matematiksel eşitliğin her iki tarafındaki birim eşitliği kullanılarak a ve b sayılarına ulaşılır.

Transkript

1 Soru 1- Kuzey istikametinde 8m giden bir aracın, sonrasında 6m doğuya ve 10m güneye ilerlediği görülüyorsa, bu aracın hareketi boyunca aldığı toplam yol ve yerdeğiştirmesi kaç metredir? Cevap 1-8m Harekete başlangıç noktası y 6m -y y 10m Bileşke vektör=r x Bilindiği gibi yol skaler bir nicelik; yani sadece bir büyüklük değerini ifade eder. Fakat,yerdeğiştirme vektörel bir nicelik olup; yön, büyüklük ve doğrultuyu bir arada gösterir. Vektörlerle yönleri gösterilen hareketli için toplam yol sanki bir arabanın kat ettiği yol gibi x= =4m olarak ifade edilirken; toplam yer değiştirme sanki bir uçağın gittiği direkt mesafe olarak maviyle gösterilen bileşke vektörden bulunur. -m θ 6m x R= 6i j şeklindede yazılabilir. Burada R, i ve j birer vektördür. R = 6 + = 36+4 = 40 m -y Yönü ise güneydoğu yönünde tanθ= -m/6m=-3 ise θ= arctan(-3) = derecedir. Soru - Sabit bir ivmeyle +x doğrultusunda hareket eden bir aracın yerdeğiştirmesi eğer Δx= υ o t a + 1/ (a.t b ) olarak veriliyorsa, birimsel analiz kullanarak a ve b katsayılarının değerini bulunuz. Cevap - Δx= υ o t a + 1/ (a.t b ) Formülündeki terimlerin tek tek birimlerini yazdığımız takdirde, matematiksel eşitliğin her iki tarafındaki birim eşitliği kullanılarak a ve b sayılarına ulaşılır. Δx= υ o t a + 1/ (a.t b ) birimler yerine tek tek konursa: m= (m/s).(s) a + (m/s ).(s b ) Buradan a=1 ve b = olacağı hemen görülebilir; zira metre = metre birimsel eşitliğine hemen ulaşılır.

2 Soru Yukarıdaki grafikte υ i =100 m/s ilk hızıyla fırlatılan cismin x ve y eksenlerindeki bileşkeleri υ xi ve υ yi olarak gösterilmiştir. Bu iki vektör arasındaki açı ise θ i =37 o olarak verilmiştir. Görüldüğü üzere cisim zirvedeki C noktasına ulaştığı zaman hızının y ekseni bileşeni 0 olmaktadır. Hızın x bileşeni υ xi ise tüm hareket süresince sabittir. [cos( 37 o )=0.8, sin(37 o )=0.6 ve g= 10m/s alınız.] Yukardaki detaylı bilgiler ışığında bu cismin ulaşacağı maximum yüksekliği, A-E arasını alması için gereken toplam süreyi ve A-E arası toplam mesafeyi (menzil) bulunuz. Cevap Bu soruyu sadece 3 formül ve soruda verilen bilgiler ışığında çözebiliriz. υ y = υ yi -gt formülünü A ve C noktalarındaki hızları kullanarak yazarsak: C noktasında, y eksenindeki son hız υ y =0 ve A noktasındaki düşey doğrultudaki ilk hız υ yi = υ y.sin(37 o )=100. (0.6) = 60m/s olduğu açıktır. υ y = υ yi -gt çıkış = 0=60-(10.t) ise t=6s 'dir. Δy = υ yi.t çıkış (1/.g.t çıkış ) veya υ y = υ yi -g Δy formülleri ile Δy= y - y 1 değerine; yani harekete başlandığı t=0 anında y 1 =0 metre kabul edilirse, direkt yüksekliği veren y değerine ulaşılır. Δy= y - y 1 = y - 0= υ yi.t çıkış (1/.g.t çıkış ) =(60.6)-(1/ )=180m = maximum yükseklik Unutmayalımki, bulduğumuz 6s lik süre sadece max. yüksekliğe çıkış süresidir. Buda ana yolun tam yarısına tekabül eder. Tüm yolu için geçen süre.t çıkış = t uçuş =.6=1s olarak verilir. υ xi = υ x.cos(37 o )=100. (0.8) = 80m/s ise x= υ xi. t uçuş =80m/s. 1s =960 metre = A-E arası mesafe Soru 6)- A ve B vektörleri sırasıyla; A= i +5j ve B= 3k+4i ise bu iki vektörün nokta ile gösterilen A.B ve B.A skaler çarpımlarını bulup, aralarındaki ilişkiye dikkat ediniz. Cevap 6)- Öncelikle şu skaler çarpım kuralı hatırlanmalıdır: i.i= i. i.cosθ=1.1.cos0 o =1.1.1=1 veya i.j= i. j.cosθ=1.1.cos90 o =1.1.0=0 Yukarıdaki iki örnek sadece i, j ve k gibi sırasıyla xö y ve z eksenlerinde bir birim büyüklüğündeki birim vektörlerin skaler çarpımları hakkında kısa bir hatırlatma niteliğindedir. A.B= (i +5j).(3k+4i ) = 6.i.k+8.i.i+15.j.k+0.j.i = =8 gibi skaler bır sonuç bulunur. B.A= (3k+4i ).(i +5j) = 6.k.i+15.k.j+8.i.i+0.i.j = =8 Buradan A.B=B.A bulunmaktadır.

3 Soru 7)- A ve B vektörleri sırasıyla; A= i +3j ve B= 4k-5j ise bu iki vektörün x ile gösterilen AxB ve BxA vektörel çarpımlarını bulup, aralarındaki ilişkiye dikkat ediniz. Yöntemlerden birisi olarak, i x j=k, j x k=i ve k x i =j olduğu hatırlanmalıdır. Saat yönündeki çarpımlar yukardaki gibi pozitif bir vektör verir. Tersi yönse negatiftir. Aşağıdaki hatırlatıcı diagram size kolaylık sağlayacaktır. Ok yönünün tersi negatif işaretli sonucu verecektir. Tıpkı, kxj=-i ve jxi=-k 'da olacağı gibi. Bir diğer durum ise: i x j= i. j.sinθ=1.1.sin90 o =1 veya i x i= i. i.sinθ=1.1.sin0 o =1.1.0=0. Dikkat edileceği gibi skaler ve vektörel çarpımlar birbirinden tamanen farklı işlemlerdir ve birbiriyle karıştırılmamalıdır. + k i + j + cevap=axb=(i +3j ) x (4k-5j)= 8.(i x k)- 10.(i x j) + 1.(j x k)- 15.(j x j)=8.(-j)-10.(k)+1.(i)-15.0 cevap= -8j -10k+1i gibi vektörel bir sonuç bulunur. cevap=bxa=(4k-5j) x (i +3j )= 8.(k x i)+1.(k x j) -10.(j x i)- 15.(j x j)=8j-1i-[10.(-k)]- [15.0] cevap=8j-1i+10k gibi vektörel bir sonuç bulunur. İki cevap karşılaştırıldığında ise AxB = - (BxA) olarak birbirinin tersi iki vektör bulunur. Soru 8)- Aşağıda pozitif ve negatif yönde bazı konum-zaman grafikleri verilmiştir. A, B, C, D, E ve F hareketlerini sırasıyla isimlendiriniz. A)_ Konum B)_ Konum C)_ Konum D)_ E)_ F)_

4 Soru 9)- Aşağıda pozitif ve negatif yönde bazı hız-zaman grafikleri verilmiştir. A, B, C, D, E ve F hareketlerini sırasıyla isimlendiriniz. A) B) C) D) E) F) Soru 10)- Aşağıda pozitif ve negatif yönde bazı ivme-zaman grafikleri verilmiştir. A, B, C, D, E ve F hareketlerini sırasıyla isimlendiriniz. A) B) C) D) E) F) t

5 Cevap 8,9, 10 ) A grafiği pozitif yönde düzgün hızlanan doğrusal hareket B grafiği pozitif yönde düzgün yavaşlayan doğrusal hareket C grafiği pozitif yönde sabit hızlı hareket D grafiği negatif yönde düzgün hızlanan doğrusal hareket E grafiği negatif yönde düzgün yavaşlayan doğrusal hareket F grafiği negatif yönde sabit hızlı hareket Soru 11) Aşağıdaki grafikte bir yarış arabasının çeşitli miktarlarda yaptığı yer değiştirme ve dolayısıyla farklı ivmelenme şekilleri görülmektedir. A, b ve c şıklarındaki hareketleri ivme ve hareketlerinin yönünü kıyaslayarak inceleyiniz. Cevap 11 )- (a) Sabit hızla yani ivmesiz olarak hareket eden bir arabayı göstermektedir. (b) Sabit ivmesi, hızı ile aynı yönde olan bir arabanın hareket diyagramını göstermektedir. (c) Sabit ivmesi, hızı ile zıt yönde olan bir arabanın hareket diyagramını göstermektedir. a=0 a pozitif a negatif

6 Soru 1 )- r1 Parçacığın aldığı yol a t a a r1 a r a r3 a 1 a t3 ν hızı a t1 r a 3 r3 Yukarıda alışılmışın dışında düzgün olmayan dairesel hareket yapan cismin A, B ve C noktalarındaki yarıçaplar, teğetsel ve radyal ivmeler ile toplam ivmeleri verilmiştir. Cismin tüm hareketi boyunca artan bir hızla daima harekete teğet olan hız A'da ν, B'de ν ve C noktasında 3ν 'dir. Eğer r 3 =3r> r =r> r 1 =r ilişkisi mevcut ise cismin teğetsel (a t ), radyal (a r ) ve toplam ivme(a) türlerini büyüklükçe sıralayınız. Cevap 1)_ radyal ivme =a r =ν /r, teğetsel ivme = a t = dν /dt, toplam ivme ise a= a r + a t vektörel toplamından a = a r + a t büyüklük ilişkisine varılır. Eğer bu formülleri kullanırsak sonuca kolayca ulaşabiliriz. a r1 =ν /r, a r = (ν) / r = ν /r, a r3 = (3ν) / 3r = 3ν /r ise a r3 > a r > a r1 a t1 = dν /dt, a t = d(ν) /dt= dν /dt, a t3 = d(3ν) /dt = 3dν /dt ise a t3 > a t > a t1 Dolayısıyla toplam ivmelerde, hesaplamaya gerek duyulmadan a 3 >a >a 1 olarak bulunur. Soru 13 ) Newton'un 1.,. ve 3. hareket yasalarini ayrı ayrı açıklayınız. Cevap 13 ) Cevap için ders notlarına bakınız.