İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1
Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız Yarın yağmur yağacak mı? Yeni geliştirilen yöntem daha avantajlı mı? Yeni ilaç hastalığa çare olacak mı? Hangi deterjan kiri daha iyi çıkarıyor? Yıllık gelir ne olacaktır? Tahminleme ve karar verme, bilgiye yani gözlem ve verilere dayanan bilimsel yöntemlere dayanan bir süreçtir.
Tahminleme işlemini belirleyen formüle TAHMİNLEYİCİ denir. Formül uygulanınca ulaşılan değere TAHMİN adı verilir. Bir atıcının tabanca ile hedefe atış yapması örneği üzerinden: Tahminleyici=tabanca Tahmin=atılan her mermi Parametre=hedefte yer alan nokta 3
TAHMİN İstatistikte tahminlemenin iki çeşidi vardır. nokta tahmini, aralık tahmini (güven sınırları) 4
NOKTA TAHMİNİ Aritmetik ortalama, mod, medyan, harmonik ortalama veya örnek varyansının gibi hesaplanması sonucu elde edilen değerler nokta tahminidir. Nokta tahmini, tek değer ile ifade edilir. Örneğin öğrencinin not ortalamasının 75 olması 5
ARALIK TAHMİNİ Aralık tahmini, nokta tahminini kullanarak popülasyon parametresinin belirli bir olasılıkla içinde bulunacağı sınırların tahmini olarak tanımlanabilir. Tahmin edilmek istenen parametre µ, µ 1 -µ, p, p 1 -p olabilir. Not ortalamasına ait güven aralığının 70 ile 80 arasında olması gibi 6
GÜVEN KATSAYISI Tahminleyicinin tahminlenmek istenen parametreyi içine alma oranına tahminleyicinin GÜVEN KATSAYISI, tahminleyicinin kendisine GÜVEN ARALIĞI adı verilir. Katsayı z α/ Alt sınır Üst sınır 0.90 1.645 0.95 1.960 0.99.575 1.645 x 1.96 x.575 x z / x 1.645 x 1.96 x.575 x z / x 7
µ±1σ aralığı verilerin %68 ini µ±σ aralığı verilerin %95 ini µ±3σ aralığı verilerin %99 unu %68 %95 %99 8
Ortalaması µ, standart sapması σ olan bir popülasyondan her seferinde n gözlem içerecek şekilde yapılan örneklemeler sonunda: A) Ortalamanın beklenen değeri, popülasyon ortalamasına eşittir. µ σ 1 3 4 k 5 9
B) Ortalamaların standart sapması S n Ortalamaya ait örnekleme dağılımının örnekten tahmin edilen standart sapması veya ortalamanın standart hatası denir. S n 10
Örnek genişliği arttığı zaman ortalamaya ait örnekleme dağılımının standart sapması küçülmektedir. 4 ve 16 için hesaplayalım: S S 3 3 1.5 n 4 S S 3 3 n 16 4 0.75 11
C) Eğer n yeterince büyükse merkezi limit teoremine göre yaklaşık olarak normal dağılış gösterir. Serbestlik derecesi 4 olan ki-kare dağılışı N=4 N=3 1
GÜVEN ARALIĞININ BULUNMASI Populasyon Ortalamasının (μ) Güven Aralığı a) Populasyon varyansı (σ ) biliniyorsa, alt z / x üst z / x Eşitlikte; μ alt : Popülasyon ortalamasının alt limitini, μ üst : Popülasyon ortalamasının üst limitini, x : Aritmetik ortalamayı göstermektedir. : Populasyonun standart hatası olup, değerinden hesaplanır. α : Önem seviyesi veya I. Tip hata yapma olasılığıdır. Z : Cetvel değeri n 13
GÜVEN ARALIKLARI Populasyon Ortalamasının (μ) Güven Aralığı b) Populasyon varyansı bilinmiyorsa ve n 30 ise, z S alt / x z S üst / x Eşitlikte; μ alt : Popülasyon ortalamasının alt limitini, μ üst : Popülasyon ortalamasının üst limitini, S x : Aritmetik ortalamayı göstermektedir. : Örneğin standart hatası olup, değerinden hesaplanır. α : Önem seviyesi veya I. Tip hata yapma olasılığıdır. Z : Cetvel değeri S n 14
Bir fabrikanın günlük ortalama üretim miktarı tahminlenmek istenmektedir. Bu amaçla 50 güne ait kayıtlar kullanılmış, ortalama 871, standart sapma 1 hesaplanmıştır. Popülasyon ortalaması için %90 güven sınırlarını bulalım: %5 %90 %5? 0? z 15
z S 1.645 S / alt x x z S 1.645 S / üst x x 1 alt 8711.645 871 4.89 866.11 50 1 üst 8711.645 871 4.89 875.89 50 Tekrarlamalı örneklerden elde edilen güven aralıklarının %90 ı µ değerini içine alır 16
Merinos kuzulara ait doğum ağırlıklarının standart sapması σ=.4 kg olarak biliniyor. Bu sürüden şansa bağlı seçilen 16 kuzuya ait ortalama 3. dir. %95 güvenle popülasyon ortalamasının güven sınırlarını bulunuz.? 0? z 17
n.4 16.4 alt 3. 1.96.04 16.4 ust 3. 1.96 4.376 16 %95 güvenle merinos kuzularında doğum ağırlığı ortalaması.04 ile 4.376 arasında olması beklenir. 18
Bir popülasyondan çekilen 300 birimlik bir örneğe ait ortalama 40 ve standart sapma ise 6 olarak hesaplanmıştır. Popülasyon ortalamasının 39<µ<41 sınırları içinde kalması için güven düzeyi ne olmalıdır? 6 z / S 40 z / 40 / 0.35 40 x z 300 1 z 0.35 1 z z / / / 0.5 0.4979 0.001 / 0.001 1.86 0.35.86 0.4979 0.004 1 0.9958 19
Populasyon Ortalamasının (μ) Güven Aralığı c) Populasyon varyansı bilinmiyorsa ve n < 30 ise, Eşitlikte; μ alt : Populasyon ortalamasının alt limitini, μ üst : Populasyon ortalamasının üst limitini, S x t S alt n1, / t S üst n1, / : Aritmetik ortalamayı göstermektedir. : Örneğin standart hatası olup, değerinden hesaplanır. α : Önem seviyesi veya I. Tip hata yapma olasılığıdır. t : (n-1) serbestlik dereceli, α önem seviyesindeki t cetvel değeridir. S n 0
T tablosu 1
Altı hastanın kanında saptanan hormon miktarı ortalaması 0.530, standart sapması 0.0559 olarak hesaplanmıştır. Hasta insanların kanında bulunan hormon miktarının popülasyon ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.? 0? t
t S alt n1, / 0.0559 0.530.571 6 0.530 0.059 0.471 t S ust n1, / 0.0559 0.530.571 6 0.530 0.059 0.589 3
İncelenen 10 bitkinin çilek verimleri aşağıdadır. Çilek bitkilerinin ortalama verimine ait %95 lik güven aralığını hesaplayınız. 39 176 35 17 34 16 318 190 181 5 S 31 3.1 10 163.99 t9,0.05s 3.1.6 3.1 8.9 40.41 10 194.1 ile 5 aralığı %95 olasılıkla populasyon ortalaması olan µ yü içine 4 almaktadır.
Şarjlı pillerin dayanma sürelerinin normal dağılış gösterdiği bilinmektedir. Yedi pile ait dayanma süreleri 3, 15, 17, 4, 0, 6, 8 saat saptandığına göre şarjlı pillerin dayanma sürelerine ait ortalamanın %99 luk güven aralığını bulunuz. 1.86 S.48 S 4.74 t S 6;0.005 1.86 3.7071.79 S 4.74 1.79 7 1.86 6.63 15. ile 8.50 saat aralığı %99 olasılıkla popülasyon ortalaması olan µ yü içine almaktadır. 5
İki Ortalama Arasındaki Farka Ait Güven Aralığı a) Populasyon varyansları σ 1 ve / veya σ biliniyorsa, ( 1 ) alt 1 z / n n 1 1 ( 1 ) üst 1 z / n n 1 1 b) Populasyon varyansları σ 1 ve / veya σ bilinmiyorsa ve n 1 ve/veya n 30 ise, 1 S S ( 1 ) alt 1 z / n n 1 1 S S ( 1 ) üst 1 z / n n 1 6
İki otomobil lastik fabrikasının üretim kalitesi karşılaştırılmaktadır. Her iki fabrikadan 100 lastik alınmış ve teste tabi tutulmuştur. Lastiklerle yapılan yollar km olarak saptanmış ve bu değerlerden ortalama ve standart sapma hesaplanmıştır. %99 için güven aralığını bulunuz? ( 1 ) için nokta tahmini 1 6400 S S 1 5100 1440000 1960000 1 6400 5100 1300 1440000 1960000 34000 184 100 100 S1 S 1440000 1960000 ( 1 ) alt 1 z / 1300.575 n n 100 100 1 ( ) 1300.575 184 86 1 alt S1 S 1440000 1960000 ( 1 ) üst 1 z / 1300.575 n n 100 100 1 ( ) 1300.575 184 1774 1 üst 7
İki Ortalama Arasındaki Farka Ait Güven Aralığı c) Populasyon varyansları σ 1 ve / veya σ bilinmiyorsa ve n 1 ve n 30 ise, 1 1 ( 1 ) alt 1 t n 1 n S, / n1 n 1 ( ) üst n n 1 1 1 t S 1, / n1 n Eşitlikte, S ortak (birleştirilmiş) varyans olup, S n 1S n 1 1 n 1 1 n S Şeklinde hesaplanır. 8
Erkek ve dişi kuşların ağırlık istatistikleri aşağıdaki gibidir. İki cinsiyetin ağırlık ortalamaları arasındaki fark için %95 lik güven sınırlarını bulunuz. Cinsiyet n Ortalama Varyans Erkek 10 90.80 55. Dişi 9 81.5 66. n 1 S n 1 S 955. 866. 106.4 n n 10 9 17 S 1 1 60.38 1 S 1 1 1 1 1 60.38 1.747 3.57 n1 n 10 9 S 1 n n t S 1, / 1 1 n1 n 90.80 81.5.110 3.57 9.8 7.53 9
İki ayçiçeği varyetesine ait bilgiler aşağıdaki gibidir. İki ayçiçeği varyetesinin ortalamaları arasındaki farkın %95 lik güven sınırlarını bulunuz. Varyete n Ortalama S A 10 3 14 B 15 6 16 n 1 S n 1 S 914 1416 n n 10 15 1 1 S 3.5 1 S 1 1 1 1 1 3.5 6. n1 n 10 15 S 1 n n 3 6.069 6. t S 1, / 1 1 n1 n -6.87 ile 18.87 arasında 30
Oranlara Ait Güven Aralığı Belli bir oran yada % şeklinde ifade edilen değerlerle ilgili güven aralığı hesaplanırken kullanılır. pq ˆˆ. p ˆ üst p z /. p ˆ alt p z /. n pq ˆˆ. n Eşitlikte; pˆ n formülünden hesaplanıp, değeri n bireylik bir gruptan çekilen örnek sayısıdır. pˆ qˆ 1 31
Bir margarinin kullanım oranını belirlemek için yapılan araştırmada şansa bağlı 100 kişiye sorulmuş ve 59 tanesi margarini kullandığını bildirmiştir. x 59 pˆ 0.59 n 100 pq ˆˆ. 0.59 0.41 n 100 0.049 P üst pˆ Z. / pˆ. qˆ n P 0.59 1.96 0.049 0.686 üst P alt pˆ Z. / pˆ. qˆ n P 0.59 1.96 0.049 0.494 alt Bu aralık % 95 olasılıkla p değerini kapsamaktadır. 3
Z 0.00 0.01 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.010 0.0160 0.0199 0.039 0.079 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0. 0.0793 0.083 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.106 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.117 0.155 0.193 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.168 0.1664 0.1700 0.1736 0.177 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.019 0.054 0.088 0.13 0.157 0.190 0.4 0.6 0.57 0.91 0.34 0.357 0.389 0.4 0.454 0.486 0.517 0.549 0.7 0.580 0.611 0.64 0.673 0.704 0.734 0.764 0.794 0.83 0.85 0.8 0.881 0.910 0.939 0.967 0.995 0.303 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.31 0.338 0.364 0.389 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.361 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.379 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1. 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.395 0.3944 0.396 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.403 0.4049 0.4066 0.408 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.416 0.4177 1.4 0.419 0.407 0.4 0.436 0.451 0.465 0.479 0.49 0.4306 0.4319 1.5 0.433 0.4345 0.4357 0.4370 0.438 0.4394 0.4406 0.4418 0.449 0.4441 1.6 0.445 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.455 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.458 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.465 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.476 0.473 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767.0 0.477 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.481 0.4817.1 0.481 0.486 0.4830 0.4834 0.4838 0.484 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857. 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916.4 0.4918 0.490 0.49 0.495 0.497 0.499 0.4931 0.493 0.4934 0.4936.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.495.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.496 0.4963 0.4964.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.497 0.4973 0.4974.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981.9 0.4981 0.498 0.498 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 34
T tablosu 35