NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012
|
|
|
- Aysun Çatlı
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
2 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
3 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
4 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Bundan dolay, Doolittle ve Crout yöntemlerinden bahsedilmesi temelde tarihsel nedenler içindir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
5 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Bundan dolay, Doolittle ve Crout yöntemlerinden bahsedilmesi temelde tarihsel nedenler içindir. Di¼ger yandan, Cholesky yordam simetrik, pozitif tan ml matrisler için özellikle iyi çal şmaktad r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
6 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Gauss elemesi iyi şekilde çal şmaktayken, Doolittle, Crout ve Cholesky ayr şt rmalar na neden gerek duymaktay z? Hesap makinelerinin kullan ld ¼g günlerde, bu yordamlardan birinin di¼geri üzerinde olas üstünlükleri mevcut idi. Ancak, bilgisayarlardaki ve matematiksel yaz l mlardaki gelişmeler sonucunda bu küçük avantajlar kaybolmuştur. Bundan dolay, Doolittle ve Crout yöntemlerinden bahsedilmesi temelde tarihsel nedenler içindir. Di¼ger yandan, Cholesky yordam simetrik, pozitif tan ml matrisler için özellikle iyi çal şmaktad r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
7 Basit Gauss Elemesi. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Gauss algoritmas n hat rlayal m: 6 x x 9 5 x 6 8 x 5 = operasyonlar S S! S S S ()! S S ( )S! S, ve say lar eleme sürecinin ilk ad m için çarpanlar olarak adland r l r. Bu çarpanlar n herbirini oluşturmada bölen olarak kullan lan 6 say s na bu ad m n pivot eleman ve de¼gişmeyen. sat ra. pivot sat r denir. Ilk ad m tamamland ¼g nda sistem şu şekilde olacakt r ve. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
8 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Ilk ad m tamamland ¼g nda sistem şu şekilde olacakt r: 6 x pivot! x x 5 = x 6 pivot eleman ve bu ad m n çarpanlar ve dir. operasyonlar S S! S S ( )S! S () Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
9 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi pivot eleman ve çarpan dir. x x x x 5 = operasyonlar S S! S () Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 5 /
10 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Sonuç; Ileri Gauss elemesi: x x x x 5 = () Dördüncü sat rdan başlay p, geriye do¼gru giderek kolayca çözersek; Geri Gauss yerleştirmesi: x = 6 5 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 6 /
11 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Sistemi dönüştürmede kullan lan çarpanlar bir L = (`ij ) birim alt üçgensel matriste gösterilebilir: L = !Birinci kolonu s f rlayan çarpanlar, /,! Ikinci kolonu s f rlayan çarpanlar, /!Üçüncü kolonu s f rlayan çarpanlar. 5 (5) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
12 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Basit Gauss Elemesi Son sistemin katsay matrisi bir üst üçgensel U = (u ij ) matrisi U = (6) Orjinal sistemin katsay matrisi A olmak üzere, bu iki matris A n n LU-ayr ş m n verir. Böylece, = () Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 8 /
13 Pivotlama. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Gauss algoritmas a ii = 0 (veya çok küçük iken) çal şmaz: 0 x = x olup, algoritman n basit hali burada işlemez, çünkü ikinci denklemde x in katsay s n 0 yapmak için birinci denklemin bir kat n ikinci denkleme eklemenin hiçbir yolu yoktur. (Bkz. Problem.., s. 59.) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 9 /
14 Pivotlama. Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Gauss algoritmas a ii = 0 (veya çok küçük iken) çal şmaz: 0 x = x olup, algoritman n basit hali burada işlemez, çünkü ikinci denklemde x in katsay s n 0 yapmak için birinci denklemin bir kat n ikinci denkleme eklemenin hiçbir yolu yoktur. (Bkz. Problem.., s. 59.) ε nun 0 dan farkl küçük bir say oldu¼gu aşa¼g daki sistemde de ayn zorluk devam eder. ε x = x Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 9 /
15 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Gauss algoritmas uyguland ¼g nda ε 0 ε x x = ε üst üçgensel sistemini üretecektir. Bunun (bilgisayar) çözümü ise x = ( ε )/( ε ) x = ( x )ε 0 olur. E¼ger ε yeterince küçük ise, bilgisayarda ε say s ε ile ayn de¼ger olarak hesaplanacakt r. Benzer şekilde ε böleni de ε ile ayn de¼geri üretir. Böylece, x nin de¼geri olarak ve x de 0 olarak hesaplanacakt r. Halbuki gerçek çözüm x = /( ε) x = ( ε)/( ε) oldu¼gundan, hesaplanm ş çözüm x için duyarl d r, fakat x için oldukça duyars zd r! Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 0 /
16 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama ε yeterince küçük iken, bilgisayarda ε hesab neden ε ile ayn olan makine say s n üretmektedir? Bunun nedeni, bilgisayarda ç karma işlemi yap lmadan önce nin ve ε in, kayan-nokta formundaki üsler ayn olacak şekilde taban nokta kayd rmas yap ld ¼g ndand r. E¼ger bu kayd rma yeterince büyük ise, nin mantissas 0 olacakt r. Örne¼gin Teorik Marc- bilgisayar na benzer bir yedi-nokta desimal makinede, ε = 0 8 için, ε = ve = e sahip oluruz. yi 9 üssüne göre tekrar yazarsak = ve ε = , ve böylece makine kayd nda ε = = ε elde ederiz. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
17 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Problemi yaratan asl nda a katsay s n n küçüklü¼gü de¼gil, asl nda ayn sat rdaki di¼ger katsay lara göre a in ba¼g l küçüklü¼güdür. Gerçekten ε x ε = x Basit Gauss algoritmas ε 0 ε x x = ε ε sonucunu verir. Bunun çözümü x = ( ε )/( ε ) x = ε ε x 0 d r. Tekrar, küçük ε lar için x, olarak ve x de 0 olarak hesaplan r ki, bu önce oldu¼gu gibi hatal d r! Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
18 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Bu örneklerdeki zorluklar, denklemlerin s ras n de¼giştirmekle ortadan kalkar: x = ε Gauss elemesi uyguland ¼g nda 0 ε x x x = ε elde edilir. Böylece, çözüm x = ( ε)/( ε) x = x Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
19 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Pivotlama Sonuç; iyi bir algoritman n, ortam n gerektirdi¼gi durumlarda sistemdeki denklemlerin yerlerini de¼giştirecek yap da düzenlenme zorunlulu¼gunu taş mas d r. Bunun için mant ksal anlamda, pivot sat rlar seçiyoruz. Sat rlar,,..., n pivot s ras na göre kullanmak yerine, p, p,..., p n s ras yla kullanaca¼g m z kabul edelim. Bu durumda, ilk ad mda p -inci sat r n bir kat di¼ger sat rlardan ç kar lacakt r. (p, p,..., p n ), (,,..., n) nin bir permütasyonu olacak şekilde p n girdisini sunarsak, p n bir pivot sat r olmayacakt r, fakat p -inci sat r n katlar n n p, p,..., p n. sat rlardan ç kar laca¼g n söyleyebiliriz. Ikinci ad mda p -inci sat r n katlar p, p,..., p n. sat rlardan ç kar lacak ve bu şekilde devam edecektir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
20 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Ax = b sistemini çözmek için ölçekli sat r pivotlu Gauss elemesi algoritmas iki k s m içermektedir: Bir ayr şt rma evresi (ileri-yönde eleme de denir) ve (güncelleme ve geri-yönde yerleştirme yi içeren) bir çözüm evresi. Ayr şt rma evresi sadece A ya uygulan r ve permütasyon dizisi p den üretilen matris P olmak üzere, PA n n LU ayr ş m n oluşturmak için tasarlan r. (PA, A n n sat rlar n n yeniden s ralanmas yla elde edilir.) Düzenlenmiş lineer sistem PAx = Pb dir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 5 /
21 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi PA = LU ayr ş m, aşa¼g da aç klanacak olan de¼giştirilmiş Gauss elemesinden elde edilir. Çözüm aşamas nda Lz = Pb ve Ux = z denklemlerini göz önüne almaktay z. Önce, b sa¼g taraf P ye göre yeniden düzenlenir ve sonuç tekrar b ye yüklenir; yani b L b al n r. L birim alt üçgensel oldu¼gundan, bu işlemler ileri-yönde yerleştirmeyi tamamlam ş olur. Bu sürece b yi yenileme denir. Daha sonra, Ux = b den x n, x n,..., x i çözmek için, geri-yönde yerleştirme yap l r. Ayr şt rma evresine, herbir sat r n ölçe¼gini hesaplayarak başlar z. s i = max jn fja ij, ja i j,..., ja in jg ( i n) Bu de¼gerler algoritmada bir s dizisine kaydedilir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 6 /
22 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Ayr şt rma evresine başlarken; ja i j /s i nin en büyük oldu¼gu sat r pivot sat r olarak seçeriz. Seçilen indis p ile gösterilir ve permütasyon dizisinin ilk eleman olur. Bu durumda, i n için ja p j /s p ja i j /s i dir. p belirlendikten sonra, A n n ilk kolonunda s f rlar üretmek üzere, p -inci sat r n uygun katlar di¼ger sat rlardan ç kar l r. Kuşkusuz, p -inci sat r ayr şt rma sürecinin sonraki aşamalar nda de¼gişmez kalacakt r. Oluşturulan p i indislerini kay t alt nda tutmak için, (p, p,..., p n ) s ralama vektörünü (,,..., n) olarak başlat yoruz. Daha sonra apj /spj nin en büyük oldu¼gu j indisini seçip, p s ralama dizisinde p ve p j nin yerlerini de¼giştiriyoruz. Ilk eleme aşamas, i n için p -inci sat r n (a pi /a p ) kat n p i -yinci sat rlardan ç karma işlemlerini içerecektir. Genel süreci aç klamak için, k-y nc kolonda s f rlar oluşturmaya haz rland ¼g m z farzedelim. En büyük de¼geri bulmak için ja pi k j /s pi (k i n) say lar n tar yoruz. E¼ger, j bu oranlar n en büyük oldu¼gu ilk indis ise, bu durumda p dizisinde p k ile p j nin yerini de¼giştirip, daha sonra p k -y nc sat r n (a pi k /a pk k ) kat n k + i n için p i -yinci sat rlardan ç kar r z. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
23 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Şimdi bu sürecin nas l çal şt ¼g n A = pivot s = matrisinde gösterelim. Başlang çta p = (,, ) ve s = (6, 8, ) olur. Ilk pivot sat r seçmek için f/6, /8, /g oranlar na bak yoruz. En büyük oran j = e karş l k geldi¼ginden,. sat r ilk pivot sat r al n r. O halde, p ile p ü yer de¼giştirip, p = (,, ) elde ederiz. Şimdi ilk kolonda s f rlar elde etmek için,. sat r n katlar. ve. sat rlardan ç kar l r Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 8 /
24 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Sonuç: A = pivot s = a ve a deki kutulanm ş girdiler çarpanlard r. Ikinci ad mda, pivot sat r n seçimi ja p j /s p ve ja p j /s p oranlar na bak larak yap l r. Ilk oran (6/)/8 ve ikincisi (/)/6 d r. O halde j = olup, p ve p yer de¼giştirilerek, p = (,, ); p -inci (.) sat r n 6 = 6 kat p -üncü (.) den ç kar l r Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 9 /
25 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Sonuç: p = (,, ) ve A = 6 Son çarpan a ye yerleştirilir Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ 0 /
26 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi E¼ger orjinal A matrisinin sat rlar p s ralama dizisinin son haline göre yer de¼giştirirse, bu durumda A n n bir LU-ayr ş m n elde etmiş olmal y z. Bu durumda PA = olup, burada P = A = 5 = Permütasyon matrisi P, s ralama dizisi p den (P) ij = δ pi,j ile elde edilir. Di¼ger bir deyişle P, I birim matrisinin sat rlar n n p deki girdilere göre s ralanmas ndan oluşur. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
27 . Pivotlama ve Algoritma Oluşturma Ölçekli Sat r Pivotlu Gauss Elemesi Teorem (PA = LU ile Çözüm) E¼ger PA = LU ayr ş m ölçekli sat r pivotlu Gauss algoritmas ile üretilirse, bu durumda Ax = b nin çözümü, önce Lz = Pb ve sonra da Ux = z çözülerek elde edilir. Benzer şekilde, y T A = c T un çözümü, önce U T z = c ve sonra L T Py = z çözülerek elde edilir. Ispat Problem.. (s.85) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ /
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6 7! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / 9 . LU ve Cholesky
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 1 Denklemlerin Köklerini Bulma Giriş Denklemlerin Köklerini Bulma
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 27 Çok farkl durumlara uygulanabilen genel bir yöntemdir. Reel de¼gişkenli,
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Lineer Programlama Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 7 7! Lineer Programlama 1 / 32 Simpleks Algoritmas Standart teknikler anlam
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel
6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,
Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700
fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler
BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak
int printf (const char *format [, argument,...]);
![int printf (const char *format [, argument,...]);](/thumbs/33/16121823.jpg "int printf (const char *format [, argument,...]);")
1 printf (): Fonksiyonu Sayısal ve alfanümerik değerleri ekrana (çıkış elemanı olarak tanımlı ise) göndermek için kullanılan formatlı çıkış fonksiyonudur. Bu fonksiyon stdio.h başlık dosyası altında tanımlıdır.
(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
POL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları
Deprem Yönetmeliklerindeki Burulma Düzensizliği Koşulları Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunayozmen@hotmail.com 1. Giriş Çağdaş deprem yönetmeliklerinde, en çok göz önüne
BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1
1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı
İki Değişkenli Bağlanım Modelinin Uzantıları
İki Değişkenli Bağlanım Modelinin Uzantıları Hesaplamaya İlişkin Konular Ekonometri 1 Konu 19 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike
Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI
2.4. ELASTĠK DEPREM YÜKLERĠNĠN TANIMLANMASI : SPEKTRAL ĠVME KATSAYISI Deprem yüklerinin belirlenmesi için esas alınacak olan Spektral İvme Katsayısı, A(T), Denk.(2.1) ile verilmiştir. %5 sönüm oranı için
TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
TEOG ÖZEL OKULLAR MODELİ İLE ÖĞRENCİ ALACAK ÖZEL OKULLARIN KAYIT TAKVİMİ 2016
TEOG ÖZEL OKULLAR MODELİ İLE ÖĞRENCİ ALACAK ÖZEL OKULLARIN KAYIT TAKVİMİ 2016 1)TABAN PUAN İLANI Haziran 2016 2). ÖN KAYIT DÖNEMİ Haziran 2016 Temmuz 2016 Özel Okullar Kayıt Komisyonunca alınacak karara
FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
36. Basit kuvvet metodu
36. Basit kuvvet metodu Basit kuvvet metodu hakkında çok kısa bilgi verilecektir. Basit kuvvet metodunda hiperstatik bilinmeyenlerinin hesaplanmasına, dolayısıyla buna ait denklem sisteminin kurulmasına
1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
Ç NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49
Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations
Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations Uygulama alanı: Lineer olan her sistem Notation: Ax 1 = b Augmented [A l b] Uniqueness A = 0, A nxa Bu şekilde yazılan sistemler Overdetermined (denklem
1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.
1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar
Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi
4. Numaralandırdığımız her boru parçasının üzerine taşıdıkları ısı yükleri yazılır.
4. KOLON ŞEMASI VE BORU ÇAPI HESABI Tesisatı oluşturan kazan, kollektörler, borular,,vanalar, ısıtıcılar,genleşme deposu ile diğer donanım ve armatürlerin tümünün düşey görünüşünü iki boyutlu olarak gösteren
YAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER. Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL. Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL. (III. Baskı)
DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:294 YAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER YAPI ve DEPREM MÜHENDİSLİĞİNDE MATRİS YÖNTEMLER (III. Baskı) Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL
Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni
TO-ETÜ, Iktisat ölümü Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni Ortalamas 0, standart sapmas 1 olan normal da¼g l ma standart normal da¼g l m denir ve bu da¼g l m n de¼gerleri z ile gösterilir.
TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)
TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı
ENF - 102 TEMEL BİLGİSAYAR BİLİMLERİ. 2014 2015 Eğitim/Öğretim Yılı Bahar Dönemi DÖNEM SONU LAB. ÖDEV TESLİM DUYURUSU
ENF - 102 TEMEL BİLGİSAYAR BİLİMLERİ 2014 2015 Eğitim/Öğretim Yılı Bahar Dönemi DÖNEM SONU LAB. ÖDEV TESLİM DUYURUSU İÇİNDEKİLER 1. Ön Bilgi... 1 2. Çalışmaları Kimler Teslim Edecekler?... 1 3. Çalışmalar
Başbakanlık (Hazine Müsteşarlığı) tan: 30.11.2015
Başbakanlık (Hazine Müsteşarlığı) tan: 30.11.2015 BİREYSEL EMEKLİLİK SİSTEMİ HAKKINDA YÖNETMELİKTE DEĞİŞİKLİK YAPILMASINA DAİR YÖNETMELİĞİN UYGULANMASINA İLİŞKİN GENELGE (2015/50) Bu Genelge, 25.05.2015
Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)
Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi
OKUL BAZLI BÜTÇELEME KILAVUZU
Üst Politika Belgelerinde Okul Bazlı Bütçe: Amaç: OKUL BAZLI BÜTÇELEME KILAVUZU 1. Onuncu Kalkınma Planı (2014-2018) 154- Okul idarelerinin bütçeleme süreçlerinde yetki ve sorumlulukları artırılacaktır.
Sevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.
1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLĐKLERĐ A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ. BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar
İSTANBUL KEMERBURGAZ ÜNİVERSİTESİ BURS YÖNERGESİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç: Madde 1. (1) Bu yönergenin amacı, İstanbul Kemerburgaz Üniversitesinin önlisans, lisans ve lisansüstü
Üst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
Özdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Muhasebe, Personel Müdürlükleri ne
SİRKÜ : 2011/08 KAYSERİ Konu : Sosyal Güvenlik ve İş Hukuku Mevzuatında 31.03.2011 Torba Kanunla Yapılan Değişiklikler ve Yeni Düzenlemeler (3) Muhasebe, Personel Müdürlükleri ne Bundan önceki iki sirkülerlerimizde;
MAHALL DARELERDE DÖNEM SONU LEMLER. Ömer DA Devlet Muhasebe Uzman. info@omerdag.net
Slide 1 MAHALL DARELERDE DÖNEM SONU LEMLER (Belediyeler, il özel idareleri, ba l idareler ve mahalli idare birlikleri) Ömer DA Devlet Muhasebe Uzman info@omerdag.net Slide 2 I. Geçici Mizandan Önce Yap
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ
İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ
ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı
ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER
ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER Şekil-1: BREADBOARD Yukarıda, deneylerde kullandığımız breadboard un şekli görünmektedir. Bu board üzerinde harflerle isimlendirilen satırlar ve numaralarla
DENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA
A. DENEYİN AMACI : Protoboard kullanımını öğrenmek ve protoboard üzerinde basit direnç devreleri kurmak. B. KULLANILACAK ARAÇ VE MALZEMELER : 1. DC güç kaynağı, 2. Multimetre, 3. Protoboard, 4. Değişik
08.11.2014-10:30 Adı-Soyadı:... No:... NOT:...
OREN435 TESİS PLNLM 014-015 GÜZ YRIYILI RSINVI CEVP NHTRI 1 08.11.014-10:30 dı-soyadı:... No:... NOT:... Sorular eşit puanlıdır. Yardımcı bellek kullanılabilir. Süre 70 fakikadır. 1. Endüstriyel üretim
Muhasebe LOGO Kasım 2009
Muhasebe LOGO Kasım 2009 İçindekiler LOGO - GO Muhasebe...6 Hesap Planı...7 Hesap Kartı Bilgileri...8 Bağlantılar/Kontroller...10 Finansal Tablolar...11 Hesap Kartı Bütçe Bilgileri...12 Hesap Kartı İzleme
BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Çizelgeleme. Üretim Planlama ve Kontrol 2 Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Üretim Planlama ve Kontrol 2
Çizelgeleme Üretim Planlama ve Kontrol 2 Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Üretim Planlama ve Kontrol 2 Yukarıdaki terimler arasında geçen; S i çoğunlukla P i içinde düşünülür (Yâni
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü DERS NOTU 5 KONU: Matlab de Diziler ve Matrisler İÇ İÇE FOR DÖNGÜSÜ
Er veya erbaş olarak silâh altında veya yedek subay okulunda geçen süreleri,
BORÇLANMA YAPMAK İSTEYENLER BUGÜN SON GÜN DEĞERLENDİRİN 41 inci MADDE BORÇLANMADA ESAS ALINIYOR DOĞUMA AİT SÜRELER Ø Kanunları gereği verilen ücretsiz doğum ya da analık izni süreleri, Ø SSK kapsamındaki
B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet
B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet 57 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B02) Şimdiye kadar C programlama dilinin, verileri ekrana yazdırma, kullanıcıdan verileri alma, işlemler
2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kesikli Matematiksel Yapılar BIL152 2. 3+0 3 7
DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Kesikli Matematiksel Yapılar BIL152 2. 3+0 3 7 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans Zorunlu / Yüz
ALES. sýnavlarına en yakın üç bin iki yüz soru SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Tamamı Çözümlü. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker
ALES 2016 sýnavlarına en yakın üç bin iki yüz soru ALES SÖZEL ADAYLAR İÇİN SORU BANKASI Tamamı Çözümlü Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker ALES Sözel
Yazar Ali Karakuş Pazartesi, 17 Kasım 2008 20:03 - Son Güncelleme Perşembe, 25 Şubat 2010 14:36
SSK PRİMİ İŞVEREN PAYLARI 5 PUAN DÜŞÜRÜLDÜ - 17.11.2008 SGK Başkanlığı SSK Genel Müdürlüğü Prim Tahsilat Daire Başkanlığı tarafından 13.11.2008 tarihinde yayınlanan 2008-93 sayılı Genelge ile %20 olarak
Öncelikle tek girdili bir üretim fonksiyonu kullanarak karş laşt rmal dura¼ganl k analizini nas l
Hasan Şahin Matematiksel Iktisat Ders Notlar Firma Teorisi. Kar maksimizasyonu.. Tek Girdi Tek Ç kt Öncelikle tek girdili bir üretim fonksiyonu kullanarak karş laşt rmal dura¼ganl k analizini nas l gerçekleştirebilece¼gimizi
Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.
MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden
RİSKLİ YAPILAR ve GÜÇG
RİSKLİ YAPILAR ve GÜÇG ÜÇLENDİRME ÇALIŞMALARI Doç.. Dr. Ercan ÖZGAN Düzce Üniversitesi YAPILARDA OLU AN R SKLER N NEDENLER GENEL OLARAK 1. Tasar m ve Analiz Hatalar 2. Malzeme Hatalar 3. çilik Hatalar
2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.
EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden
ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
PROBLEM SET I ARALIK 2009
PROBLEM SET I - 5 09 ARALIK 009 Soru 1 (Besanko ve Braeutigam (00), sayfa 405): Aşa¼g da tam rekabet piyasas nda faaliyet gösteren bir rman n k sa dönem toplam maliyet fonksiyonu verilmiştir: Piyasa denge
Betonarme ve Prefabrik Yapılarda Risk Değerlendirmesi
Pamukkale Üniversitesi Betonarme ve Prefabrik Yapılarda Risk Değerlendirmesi Doç. Dr. Şevket Murat ŞENEL Araş. Gör. Mehmet PALANCi RİSK? Belli bir seviyenin üzerinde hasar oluşursa Belli bir şiddetin üzerinde
Öncelikle Markamıza göstermiş olduğunuz ilgiden dolayı teşekkür ederiz.
Sayın Prefix İş Ortağımız, Öncelikle Markamıza göstermiş olduğunuz ilgiden dolayı teşekkür ederiz. İşletmenize daha fazla kazanç sağlayabilmek, daha kaliteli ve daha süratli hizmet verebilmek için, mevcut
T.C. MALTEPE ÜNĠVERSĠTESĠ MÜHENDĠSLĠK FAKÜLTESĠ ENDÜSTRĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ LĠSANS PROGRAMI. 2011-2012 Güz Yarıyılı
T.C. MALTEPE ÜNĠVERSĠTESĠ MÜHENDĠSLĠK FAKÜLTESĠ ENDÜSTRĠ MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ LĠSANS PROGRAMI 2011-2012 Güz Yarıyılı LĠNEER CEBĠR MAT 283 6 AKTS 1. yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu 3 s/hafta Teorik: 3 s/hafta
Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon
Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
1. Mesaj Tipi ve Mesaj Fonksiyonu Bazında Bildirim Mail Adresi Tanımlama Đşlemleri
MERKEZĐ KAYDĐ SĐSTEM KULLANICI KILAVUZU MESAJ TĐPĐ VE MESAJ FONKSĐYONU BAZINDA BĐLDĐRĐM MAIL ADRESĐ TANIMLAMA Đçindekiler Đçindekiler... 2 1. Mesaj Tipi ve Mesaj Fonksiyonu Bazında Bildirim Mail Adresi
GAZİANTEP İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ TÜBİTAK 4006 BİLİM FUARLARI PROJE YÜRÜTÜCÜLERİ TOPLANTISI
GAZİANTEP İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ TÜBİTAK 4006 BİLİM FUARLARI PROJE YÜRÜTÜCÜLERİ TOPLANTISI TÜBİTAK 4006 BİLİM FUARI NEDİR? Yarışma ortamı olmadığı için öğrencilerimizin üzerindeki baskı kaldırılarak
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ YAZ OKULU YÖNERGESİ BİRİNCİ BÖLÜM
Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ YAZ OKULU YÖNERGESİ BİRİNCİ BÖLÜM MADDE 1 (1) Bu Yönergenin amacı, Gaziosmanpaşa Üniversitesi bünyesinde yaz okulunda uygulanacak olan
KİTAP İNCELEMESİ. Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri. Tamer KUTLUCA 1. Editörler. Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice AKKOÇ
Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 18 (2012) 287-291 287 KİTAP İNCELEMESİ Matematiksel Kavram Yanılgıları ve Çözüm Önerileri Editörler Mehmet Fatih ÖZMANTAR Erhan BİNGÖLBALİ Hatice
DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012. Hazırlayanlar. Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi
DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012 Hazırlayanlar Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi Laura D. Tyson, Kaliforniya Berkeley Üniversitesi Saadia Zahidi, Dünya Ekonomik Forumu Raporun
TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) HW II (Ozan Eksi)
TOBB-ETU, Iktisat Bölümü Macroeconomics II (IKT 234) HW II (Ozan Eksi) Mankiw 12-3: Iş yöneticileri/iş adamlar ve politika yap c lar ço¼gu zaman Amerikan Endüstrisinin rekabet edilebilirli¼gi (Amerikan
C Operatörler. Öğr. Gör. M. Ozan AKI. Rev 1.0
C Operatörler Öğr. Gör. M. Ozan AKI Rev 1.0 Operatörler Bir veya iki değişken ya da sabit arasında işlem yaparak yeni bir değer üreten ya da mevcut bir değişkenin değerinin değiştirebilen, işlem yapan
2015-2016 ÖZEL İZMİR AMERİKAN KOLEJİ KAYIT TAKVİMİ VE KILAVUZU : İNÖNÜ CADDESİ NO. 476, 35290 GÖZTEPE / İZMİR
2015-2016 ÖZEL İZMİR AMERİKAN KOLEJİ KAYIT TAKVİMİ VE KILAVUZU İRTİBAT ADRESİ : İNÖNÜ CADDESİ NO. 476, 35290 GÖZTEPE / İZMİR TELEFONLAR : 0232 355 0 555 FAX : 0232 355 0 411 http e-mail : www.aci.k12.tr
Hazine Müsteşarlığıdan (Sigortacılık Genel Müdürlüğü): 29/05/2014
Hazine Müsteşarlığıdan (Sigortacılık Genel Müdürlüğü): 29/05/2014 DERNEK, VAKIF, SANDIK VE DİĞER KURULUŞLARDAN BİREYSEL EMEKLİLİK SİSTEMİNE AKTARIMLARA İLİŞKİN GENELGE (2014/7) Bu Genelge, 19/7/2008 tarih
AKSARAY ÜNİVERSİTESİ. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar
AKSARAY ÜNİVERSİTESİ ÖNLİSANS VE LİSANS DÜZEYİNDEKİ PROGRAMLAR ARASINDA YATAY GEÇİŞ ESASLARINA İLİŞKİN YÖNERGE Amaç ve Kapsam MADDE 1 BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Bu Yönergenin amacı,
MERKEZ YÖNET M KAPSAMINDAK KAMU DARELER NDE DÖNEM SONU LEMLER. Ömer DA Devlet Muhasebe Uzman. www.omerdag.net
MERKEZ YÖNET M KAPSAMINDAK KAMU DARELER NDE DÖNEM SONU LEMLER Ömer DA Devlet Muhasebe Uzman I. Geçici Mizandan Önce Yap lacak lemler a) Faiz Tahakkuklar Dönen ve duran varl klar ana hesap grubu içindeki
İçindekiler Şekiller Listesi
1 İçindekiler 1.GĠRĠġ 3 2. Mekânsal Sentez ve Analiz ÇalıĢmaları... 4 3. Konsept....5 4. Stratejiler.....6 5.1/1000 Koruma Amaçlı Ġmar Planı.....7 6.1/500 Vaziyet Planı Sokak Tasarımı....7 7.1/200 Özel
2. Projelerle bütçe formatlar n bütünlefltirme
2. Projelerle bütçe formatlar n bütünlefltirme Proje bütçesi haz rlarken dikkat edilmesi gereken üç aflama vard r. Bu aflamalar flunlard r: Kaynak belirleme ve bütçe tasla n n haz rlanmas Piyasa araflt
ÖZEL İLETİŞİM VERGİSİ GENEL TEBLİĞİ (SERİ NO: 14) BİRİNCİ BÖLÜM
Nisan 0 SALI Resmî Gazete Sayı : 97 TEBLİĞ Maliye Bakanlığı (Gelir İdaresi Başkanlığı) ndan: ÖZEL İLETİŞİM VERGİSİ GENEL TEBLİĞİ (SERİ NO: ) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak Amaç MADDE () Bu Tebliğin