ZEMİNDE SU AKIMININ MATEMATİKSEL İFADESİ (LAPLACE DENKLEMİ) 1
3 Boyutlu Yeraltısuyu Akımı q zo Yeraltı suyu akım bölgesi Darcy yasası geçerli dz Su akımı sırasında zemin elemanının hacmi sabit Z Y X dx dy Zemin elemanına birim zamanda giren ve çıkan toplam su miktarı eşit (net su akımı q t =0) q zi
Z doğrultusunda giren ve çıkan su miktarları q zo q zi q zi k z i z A z k z h h kziz Az kz z z h dydx z dz dydx k z =permeabilite katsayısı olmaktadır. z doğrultusundaki net su akımı miktarı giren ve çıkan su miktarlarının farkı olacağı için : q z h qzi qz kz dxdydz z 0 Aynı şekilde x ve y doğrultuları için Z Y X dx q zi dy dz q x h kx dxdydz x q y h k y y dxdydz 3
Birim zamandaki net su su akımı: 0 ] [ dxdydz z h k y h k x h k q z y x 0 z h k y h k x h k q z y x Zeminin her doğrultudaki permeabilitesinin aynı olduğu izotropik koşullarda k x = k y = k z 0 z h y h x h 4
Boyutlu Su Akımı Problemleri h x h z 0 5
Zemin mekaniği problemleri gerçekte üç boyutlu problemler olmakla beraber, uygulamada bunların birçoğu çözümü basitleştirmek için iki boyutlu bir problem haline indirgenerek incelenmektedir. Aynı durum zeminde su akımı problemleri için de geçerlidir. Problemi üç boyutlu halden iki boyutlu hale indirgemek çoğu problemde çözümün doğruluk derecesini çok az etkilemektedir. 6
Akım bölgesi içinde h(x,z) fonksiyonunun değerinin sabit kaldığı (h=sabit) eğrilerine Eşpotansiyel çizgileri adı verilmekte olup akım çizgilerinin eğiminin tersine ve ters işaretlisine eşit olmaktadır. Bu durum akım çizgilerinin ve eşpotansiyel çizgilerin birbirlerini dik açılar ile kestiğini yani h(x,z) ve ψ(x,z) fonksiyonlarının ortogonal (birbirine dik) iki fonksiyonlar olduğunu gösterir. Akım çizgilerini gösteren Ψ=sabit ve eşpotansiyel çizgileri gösteren h=sabit eğri takımları birarada çizilerek akım bölgesi için akım ağı elde edilir. 9
Δq Akım Ağı Zemin kütlesinin birim uzunluğu için, iki akım çizgisi arasında kalan bölgeden (akım kanalı) geçen su miktarı, Darcy kanunundan yararlanarak ifade edilebilir. Eşpotansiyel çizgiler b a h1 h q k( a)(1) b k a b h Akım kanalı Akım çizgileri h1 i h b Burada a ve b sırası ile, ardışık akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri arasındaki uzaklıklar olmaktadır. Görüldüğü gibi, akım hızı vektörü eşpotansiyel çizgilerine dik olmakta, şiddeti ise hidrolik eğim i =(h1 h) / b ile zeminin permeabilite katsayısı çarpılarak elde edilmektedir. 10
BASINÇLI AKIM Sınır Koşulları Beton bağlama Akım çizgisi Eşpotansiyel çizgisi Geçirimsiz perde 1- Akım bölgesi sınırlarının fiziksel olarak kısıtlandığı durumlar (Basınçlı Akım) Geçirimsiz tabaka - Akım bölgesinin tam olarak kısıtlanmadığı durumlar (Serbest SERBEST AKIM Yüzeyli Akım) Dren Geçirimsiz tabaka 11
LA PLACE DENKLEMİ NİN ÇÖZÜMÜ 1. Grafik çözümler (Akım Ağları). Sayısal çözümler( sonlu farklar, sonlu elemanlar, sınır elemanlar) 3. Elektrik analojisi (benzeşimi) 1
Akım Ağlarının Özellikleri ve Çizilmesi 1. Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgiler birbirlerini dik açılarla kesmelidir (sınırlar dahil). Birbiri ile kesişen akım ve eşpotansiyel çizgilerin oluşturduğu eğri kenarlı dikdörtgenler birbirine benzer olmalıdır (genişlik/uzunluk=sabit) 3. Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki hidrolik yük farkı sabit olmalıdır (h 1 - h =h -h 3 =h 3 -h 4 =.). 4. Akım kanalları arasından eşit miktarda su geçmelidir (. ve 3. koşullar ile bu otomatikman sağlanır). 5. Serbest akım problemlerinde eşpotansiyel çizgileri, üst akım çizgisini eşit düşey aralıklarla kesmelidir. 6. Sınırları oluşturan yüzeylerde (akım çizgisi veya eşpotansiyel çizgi olmalarına göre) sınır koşulları ile uyum sağlamalıdır. 13
Akım Ağı Çizilmesi 1. Çizgisiz bir kağıt üzerine ölçekli olarak akım bölgesinin sınırlarını mürekkepli kalemle çizilir.. Akım bölgesi için çizilecek akım kanalı sayısı seçilir (genellikle 4-5 yeterli) ve kurşun kalemle çizilir. İlk denemede akım çizgileri aralıkları yaklaşık eşit çizilebilir. Akım çizgilerinin eşpotansiyel çizgi olan sınırlara dik doğrultuda olmasına dikkat edilir. 3. İkinci adımda çizilen akım çizgilerini dik açıyla kesecek ve bunlarlarla genişlik/uzunluk oranı sabit dikdörtgenler oluşturacak şekilde eşpotansiyel çizgileri çizilir. Genellikle akım ağları dikdörtgenlerin genişlik/uzunluk oranı bire eşit çizililmekle beraber bu oranın sabit olması yeterlidir. Eşpotansiyel çizgilerinin de akım çizgisi oluşturan geçirimsiz sınır yüzeylerine dik olmasına dikkate edilmelidir. 4. Çizilen akım ağının, birakım ağının sahip olması gereken koşullar ile uyumlu olup olmadığı kontrol edilir, uyumsuzluklar giderilir. 14
1B Akım Problemlerinde Akım Ağı Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı Δh/4=sabit Zemin içinde her noktada hidrolik eğim Δh/L, akım hızı v=ki=k Δh/L Akım miktarı q=kia=k(δh/l)a Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı H/4=sabit Hidrolik eğim H/H=1.0 V=ki=k Bütün tabaka derinliği boyunca su basınçları sıfır (u=0). A ve B de basınç yükü h A ve h B A da su basıncı u A =h A *γ w B da su basıncı u B =h B *γ w 15
B Akım: Beton Bağlama Birbirini takip eden eşpotansiyel çizgileri arasındaki toplam hidrolik yük kaybı Δh/10=sabit Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri eşit aralıklı değil (genişlik/uzunluk sabit)! A da hidrolik eğim i A =0.10Δh/b Eşpotansiyel çizgilerin birbirine yaklaştığı bölgeler hidrolik eğimin ve akım hızının arttığı bölgeler! Ara noktaalrdaki hidrolik yük interpolasyonla bulunabilir (h A =0.35Δh) A noktasında su basıncı u A =[h A -(z A )] γ w =(h A +z A )γ w Akım kanalı sayısı N f iken (3) Bağlamanın altından birim zamanda sızan su miktarı: İki akım çizgisi arasından geçen su miktarı Eş Potansiyel aralık sayısı N d iken q h k. a. Nd q k. a b N N f d 1 b h Bağlamanın birim uzunluğu için: 16
Simetrik problemler 17
Serbest akım yüzeyi 18
Drenler ve Filtreler Toprak barajlar veya sızmanın olduğu problemlerde zemin suyunda basınç artışlarını kontrol etmek için geçirgenliği(permeabilitesi) yüksek drenaj tabakaları kullanılmaktadır. Drenlerin esas amacı suyun rahat hareketini sağlamak ve böylece zemin veya kaya içerisinde hidrostatik basınçların artmasına engel olmaktır. 19
Drenler ve Filtreler Drenaj tabakası iki ana koşulu sağlamalıdır: 1. Drenaj malzemesinin granülometrisi ve boşlukların boyutları yakınındaki ince danelerin dren içine sızmasına ve tıkanmaya yol açmasına engel olacak şekilde seçilmeli. Zeminin granülometrisi ve boşlukların boyutları dren tabakasının yüksek permeabiliteye sahip olmasına imkan verecek şekilde seçilmeli 0
Drenler ve Filtreler Yukarıda verilen iki koşul birbiri ile çelişkili olduğu için, her iki kriteri göz önüne alan optimum çözüme gidilmelidir. Tıkanmanın en aza indirelbilmesi için: D 85 (ince daneli zemin) 1 5 D 15(kaba daneli) Permeabilite kriteri:drenin yeterli permebiliteye sahip olması için D 15 (kaba daneli) 5D 15 (ince daneli zemin) 1
Drenler ve Filtreler Her iki koşulu birlikte sağlamak için (D 15 ) kaba (D 85 ) ince 5 (D 15) kaba (D 15 ) ince
Birçok problemde, iri daneli zeminlerden oluşan drenler permeabilitesi çok düşük ince daneli zeminler ile yanyana yerleştirilmek durumunda olmaktadır. Böyle durumlarda yukarıdaki koşulları doğrudan sağlamak mümkün olamayacağı için, dren ile ince daneli tabii zemin arasına geçiş tabakası olarak filitreler yerleştirilmektedir. Filitre tabakalarının granülometrisi ince daneli zemin ve dren malzemesinin her ikisi ile de yukarıdaki koşulları sağlayacak zeminlerden seçilmelidir. Bu şekilde teşkil edilmiş bir filitre tabakası dreni koruyacak şekilde işlev görecektir. Drenle birlikte filtre kullanılması durumunda (D 15 ) filtre (D 85 ) ince 5 (D 15) filtre (D 15 ) ince (D 15 ) kaba (D 85 ) filtre 5 (D 15) kaba (D 15 ) filtre 3
4
h=h-n d h h A =6-5.6x0.49=3.64 h B =6-6x0.49=3.43 h C =6-7x0.49=3.00 5
6