1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?

Transkript

1 ) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile baba bir kişi olarak düşünülürse 5 kişi yuvarlak masa etraf nda (5 )! = 4! farkl biçimde s ralan r. Ancak, anne ile baba kendi aralar nda! biçimde s ralanaca¼g ndan, anne ile baban n hep yan yana olma durumu 4!! dir. Bu durumda anne ile baban n hiç yan yana olmama durumu ise; (6 )! 4!! = 0 48 = 7 dir. Yan t:7 ) p A 5 ve p A + 0 say lar n n her ikisini de tam say yapan bütün A gerçel say lar n bulunuz. Çözüm: p A 5 = k ve p A + 0 = n dersek, A = k + 5 = n 0 ve n k = (n k) (n + k) = 5 = 3 5 eşitli¼ginden (n k) ve (n + k) pozitif tam say lar için s ras yla ya ve 5 ya da 3 ve 5 olma durumu vard r. Buna göre A = 54 veya A = 6 bulunur. Yan t: 6 ve 54: 3) x ve y negatif olmayan tam say lar olmak üzere 3 x 5 y + 3 x + 5 y = 59 ise x + y kaçt r? Çözüm: Verilen denklem 3 x 5 y + 3 x + 5 y + = 60 ve dolay s yla (3 x + )(5 y + ) = 60 = 5 3 şeklinde yaz l rsa x = y = oldu¼gu görülür. Yan t: 4 4) Akrep ve yelkovanl iki saat ayn anda : 00 yi gösteriyor. Birinci saat günde 8 dakika ileri gidiyor, ikinci saat ise günde 4 dakika geri kal yor. En az kaç gün sonra bu saatler : 00 yi tekrar ayn anda gösterir?

2 Çözüm: günde saatler aras ndaki fark dakikad r. O yüzden 60 gün sonra bu saatler ayn zaman gösterecektir. Ikinci saat günde 4 dakika geri kald ¼g için 60 gün sonra saatler 08 : 00 i, 0 gün sonra 04 : 00 ü, 80 gün sonra 00 : 00 = : 00 yi gösterecektir. Yan t: 80 5) say s n n ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçt r? Çözüm: ( 4) (mod ) (mod ) (mod ) 6 5 (mod ) Yan t: 5 6) x log 5 (log 5 x) log 5 x = log 5 4 ise x kaçt r? Çözüm: Her iki taraf n 5 taban na göre logaritmas al n rsa log 5 (log 5 x) log 5 x Buradan da x = 4 oldu¼gu görülür. Yan t: 4 log 5 x = log 5 (log 5 4) 7) ise x + y kaçt r? + 3x + 4y = 4 x + y x + y + x y = 3

3 Çözüm: Ilk eşitlik, ikincisi ile çarp l p taraf tarafa topland ¼g nda 5x+0y = 5, böylece x + y = bulunur. Bu ifade verilen denklem sisteminde kullan larak 3x + 4y = 3 x y = elde edilir. Buradan da 4x + y = 4 ve x + y = bulunur. Yan t: 8) Bir ABC dik üçgeninin çevresi 0 br; m d ABC = 75 ise jcbj hipotenüsünün uzunlu¼gu kaç birimdir? Çözüm: Hipotenüs a; dik kenarlar b ve c olsun. O zaman dolay s yla da 0 = a + b + c = a + a cos B + a cos C a = = = 0 ( + cos 75 + cos 5 ) 0 ( + cos 45 cos 30 ) 40 + p 6 bulunur. Yan t: 40 + p 6 = 0(p 6 ) 9) 8 8 lik bir satranç tahtas na farkl renkli taş ayn sat r ve ayn sütunda en fazla bir tane bulunmak üzere kaç farkl şekilde yerleştirilebilir? Çözüm: Birinci taş için 64 karenin her biri bir seçenektir. Ikinci taş birincinin kondu¼gu sat r ve sütuna yerleştirilemez, yani 49 seçenek vard r. Böylece, toplam = 336 de¼gişik yerleştirme imkan vard r. Yan t: 8 7 = = 336 3

4 0) ; ; 3; :::; 008; 009 say lar n n her biri + veya işaretli olarak al n p toplan yor. Bu yolla elde edilebilecek negatif olmayan en küçük say kaçt r? Çözüm: Verilen say lar n toplam ::: = = bir tek say oldu¼gundan ve toplamlar tek olan say lar n farklar da tek olaca¼g ndan, bu say lar n önüne + veya işareti yaz p toplamakla elde edilen say da tek say olacakt r. Dolay s yla, bu yolla elde edilecek toplam 0 olamaz. Buna göre bizden istenen say den küçük olamaz. Öte yandan say s bu yolla elde edilebilen say lardan biridir: = + ( ) + ( ) + ::: + ( ): Öyleyse istenen say dir. Yan t: ) Aşa¼g daki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. x(x + )(3x + 5y) = 44 x + 4x + 5y = 4 Çözüm: Ikinci denklemden x(x + ) + (3x + 5y) = 4 elde edilir. z = x(x + ) dersek, (3x + 5y) = 4 z ve birinci denklemden z(4 z) = 44 dolay s yla z = bulunur. Böylece x(x + ) = z = den x = 3 ve x = 4 olur. Buradan, x = 3 için y = 3 4 ve x = 4 için y = elde edilir. 5 5 Yan t: (3; 3 4 ); ( 4; 5 5 ) ) x + j x + 3 j + j x 3 j= 9 j x j +6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x yerine x yazarsak denklem de¼gişmez, yani çözümler orijine göre simetriktir. Ayr ca x = 0 bir çözümdür. x > 0 durumunda denklem x + j x 3 j 7 x 3 = 0 şeklinde yaz labilir. 0 < x < 3 için x 9 x = 0 denkleminin bu aral kta çözümü yoktur. x 3 için 4

5 x 5 x 6 = 0 denkleminin bu aral ktaki tek çözümü x = 4 olur. Böylece çözüm kümesi f bulunur. 4; 0; 4g olarak Yan t: f 4; 0; 4g 3) (x + y + z)(x + y + z + t) = 4 (x + y + t)(x + y + z + t) = (x + z + t)(x + y + z + t) = (y + z + t)(x + y + z + t) = denklem sisteminin (x; y; z; t) çözümlerinin kümesini bulunuz. Çözüm: Taraf tarafa toplama ile 3(x + y + z + t) = 3 ve dolay s yla x + y + z + t = bulunur. x + y + z + t = oldu¼gunda her bir denklemden s ras yla t = 3; z = 3; y = ; x = x + y + z + t = oldu¼gunda ise t = 3; z = 3; y = ; x = bulunur. Yan t: f(; ; 3; 3); ( ; ; 3; 3)g 4) 0 x x + 0 x +x = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 0 x x x x = denkleminde y = 0 x x dersek, y y + 0 = 0 buradan da y = 0 ve y = olur. Böylece x x = x x = 0 5

6 elde edilip, birinci denklemden Yan t: ; ; 0; ve, ikinci denklemden ise 0 ve çözümleri bulunur. 5) Bir z karmaş k say s için z + z = + i ise z3 + ifadesini hesaplay n z. z3 Çözüm: ve buradan da z 3 + z 3 = 5 i bulunur. Yan t: 5 i z + 3 = ( + i) 3 z z 3 + z 3 + 3(z + z ) = + 3i + 3i + i 3 z i = + 3i 3 i z3 6) (3 + x) = 009 denkleminin gerçel köklerinin toplam kaçt r? Çözüm: (3 + x) = p (3 + x) = (3 + x) = q p009 3 q p böylece x ; = q p p olup x + x = 6 bulunur. Yan t: 6 7) x bir tam say olmak üzere bir üçgenin kenar uzunluklar x; x + ve x + br, alan 6 br ise x kaçt r? 6

7 Çözüm: Üçgenin çevre uzunlu¼gunun yar s na p dersek ve olup (x + 3)(x p = 3x + 3 A = p p(p x)(p x )(p x ) = 6 )(x + ) = 6 ve x = 3 bulunur. Yan t: 3 8) Uzun taban 3, çevresi 8 br olan en büyük alanl ikizkenar yamu¼gun alan kaç br dir? Çözüm: Yan kenara a; k sa tabana b; yüksekli¼ge h dersek ve b + 3 = 8 a; 3 b = a h = a ( 3 b ) = a (a ) = a oldu¼gundan, yamu¼gun alan n n A = (4 a) p a oldu¼gu görülür. Bu ifadenin a ya göre türevi A 0 = 3a + 5 p a oldu¼gu için alan en büyük de¼gerini a = 5 için al r. Buradan, yamu¼gun alan 7 br olarak hesaplan r. Yan t: 7 9) n say s n n bir tam kare olmas n sa¼glayan en büyük n do¼gal say s n bulunuz. Çözüm: n = 6 4 ( n 4 ) = 6 ( n 6 ) = 6 ( + : (n 8) ) 7

8 Bu eşitlikte 6 bir tam karedir. E¼ger n = 395 olursa, verilen ifade yani tam kare halini al r. n > 395 olsun. Bu durumda, + : (n 8) = + : :387 = ( ) (n 8) < + : (n 8) < + : n 8 + (n 8) = ( + (n 8) ) olur. Böylece + : (n 8) say s iki ard ş k tam kare aras nda bulundu¼gundan bir tam kare olamaz. Buradan, n nin en büyük de¼geri 395 oldu¼gu görülür. Yan t: 395 0) Köşeleri O(0; 0); A(8; 0); B(8; 4) ve C(0; 4) olan bir dikdörtgenin O köşesi, B köşesi üzerine gelecek şekilde katlan yor. Katlanma çizgisinin OA ve CB do¼grular n kesti¼gi noktalar s ras yla D ve E olmak üzere, DE do¼gru parças n n orta noktas n n koordinatlar n bulunuz. Çözüm: CB == OA oldu¼gundan, şekildeki M BE ve M OD üçgenlerinin tüm aç lar eşittir. Ayr ca O ve B noktalar ED do¼gru parças na göre simetrik oldu¼gundan jom j = jm Bj dir. Dolay s yla bu üçgenler eştir. Üçgenlerin eşitli¼ginden jemj = jmdj oldu¼gu söylenebilir, bu ise DE do¼gru parças n n orta noktas n n O ile B nin orta noktas oldu¼gunu gösterir. Bu noktan n koordinatlar ise (4; ) dir. Yan t: (4; ) ) Çevresi 4 br olan bir ABC üçgeninin iç te¼get çemberine H noktas nda te¼get ve BC taban na paralel bir GI do¼gru parças çiziliyor. jgij = 3 br ise jbcj kaç br dir? 8

9 Çözüm: jbdj = jbej = x; jcej = jcf j = y; jadj = jaf j = z olsun. AGI ve ABC üçgenlerinin benzerli¼ginden jgij jbcj = Ç(AGI) olup buradan, Ç(ABC) 3 x + y = Ç(AGI) elde edilir. 4 jghj = jgdj ve jhij = jif j oldu¼gu için Ç(AGI) = z dir. Böylece 3 x + y = z 4 = z ve (x + y)z = 36 bulunur. Öte yandan yar çevre x + y + z = oldu¼gundan x + y = z = 6 olmak zorundad r. Yan t: 6 br ) Şekildeki ABC ve ABC 0 üçgenlerinin çevrel çemberleri s ras yla ve 0 dür. AC do¼grusu 0 çemberine A noktas nda te¼get, C 0 noktas 0 çemberi üzerinde ve C; B; C 0 do¼grusald r. jacj = 6 br; jabj = 4 br; jac 0 j = 8 br oldu¼guna göre jc 0 Bj uzunlu¼gu kaç br dir? Çözüm: 0 çemberinde, BAC te¼get-kiriş aç s yla AC 0 C çevre aç s n n ölçüleri eşit oldu¼gundan ABC üçgeniyle C 0 AC üçgeni benzer üçgenlerdir. Buna göre oldu¼gundan jbcj 6 bulunur. Buradan da jc 0 Bj = Yan t: 9 = 4 8 = 6 jc 0 Cj jbcj jacj = jabj jac 0 j = jacj jc 0 Cj yani jbcj = 3 ve jc 0 Cj = 3 = 9 bulunur. 9

10 3) A matrisi bir matris ise A - sa¼glayan A matrisini bulunuz. = 0 ve A = eşitliklerini Çözüm: x y 0 A = olsun. A = eşitli¼ginden x y = 0 ve z t = z t - A = eşitli¼ginden de x + y = ve z + t = bulunur. Yan t: 0 4) Birinci bölgede, y = (x ) + e¼grisi ve e¼grinin A = (; ) noktas ndaki te¼geti ile s n rl bölgenin alan n bulunuz. Çözüm: Te¼getin e¼gimi ; denklemi y = x dir. Şekildeki üçgenin alan n n oldu¼gunu göz önüne al rsak istenen bölgenin alan Z 0 [(x ) + ]dx = 5 3 olur. Yan t: 5 3 P 5) T = n n k + k k=0 toplam kaçt r? 0

11 Çözüm: T = = = Z nx 0 k=0 Z 0 n x k dx k ( + x) n dx ( + x)n+ j 0 = n+ n + n + Yan t: n+ n + ) (YEDEK) Çarp mlar 500 olan üç basamakl iki pozitif tam say n n toplam hangi aral kta bulunur? Çözüm: 500 say s n n en küçük üç basamakl çarpan 00 oldu¼gundan, di¼ger çarpan 5 olup en büyük üç basamakl çarpand r. Böylece, toplamlar n n en büyük de¼geri 35 olur. Ayr ca, bu say lar n çarp mlar 500 oldu¼gundan, geometrik ortalamalar 50 olacakt r. Iki say n n aritmetik ortalamas geometrik ortalamas ndan küçük olmad ¼g ndan, aritmetik ortalamalar n n alabilece¼gi en küçük de¼ger 50 dir. Buna göre toplamlar en az 300 olur. Yan t: [300; 35] ) (YEDEK) + + ::: + n say s 3 basamakl ve basamaklar ayn olan bir say ise bu üç basamakl say kaçt r? Çözüm: Basamaklardaki rakamlara a dersek, n(n + ) = a; yani n(n + ) = 3 a 37 elde ederiz. a 9 oldu¼gundan, tek seçenek olarak n = 36; buradan da a = 6 bulunur. Yan t: 666 3) (YEDEK) x +y +z +t 6 (x + y + z + t) 35 eşitsizli¼gini sa¼glayan kaç tane (x; y; z; t) tam say dörtlüsü vard r?

12 Çözüm: Verilen eşitsizlik (x 3) + (y 3) + (z 3) + (t 3) şeklinde yaz ld ¼g nda çözümlerin (3; 3; 3; 3) ile birlikte ve oldu¼gu görülür. (4; 3; 3; 3); (3; 4; 3; 3); (3; 3; 4; 3); (3; 3; 3; 4) (; 3; 3; 3); (3; ; 3; 3); (3; 3; ; 3); (3; 3; 3; ) Yan t: 9 4) (YEDEK) Kenar uzunluklar a; b ve c olan bir üçgenin alan br dir. Buna göre, kenar uzunluklar bu üçgenin V a ; V b ve V c kenarortay uzunluklar na eşit olan üçgenin alan kaç br dir? Çözüm: ABC üçgeninde AB kenar n n orta noktas P; a¼g rl k merkezi S ve S nin SC do¼grusu üzerinde P ye göre simetri¼gi R ise ASR üçgeni, kenarlar ABC üçgeninin kenarortaylar n n 3 ü kadar uzunlu¼ga sahip ve alan ABC üçgeninin alan n n üne eşit bir üçgendir. Dolay s yla 3 3 istenen üçgenin alan 3 = 9 br dir. Yan t: 9 5) (YEDEK) 0; 3 aral ¼g nda (cos x) 4 + (cos x) = 0 denklemini sa¼glayan kaç x gerçel say s vard r? Çözüm: u = (cos x) al nd ¼g nda, u + u = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri u ; = p p 5 5 dir. < oldu¼gundan p 5 u = (cos x) =

13 rp rp 5 5 olmal d r. Böylece, cos x = olup verilen aral kta cos x = için bir ve rp 5 cos x = için iki tane olmak üzere, denklemi sa¼glayan üç tane x gerçel say s vard r. Yan t: 3 3