4. ÜNİT ÇMR V İR + + + Çember ve Çemberde çı Çemberde Çevre Uzunluğu aire ve aire iliminin lanı Maç başlarken topun konulduğu noktayı ve sadece oyunu başlatan futbolcuların bulunabildiği alanı geometrik kavramlarla ilişkilendiriniz.
4. ÜNİT ÇMR V ÇMR ÇI 1.Resim 2.Resim 3. Resim Yukarıdaki resimleri inceleyiniz. Üç resimde ortak olan yanları belirleyiniz. irinci resimdeki basketbol potasında fi lenin bağlandığı demir halka, ikinci resimdeki alyanslar sizlere hangi geometrik şekli hatırlatmaktadır? Üçüncü resimdeki bir otomobilin hız göstergesindeki ibrenin uzunluğu ve ibrenin bağlantı noktası için ne söylenebilir? 1 Yandaki resimde bir bisiklet tekerleğinin jantı ve bu jantla tekerlek göbeğini birbirine bağlayan jant telleri görülmektedir. Jant tellerinin uzunluklarını karşılaştırınız. uradan yola çıkarak jant üzerindeki her noktanın tekerleğin göbeğine olan uzaklıkları için ne söylenebilir? Tekerlek hangi geometrik şekle modeldir? L K H G Şimdi de yandaki şekilde verilen merkezli çemberi inceleyiniz. Verilen H, L, G ve K F açılarını, köşelerinin konumuna göre sınıflandırınız. u sınıflandırmaya göre çemberdeki açıları isimlendirmeye çalışınız. F 152
ÇMR V İR r üzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine çember, sabit olan noktaya çemberin merkezi ve eşit olan uzaklığa da bu çemberin yarıçapı adı verilir. r R olmak üzere r birim yarıçaplı merkezli çember yandaki gibi gösterilir. Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberde yay ayıran açılara merkez açı, köşesi çemberin üzerinde olan ve ışınları çemberden yay ayıran açılara çevre açı denir. 2 r 1. Şekil 2. Şekil 3. Şekil 4. Şekil Yukarıdaki şekillerde merkezli = r yarıçaplı çemberler görülmektedir. 1. şekildeki [], noktası etrafında sabit tutularak bir tam tur attığında noktasının çizdiği yay ile oluşan merkez açıyı ilişkilendiriniz. 2, 3 ve 4. şekillerde görüldüğü gibi bu çemberi noktasında kesişen [] ve [] ile dört eş parçaya ayıralım. 2. şekildeki, tam çember yayının kaçta kaçıdır? unu gören m( ) merkez açısının ölçüsü kaçtır? enzer yaklaşımla 3 ve 4. şekillerde renklendirilmiş ve merkez açılarının ölçülerini bulunuz. Çemberde merkez açının ölçüsü ile bu açının gördüğü yayın ölçüsü arasında bir bağıntı yazmaya çalışınız. X Yandaki şekilde olduğu gibi merkezli çemberde X yayına merkez açısının gördüğü yay denir ve merkez açısının ölçüsü ile X nın ölçüsü birbirine eşittir. u durum, m( ) = m( X) biçiminde ifade edilir. 153
4. ÜNİT X Yandaki şekilde merkezli çemberde verilen X, tüm çember yayının 1 üne eşit ise m( ) nün kaç derece olduğunu bulalım. 3 Çember yayının ölçüsü 360 0 olduğundan; m( X) = 360. 1 3 = 1200 dir. olayısıyla, m( X) = m( ) = 120 0 bulunur. P N M L R K H G F Yandaki resimde görülen teker üzerinde eşit aralıklarla,,..., R noktaları işaretlenmiştir. m( ) nü bulalım. m( )= m( )=...= m(r ) = 3600 14 = 1800 7 m( )= m( )= 1800 7 m( )=4. m( ) = 7200 7 bulunur. 3 Yandaki merkezli çemberde verilen çevre açısı ile merkez açısını inceleyiniz. m( ) ile m( ) nı karşılaştırınız. m( ) ile m( ) nı karşılaştırınız. m( ) ile m( ) arasındaki bağıntıyı, ve nin açı bağıntılarını kullanarak bulmaya çalışınız. ynı yayı gören ile çevre açısı arasındaki ilişkiyi söyleyiniz. 154
ÇMR V İR 2 merkezli çemberde de görüldüğü gibi bir çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. olayısı ile bu çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün de yarısına eşit olur. u durum, m( ) = 1 2.m( ) ve m( ) = 1.m( ) biçiminde verilir. 2 X Yandaki merkezli çemberde m( X) = 56 0 verilmektedir. m( ) ile m( ) nü bulalım. X m( ) = m( X) ve m( ) = 1. m( X) olduğundan 2 m( ) = 56 0 ve m( ) = 1 2.560 = 28 0 bulunur. Y X Yandaki merkezli [] çaplı çemberde m( )=40 0 dir. una göre m( ), m( ) ve m( ) değerlerini hesaplayalım. 400 m( )=180 0 (Yarım çember yayının ölçüsü) m( )= 1 2.m( )= 1 2.1800 =90 0 (Çevre açı) 155
4. ÜNİT m( )=180 0 m( )= 1 2.m( )= 1 2.1800 =90 0 (Yarım çember yayının ölçüsü) (Çevre açı) m( )= 1 2.m( X) 40 0 = 1 2.m( X) m( X) =80 0 (Çevre açı) m( )= m( Y)+m( X) 180 0 = m( Y)+80 0 m( Y)=100 0 m( )= 1 2.m( Y)= 1 2.1000 =50 0 (Çevre açı) Şekildeki nde [] [], [] [] ve = ise m( ) nü bulalım. m( )=90 0 dir. (,, doğrusal) m( )= m( )=90 0 olduğundan,, ve köşelerinden bir çember geçer ve [] da çap olur. m( )=45 0 ( ikizkenar dik üçgen) m( )=90 0 (m( )=45 0 ) m( )=45 0 bulunur. (m( )=90 0 ) Yandaki resimde lokomotifi n çember biçimindeki tekeri üzerinde gösterilen çevre açının ölçüsünü hesaplayalım. Çember 8 eşit yaydan oluşmuştur. Her bir yayın ölçüsü 3600 8 = dir. nın gördüğü yayın 450 ölçüsü 5.45 0 =225 0 ise m( )= 2250 2 = 112,50 bulunur. 156
ÇMR V İR 4 X Şekildeki gibi yarıçap uzunluğu 30m olan çembersel pist üzerinde ve noktaları 120 0 lik merkez açı ile belirlenmektedir. 120 0 noktasında bulunan Gülcenaz saat yönünde koşacaktır. r = 30m Gülcenaz, çembersel pist üzerinde tam tur koşarsa ne kadar yol alır? Gülcenaz 120 0 lik merkez açının gördüğü yolunu koşarsa ne kadar yol alır? Gülcenaz ın aldığı yolun uzunluğunu, bu yolu gören merkez açının ölçüsü ve yarıçap uzunluğu ile ilişkilendiriniz. X nı gören merkez açının ölçüsünü, koşulan yol uzunluğunu ve yarıçap uzunluğunu kullanarak hesaplamaya çalışınız. ir çemberde yay uzunluğunu, bu yayı gören merkez açı ve yarıçap uzunluğu ile ilişkilendirerek genel bir bağıntı bulmaya çalışınız. Yandaki gibi merkezli r br yarıçaplı bir çemberin çevre uzunluğu 2πr br dir. X yrıca bu çember üzerindeki X nı gören merkez açının ölçüsü ise X nın uzunluğu X =.2πr br olur. 0 360 Yukarıdaki bağıntıda 360 0 = 2π radyan olarak alınırsa merkez açının ölçüsü, = X radyandır. r X Yandaki merkezli çemberde X = 3π 4 cm ve =450 ise çemberin yarıçap uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım. = 45 0 = π 4 radyan ise, X r = π 4 3π 4 r = π 4 r = 3 cm olur. 157
4. ÜNİT 1. şağıda merkezli çemberdeki verilenlere göre, a, b, c, d açılarının ölçülerini bulunuz. a) b) c) ç) 23 0 45 0 55 0 60 0 2. d) 17 0 a b 46 0 G d c F Şekildeki tekerlek 24π br uzunluğundaki yolunu 3 tur atarak aldığına göre tekerleğin yarıçapı kaç br dir? 3. merkez olmak üzere aşağıdaki çemberlerde x değerlerini bulunuz. a) (9x+5) 0 b) c) (3x+10) 0 (4x+5) 0 (2x 20) 0 (2x-7) 0 (3x-25) 0 4. 125 0 y Yandaki şekilde,,, noktaları çember üzerindedir. x ve y değerlerini bulunuz. 80 0 x 158
ÇMR V İR 5. şağıda köşeleri bir çember üzerinde verilen yıldızılların, her birinin köşelerindeki iç açıların ölçüleri birbirine eşittir. u köşelerdeki iç açıların ölçüleri toplamını bulunuz. 6. M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 noktasında bulunan ve yarıçap uzunluğu 2br olan tekerleğin merkezinde oluşan açıların ölçüleri eşittir. Tekerleği saat yönüne doğru çevirerek ilerlettiğimizde noktasının cetvel üzerinde değdiği yer hangi iki tam sayı arasındadır? (etvelde iki tam sayı arası 1br dir.) 7. Saat 08:00 e en yakın hangi zamanda akrep ile yelkovan doğru açı oluşturur? 8. 1 100m 30m 30m 2 Yandaki şekilde atletizm sahasının krokisi görülmektedir. =100m, 1 ve 2 yarıçap uzunluğu 30m olan çemberlerin merkezleri olduğuna göre pistin çevresinin uzunluğunu hesaplayınız. 9. 4 Yandaki şekilde 2br ve 6br yarıçaplı ve merkezli iki çemberin bir bölümü verilmiştir. m( )=30 0 olduğuna göre kapalı bölgesinin çevre uzunluğu kaç br dir? yayı uzunluğunun yayı uzunluğuna oranını, yarıçapların oranı ile karşılaştırınız. 2 10. krebinin uzunluğu 0,6cm olan bir saatte, yelkovanının uzunluğu akrebin uzunluğunun 1,5 katıdır. Saat tam 13:00 ü gösteriyorken 45 dakika sonra yelkovanın uç noktasının çizdiği yay uzunluğu kaç cm dir? 159
4. ÜNİT 12. Şekildeki, ve merkezli dişlilerin attıkları tur sayıları sırasıyla 1, 3 ve 4 sayıları ile orantılıdır. dişlisinin yarıçap uzunluğu 12cm ise ve dişlilerinin yarıçap uzunluklarını bulunuz. 13. Yiğit ve Pelin masadaki çember biçimindeki pizzayı L şeklindeki araçla eşit iki parçaya nasıl ayırabilir? Yanlarına iki arkadaş daha gelirse dört eşit parçaya ayırmak için nasıl bir araca ihtiyaç vardır? 14. şağıdaki şeklin çevresi kaç br dir? Pi sayısı için, ilk gerçek değer rchimedes (rşimet) tarafından kullanılmıştır. ugünkü değerine çok yakın bir değerdir. abilliler çok eski zamanlardan beri Pi sayısı için 3 değerini kullanıyorlardı. Mezopotamyalılar ise daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman Pi=3,125 değerini uygularlardı. 15. yüzyıl Türk-İslam dünyası ünlü matematik ve astronomi bilgini Gıyaseddin emşid, Pi sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru hesaplayan ilk kişidir. emşid in Pi sayısı için verdiği değer 3,1415926535898732 dir. u değer bugün kabul edilen değere göre doğrudur. Pi sayısının değeri hesaplanmaya devam etmektedir. π sembolünü ilk kez kullanan uler (Öyler) dir. Matematik Tarihi ve Türk İslâm Matematikçilerinin Yeri Göker, L. M, İstanbul 1997. 160
ÇMR V İR İR V İR İLİMİ 1. Resim 2. Resim 3. Resim Yukarıda 1. resimde verilen havuç dilimli baklavayı inceleyiniz. aklava dilimleri ile tepsi yüzeyinin tamamen kaplandığı görülmektedir. aklavalar ile kaplanan yüzeyin hangi geometrik şekli oluşturduğunu söyleyiniz. u kez 2. resimdeki kasnağı inceleyiniz. Kasnağın iç kısmında kalan yüzeyin kumaş ile tamamen örtüldüğünü gözlemleyiniz. 2 ve 3. resimlerdeki düzlemsel yüzeylerin çember ile sınırlı, kapalı bir düzlem bölgesi olduğu söylenebilir. Öyleyse her iki bölgenin bir alanı vardır. Çember ile sınırlı daire adı verilen bu kapalı bölgelerin alanlarını hesaplamaya çalışalım. 5 örek yapmak için açılmış daire biçimindeki bir yufkayı aşağıdaki gibi eş parçalara ayıralım: F K L Yarım yufkadan kesilen şeklindeki parçalar sıralandıkça şekli daha çok paralelkenarsal bölgeye dönüşmektedir. r h H 161
4. ÜNİT, F,..., K, K L,... yaylarının uzunlukları toplamını bulmaya çalışınız. ve taban uzunluklarının yaklaşık değerlerini dairenin çevresi ile karşılaştırınız. ilimlerin sayısı arttıkça h yüksekliği şekildeki hangi uzunluğa yaklaşır? Paralelkenarsal bölgenin alanını bularak dairenin alanını veren bağıntıyı oluşturmaya çalışınız. ir dairenin alanını veren genel bağıntıyı bulmaya çalışınız. r Yandaki şekilde verildiği gibi yarıçapı r br olan dairenin alanı, πr 2 br 2 olur. Şekildeki radar göstergesinin yarıçap uzunluğu 4cm ise göstergenin alanını hesaplayalım. airenin alanı = πr 2 = π.4 2 = 16 π cm 2 bulunur. 12br Yandaki şekilde verilen karesinin bir kenar uzunluğu 12br dir. u karenin içine, kenarlarına teğet olacak biçimde merkezli bir daire çiziliyor. Taralı alanın kaç br 2 olduğunu bulalım. ÇÖZÜM : Taralı lan = Karenin lanı airenin lanı = 12 2 π 6 2 = 144 36 π br 2 bulunur. 162
ÇMR V İR 6 F r=12 Yarıçap uzunluğu r=12cm olan bir metal levha yandaki şekildeki gibi altı eş daire dilimine ayrılarak farklı renklerde boyanacaktır. Her bir dilimin alanının kaç cm 2 olduğunu bulmaya çalışınız. unun için aşağıdaki daire dilimini ele alınız. r=12 r=12 m( ) nü bulunuz. airenin alanının πr 2 olduğunu biliyorsunuz. ununla bera- ber m( ) ile 360 0 arasındaki oranı kullanarak dilimin alanının nasıl bulunacağını tartışınız. aire dilimlerinin, merkez açılarının ölçüleri 60 0 yerine 30 0, 45 0 ve 120 0 olarak alınırsa her bir dilimin alanını bulmaya çalışınız. aire diliminin alanını veren bir genelleme yapmaya çalışınız. r r Şekilde verildiği gibi merkezli r yarıçaplı daireden kesilen ve m( ) = olan daire diliminin alanı, ( ) = 360 0.πr2 dir. merkezli r=27cm yarıçaplı daireden elde edilen daire diliminde 40 0 r=27 m( ) = 40 0 ise ( ) nın kaç cm 2 olduğunu bulalım. ( ) = 400 360 0.π272 = 1 9.π.27.27 = 81π cm2 bulunur. 163
4. ÜNİT r=6 Yandaki şekilde merkezli ve yarıçap uzunluğu r=6m olan dairedeki taralı bölgenin alanı ( )=15π m 2 ise m( )= nın kaç derece olduğunu bulalım. ( ) = = 150 0 360.π.r 2 15π = 0 360 0.π.62 15π = 10.π bulunur. 2cm merkezli çeyrek daire ile dikdörtgeni şekildeki gibi verilmiştir. =2cm ve =3cm olduğuna göre taralı bölgelerin alanları toplamını bulalım. 3cm 2cm 3cm = =5cm =4cm (Yarıçap) ( dik üçgeninde Pisagor bağıntısı) Taralı alan = Çeyrek daire alanı ikdörtgensel bölgenin alanı = 900. π 5 2-3.4 = 25π 360 0 4 12 cm2 bulunur. Yanda verilen resimdeki arabanın arka cam sileceğinin uzunluğu 40cm dir. Sileceğin silebileceği en büyük alanı bulalım. (amın alt kenarı doğrusaldır.) Yarım dairenin alanı = πr2 2 = π402 2 = 800π cm2 dir. Silecek merkezi noktasında ve yarıçap uzunluğu r=40cm olan yarım daire biçiminde bir alan siler. 164
ÇMR V İR 1. Çevre uzunluğu 50 π olan bir dairenin alanı kaç cm 2 dir? 2. Çevre uzunlukları oranı 1 3 olan dairelerin alanları oranı kaçtır? 3. şağıda taralı olan daire dilimi alanlarını bulunuz. a) b) c) ç) r=8br r=9br 320 0 108 0 r=5br r=6br 4. şağıdaki şekillerde taralı alanları bulunuz. a) b) c) ç) 6br 6br 6br 6br 6br 5. 6br K 6br 1 2 6br 3 2br 1 2 2br 2br eşkenar üçgen r=6br 120 0 K 3 3 3 3 L, K,, L ve doğrusal, K,, L merkez K LM nin her bir kenarına yarım daireler çizilmiştir. 1, 2 ve 3 yarım dairelerin içinde yazılanlar alanları gösterdiğine göre L KM nın ölçüsü için ne söylenebilir? L 3 + M 6. 3 Yanda =3m, = =8m olmak üzere sabit bir noktaya 5m lik iple bağlı olan Sarıkız ın otlama alanını bulunuz. 8 165
4. ÜNİT 7. şağıda belirtilen taralı alanları bulunuz. a) b) c) ç) F 1 2 r=6br r=4br r=8br r 1 =r 2 =12br 8. a) şağıdaki şekilde verilenlere göre oluşan halkanın alanı kaç br 2 dir? 10. Kenar uzunluğu 4br olan düzgün altıgenin kenarları üzerine eş yarım daireler çizilmiştir. una göre taralı alan kaç br 2 dir? 2br 5br { b) ynı merkezli iki dairenin yarıçap uzunlukları farkı 7br ise oluşan halkanın alanı kaç br 2 dir? 9. şağıdaki şekilde verilenlere göre taralı alanı bulunuz. 4br πbr 2πbr 12. ir kare içine karenin kenarlarına teğet olacak biçimde 16br yarıçap uzunluğunda bir daire çiziliyor. İkinci adımda bu kare 4 eşit kareye ayrılıyor. Her bir karenin içine kenarlara teğet olacak biçimde eş daireler çiziliyor. Üçüncü adımda bu kare 16 eş kareye ayrılarak aynı işleme devam ediliyor. a) Her bir adımdaki dairelerin alanları toplamı için ne söylenebilir? Nedenini açıklayınız. b) İlk dört adımdaki daire sayısı kaç tanedir ve dairelerin yarıçap uzunlukları kaç br dir? c) Yirminci adımdaki dairenin yarıçap uzunluğunu ve dairelerin sayısını bulunuz. 166
ÇMR V İR ÜNİT SNU ÖLÇM SRULRI 1. üzlemde aynı yayı gören kaç tane çevre açı çizilebilir? 2. üzlemde aynı yayı gören aynı yarıçaplı... tane merkez açı çizilebilir. 3. paralelkenarının köşeleri merkezli bir çember üzerindedir. una göre açısının ölçüsünü bulunuz. 4. şağıdaki dörtgenlerden hangilerinin köşeleri her zaman bir çember üzerindedir? I) Kare II) Paralelkenar III) Yamuk IV) İkizkenar Yamuk V) şkenar örtgen ) Yalnız I ) II ve V ) III ve IV ) I ve IV ) Yalnız IV 5. şağıda verilenlere göre taralı alanları bulunuz. a) b) c) ç) 8 20 12 1br 4 8 4 ikdörtgen Kare Kare 20 0 Merkez 6. 8. F H merkezli çemberde [H] [] ise H H oranı kaçtır? Yukarıda bir daire içine düzgün altıgen çizilmiştir. lınacak bir noktanın taralı bölgeden olma olasılığı kaçtır? 7. 9. merkezli çemberde = ise ve için ne söylenebilir? Yukarıdaki çemberde []//[] ise ve için ne söylenebilir? 167
5. ÜNİT İK İRSL SİLİNİR KNİ V KÜR + + + ik airesel Silindir, Yüzey lanı ve Hacmi ik airesel Koni, Yüzey lanı ve Hacmi Küre, Yüzey lanı ve Hacmi ünyamızın ve diğer gezegenlerin hangi geometrik yapıya model olabileceğini düşününüz.