kökleri (varsa), olsun. a) > 0 ise parabol, eksenini (, 0) ve (, 0) gibi farklı iki noktada keser. b) = 0 ise parabol, eksenine teğettir. c) < 0 ise parabol, eksenini kesmez.

6 Örnek : = parabolü için = b 4ac = 4 > 0 olduğundan parabol, eksenini farklı iki noktada keser. Bu noktalar, = = 0 = vea = 3 olduğundan (,0) ve (3,0) dır. 4. Parabolün eksenini kestiği noktanın koordinatı bulunur: Parabolün eksenini kestiği noktanın apsisi = 0 olduğundan ordinatı = c olur. Buna göre, Parabol, eksenini (0,c) noktasında keser. Örnek: = parabolünün eksenini kestiği nokta, = 0 için = 3 olduğundan (0,3) tür. Yukarıdaki işlemlerin sonucunda parabol çizilir. 3-3 T(,-) (0, 3) tür. = parabolü anda çizilmiştir. Örnek: f() = parabolünü çizelim. A = - < 0 olduğundan parabolün kolları eksenin negatif önündedir. Parabolün tepe noktasının koordinatları, r b a ve k f() 4T(,4) olur. parabolün eksenleri kestiği noktalar, = 0 için = 0 vea 3 olduğundan (-, 0) ve (3, 0) dır. = 0 için = 3 olduğundan

7 4 T(,4) 3 - Örnek : f() = ( + ) + parabolünü çizelim. = a( r) + k ifadesinden, a = > 0 olduğundan parabolün kolları ekseninin pozitif önündedir. Parabolün tepe noktasının koordinatları, r = - ve k = T(-, ) olur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar, = 0 için ( + ) + = 0 < 0 olduğundan parabol eksenini kesmez, = 0 için = 4 olduğundan (0, 4) bulunur. T 4 - Örnek : f() = - parabolünü çizelim. = - fonksionu = - ( + ) şeklinde düzenlenirse = a( r) + k ifadesinden, a = - < 0 olduğundan parabolün kolları eksenin negatif önündedir.

8 Parabolün tepe noktasının koordinatları, r = - ve k = 0 T(-,0) olur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar, = 0 için = 0 = = - olduğundan (-, 0), = 0 için = - olduğundan (0, -) bulunur. T(-,0) - Örnek : Y = + parabolünü çizelim. Y = a( r) + k ifadesinden, A = > 0 olduğundan parabolün kolları eksenin pozitif önündedir. Parabolün tepe noktasının koordinatları, R = 0 ve k = T (0,) olur. Parabolün eksenleri kestiği noktalar, = 0 için + = 0 < 0 olduğundan parabol eksenini kesmez, = 0 için = olduğundan (0,) bulunur. T(0,)

9 Sonuçlar:. = a b + b + c parabolünün simetri ekseni doğrusudur. a E P F C Q D A R B T(r,k) b = r = a olsun. AR = RB, CQ = QD, EP = PF,.... = a + b + c parabolünün eksenini kestiği noktaların apsisleri ve r b a r dir. b a 3. a > 0 ise f() = a + b + c parabolünün tepe noktası en alt noktası olduğundan f() in olabileceği en küçük değer, 4ac b k 4a dır. a > 0 ise f() = a + b + c probolünü tepe noktası en üst noktası olduğundan f() in alabileceği en büük değer, teğettir.) 4ac b k 4a dır. 4. = a + b + c = a(-r) + k fonksionunda, a) r 0 ve k 0 ise tepe noktası, T(r,0), ekseni üzerindedir. ( eksenine

10 b) r = 0 ve k 0 ise tepe noktası T(0,k), ekseni üzerindedir. ( ekseni simetri eksenidir.) Burada r b a 0 b 0olur. c) r = 0 ve k = 0 ise tepe noktası T(0, 0) orijindedir. SRU 3 Şekildeki parabolün denklemi f() = + b + c olduğuna göre, f() in alabileceği en büük değer nedir? A) 3 B) 4 9 C) 5 9 D) 3 E) 7 9 = - + b + c parabolü eksenleri (0, ) ve (, 0) noktalarında kestiğinden, = 0 için = c = = için = b + = 0 b = olur. Buradan parabolün denklemi = olarak bulunur. halde f() = nin alabileceği en büük değer, k 4ac b 4a 9 4 tür. Cevap: B SRU 4 Şekildeki parabolün denklemi = + c ve B = 3 A olduğuna göre c kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E)

11 A B Parabolün eksenini kestiği noktalar A ve B nin apsisleri sırasıla ve olsun. A = m denirse B = 3m olur. Buradan = -m, = 3m olacağından, m 3m r m r m. ve 3 tür. halde,. SRU 5 C. C 3 tür. Cevap: C Şekildeki parabolün denklemi = m + (m-) - ve AB = 3 birim ise m kaçtır? A) 3 B) C) D) E) 3 A B Y = m + (m-) ) = 0 = - vea olduğundan A(-,0) ve m B(,0) olur. m

12 halde, AB = A + B = m m = dir. Cevap: C Parabolün eksenini kestiği noktalar, A ve B sırasıla ve olsun. Δ AB = 3 = a 3 (m ) m 4m( ) m 3 m a = m > 0 olduğundan, m + = 3m m = dir. Cevap: C SRU 6 8 = 3 Yukarıdaki parabolün denklemi = f() = + b + c ise f() değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) 4 E) 5

13 Çözüm: r b a 4 b. b 8, // // = 3 8 Simetri ekseni Arıca parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı 3 olduğundan c = 3 olur. halde, f() = + b + c f() = ve f() = -4 tür. SRU 7 m Cevap: D m m A B m Yukarıdaki şekle göre AB uzunluğu kaç birimdir? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: = m (m ) m ve = m + parabolleri eksenini anı noktada kestikleri için, m = m + m = olur. Bu değeri parabollerin denklemlerinde erine azarak eksenini kesim noktaları bulalım.

14 = m (m ) m = = 0 = -3 vea = - A(-3, 0) olur. = m + = = 0 = - vea = 3 B(3, 0) bulunur. halde AB = 3 (-3) = 6 birimdir. Cevap: E SRU 8 Aşağıdaki şekilde tepe noktası T olan = + m + 5m + parabolü verilmiştir. C = 3 B olup A, B ve C noktalarının apsisleri çarpımı 4 tür. Bu parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı nedir? T A B C A) 8 B) 9 C) 0 D) E) B = r denilirse C = 3r olur. A nın pasisi de a olsun. Buradan A(a,0), B(r,0) ve C(3r, 0) elde edilir. = r doğrusu simetri ekseni olduğuna göre a 3r r a r arıca, a.r.3r 4 r.r.3r 4 m r ver.( ) olduğundan m = bulunur. Parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı, 5m = dir.

15 Cevap: E SRU 9 Yandaki şekilde tepe noktası T olan = a + b + c parabolü verilmiştir. T Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) b <4ac B) a<0 C) b>0 D) c<0 E) ab + c > 0 A) Parabol eksenini kesmediğinden = b 4ac < 0 b <4ac, B) Parabolün kolları ekseninin negatif önünde olduğundan a < 0, b C) Parabolün tepe noktasının apsisi 0 ve a 0 olduğundan b 0, a D) Parabolün eksenini kestiği nokta (0, c) ve c < 0, E) a <0,b> 0 ve c < 0 olduğundan ab + c < 0 dır. Cevap: E SRU 0 Y = + 3m + m + parabolü eksenine, eksenin pozitif tarafından teğet ise bu parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı nedir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) Parabol eksenine, eksenin pozitif tarafında teğet olduğuna göre, = 0 ve tepe noktasının apsisi r > 0 dır. halde, = (3m) 4.. (m +) = 0 m 4 = 0 m = vea m = - ve 3m ve r 0 m 0 olduğunda, m = - olur.

16 Bu parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı ise c = m + c =. (-) + = 9 dur. Cevap: C SRU Aşağıdaki şekilde T tepe noktası ekseni üzerinde olan =- m + m + 4 parabolü verilmiştir. T A A noktasının apsisi nedir? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 Parabol eksenine teğet olduğundan, = (-m) 4.(-).(m + 4) = 0 (m + 4) = 0 m = -4 değeri parabolün denkleminde erine azılırsa, = - m + m + 4 = = - (-) olur. Parabolün tepe noktası T(,0) ve = doğrusu simetri eksenidir. halde A nın apsisi 4 bulunur. Cevap: D T(,0) // // A =

17 Parabolün Denklemini Bulma:. = a + b + parabolü üzerindeki herhangi üç nokta biliniorsa, bu noktalar parabolün denkleminde erine azılarak a, b ve c kat saıları elde edilir ve para bolün denklemi bulunur. Örnek: Yandaki şekilde verilen parabolün denklemini bulalım. Parabol üzerindeki noktalar, Y = a + b + c parabol denkleminde erine azılırsa, İKİ TANE ŞEMA ÇİZİLECEK. A(-,5) için a b + c = 5 B(,5) için 4a + b + c = 5 C(,3) için a + b + c = 3 denklemleri elde edilir. rtak çözüm apılırsa, a =, b = - ve c = olur. halde, = a + b + c = + 3 tür.. Parabol üzerindeki herhangi bir nokta ile parabolün eksenini kestiği noktalar biliniorsa, parabolün denklemi, Y = a( ) ( ) ifadesi kullanılarak bulunur. ŞEMA ÇİZİLECEK Örnek : Yandaki şekilde verilen parabolün denklemini bulalım. Parabolün eksenini kestiği noktaların apsisleri = - ve = olduğundan, = a( ) ( ) ifadesinden = a ( + ) ( ) elde edilir. Burada a ı bulmak için parabol üzerindeki 5 (, noktası, elde edilen parabol denkleminde erine azılırsa, 3 5 = - için = a ( )( ) 3 a 5 ve 5 ( )( ) dir. 3. Parabol üzerindeki herhangi bir nokta ile parabolün tepe noktası biliniorsa, bu parabolün denklemi, = a(-r) + k ifadesi kullanılarak bulunur. ŞEKİL ÇİZİLECEK.

18 Örnek: Yandaki şekilde verilen tepe noktası T olan parabolün denklemini bulalım. Parabolün tepe noktasının koordinatları r = - ve k = 4 lduğundan, = a( r) + k ifadesinden = a( + ) + 4 elde edilir. Burada a ı bulmak için parabol üzerindeki (0,3) noktası, elde edilen parabol denkleminde erine azılırsa, = 0 için = 3 = a(0 + ) + 4 a = - ve = - ( + ) + 4 tür. ŞEKİL ÇİZİLECEK. SRU 3 Yandaki şekilde tepe noktası T olan = f() parabolü orijinden geçtiğine göre, f(5) kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) Parabolün eksenini kestiği noktaların apsisleri = 0 ve = 4 olduğundan, = a ( ) ( ) = a ( 4) ve parabolün tepe noktasının apsisi de r 0 4 r olur. Arıca T(,4) noktası parabolün denkleminde erine azılırsa, = için = 4 =.. ( 4) a = - ve f() = - ( 4) bulunur. halde f(5) = -5. (5 4) = - 5 tir. Cevap: B ŞEKİL ÇİZİLECEK. SRU 4 Yandaki şekilde tepe noktası T(-, -) olan parabol verilmiştir. ATB üçgeninin alanı kaç birim karedir? A) B) C) 3 D) 4 E) 5 Parabolün tepe noktasının koordinatları r = - ve k = - olduğundan, = a(-r) + k = a (+) olur. Aırca (0,3) noktası parabolün denkleminde erine azılırsa, = 0 için = 3 = a(0 + ) bulunur. halde, parabolün eksenleri kesim noktalarını bulalım.

19 = ( + ) = = 0 = - 3 vea = - A(-3, 0) ve B (-,0) olduğundan, A(ATB) AB. ŞEKİL ÇİZİLECEK k. birim karedir. Cevap: A Bir Parabolle Bir doğrunun Birbirine Göre Durumu : Denklemi = a + b + c olan bir parabolle, denklemi = m + n olan doğrunun birbirine göre durumunu incelemek için bu denklemler ortak çözülür. apsisleridir. a b c a m n a b c m n (b m) c n 0 şeklinde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemde:. > ise, Parabol ile doğru farklı iki noktada kesişirler. a + (b-m) + c n = 0 denkleminin kökleri olan ile bu iki kesim noktalarının ŞEKİL ÇİZİLECEK Örnek : vea olduğundan parabol ile doğru farklı iki noktada kesişir. Bulunan kökler, parabol vea doğrunun denkleminde erine azılarak kesim noktalarının ordinatları bulunur. ŞEKİL ÇİZİLECEK. = 0 ise, Doğru, parabole teğettir. a + (b-m) + c n = 0 denkleminin iki kat kökü ( = ), doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisidir. ŞEKİL ÇİZİLECEK. Örnek : = + parabolü ile = doğrusunun birbirine göre durumunu inceleelim.

20 inceleelim. 0 lduğundan doğru, parabole teğettir. Bu noktanın ordinatını bulalım. = de = için = dir. ŞEKİL ÇİZİLECEK 3. < ise, Parabol ile doğrunun ortak noktası oktur. ŞEKİL ÇİZİLECEK Örnek : = parabolü ile = + doğrusunun birbirine göre durumunu Δ olduğundan parabol ile doğrunun ortak noktası oktur. ŞEKİL ÇİZİLECEK İki Parabolün Birbirine Göre Durumu: Denklemleri 0 a + b + c ve = p + q + r olan iki parabolün birbirine göre durumunu incelemek için iki parabolün denklemi ortak çözülür. inceleelim.. a = p ve b q ise, İki parabol tek noktada kesişir. a b c a b c p p q r b c q r qr r denkleminin kökü parabollerin kesim noktasının apsisidir. ŞEKİL ÇİZİLECEK Örnek : = + 3 parabolü ile = parabolünün birbirine göre durumunu

21 olduğundan paraboller tek noktada kesişir. Bu noktanın ordinatını bulalım. = + 3 ve = için 3 tür. ŞEKİL ÇİZİLECEK. a p ise, İki parabolün birbirine göre üç durumu vardır. Bu durumlar incelenirken takip edilecek ol, bir parabol ile bir doğrunun birbirine göre durumunun incelenmesinde izlenen ol ile anıdır. Örnek : = parabolü ile = + + parabolünün birbirine göre durumunu inceleelim. 0 vea olduğundan paraboller iki noktada kesişir. Bu noktaların ordinatlarını bulalım. = de = - için = = için = 8 dir. ŞEKİL ÇİZİLECEK. Örnek: = parabolü ile = - + parabolünün birbirine göre durumunu inceleelim olduğundan paraboller teğettir. Bu noktanın ordinatını bulalım. = - + de = için = dir. ŞEKİL ÇİZİLECEK Örnek : = + parabolü ile = parabolünün birbirine göre durumunu inceleelim.

22 0 Δ 0 olduğundan parabollerin ortak noktaları oktur. ŞEKİL ÇİZİLECEK SRU 5 Yandaki şekilde parabolün tepe noktası T olduğuna göre, A noktasının apsisi nedir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 ŞEKİL ÇİZİLECEK. = + doğrusunun eksenini kestiği noktanın apsisi, = 0 = + = - dir. ŞEKİL ÇİZİLECEK r parabolün denklemi, 3 olur. = a(- )(- ) den = a(+)(-3) ve burada (0, -3) noktası erine azılırsa = 0 için = -3 = a (0+)(0-3) a = olduğundan = (+)(-3) = 3 bulunur. Parabol ile doğrunun denklemini ortak çözelim. 3 3 vea 4 tür. halde A nın apsisi 4 tür. SRU 6 Yandaki şekilde = + n doğrusu, tepe noktası ekseni üzerinde olan = m m + 4m parabolüne teğettir. Buna göre, n kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Y = m + (-m) 4m parabolünün tepe noktası ekseni üzerinde olduğundan, -m = 0 m = - vea m = olur. Parabolün kolları ekseninin pozitif önünde olduğundan m = ve = 4 tür. halde parabol ile doğrunun denklemlerini ortak çözelim.

23 4 n 4 n 4 n 0 ve doğru parabole teğet olduğundan, nedir? = (-) 4..(-4 - n) = 0 n = -5 dir. Cevap: A SRU 7 Y = - + parabolünün = doğrusuna en akın noktasının ordinatı A) B) C) D) E) Parabol üzerindeki A noktası = doğrusuna en akın nokta olsun. Parabolün A noktasındaki teğeti = doğrusuna paralel olacağından denklemi, = - + n şeklindedir. Bu denklem, parabolün denklemi ile ortak çözülürse, n n n 0 ve doğru, parabole teğet olduğundan kökler çakışır ( = 0) olmalıdır. halde, = = = - + de için SRU 8 b köklü A noktasının apsisidir. Bu noktanın ordinatı, a 5 4 tür. Y = m parabolü ile = + m parabolü birbirine teğet ise değme noktasının apsisi ile m nin toplamı nedir? A) 3 B) C) D) 0 E) Parabollerin denklemleri ortak çözelim. 5 m m 6 m 4 m 0 m

24 erine azılırsa, ve iki parabol teğet olduğundan, = m = 0 m = olur. Bu değer ukarıda elde edilen denklemlerde m = = 0 = = - değme noktasının apsisidir. halde + = 0 SRU 9 ŞEKİL ÇİZİLECEK Cevap: D Yukarıdaki şekilde f() = m 8 + 8m + 8 parabolü ile g() = - + (3m + 4) 5m parabolleri verilmiştir. A noktasının apsisi nedir? A) 3 B) 6 C) D) 7 E) 8 Paraboller = doğrusu üzerinde kesiştiğine göre, f() m 8 ve f() g() g() m 3 m 8 m 3 m olur. Bu değeri parabollerin denkleminde erine azarak denklemleri ortak çözelim. f() 86 f() g() g() 7 6 SRU 0 m nin değişen değerleri için, 5 0 vea Cevap: A f() = (m + ) + (m + ) m parabolleri ile g() = m + 3m m parabolleri verilior. f() ve g() parabol çiftleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Farklı iki noktada kesişirler. B) Teğettirler. C) Tek noktada kesişirler. D) rtak noktaları oktur. E) Çakışıktırlar.

25 0 ) m 4..(m m) ( Δ ve 0 m m m) ( düzenlenirse, eşitliği g() f() m 3m m g() m ) (m ) (m f() olduğundan teğettirler. Cevap: B