Hasan Şahin Matematiksel Iktisat Ders Notlar Firma Teorisi. Kar maksimizasyonu.. Tek Girdi Tek Ç kt Öncelikle tek girdili bir üretim fonksiyonu kullanarak karş laşt rmal dura¼ganl k analizini nas l gerçekleştirebilece¼gimizi göstermeye çal şaca¼g z. Firman n girdiyi tam rekabet iyasas ndan elde etti¼gini, ç kt s n yine tam rekabet iyasas nda satt ¼g n varsaymaktay z. Klasik varsay mlar sa¼glayan bir üretim fonksiyonunu oldu¼gu yine varsay mlar m z aras nda. Bu senaryo alt nda kar n maksimize etmek isteyen tam rekabetçi rman n kar maksimizasyon roblemi aşa¼g daki gibi ifade edilebilir. max f(x) x x burada x girdiyi f(x) üretim fonksiyonunu sat lan mal n yat n n girdiye ödenen tutar göstermektedir. Firma için ve d şşal de¼gişken x içsel de¼gişkendir; rma kar maksimizasyonu için otimal girdi miktar n belirleyebilir. Karş laşt rmal dura¼ganl k analizinde temel olarak içşel de¼gişkenlerin d şşal de¼gişkenlerdeki de¼gişmeden nas l etkilendi¼gini bulunmaya çal ş l r. Bu egzersiz en genel formda gerçekleştirilmeye çal ş yor. Bu anlamda yukar daki maksimizasyon roblemi en genel format olarak kabul edilebilir. Içsel de¼gişkenlerin d şşal de¼gişkenleri nas l etkiledi¼gi analizini üç de¼gişik formatta gerçekleştirerek bu noktaya kadar ifade ettilerimizi daha aç k hale getirmeye çal şaca¼g z.. Birinci Yöntem Bu yöntemde maksimizasyon en özel hali ile ele al nmaktad r. üretim fonksiyonun biçimi, girdi ve ç kt n n yat verilmektedir. Bu anlamda üretim fonksiyonunu y f(x) x 0:5 ; sat lan mal n yat n 4, 4, girdinin birim maliyetini olarak al rsak rman n maksimizasyon roblemini max 4x 0:5 x
biçiminde yazabiliriz. Otimal x de¼gerini bulmak için önce birinci s ra koşulunu kullanarak otimal x de¼gerini buluruz. Birinci S ra Koşulu (B:S:K) d dx 0 x 0:5 x 0:5 x Bu de¼gerin gerçekten kar maksizasyonun sa¼glay sa¼glamad ¼g n tesbit için ise ikinci s ra koşuluna bakar z. Tek de¼gişkenli otimizasyon sorununda ikinci türevin negatif olmas durumunda maksimizasyon roblemi çözülmüş demektir. Ikinci S ra Koşulu ( _ I:S:K) d dx x :5 ç kan bu ifadeyi otimal x de¼gerinde hesalarsak :5 < 0 sonucunu elde ederiz ki bu maksimizasyon roblemi çözülmüş oldu¼gunu göstermektedir. Bu girdi düzeyinde rman n kar n ve üretimi bulmak da mümkündür. 4 0:5 y 0:5 Şimdi rman n satm ş oldu¼gu ürünün yat 5 e ç kt ¼g nda otimal x miktar n n ne olaca¼g (artma ya da azalma) sorusuna ceva bulmak istedi¼gimizde rman n maksimizasyon roblemini yeniden ifade edi yukar daki aşamalar tekrarlay çözmemiz gerekir.yani max 5x 0:5 x x ifadesini çözen x de¼gerini bulu bir önceki de¼gerle karş laşt rmam z gerekir. Bu roblemi çözdü¼günüzde otimal de¼gerin x : 56 5 oldu¼gunu görmek mümkündür. Bu durumda sat lan
mal n yat artt ¼g nda kullan lan otimal girdi miktar n n artt ¼g sonucuna ulaşabiliriz. Dikkat edilmesi gereken husus bu sonuca ulaşmak için ikinci defa yeni de¼gerlerde roblemin çözülmesi gereklili¼gidir.. Ikinci Yöntem Ikinci yöntemde de¼gişkenlere ve arametrelere sesi k say sal de¼gerler vermek yerine bu de¼gişkenlerin alaca¼g de¼ger aral klar n belirleyerek otimizasyon roblemini çözmeye çal ş r z. Üretim fonksiyonu y f(x) x 0 < < formunda verilmekte, girdi ve ç kt yatlar s f rdan farkl ozitif de¼gerler almaktad r. Bu durumda maksimizasyon roblemi max x x x biçiminde ifade edilebilmektedir. B:S:K, d dx x 0 ifadesini çözecek x de¼gerini bulmam z gerekir. x 0 x x x Bu son ifade kar maksimize eden otimal x i vermektedir. Bir önceki çözümden farkl olarak burada say sal bir de¼ger yoktur. Bunun nedeni modelde de¼gişkenlere say sal de¼ger verilmemesidir. Otimal x de¼gişkenlerin bir fonksiyonu olarak ifade edilmiştir. Bu ifade kar maksimize eden girdi tale fonksiyonu olarak da adland r l r. Bu ifadenin gerçekten kar maksimizasyonu
gerçekleştirdi¼gini görmek için ikinci s ra koşulununu işaretini negatif olmas gerekir. _ I:S:K; d ( )x dx yukar daki ifade ( ) nin negatif olmas dolas yla s f rdan küçüktür. Dolay s yla kar maksimizasyon koşulu gerçekleşmiştir. Bu aşamada bir önceki örnekte oldu¼gu gibi sat lan mal n yat ndaki bir art ş n otimal x üzerindeki etkisini bulabiliriz. Bunun için yamam z gereken otimal x in ye göre türevini almakt r. Yani @x @ ifadesini bulu işaretini belirlememiz gerekir. Öncelikle otimal x de¼gerini türev alma işlemini daha rahat gerçekleştirmek içn düzenleyelim(düzenlemeden de ya labilir). x x şimdi son ifadenin ye göre türevini al rsak @x @ ( ) arentez içi ifade de dahil olmak üzere bütün terimler ozitif oldu¼gundan @x @ > 0 sonucuna ulaş r z. Yani sat lan mal n yat ndaki art ş otimal girdi miktar n art r r. Görüldü¼gü üzere burada ikinci kez bir otimizasyon roblemi çözmeye gerek kalmam şt r. Bunu sa¼glayan ise roblemin bir miktar genel yaz lmas d r(say sal de¼gerlerin kullan lmamas d r).elde etti¼gimiz otimal girdiyi üretim fonksiyonunda yerine koyarak rman n arz fonksiyonunu aşa¼g daki gibi elde edebiliriz. y (; ) f(x ) x y (; ) arz fonksiyonu üretilen ürünün ve girdinin yat n n bir fonksiyonu olarak görülmektedir. Firman n arz fonksiyonunu kullanarak girdinin ve ç kt n n arz edilen miktar üzerine etkisi bulun-
abilir. Aşa¼g daki ifadelerinin işaretlerini birer egzersiz olarak bulmaya çal şabilirsiniz @y @ ; @y @ yine otimal x sonunucu kar denkleminde yerine koyarak kar fonksiyonunu elde edebiliriz. (; ) (; ) h i elde edilen bu kar fonksiyonu üzerinden karş laşt rmalal analizler yaabiliriz. Örne¼gin sat lan mal n kar üzerinde yarataca¼g etkiyi bulabiliriz. @ @ @ @ bu son ifade rman n arz fonksiyonunu vermektedir. Buradan ulaşt ¼g m z bir nokta sat lan ürünün yat art nca kar üzerinde ozitif bir etkisi olmakta di¼ger nokta da kar fonksiyonunun
sat lan mala göre türevini ald ¼g m zda rman n arz fonksiyonuna ulaşmaktay z. Kar fonksiyonunun girdi yat na göre türevi al nd ¼g nda girdi tale fonksiyonunun negatif işaretlisini elde edece¼gimizi siz gösterebilirsiniz.yani @ @ x oldu¼gunu gösterebilirsiniz. Çözüm: Önce kar fonksiyonunu türevi daha rahat almak için düzenleyelim. (; ) (; ) (; ) Şimdi ifadeyi ya göre türevini alal m. @ (; ) @ @ (; ) @ x 3. Üçüncü Yöntem Üçüncü yöntemde kar maksimizasyonu roblemi için en genel durumu ele almaktay z. Burada üretim fonksiyonunun fonksiyonel biçimini de aç k bir şekilde yazmaktan vazgeçmekteyiz. Bununla beraber üretim fonksiyonunun bir kaç özelli¼ge sahi olmas n istemekteyiz. Bunlardan bir tanesi en az iki defa türevi al nan bir üretim fonksiyonu olmas di¼geri ise birinci türevinin ozitif (ozitif marjina ürün) ikinci türevinin negatif (azalan marjinal ürünler kanunu) olmas.
Bu bilgiler ş ¼g nda rman n kar maksimizasyonu roblemini aşa¼g daki gibi yazabiliriz. max f(x) x x Önceki durumlarda oldu¼gu gibi kar maksimizasyonu için birinci s ra koşulunu elde etmemiz gerekir. B:S:K d dx df(x) dx kar maksimizasyon için bu ifadeyi s f ra eşitleyen x de¼gerini bulmam z gerekir. Yani df(x) dx 0 ifadesini sa¼glayacak x otimal de¼geri bulmam z gereken de¼gerdir. f 0 (x) df(x) dx yaarsak yukar daki ifadeyi tan mlamas n f 0 (x) 0 Ne yaz k ki üretim fonksiyonu bir önceki örnekte oldu¼gu gibi verilmedi¼ginden bu ifadeyi çözmek mümkün de¼gildir. Bununla beraber birinci s ra koşulunu iktisaden yorumlamak mümkündür. Kar maksimizasyonu gerçekleştiren rma girdiye ödedi¼gi reel bedel girdinin marjinal ürününe eşittir. Yani f 0 (x): Kar maksimizasyonu için gerekli olan ikinci s ra koşulu _ I:S:K d dx f 00 < 0 olmas gerekir. Üretim fonksiyonunu ikinci türevi negatif oldu¼gundan bu koşul sa¼glan r. Her ne kadar birinci s ra koşulu x için çözülemesede ikinci s ra koşulunun sa¼gland ¼g durumda x için otimal de¼gerlerin modeldeki d şşal de¼gişkenlerin örtük bir fonksiyonu olaca¼g n ileri sürebiliriz (bu iddian n önceki durumlarla uyumlu oldu¼gunu görmekte fayda var.) K saca birinci s ra koşulunu x için çözemesekte aşa¼g daki gibi bir sonucun varl ¼g n önerebiliriz. x x (; ) Bu öneriden sonra temel amac m z olan d şşal de¼gişkenlerin içsel de¼gişkenleri nas l de¼giştirdi¼gini
bulmak mümkün olur. Bunun için izlenecek yol bir anlamda mekaniksel say l r. Bu çözüm önerileri birinci s ra koşuluna yerleştirilerek bir denklik elde edilir. Yani f 0 (x (; )) 0 ifadesi elde edilir. Bu ifade veya de¼gişti¼ginde denkli¼gi sa¼glayacak şekilde otimal x ve marjinal ürününün kendisini de¼giştirece¼gini söylemektedir. Sat lan mal n yat nda meydana gelen de¼gişikli¼gin otimal girdi miktar n nas l de¼giştirece¼gini bulmak için yukar daki birinci s ra koşulunun ye göre tolam türevini al r z. f 0 (x (; )) f 00 (x (; )) @x @ @x @ 0 f 0 (x (; )) f 00 (x (; )) > 0 ay ozitif ayda negatif ve önünde negatif işaret bulundu¼gundan ifade ozitiftir.yani sat lan mal n yat n n yükselmesi kullan lan otimal girdi miktar n n art rmaktad r. Girdinin yat ndaki art ş n otimal girdi üzerine etkisinin bulmak için f 0 (x (; )) 0 ifadesinin ye göre tolam türevini al r z. f 00 (x (; )) @x @ 0 @x @ f 00 (x (; )) < 0 aydadaki ifade negatif oldu¼gundan işaret negatif olmaktad r. Dolay s yla girdinin yat ndaki art ş otimal girdi miktar n azaltmaktad r. Negatif e¼gimli girdi tale fonksiyonu sözkonusudur. Görüldü¼gü gibi son durumda üretim fonksiyonunun türevleri üzerine koymuş oldu¼gumuz k s t karş laşt rmal analiz yamam z için yeterli olmaktad r. Son durumda mümkün oldu¼gu kadar genel bir durum kasanm ş ve kar maksimizasyonu davran ş ile d şşal bir de¼gişkenin içsel bir de¼gişkeni nas l etkiledi¼gini bulmak mümkün olmuştur. Iktisadi modellemede genel strateji son durumdakine benzerdir. Bu nedenle son duruma uygun modelleme ve onun do¼gur-
du¼gu sonuçlar anlamak oldukça önemlidir. Biz derslerimizde zaman zaman her üç yöntemi kullanacak olsak da esas olan son yöntem oldu¼gunu unutmamakta fayda bulunmaktad r.. Iki girdi ve tek ç kt olmas durumunda kar maksimizasyonu max x ;x f(x ; x ) x x kar maksimizasyonu için birinci s ra koşullar s ras yla @ @x f (x ; x ) 0 @ @x f (x ; x ) 0 notasyonda kolayl ¼g sa¼glamak amac yla kar fonksiyonun birinci argumana göre, kar fonksiyonunun ikinci arguma göre türevini göstersin. Bu durumda ; s ras yla kar fonksiyonunun argumanlara göre ikinci türevlerini gösterir. kar maksimizasyonunun gerçekten gerçekleşi gerçekleşmedi¼gini görmek için ikinci s ra koşullar kontrol edilmesi gerekir. Maksimizasyon için ikinci türevlerin < 0; < 0 ve > 0 koşulunu sa¼glamas gerekir. bu durumda ikinci s ra koşullar n bulursak f ; f ; f bu de¼gerlerin yukar daki koşullar yerine getirmesi gerekir. yat kesinlikle ozitif bir de¼ger oldu¼gunda bu koşullar s ras yla şunlar ifade eder. f < 0; f < 0; f f f > 0 yada bu türevlerden oluşan Hessian matrisinin H 6 4 3 7 5 6 4 f f f f diagonal elemanlar n n negatif determinant n n s f rdan büyük olmas gerekir. Yukar daki birinci s ra koşullar bizlere x lerin ve lar cinsinden otimal de¼gerlere sahi 3 7 5
olaca¼g n örtük olarak ifade eder. Di¼ger bir ifadeyle x x ( ; ; ) x x ( ; ; ) Bu çözüm de¼gerlerini birinci s ra koşullar na yerleştirdi¼gimizde her ve de¼gerleri için geçerli bir denklik elde ederiz. f (x ( ; ; ); x ( ; ; )) 0 f (x ( ; ; ); x ( ; ; )) 0 Bu sonucu kullanarak d şşal de¼gişkenlerin otimal x de¼gerlerini nas l de¼giştirdi¼gini analiz edebiliriz. Yukar daki sistemden yararlanarak @x @ ; @x @ ; @x @ @x @ ; @x @ gibi etkileri hesalayabiliriz. ifadelerinin işaretini bulabilmek için yukar daki özdeşli¼gin e göre türevini al r z. f @x @ f @x @ 0 f @x @ f @x @ 0 matris formunda yazarsak 6 4 f f f f 3 7 6 5 4 @x @ @x @ 3 7 5 6 4 0 3 7 5 @x @ ifadesini Cramer kural ile çözersek @x @ f 0 f f f f f f (f f f) < 0 ay f den dolay negatif ayda kar maksimizasyonu koşulundan dolay ozitif oldu¼guna genel
sonuç negatifdir. Dolay s yla negatif e¼gimli bir girdi tale fonksiyonu sözkonusudur. @x @ ifadesini Cramer kural ile çözersek @x @ f f 0 f f f f? f (f f f ) < > 0 sat lan mal n yat n n otimal girdiler üzerindeki etkisi @x @ için f (x ( ; ; ); x ( ; ; )) 0 f (x ( ; ; ); x ( ; ; )) 0 ifadesinin ye göre tolam türevini alal m @x f @ f @x @ f 0 f @x @ f @x @ f 0 matris formunda ifadeyi yazarsak 6 4 f f f f 3 7 6 5 4 @x @ @x @ 3 7 5 6 4 f f 3 7 5 sonucuna ulaş r z. @x @ ifadesini bulmak için Cramer kural n kullan rsak @x @ f f f f f f f f f f f f? (f f f) < > 0
@x @ için ise @x @ f f f f f f f f f f f f? (f f f) < > 0 görüldü¼gü üzere hem @x hem de @x @ @ ifadesinin işaretini belirlemek mümkün de¼gildir. Örne¼gin sat lan mal n yat artt ¼g nda otimal x ve x üzerindeki etkisini belirlemek mümkün de¼gildir.bun birlikte her iki girdinin azalaca¼g n söylemek iktisadi mant ¼g m za uygun gözükmemektedir. Sat lan mal n yat artt ¼g nda her iki girdi artabilir, bir girdi artabilir di¼ger girdi azalabilir ama her iki girdi ayn anda azalamaz.