7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I"

Derya Zengin
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi ad n al r. Teorem7.. E¼ger f fonksiyonu j 0 j R çemberinin içinde analitik ise bu durumda D R ( 0 ) f : j 0 j < Rg aç k diskinde bulunan her için f fonksiyonun Taylor serisi f fonksiyonuna yak nsar, her D R ( 0 ) için f () X f (n) ( 0 ) ( 0 ) n 0 j rg ya l r. Ayr ca 0 < r < R olacak şekilde bir r say s için D r ( 0 ) f : j kapal diskinde seri dügün yak nsakt r. Öel olarak 0 0 noktas ndaki Taylor serisine Maclaurin serisi denir.. Soru. f() Çöüm. f () f (n) () fonksiyonunun Maclaurin seri aç l m n elde edini. ( ) ; f 00 () ( ) 3 ; f 000 () ( ) n+ olup f (n) (0) ya l r. Buradan 6 ( ) 4 ; :::; f () X f (n) (0) n ; jj < X n ; jj < Soru. f() Log fonksiyonunu 0 noktas etraf nda Taylor serisine aç n. Çöüm. f () ; f 00 () ; f 000 () 3 ; f (4) () 6 4 ; :::; f (n) () ( ) n+ (n )! n olup f (n) () ( ) n (n )! bulunur. Buradan Log X ( ) n+ (n )! ( ) n X ( ) n+ ( ) n n Bu seri aç l m j j < için geçerlidir. Çünkü Log fonksiyonunun analitik oldu¼gu 0 merkeli en büyük aç k disk j j < diskidir. Soru3. f () sin fonksiyonunun Maclaurin seri aç l m n bulunu. 6

2 Çöüm. oldu¼gundan f (n) (0) bulunur. Dolay s yla Bener şekilde f () cos sin( + ); f 00 () sin sin + f 000 () cos sin( + 3 ); f (4) () sin sin( + 4 ); f (n) () sin( + n ) f (n) (0) sin n. olup sin n X f (n) (0) n X f() sin cos + e sinh cosh ; 0; n k ( ) k ; n k + k0 ( ) k k+ ; jj < (k + )! X ( ) n n ; jj < (n)! X n ; jj < X ( ) n n ; jj < X k0 X k0 k+ (k + )! ; jj < k (k)! ; jj < eşitlikleri sa¼glan r. Soru3. e fonksiyonunun Maclaurin seri aç l m n elde edini. X Çöüm. e n ; jj < seri aç l m ndan yararlanarak e jj < bulunur. X n ; 7

3 Soru4. f () aç n. Çöüm. fonksiyonunu noktas civar nda Taylor serisine f () f () f 00 () ( ) ( ) 3. f (n) () ( ) n (n+) olup f (n) () ( ) n olarak Buradan j j < için X ( ) n ( ) n bulunur. Ikinci yol olarak seri aç l m n + X ( ) n n ; jj < olarak bildi¼gimi fonksiyonundan yararlanabiliri. Buradan + + ( ) X ( ) n ( ) n ; j j < Soru5. f() fonksiyonunu noktas civar nda Taylor serisine + aç n. Çöüm. f() fonksiyonunu noktas civar nda Taylor serisine + açmak demek fonksiyonu ( ) in kuvvetleri cinsinden yamak demektir. Bu aç l m yapabilece¼gimi en geniş bölge j j < bölgesindir. Çünkü noktas nda fonksiyon singülerli¼ge sahip olup, j j < bölgesi fonksiyonun analitik kalaca¼g en geniş bölgedir, başka bir anlat mla seriye açt ¼g m nokta çemberin merkei olmak üere fonksiyon analitik kalacak şekilde bu çemberi ancak noktas na kadar büyültebiliri. Buradan f()

4 ya l r. u denilirse f() + u X ( ) n u n ; juj < X n ( ) n ; < X n ( ) n ; j j < Soru6. f() fonksiyonunun i noktas komşulu¼gunda Taylor aç l m n elde edini. Çöüm. fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki Taylor seri aç l m kullan larak f() bulunur. Soru7. + i i ( + i) + i ( + i) ( + i) + i X n + i 3 j + ij < j + ij p + i + i X ( + i) n 3 j + ij < p (+i) n+ + i + i fonksiyonunun Maclaurin seri aç l m n ve geçerli ( ) ( 3) oldu¼gu bölgeyi bulunu. Çöüm. Verilen fonksiyonu A + B 3 ( ) ( 3) şeklinde iki ayr fonksiyonun toplm olarak yaarsak A ve B bulunur. Ilk olarak fonksiyonunun 0 civar ndaki Taylor aç l m n bulal m X n 3 ; jj < 3 3n+ 3 3 fonksiyonunun 0 civar ndaki Taylor aç l m için ise X n ; < 9

5 ya l r. Bu durumda ( ) ( 3) 3 X n 3 n+ + X n n+ olup ilk seri aç l m jj < 3 bölgesinde ikinci seri aç l m jj < bölgesinde geçerli oldu¼gundan son seri aç l m bunlar n arakesiti olan jj < bölgesinde geçerlidir. Buradan 3 X n 3 n+ + X n ; jj < n+ Soru8. f() sin 3 fonksiyonunun Maclaurin seri aç l mn bulunu. Çöüm. sin 3 cos sin ( ) olup sin ve cos fonksiyonlar n n Maclaurin seri aç l mlar ndan yararlanarak istenilen sin 3 ( X X ( ) n n+ (n + )! ( ) n n+ (n + )! 3 3! + 5 5! " #) X ( ) n () n (n)!! X ( ) n () n (n)! n () () 4 ::: + ()6! 4! 6! :::! olup C cismi kapal oldu¼gundan iki kompleks terimli serinin çarp m kompleks terimli seri olaca¼g ndan sin 3 3! 3! + 5 () () 4 ::: + ()6 ::: X a n n 5!! 4! 6! ya l r buradan iki serinin eşitli¼gi kullan larak a 0 a a a 4 0; a 3 ; a 5 ( ) olarak Dolay s yla sin ::: ; jj < bulunur. sin ve cos fonksiyonlar n n Maclaurin seri aç l mlar aç k şekilde f fonksiyonunda polinom olarak ya ld ¼g nda da yap labilir. sin :::; jj <

6 ve cos :::; jj < oldu¼gundan sin 3 (sin sin cos ) ::: ::: :::; jj < ::: ::: ::: Soru9. Log( + ) fonksiyonunun 0 noktas civar nda Taylor seri aç l m n elde edini. Çöüm. + (x + iy) + x y + ixy olup Log( + ) fonksiyonunun analitiklik bölgesi xy 0 ve + x y 0 olacak şekildeki (x; y) noktalar n C kompleks dülemden ç kar lmas ile elde edilen bölgedir. Dolay s yla verilen fonksiyonun jj < iken Taylor seri aç l m yap l r. olup buradan ya l r. + X ( ) n n ; jj < + X ( ) n n ; jj < d Log( + ) d + oldu¼gundan Log(+ ) + d X ( ) n n d X ( ) n n+ d; jj < bulunur. Son eşitlikte elde edilen seri analitik fonksiyonun seri gösterimi oldu¼gundan jj < bölgesinde dügün yak nsakt r, integral ile seri yer de¼giştirir. Burada verilen fonksiyonun 0 noktas civar nda Taylor seri aç l m X X Log( + ) ( ) n n+ d ( ) n n+ n + ; jj < olarak bulunur. Soru0. f() fonksiyonunun noktas civar ndaki Taylor seri aç l m n bulunu. 3

7 Çöüm. d d olup + + ( ) X ( ) n ( ) n ; j j < X ( ) n+ ( ) n ; j j < ya l r. Analitik fonksiyonun seri gösterimi yak nsakl k bölgesinde dügün yak nsak oldu¼gundan, bu bölgede terim terime türevlenebilir. Buradan d d X ( ) n+ n ( ) n ; j j < n Al şt rmalar. f() fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki Taylor seri aç l m n elde edini. X. (n + ) n + 3 oldu¼gunu gösterip aç l m n geçerli oldu¼gu ( ) bölgeyi belirleyini. 3. f() tan fonksiyonunun maclaurin seri aç l m ndaki ilk dört terimi bulup, aç l m n geçerli oldu¼gu bölgeyi belirleyini. 4. f() log( + ) fonksiyonunun Maclaurin seri aç l m n bulunu. 5. log + X n+ n + ; j j < oldu¼gunu gösterini. Log( + ) 6. fonksiyonunun 0 noktas civar ndaki Taylor seri aç l m n Log( ) elde edini. X 7. n serisinin yak nsakl k yar çap n bulunu. 8. f() e fonksiyonunun Maclaurin seri aç l m ndaki ilk dört terimi + bulunu. 3

Benzer belgeler

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I

8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent