Deney No : M2 Deneyin Adı : İKİ BOYUTTA ESNEK ÇARPIŞMA Deneyin Amacı : İki boyutta esnek çarpışmada, enerji ve momentum korunum bağıntılarını incelemek, momentumun vektörel, enerjini skaler bir büyüklük olduğunu deneysel olarak göstermektir. Teorik Bilgi : Mekanik Enerjinin Korunumu Enerji skaler bir büyüklük olup kinetik enerji ve potansiyel enerji olarak ikiye ayrılır. Aşağıda, U ile potansiyel, K ile kinetik enerji gösterilmektedir. Etkileşmeden önceki durumlar ilk, sonrakiler ise son alt indisi ile gösterilmiştir. İş enerji teoremine göre, bir cismin kinetik enerjisindeki değişiklik, cismin üzerindeki net kuvvetin yaptığı işe eşittir. 3.1 Cismin üzerinde yalnız korunumlu kuvvetlerin iş yaptığın düşünelim. Korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş, yoldan bağımsız olup, potansiyel enerjideki değişikliğin zıt işaretlisine eşittir. Bu sonuçları birleştirirsek, 3.2 elde ederiz. Bu son ifade yeniden düzenlenirse, 3.3 elde edilir. Burada, sol taraftaki terim, çarpışmadan sonraki toplam enerji, sağ taraftaki terim ise çarpışmadan önceki toplam enerjidir. Yani; olmak üzere; 3.4 elde edilir. Eğer yalnız korunumlu kuvvetler iş yapmakta ise, sistemin mekanik enerjisi korunur, yâni zamanla değişmez. 3.4 denklemi 1,2 ya da 3 boyuttaki bir sistemin mekanik enerjisinin korunumunu ifade etmektedir. Bu bağıntı, cismin hızı ile konumunu bağlamaktadır. Cismin hareketi boyunca hem kinetik hem de potansiyel enerji değişir ama toplamları değişmez. Enerjinin korunumu yasası, yalıtılmış bir sistemde toplam enerjinin korunduğunu söyler. Bu ifâdeyi şeklinde yazmak mümkündür. Momentumun Korunumu Kütlesi m ve hızı olan bir parçacığın momentumu, kütle ile hız vektörünün çarpımı olarak tanımlanır. 3.5 Momentum, vektörel bir niceliktir. Newton un ikinci yasası, aşağıdaki şekilde yazılabilir. 3.6 Üstüne etkiyen dış kuvvet sıfır olan bir sistem düşünelim. O zaman, aşağıdaki eşitlik elde edilir. 3.7 Bu, momentumun zamanla değişimi sıfırdır veya momentum zamanla değişmiyordur demektir. Yani, bu sistem için herhangi bir başlangıç anındaki momentum ile herhangi bir bitiş anındaki momentum aynıdır. Diğer bir deyişle sistemin momentumu korunur. Eğer kuvvet özdeş olarak 0 değil de yalnızca bileşenlerden biri, meselâ F y, sıfır olsun. Newton yasasını bileşenlerine açarak yazalım: 3.8
; ; Görüldüğü üzere bu denklemlerden birinci ve üçüncüsünün çözümü aşikâr değildir; kuvvet bileşenlerine açık şekline bağlıdır. Fakat ikinci denklemin çözümü kolaydır: P y = sabit. Yâni kuvvet bileşenine tekabül eden momentum korunur. Bundan başka, kapalı bir parçacıklar sisteminde, yâni dışarıdan bir kuvvetin etki etmediği, sâdece parçacıklararası etkileşimin vârolduğu bir sistemde sistemin toplam momentumu korunur. (Bkz. Proble) Burada sistemin toplam momentumu ile momentumların vektörel toplamı anlaşılmalıdır.,,... m N kütlenin oluşturduğu N parçacıklı bir sistem yukarıdaki sonuca dayanarak genelleştirilebilir. Parçacıkların oluşturduğu böyle bir sistemin herhangi bir andaki toplam momentumu şöyle yazılabilir: Burada,,... ve benzeri olur. Denklem (3.9) deki toplama vektörel bir toplama işlemidir. Bu durumda denklem (3.6) genelleştirilirse; 3.9 olur. Burada, parçacıkların oluşturduğu sistemdeki net dış kuvvet anlamına gelir. Yani parçacıkların oluşturduğu sistemde birbirleri üzerindeki kuvvet (parçacıkların kuvvetleri), etkilerinden farklı bir kuvvettir. Bu dış kuvvetler sürtünme ve yerçekimi olabilir. Bu yüzden parçacıkların oluşturduğu sisteme hiçbir net dış kuvvet etki etmiyorsa, sistemin toplam momentumu korunacaktır. Yani; Yine yukarıdaki toplama vektörel bir işlemdir. Hiçbir net kuvvetin etki etmediği parçacıkların oluşturduğu bir sistemin ya da izole edilmiş bir sistemin toplam momentumu zamanın herhangi bir anında aynı olacaktır. Belli şartlar altında zamanla değişmeyen enerji, momentum gibi niceliklere hareket sâbitleri denir. Bu sâbitler hareket denklemlerinin çözülmesini kolaylaştırırlar. İki kütlenin bir düzlemde esnek çarpışma yapması sonucu, dikey ve yatay eksenlerdeki momentum ve enerji korunum ifadeleri aşağıdaki şekilde ifade edilir. Momentum yatay ; 3.10 Momentum - düşey ; 3.11
3.12 Kinetik enerji; Bu deneyde karşılaşılacak ve araştırılacak bir başka kavram da kütle merkezidir (KM). Kütle merkezinin, türdeş küp, silindir, küre veya bunlar gibi simetrik nesnelerin geometrik merkezlerinde olabileceğini tahmin edebilirsiniz. Aynı kütleye sahip simetrik cisimlerin kütle merkezi, merkezlerini birleştiren bir doğrunun tam orta noktası olacaktır. Ama cisimlerden biri daha ağır ise; o zaman kütle merkezi ağır olan cisim tarafına doğru kayacaktır. Farklı şekillerdeki kütle dağılımları için kütle yeniden tanımlanmalıdır. Konum vektörleri olan,,...,m N kütlelerine sahip N parçacıklı bir sistemin kütle merkezinin konum vektörü eşitlik 3.12 de olduğu şekilde tanımlanır; Burada vektörleri herbir parçacık için koordinat merkezine göre konum vektörü ise sistemin kütle merkezinin konum vektörünü ifade etmektedir. Zamanla parçalar pozisyonunu değiştirirse, KM nin de pozisyonu değişir ve KM nin vektörel değişim oranı KM nin hızı olarak düşünülebilir. 3.13 Sabit kütleli parçalar için, denklem (3.13) eşitliğinin her iki tarafının türevini aldığımızda; 3.14 3.15 denklem (3.16) yı elde ederiz. Denklem (3.15) teki noktalar zaman göre türev anlamına gelir ki bunlar kütlelerin sahip oldukları hızlardır. Yukarıdaki oluşan denklemler deneyimizdeki iki diskli sistemimize uygulandığında; 3.16 ve disklerin kütleleri eşit olduğudan = = m kütleleri sadeleştirdiğimizde denklem (3.17) elde edilir. O halde denklem (3.17) de konum vektörlerinin zamana göre türevleri alınırsa, KM nin hızı; olur. 3.16 3.17
Yukarıdaki denklemin önemli sonuçları vardır. Momentum korunurken, KM nin hızınında bu koşullarda sabit (sabit hız, büyüklük ve yönde değişmezlik) olduğu anlamına gelir. Böylece toplam momentumun korunduğu izole edilmiş bir sistem için sistemin KM si daima sabit hızla doğrusal hareket eder. Bu nedenle çarpışmadan önce ve sonra iki diskli sistemimiz için şöyle olmalıdır. Deneyin Yapılışı : Şekil 3.1 Deney yapacağımız düzenekte, sürtünmeyi mümkün olduğunca en az hale getirmek için bir adet hava masası kullanmaktadır. Masanın üzerinde bir adet karbon kâğıdı ve onun üzerinde parçacıkların yörüngelerini kıvılcım üreteci sayesinde işaretleyebileceğimiz bir beyaz kâğıt serilidir. 1. Hava masası üzerinde hava pompası ve kıvılcım üretecine bağlı olan hortumlara iki adet kızak takılıdır. Kızaklardan bir tanesini masanın merkezinde mümkün olduğu kadar sabitleyiniz. Bu pratik olarak biraz zordur. Diğer kızağa da istediğimiz herhangi bir açıdan, ıstaka ile vurarak iki kızağın esnek çarpışma yapmasını sağlayın. Çarpışma için bir diğer seçenek ise kütleleri el yardımıyla hafifçe sürükleyip bırakarak masanın ortasında çarpışmasını sağlamak olabilir. Uygun bir çarpışma açısı ve veri elde edebilmeniz için birkaç deneme yapınız, bu denemeler süresince kıvılcım üretecinin pedalına basmayınız! Yaptığınız denemelerden sonra deney için artık hazırız. Burada dikkat edeceğiniz bir nokta, hareketi başlattığınız an kıvılcım üretecinin pedalına basmak ve kızaklar kenarlara çarpana kadar pedalı basılı tutmaktır. Bu şekilde kâğıdın arka yüzünene hareketlerin yörüngeleri iz bırakacaktır. Eğer pedalı uzun süre basılı tutarsanız kağıdınızdaki noktalar birbirine karışabilir. Bir diğer nokta ise kızakların kafa kafaya çarpışmamalarını sağlamaktır. Böylece açılarda belirgin değişiklikler olacaktır. Bu açı ölçümündeki hatâları azaltacaktır. 2. Veri kâğıdını kaldırınız ve oluşan noktaları dikkatle gözden geçiriniz. Her iki disk için noktaları 0, 1, 2,... ve benzeri şekilde numaralandırınız. Çarpışmaya yakın bölgede çarpışma
öncesi ve sonrası için her bir kütle için aynı zaman aralığına denk gelen 4 veya 5 ardışık nokta belirleyiniz. Şekil 3.2 3. Lineer momentumun korunumunu gözlemleyebilmemiz için kızakların çarpışmadan önceki ve sonraki hızlarını dolayısıyla momentumlarını belirleyebilmemiz gerekir. Bunun için ilk olarak çarpışmadan önceki yörüngelerin izlerine göre koordinat merkezlerini belirleyin. Yörüngelerin izlerine göre belirlediğiniz koordinat merkezlerini kullanarak çarpışmadan önce ve sonrası için kızakların hareket doğrultusundaki yer değiştirmeleri ile yatay (x) ve düşey (y) eksenlere olan izdüşümlerini belirleyiniz ve mesâfeleri cetvel ile ölçüp aşağıdaki tablolara kaydediniz. Kütle merkezinin hareketi; Çarpışmadan önce ve sonra zamanın aynı anında oluşan noktaları tanımlayınız ve bunları birleştirerek her noktalar çiftini birleştiren çizgi boyunca KM nin konumunu belirleyiniz. Bunu yaparken, çarpışma süresince KM nin konumunu belirleyen kaydı elde edeceksiniz Yukarıda KM için elde ettiğiniz kaydı kullanarak çarpışmadan önceki ve sonraki hızı ve momentumu bulunuz. Çarpışmadan önce; Çarpışmadan önce ΔS (m) Δx (m) Δy (m) ΔS KM (m)
Çarpışmadan sonra; Çarpışmadan sonra ΔS (m) Δx (m) Δy (m) ΔS KM (m) 4. Momentum ve kinetik enerji bağıntıları için kütle ve hız değerlerine ihtiyacınız olacaktır. Kızakların kütlelerini digital terazi yardımıyla ölçünüz. =... kg =... kg 5. Kıvılcım üretecinin frekans değerini kaydediniz, periyot değerini bulunuz. Frekans =... ( ) periyot =... ( )
Hesaplamalar 1. Kızakların hız değerlerini elde etmek için o doğrultudaki yerdeğiştirme değerleri ve zamanı ölçmeniz gerekecektir. Zamanları, ölçtüğünüz mesafedeki iz sayılarını ve kıvılcım üreteci üzerindeki frekans değerini kullanarak bulabilirsiniz. Elde ettiğiniz yerdeğiştirme ve zaman değerlerini kullanarak hız değerlerini hesaplayınız ve değerleri aşağıdaki tablolara kaydediniz. Çarpışmadan önce; v 1 =... ( ) v 2 =... ( ) v x1 =... ( ) v x2 =... ( ) v y1 =... ( ) v y2 =... ( ) v KM =... ( ) Çarpışmadan önce t (s) v (m/s) v x (m/s) v y (m/s) v KM (m/s) Çarpışmadan sonra; v 1 =... ( ) v 2 =... ( ) v x1 =... ( ) v x2 =... ( ) v y1 =... ( ) v y2 =... ( ) v KM =... ( )
Çarpışmadan sonra t (s) v (m/s) v x (m/s) v y (m/s) v KM (m/s) 2. Deney sırasında ölçtüğünüz kütle ve yukarıda elde ettiğiniz hız değerlerini kullanarak momentum ve enerji değerlerini hesaplayarak aşağıdaki tablolara kaydediniz. Çarpışmadan önce; P 1 =... P 2 =... P x1 =...... P x2 =...... P y1 =... P y2 =... P KM =... E 1 =... E 2 =... Çarpışmadan önce P (kg/s) P x P y P KM E (kg /s 2 ) Çarpışmadan sonra; P 1 =... P 2 =... P x1 =...... P x2 =...... P y1 =... P y2 =...
P KM =... E 1 =... E 2 =... Çarpışmadan sonra P (kg/s) P x P y P KM E (kg /s 2 ) 3. İki kütlenin bir düzlemde esnek çarpışma yapması sonucu, düşey ve yatay eksenlerdeki momentum ve enerji korunum ifadeleri eşitlik 3.9-11'de verilmiştir. Yukarıdaki enerji ve momentum korunum bağıntılarını deneysel olarak sağlayınız. Momentum yatay ; Momentum Düşey ; Kinetik Enerji ; Yukarıdaki enerji korunum bağıntılarında neden potansiyel enerji ifadesi yer almamaktadır? Açıklayınız.
Eğer değerlerinizde herhangi bir hata varsa bu hatanın deneyde nereden kaynaklanmış olabileceğini tartışınız. Proble Kapalı bir parçacıklar sisteminde sistemin toplam momentumu korunur. Gösteriniz.