DİNAMİK Ders_5 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2016-2017 GÜZ NOKTASAL PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ, PARÇACIK SİSTEMLERİ, BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ Bugünün Hedefleri: 1. Bir kuvvetin yaptığı işi hesaplama. 2. Bir parçacığa veya bir parçacık sistemine iş ve enerji prensibinin uygulanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Bir Kuvvetin Yaptığı İş İş ve Enerji Prensibi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması 2 1
SÖZEL YOKLAMA 1. F kuvveti tarafından yapılan iş nedir? A) F s B) F s F s 1 s 2 C) Sıfır D) Hiçbiri. s 2. Eğer bir parçacık 1 den 2 ye taşınmışsa, kuvvet tarafından parçacık üzerinde yapılan iş, F R : A) B) C) D) 3 UYGULAMALAR Bir hız treni, yolun vadileri üzerinde yüksek hızlara ulaşmaya yardımcı olması için yerçekimsel kuvvetleri kullanır. Yolcuların maruz kalacağı kuvvetleri kontrol etmek için yolu nasıl tasarlamalıyız (örn: h yüksekliği, eğrilik yarıçapı)? 4 2
UYGULAMALAR (devam) Otoyol üzerlerinde genellikle, araçların çarpma etkilerini azaltmak için çarpışma varilleri kullanılır. Variller, çarpışma sırasında deforme olarak arabanın kinetik enerjisini yutarlar (absorbe ederler). Eğer gelmekte olan bir aracın hızını biliyorsak ve bir varilin yutabileceği enerji miktarını biliyorsak, bir çarpışma yastığını nasıl tasarlayabiliriz? 5 İŞ VE ENERJİ Parçacık içeren kinetik problemlerin çözümünde kullanmak üzere diğer önemli bir denklemi, hareket denklemini (F = ma) yerdeğiştirmeye göre integre ederek türetebiliriz. a t = v (dv/ds), F t = ma t de yerine konulur ve integre edelirse iş ve enerji prensibi olarak bilinen denkleme ulaşılır. Bu prensip, kuvvet, hız ve yerdeğiştirmenin bulunmasının gerekli olduğu problemlerde oldukça kullanışlıdır. Aynı zamanda güç kavramının incelenmesinde de kullanılabilir. Bu prensibi kullanabilmek için öncelikle bir kuvvetin yaptığı işin nasıl hesaplandığını anlamalıyız. 6 3
BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ (Bölüm 14.1) Bir kuvvet ancak, eğer parçacık kuvvetin etki çizgisi üzerinde yerdeğiştirme yapıyorsa, parçacık üzerinde iş yapar. İş, aynı doğrultuda etkiyen kuvvet ve yerdeğiştirme bileşenlerinin çarpımı olarak tanımlanır. Dolayısıyla, eğer kuvvet ve yerdeğiştirme vektörleri arasındaki açı ise, kuvvet tarafından yapılan iş deki du artışı du = F ds cos Nokta çarpımın tanımı ve integrasyon kullanılarak, toplam iş yandaki şekilde skaler değer olarak elde edilebilir. dr nin şiddetinin ds olduğunu hatırlayın!! U 1-2 = r 2 r 1 F dr 7 BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ (devam) Eğer F konumun bir fonksiyonu ise (genelde böyledir), bu durumda; s 2 U 1-2 F cos ds s 1 Eğer hem F hem de sabitse (F = F c ), bu denklem daha da basitleştirilebilir U 1-2 = F c cos s 2 -s 1 ) Eğer kuvvet ve hareket aynı yönde ise (0 <90º) iş pozitiftir. Eğer ters yöndelerse (90< 180º) bu durumda iş negatiftir. Eğer kuvvet ve yerdeğiştirme yönleri birbirine dikse, iş sıfırdır. Eğer kuvvet sabit bir noktaya uygulanıyorsa iş 0 dır (yerdeğiştirme 0!!) 8 4
BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ (devam) Eğer (F cos s) grafiği verilmişse grafiğin altında kalan alan toplam iş değerine eşittir. F ve θ s nin fonksiyonu olarak ifade edilmeli. Düz bir çizgi üzerinde hareket eden kuvvetin yaptığı iş U 1-2 = F c cos s 2 -s 1 ) 9 BİR AĞIRLIĞIN YAPTIĞI İŞ Bir parçacık üzerine etkiyen yerçekimi kuvveti (veya cismin ağırlığı) tarafından yapılan iş şu şekilde hesaplanabilir; U 1-2 = F dr Wj y 2 U 1-2 = -W dy y 1 U 1-2 = - W (y 2 y 1 ) = - W y Bir ağırlığın yaptığı iş, parçacığın ağırlığı ile düşey yerdeğiştirmesi çarpılarak elde edilir. Ağırlık kuvveti her zaman aşağı yönde olacağından dolayı, eğer y yukarı doğru ise iş negatiftir. İş, gidilen güzergahtan bağımsızdır!! İşin büyüklüğü = düşey yerdeğiştirme *cismin ağırlığı 10 5
BİR YAY KUVVETİNİN YAPTIĞI İŞ Lineer elastik bir yayın ucunun, yayın gerilmemiş haldeki konumundan itibaren bir s mesafesi kadar yerdeğiştirmesi ile ortaya çıkan kuvvetin büyüklüğü, k yay sabiti (yayın rijitliği) olmak üzere F s = k s ile bulunur. s 1 konumundan s 2 konumuna hareket eden yay kuvvetinin yaptığı iş U 1-2 s 2 F = k (s 2) 2 s ds k s ds k (s 1) 2 s 1 Eğer bir parçacık bir yaya bağlanırsa, bu durumda parçacık üzerine uygulanan F s kuvveti, yaya uygulanan kuvvete zıttır. Bu sebeple, yay kuvveti sayesinde parçacık üzerinde yapılan iş negatiftir: U 1-2 = [ k (s 2) 2 k (s 1) 2 ]. s 2 s 1 11 YAY KUVVETLERİ Yay kuvvetleri hakkında aşağıdaki notlar önemlidir. 1. Verilen denklemler sadece lineer (doğrusal) yaylar için geçerlidir! Lineer bir yayda gelişen kuvvet F = ks (esasen bir doğru denklemidir) ile bulunur. 2. Bir yay tarafından yapılan iş sadece yay kuvveti ile bir noktadaki mesafenin çarpımı değildir, yani (ks i )(s i ). Dikkatli olun, öğrenciler genelde burada hata yapar!! 3. Her zaman yayın yaptığı işi hesapladıktan sonra işaretini bir kez daha kontrol edin. Eğer yayın cisim üzerine uyguladığı kuvvet ile hareket aynı yönde ise yapılan iş pozitiftir. 12 6
ÖRNEK 10 kg lık blok sürtünmesiz yüzeyde durmaktadır. Yay başlangıçta 0.5 m kadar geriye çekilmiştir. Bu durumdan itibaren 400 N luk kuvvet cismi eğimli yüzeyde 2 m yukarı yönde itecektir, bu durumda cisme etkiyen tüm kuvvetlerin yaptığı toplam iş nedir? 13 ÖRNEK (devam) Bloğun Serbest Cisim Diyagramı 14 7
ÖRNEK (devam) * Kuvvet doğrultusundaki izdüşüm 15 ÖRNEK (devam) 16 8
İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ (Bölüm 14.2 ve Bölüm 14.3) Hareket denklemini integre ederek, F t = m a t = m v(dv/ds), iş ve enerji prensibi yazılabilir: U 1-2 = m (v 2) 2 m (v 1) 2 veya T 1 + U 1-2 = T 2 1 noktasından 2 noktasına hareket ettiğinden dolayı parçacığa etkiyen tüm kuvvetlerin yaptığı iş U 1-2 olur. İş, skaler bir büyüklüktür, hem pozitif hem de negatif değer alabilir. T 1 ve T 2, parçacığın sırasıyla ilk ve son konumlarındaki kinetik enerjileridir. Bu sebeple, T 1 = m (v 1) 2 ve T 2 = m (v 2) 2. Kinetik enerji her zaman pozitif skaler bir değerdir (hızın karesi ile orantılıdır). Dolayısıyla, başlangıç kinetik enerjisi ve ilk pozisyonundan son pozisyonuna hareket ederken parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin yaptığı işin toplamı parçacığın son konumdaki kinetik enerjisine eşittir. 17 İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ (devam) İş ve enerji prensibinin (T 1 + U 1-2 = T 2 ) bir vektör eşitliği olmadığına dikkat edilmelidir! İçerdiği her terim birer skalerdir. Hem kinetik enerji hem de iş aynı birimdedir, enerjidir! SI birim sisteminde, enerjinin birimine joule (J) denir, burada 1 J = 1 N m dir. İşin birimi momentin birimi ile aynıdır, konsept tamamen farklıdır!!! Genel olarak, yörüngeye normal doğrultudaki kuvvetlerin hesaplanmasında iş ve enerji prensibi kullanılamaz çünkü parçacık bu doğrultuda yerdeğiştirmediğinden bu kuvvetler de iş yapmaz (hız ne yöndeyse hareket o yöndedir => sadece teğetsel yön!!). İş ve enerji prensibi ayrıca bir parçacık sistemine de uygulanabilir. Bu durumda, sistemdeki tüm parçacıkların kinetik enerjileri ve sisteme etkiyen tüm kuvvetlerin işi toplanır. 18 9
KAYMANIN SEBEP OLDUĞU SÜRTÜNMENİN YAPTIĞI İŞ Bir cismin pürüzlü bir yüzey üzerinde kayması durumu özel bir problem cinsidir. Pürüzlü bir yüzey üzerinde hareket eden bir cisim düşünün. Eğer uygulanan P kuvveti, bileşke sürtünme kuvveti k N yi ancak dengeliyorsa, v sabit hızı korunacaktır. İş ve enerji prensibi şu şekilde uygulanır: m (v)2 + P s ( k N) s = m (v)2 Bu denklem, eğer P = k N ise sağlanır. Bununla birlikte, gözlemlerimizden biliyoruz ki sürtünme, bir enerji cinsi olan ısı doğurur ve bu denklemde göz önüne alınmamış görünüyor. Fakat, iş terimi olan ( k N)s nin hem sürtünme kuvvetinin dış işi hem de ısıya çevrilen iç işi temsil ettiği gösterilebilir. => İş ve enerji prensibi sürtünme durumunda da kullanılır. 19 ÖRNEK Verilen: s = 0.6 m de sıkıştırılmamış veya uzatılmamış haldeki yaya bağlı 10 kg lık blok 100 N luk kuvvete maruz ve düzgün yüzey üzerinde aşağı doğru 5 m/s hızla kayıyor. İstenen: Bloğun duracağı s mesafesi. Plan: Problem kuvvetler, hız ve yerdeğiştirme içerdiğinden, s yi bulmak için iş ve enerji prensibini uygula. 20 10
ÖRNEK (devam) Çözüm: 1 (s = 0.6 m) ve 2 (s ) konumları arasında iş ve enerji prensibini uygulayın. Yerdeğiştirmeye her zaman dik olduğundan normal kuvvetin (N) iş yapmayacağına dikkat edilmelidir. T 1 + U 1-2 = T 2 s 2 s 1 =0.6 m Üç farklı kuvvet tarafından iş yapılmaktadır; 1) F =100 N kuvvetinin işi; U F = 100 (s s 1 ) = 100 (s 0.6) 2) Bloğun ağırlığının yaptığı iş; U W = 10 (9.81) (s s 1 ) sin 30 = 49.05 (s 0.6) 3) ve yay kuvvetinin yaptığı iş. U S = - (200) (s 0.6) 2 21 ÖRNEK (devam) İş ve enerji denklemi aşağıdaki şekilde olacaktır; T 1 + U 1-2 = T 2 (10) 52 + 100(s 0.6) + 49.05(s 0.6) (200)(s 0.6) 2 = 0 125 + 149.05(s 0.6) 100(s 0.6) 2 = 0 (s 0.6) için çözülürse, (s 0.6) = {-149.05 ± (149.05 2 4 (-100) 125) 0.5 } / 2(-100) Beklendiği gibi pozitif yönde yay deformasyonu (uzama) veren pozitif kök seçilerek, (s 0.6) = 2.09 m Böylece, s = 2.69 m 22 11
KAVRASAL YOKLAMA 1. Gerilmemiş haldeki boyu 5 cm olan bir yay, 2 cm den 4 cm ye uzatılmıştır. Yay üzerinde yapılan iş N.cm dir. A) -[ k(4 cm)2 - k(2 cm)2 ] B) k (2 cm)2 C) -[ k(3 cm)2 - k(1 cm)2 ] D) k(3 cm)2 - k(1 cm)2 2. Eğer bir yay s = 0.5 m sıkıştırılmışsa ve yay kuvveti F = 5 s 3 N/m ise, yaya bağlanmış bir parçacık üzerinde yapılan iş olacaktır. A) 0.625 N m B) 0.625 N m C) 0.0781 N m D) 0.0781 N m 23 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I 3 m 6 m 5 m/s Verilen: 20 N luk tuğla düzgün bir yüzey üzerinden aşağıya doğru v A =5 m/s ile kaymaktadır. İstenen: B deki hızı, tuğlanın yere çarpacağı noktanın duvardan uzaklığı ve C deki sürati. CC Plan: 1) Tuğlaya iş ve enerji prensibini uygulayarak B ve C noktalarındaki süratlerini hesapla, 2) x ve y yönleri için kinematik ilişkiler kullan. 24 12
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Çözüm: 1) İş ve enerji prensibini uygulayın T A + U A-B = T B 1 2 20 9.81 5 20 3 1 2 20 9.81 v Eşitlik hız için çözülürse: v B = 9.16 m/s Benzer şekilde, A ve C arasında iş ve enerji prensibi uygulanırsa T A + U A-C = T C 1 2 20 9.81 5 20 9 1 2 v C = 14.20 m/s 20 9.81 v 25 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) 2) x ve y yönleri için kinematik ilişkiler oluşturun; Yatay hareketin denklemi y + x C = x B + v Bx t BC d = 0 + 9.16 (4/5) t BC d = 7.328 t BC v B Düeşy hareketin denklemi + y C = y B + v By t BC 0.5 g t 2 BC -6 = 0 + (-9.16)(3/5) t BC 0.5 (9.81) t 2 BC Pozitif t BC için eşitlik çözülürse t BC = 0.680 s. d = 7.328 t BC = 7.328 (0.680) = 4.98 m C C y 26 13
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II Verilen: A bloğunun ağırlığı 300 N ve B bloğunun ağırlığı ise 200 N dur. Blok ve eğimli yüzey arasındaki kinetik sürtünme katsayısı k = 0.1 dir. Kablo ve makaranın kütlesini ihmal et. İstenen:Durağan haldeki B bloğu düzlem üzerinde 0.60 m yukarı çıktığında A bloğunun sürati. Plan: 1) Bloklar arasındaki kinematik ilişkileri tanımlayın. 2) Her iki cismin SCD sini çizin. 3) Bloklardan oluşan sisteme iş ve enerji prensibini uygulayın. Niye bu yöntem seçiliyor? 27 Çözüm: ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) 1) Kinematik ilişkiler s A ve s B koordinatları tanımlanıp türevi alınarak hesaplanabilir. s A s B Kablo uzunluğu sabit olduğundan: 2s A + s B = l 2 s A + s B = 0 s B = -0.6 m s A = 0.3 m ve 2v A + v B = 0 v B = -2v A s A ve s B nin bu şekilde tanımlanması ile, her iki bloğun pozitif hareketinin de aşağı doğru tanımlandığına dikkat edin. 28 14
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) 2) Her bir bloğun SCD sini çizin. y x 60 W A 2T T W B 30 A N A B N B 60 N A N B 30 A bloğunun y yönündeki kuvvetlerini toplayın (y yönünde bir hareket olmadığına dikkat edin): F y = 0: N A W A cos 60 = 0 N A = W A cos 60 Benzer şekilde B bloğu için: N B = W B cos 30 29 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) 3) İş ve enerji prensibini sisteme uygulayarak (bloklar durağan halden harekete başlıyor). T 1 + U 1-2 = T 2 [ m A(v A1 ) 2 + m B(v B1 ) 2 ] + [W A sin 60 2T N A ] s A + [W B sin 30 T + N B ] s B = [ m A(v A2 ) 2 + m B(v B2 ) 2 ] burada v A1 = v B1 = 0, s A = 0.3 m, s B = -0.6 m, v B = -2v A, N A = W A cos 60, N B = W B cos 30 [0 + 0] + [ 300 sin 60 2T 300 cos 60 ) ] + [ 200 sin 30 T + 200 cos 30 ) ] = [ (300/9.81) (v A2) 2 + (200/9.81) (-2v A2) 2 ] 30 15
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) Tekrar, iş ve enerji denklemi: [0 + 0] + [ 300 sin 60 2T 300 cos 60 ) ] + [ 200 sin 30 T + 200 cos 30 ) ] = [ (300/9.81) (v A2) 2 + (200/9.81) (-2v A2) 2 ] Denklem çözüldüğünde bilinmeyen hız değeri v A2 = 0.233 m/s Her blokta kablo çekme kuvveti tarafından yapılan işlerin birbirlerini yok ettiğine dikkat edin. 31 DİKKAT YOKLAMASI 1. Eğer 45 N luk kutu A dan B ye hareket ediyorsa N normal kuvveti tarafından yapılan iş nedir? A) - 1.24 N.m B) 0 N.m C) 1.24 N.m D) 2.48 N.m 3 m 2. İki blok başlangıçta durağandır. B bloğunun düzgün yüzey üzerinde 4 m yatay olarak hareket etmesi sonrasında A bloğunun hızını hesaplamak için kaç tane denklem gereklidir? A) Bir B) İki 2 kg C) Üç D) Dört 2 kg 32 16
ÖRNEK (ders dışı incelenecek) 33 ÖRNEK (devam) başlamıştır. Çeviren: Doç.Dr.İS MIIR 34 17
ÖRNEK (devam) 35 ÖRNEK (ders dışı incelenecek) 36 18
ÖRNEK (devam) Sürtünme Kuvvetinin Yaptığı İş 37 ÖRNEK (ders dışı incelenecek) 38 19
ÖRNEK (devam) C noktasındaki serbest cisim diyagramı C 39 ÖRNEK (devam) 40 20
ÖRNEK (ders dışı incelenecek) sıfır Hareket A dan durağan halde başlıyor. 41 ÖRNEK (devam) 42 21
ÖRNEK (devam) 43 ÖRNEK (ders dışı incelenecek) 44 22
ÖRNEK (devam) 45 ÖRNEK (devam) 46 23
KORUNUMLU KUVVETLER, POTANSİYEL ENERJİ VE ENERJİNİN KORUNUMU Bugünün Hedefleri: 1. Korunumlu kuvvetler yaklaşımını kullanma ve bu tür kuvvetlerin potansiyel enerjisini hesaplama. 2. Enerjinin korunumu prensibini uygulama. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Konservatif Kuvvetler Potansiyel Enerji Enerjinin Korunumu Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması 47 SÖZEL YOKLAMA 1. Bir yayın potansiyel enerjisi A) her zaman negatiftir. B) her zaman pozitiftir. C) pozitif veya negatif olabilir. D) ks e eşittir. 2. Bir korunumlu sistemin potansiyel enerjisi artarsa kinetik enerjisi A) her zaman azalır. B) her zaman artar. C) azalabilir veya artabilir D) değişmez. 48 24
UYGULAMALAR Platformun üzerinde durmakta olan paketlerin ağırlığı, bu ağırlıkları taşıyan yaylarda depolanan potansiyel enerjiye sebep olur. Her paketin yavaşça kaldırılmasıyla, platform biraz daha yükselecektir çünkü yaylardaki potansiyel enerjinin bir kısmı geri kalan paketlerin yerçekimsel potansiyel enerjisinde bir artışa dönüşür. Eğer paketler 100 N ağırlığında ve eşdeğer yay k= 500 N/m rijitliğe sahipse, yaylarda depolanan enerji ne kadardır? 49 UYGULAMALAR (devam) Bu genç hanım şekilde görüldüğü gibi içi su dolu balonları tutan sapanı geriye doğru çekerek onu tutan dört lastiği germektedir Eğer herbir lastiğin gerilmemiş haldeki uzunluğunu ve rijitliğini bilseydik mevcut konumundan en fazla ne yüksekliğe çıkacağını ve menzilini hesaplayabilir miydik? Bunları hesaplamak için başka bir bilgiye daha ihtiyacımız olur muydu? 50 25
UYGULAMALAR (devam) Durağan haldeki hız treni, A tepesindeki konumundan serbest bırakılıyor. Araç tepeden aşağı doğru indikçe, potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüşecektir. Aracın B ve C noktalarındaki hızı ne olur? Ayrıca, aracın yoldan ayrılmadan her iki dairesel yolu tamamlayabilmesi için A tepesinin en az ne yükseklikte olması gerektiğini nasıl hesaplayabiliriz? 51 KORUNUMLU (KONSERVATİF) KUVVET (Bölüm 14.5) Eğer A noktasından B noktasına hareket eden parçacığa eşlik eden kuvvetin yaptığı iş güzergahtan bağımsızsa, bu F kuvvetine korunumlu (konservatif) kuvvet denir. Bu ayrıca, kapalı bir yörünge (örn: A dan B ye ve sonra tekrar A ya) boyunca F kuvvetinin yapacağı işin sıfır olacağı anlamına gelir. z F B F dr 0 Bu sebeple işe de korunumlu denir. Korunumlu bir kuvvet tarafından yapılan iş, parçacığın sadece konumuna bağlıdır, hızından ve ivmesinden bağımsızdır. x A y 52 26
KORUNUMLU KUVVET (devam) Konservatif kuvvetin daha özenli bir tanımı, kitapta açıklandığı gibi, potansiyel fonksiyon (V) ve kısmi diferansiyel denklemler kullanmayı gerektirir. Bununla birlikte, bu çok daha komplike matematiksel ilişkileri kullanmadan da, konuyu anlamak ve uygulamak mümkündür. Bir parçacığın/sistemin korunumlu potansiyel enerjisi genellikle potansiyel fonksiyon (V) kullanılarak yazılır. V nin mekanik sistemlerde çoğunlukla dikkate alınan iki önemli bileşeni vardır, yerçekiminden kaynaklı potansiyel enerji ve yaylar ve diğer elastik cisimlerden kaynaklı potansiyel enerji. V toplam = V yerçekimi + V yay 53 POTANSİYEL ENERJİ Potansiyel enerji, bir cismin konumunu değiştiren korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş miktarıdır. Genel olarak, herhangi bir korunumlu kuvvet sistemi için, potansiyel fonksiyonu (V) konumun fonksiyonu olarak tanımlayabiliriz. Bir parçacık hareket ederken konservatif kuvvetlerin yaptığı iş, potansiyel fonksiyonun değerindeki değişime eşittir. (yani V yerçekimi ve V yay ın toplamı). İki potansiyel enerji türüne aşina olmak ve bunların değerlerinin nasıl hesaplanacağını bilmek önemlidir. 54 27
YERÇEKİMİNE BAĞLI POTANSİYEL ENERJİ Yerçekimsel bir kuvvet (W = mg ağırlık kuvveti) için potansiyel fonksiyon, kuvvet çarpı bunun bir referans seviyeden yüksekliğidir. Referans seviye uygun olan herhangi bir konum olarak seçilebilir. V g = ± W y Eğer y referans düzlemin üzerinde ise V g pozitif, altında ise negatiftir. Referans seviyeyi SİZİN belirlediğinizi unutmayın. 55 ELASTİK POTANSİYEL ENERJİ Bir elastik yayın kuvvetinin F = ks olduğunu hatırlayalım. Benzer görünmekle birlikte, bir yayın potansiyel enerjisinin farklı bir formülle gösterildiğinin ayırdına varmak önemlidir. V e ( e elastik yayı gösteriyor) ikinci dereceden (bir integrasyon sonucu) s mesafe terimini içerir; 1 V k s 2 e 2 Potansiyel fonksiyon V e nin her zaman pozitif enerji verdiğine dikkat edin. Yayın, doğası gereği cisim üzerinde yaptığı iş her zaman pozitiftir!! 56 28
POTANSİYEL FONKSİYON Eğer bir parçacık hem yerçekimsel hem de elastik kuvvetlere maruzsa, parçacığın potansiyel enerjisi, potansiyel fonksiyon ile ifade edilir: seçilen bir konuma göre yazılır. Bu parçacığı bir noktadan bir başka noktaya taşımak için korunumlu kuvvetler tarafından yapılan iş potansiyel fonksiyonun farkı olarak ifade edilir, 57 POTANSİYEL FONKSİYON (devam) Yayın uzamamış boyu (s = s 1 ) - 58 29
POTANSİYEL FONKSİYON (devam) 59 POTANSİYEL FONKSİYON (devam) 60 30
POTANSİYEL FONKSİYON (devam) 61 ENERJİNİN KORUNUMU (Bölüm 14.6) Eğer bir parçacığa, korunumlu kuvvetlerden oluşan bir kuvvet sistemi etkiyorsa, bu kuvvetlerin yaptığı iş korunumludur ve kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamı sabit kalır. Diğer bir deyişle, parçacık yerdeğiştirdiğinde kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşür veya tam tersi. Buna enerjinin korunumu prensibi adı verilir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir: T 1 V 1 T 2 V2 = Sabit T 1, 1 konumundaki kinetik enerji, V 1 de 1 konumundaki potansiyel enerji fonksiyonudur. T 2 ve V 2 bu enerjilerin 2 konumundaki değerleridir. Kinetik enerjinin T = ½ mv 2 ile tanımlandığını hatırlayın!! Korunumlu kuvvetin aksine, bir yüzey üzerinde kayan bir cisme etkiyen sürtünme kuvvetinin yaptığı iş güzergaha bağlı olduğundan korunumsuzdur!! Güzergah ne kadar uzarsa iş de o kadar büyür!! 62 31
ÖRNEK Verilen: 4 kg lık C bileziği, A noktasında 2 m/s lik hıza sahiptir. Yay sabiti 400 N/m dir. Yayın gerilmemiş haldeki uzunluğu 0.2 m dir. İstenen: Bileziğin B noktasındaki hızı. Plan: A ve B arasında enerjinin korunumu denklemini uygulayın. Yerçekimsel potansiyel enerji için referans seviyeyi A veya B noktası olarak belirleyin (bu örnekte, A noktası olarak seçildi Niye?? ). 63 Çözüm:. 0.3 m 0.5 m Datum. ÖRNEK (devam) B noktasındaki potansiyel enerjinin iki bileşeni olduğuna dikkat edin. V B = (V B ) e + (V B ) g V B = (400) (0.5 0.2)2 4 (9.81) 0.4 B noktasındaki kinetik enerji T B = (4) v B 2 Benzer şekilde A noktasındaki kinetik enerji, V A = (400) (0.1 0.2)2, T A = (4) 22 Enerjinin korunumu denklemi şu şekilde yazılır: T A + V A = T B + V B. [ (400) (0.5 0.2)2 4(9.81)0.4 ] + (4) v B 2 = [ (400) (0.1 0.2)2 ]+ (4) 22 v B = 1.96 m/s 64 32
KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Eğer bir korunumlu kuvvetin, iki nokta arasında yerdeğiştiren bir parçacık üzerinde yaptığı iş 10 N.m ise potansiyel enerjisindeki değişim dir. A) 0 N.m B) -10 N.m C) +10 N.m D) Hiçbiri. 2. Bir yayın yaptığı işin U 1-2 = -½ k(s 22 s 12 ) olduğunu ve pozitif veya negatif olabileceğini hatırlayın. Bir yayın potansiyel enerjisi V = ½ ks 2 dir. Değeri ise dir. A) her zaman negatif B) pozitif veya negatif C) her zaman positif D) bir sanal sayı 65 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I Verilen: 800 kg lık hız treni durağan haldeyken A noktasından serbest bırakılıyor. İstenen: 1) Araç yoldan ayrılmadan, B kapalı eğrisel yolu tamamlayabilmesi için A tepesinin minimum yükseklikliği. 2) Ayrıca, A noktasının hesaplanan yüksekliği için aracın C noktasındaki hızı. Plan: Sadece yerçekimine bağlı kinetik ve potansiyel enerjilerin bulunduğuna dikkat edin. Hareket denklemini kullanarak B noktasındaki hızı hesaplayın ve sonra minimum h yüksekliğini bulmak için enerjinin korunumu denklemini uygulayın. 66 33
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Çözüm: 1) Referans seviyeyi A ya yerleştir: T A + V A = T B + V B (800) 02 + 0 = (800) (v B) 2 800(9.81) (h 20) (1) B de uygulanan hareket denklemi: v 2 F ma n n m 800 (9.81) = 800 (v B) 2 7.5 v B = 8.578 m/s N B 0 mg = Datum 2) Aracın yoldan çıkmaması için B de sahip olması gereken hızı bulun ma n 67 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam) Şimdi Denklem (1) deki enerjinin korunumu kullanılarak minimum h bulunabilir, Datum (800) 02 + 0 = (800) (8.578)2 800(9.81) (h 20) h = 23.75 m 3) Enerjinin korunumunu kullanarak C deki hızı bul. T A + V A = T C + V C (800) 02 + 0 = (800) (v C) 2 800(9.81) (23.75) V C = 21.6 m/s 68 34
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II Verilen: Şekilde görülen kol, s = 100 mm olana kadar çekilmiş ve sonra bırakılmıştır. s = 0 olduğunda, yay gerilmemiş uzunluğundadır. Tüm temas yüzeylerinin sürtünmesiz olduğunu kabul edin. Yayın kütlesini ve topun boyutunu ihmal edin. İstenen: = 60 iken 0.3 kg lık topun sürati ve dairesel yolun topa uyguladığı normal yöndeki reaksiyon kuvveti. Plan: Enerjinin korunumu denklemini kullanarak = 60 deki hızı hesapla, sonra topa uygulanan normal yöndeki reaksiyonu bulmak için hareket denklemini uygula. 69 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) Çözüm: 1) Referans seviyeyi A ya yerleştirerek: T A + V A = T B + V B burada Referans T A = (0.3) 02 seviye V A = 0 + (1500) 0.12 60 A B T B = (0.3) 02 V B = 0.3 (9.81) 1.5 (1 cos 60 ) Enerjinin korunumu denklemi: 0 + (1500) 0.12 = (0.3) (v B) 2 + 0.3 (9.81) 1.5 (1 cos 60 ) v B = 5.94 m/s 70 35
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam) 2) = 60 iken topa uygulanan normal reaksiyon: SCD Kinetik Diyagram n W n ma ma t t n t Hareket denklemi = 60 için uygulanır: v F ma m B n n N = 8.53 N N 2 = N 0.3 (9.81) cos 60 = 0.3 5.942 1.5 71 DİKKAT YOKLAMASI 1. Enerjinin korunumu prensibini kullanmak genellikle iş ve enerji prensibi. A) nden daha zordur B) nden daha kolaydır C) ile aynı iş yüküne sahiptir D) Bu bir gizemdir! 2. Eğer pandül yatay konumdan serbest bırakılıyorsa, düşey pozisyondayken ucundaki topun hızı dir. A) 3.8 m/s. B) 6.9 m/s. C) 14.7 m/s. D) 21 m/s. 72 36
ÖRNEK (ders dışı incelenecek) A yayının gömülmüşse 73 ÖRNEK (devam) Noktasal parçacık (hareket, kütle merkezinin hareketi ile karakterize edilebilir) 74 37
ÖRNEK (devam) 75 ÖRNEK (ders dışında incelenecek) Referans Düzlemi Başlangıçta yatay konumda ve durağan olan 76 38
ÖRNEK (devam) 77 ÖRNEK (ders dışında incelenecek) 78 39
ÖRNEK (devam) sonra 79 40