ZAMAN SERİLERİ EKONOMETRİSİ I: DURAĞANLIK, BİRİM KÖKLER ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Bir zaman serisi, bir değişkenin zaman içindeki hareketini gözlemler. Değişkenlere ilişkin değerler aylık, üç aylık, yıllık olabildiği gibi, haftalık hatta günlük de olabilir. Aylık işsizlik oranları, yıllık enflasyon oranları vb. TEMEL KAVRAMLAR Ekonometrik bir çalışmada model içerisinde ele alınan değişkenler arasındaki ilişki analiz edilirken, elde edilen sonuçların iktisadi, istatistiksel ve ekonometrik açıdan tutarlı olmaları gerekir.
ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Model tahminleri birtakım amaçlar için yapılır: Bu amaçlar, yapısal analiz, Geleceği tahmin etme (öngörü)dir. Yapısal analiz, iktisadi teorilerin test edilmesi, Geleceği tahmin etme(öngörü) ise, tahmin edilen modele dayanarak, bağımlı değişkenlerin ileride alacağı değerlerin belirlenmesidir. Eğer bir zaman serisi analizi tek değişkenin zaman içindeki hareketi inceleniyorsa tek değişkenli zaman serisi (univariate), Eğer birden fazla değişkenin birlikte zaman içindeki değişimini gözlemliyorsa çok değişkenli zaman serisi (multivariate) adını alır.
ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Zaman serileri random (tesadüfi) değişkenlerle yani stokastik (olasılık kurallarına bağlı) değişkenlerle çalışır. Bir zaman serisinin deterministik ya da stokastik özelliklerinin incelenerek dikkate alınması önemlidir. Deterministik özellikler; sabit katsayı, trend ve mevsimselliğin varlığını ortaya koyarken, Stokastik özellik; değişkenin durağanlığı (stationary) ile ilgilidir. Bir zaman serisinin durağan olması, zaman içinde belirli bir değere doğru yaklaşması, daha açık bir ifadeyle, sabit bir ortalama, sabit varyans ve gecikme seviyesine bağlı kovaryansa sahip olmasıdır.
ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Zaman serileri hem bir bilgi edinme kaynağı, hem de geleceği bilmeye yarayan yöntem olarak değerlendirildiğinde, serilerde zaman içindeki büyüme eğilimin, trend, mevsimsellik, konjonktürel ve düzensiz dalgalanmalar anlamında ayrıştırılması önemlidir. Y = T + C + S + I Modelde, T: Trend, C. Konjonktürel, S: Mevsimsellik modelin deterministik kısmını, I:stokastik kısmını ifade etmektedir. Değişkenlerin seyrini zaman içinde yakalayabilmek ve bu seyri doğru tanımlayabilmek için yukarıda sözü edilen bileşenlerinden ayrıştırmaya gidilmesi gerekir.
STOKASTİK ZAMAN SERİLERİNİN ÖZELLİKLERİ VE DURAĞANLIK Stokastik bir süreç izleyen zaman serilerinde, serinin durağan(stationary) olup olmadığı çok önem kazanmaktadır. Stokastik veya random bir değişkenin zaman içinde ortalaması, varyansı ve otokovaryansının sabit olmasına durağanlık denir. Serinin değerlerinin belli bir değere yaklaşmasını ya da beklenen değeri etrafında dalgalandığını ifade eder. Eğer bir stokastik süreç durağan değilse, serinin davranışı sadece ele alınan tahmin dönemi için geçerli olacaktır. Ancak seri hakkında diğer dönemler için bir genelleme yapılamayacak ve değişkene verilecek şok kalıcı olacaktır.
STOKASTİK ZAMAN SERİLERİNİN ÖZELLİKLERİ VE DURAĞANLIK E(Y t ) = µ Ortalama (tüm t ler için) Var(Y t ) = E(Y t -µ) 2 =σ 2 Varyans (tüm t ler için) Cov(Y t,y t+k )= γ k Kovaryans (tüm t ler için tüm k 0 için) Eğer bir zaman serisinin ortalaması, varyansı ve kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa, serinin durağan olduğu söylenebilir. Bir zaman serisinin, başka bir zaman serisine göre regresyonunu hesaplarken, ikisi arasında anlamlı bir ilişki olmasa bile çoğunlukla yüksek bir R 2 bulunur. Bu durum SAHTE REGRESYON sorununa yol açmaktadır.
ÖRNEK 1: ABD,1970/I 1991/IV Dönemine İlişkin Makroiktisat Verileri GSYİÜ= Gayrisafi Yurtiçi Üretim (GDP) KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI) KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE) Karlar (profit) Kar Payı Dağıtımları (dividends)
Bu zaman serileri aslında durağan olmayan zaman serilerine örnektir. Her zaman serisinin bir olasılıklı ya da rassal süreç ile türediği düşünülebilir. Veri kümesi ise bu olasılıklı sürecin bir dışavurumudur. Zaman serileri çalışmalarında ilgi gösterilen ve incelenen bir olasılıklı süreç türü, durağan olasılıklı süreçtir.
Durağanlığın Gerekliliği Bir regresyon denklemindeki açıklayıcı değişkenlerden her hangi birisi yukarıda tanımlandığı anlamda durağan olmadığında regresyon teorisi bozulur. Klasik regresyon modeli durağan değişkenler arasındaki ilişkilerde kullanılmak için keşfedilmiştir. Bu nedenle durağan olmayan serilere uygulanmamalıdır. DURAĞANLIK TESTLERİ 1. Grafiksel Analiz: Serinin grafiği incelendiğinde seyir konusunda ön bir bilgi edinilebilir. a)durağan Olmama Durumu X t X t t t
Durağan Olmama Durumu X t t
2. Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Basit bir durağanlık testi, ACF na dayanır. Gecikmesi k iken ρ k ile gösterilen ACF şöyle tanımlanır: γ k ρk = 1< ρk < 1 γ 0 gecikme k iken ortak varyans = varyans k=0 iken ρ k =1 olur, Neden? ρ k nın k ye göre çizilmesiyle anakütle korelogramı elde edilir. Örneklem ACF ˆ γ k ˆ ρk = ˆ γ 0 Örneklem Ortak Varyansı ( Yt Y)( Yt+ k Y) ˆ γ k = n Örneklem Varyansı ( Yt Y) ˆ γ 0 = n 2
ABD, 1970/I 1991 IV arası döneme ilişkin GSYİÜ serisine ilişkin korelogram ρ k Herhangi bir ˆk ρnin istatistik bakımından anlamlılığı, standart hatasıyla belirlenir. Bartlett, bir zaman serisi bütünüyle rassal ise (beyaz gürültü) Örneklem Otokorelasyon Katsayılarının sıfır ortalama ve 1/n varyansla yaklaşık normal dağıldığını söyler. N(0,1/ n) n=88, varyans 1/88 ve standart sapma 1/ n = 0.1066. ρ k nın %95 güven aralığı
± 1.96(0.1066) = ± 0.2089 Tahmin edilen ρ k ( 0.2089, 0.2089 ) aralığına düşerse gerçek ρ k nın sıfır olduğunu söyleyen hipotezi reddetmeyiz. Dışına düşerse gerçek ρ k nın sıfır olduğunu söyleyen hipotezi reddederiz.%95 güven aralığı şekilde (korelogram) iki kesikli çizgiyle gösterilmiştir. P ( 0.2089 ρ 0.2089) = 0.95 H H 0 0 : ρ = 0 seridurağan k k : ρ 0 seridurağandeğil k Q istatistiği Durağan bir seriye ilişkin korelogram incelendiğinde, Q istatistiklerinin anlamlı olmadığı söylenebilir. ACF değerleri, bir durağan seri için sıfıra yaklaşırsa, bütün gecikmeler için otokorelasyon olmadığını söyleyen hipotez kabul edilecektir. Bütün ρ k otokorelasyon katsayılarının eşanlı olarak sıfır olduğunun test edilmesinde kullanılır.box ve Pierce tarafından geliştirilmiştir. Q istatistiği asimptotik olarak m serbestlik derecesi ile Ki kare dağılır. n:örneklem büyüklüğü (örnekte 88 dir) m:gecikme uzunluğu (örnekte 25 dir)
Q H Q Q istatistiği m sd li ki kare dağılımı gösterir. = n m k = 1 ˆ ρ 2 k = ρ = ρ =... = ρ = 0 0 1 2 2 > χ H 0 k rededilebilir. durağ an değ ildir. Q test istatistiği=792.98 α=0.05 m=25 gecikme için ki kare tablo değeri=37.6525 dir. H 0 reddir. Yani seri durağan değildir. DURAĞANLIĞIN BİRİM KÖKLE SINANMASI Dickey ve Fuller Birim Kök Testi Basit bir seride birim kökün varlığını araştıran sistematik test Dickey ve Fuller tarafından ortaya konan bir testtir. Y Y u u 2 t = t 1 + t t(0, σ ) : beyaz gürültü hata terimi Y Y u t = ρ t 1 + t Sürecinde birim kökün varlığı araştırıldığında hipotez aşağıdaki gibi oluşturulur. H 0 1 : ρ 1 (Seri durağan değildir) H : ρ < 1 (Seri durağandır) ρ = 1 Yt 'nin bir birim kökü vardır, rassal yürüyüş serisidir, durağan değildir.
u t : ortalaması sıfır, varyansı değişmeyen, ardışık bağımlı olmayan, olasılıklı hata terimidir. Bu hata terimi beyaz gürültü hata terimi olarak anılmaktadır. Y Y u Eşitliğin her iki tarafı Y t 1 den çıkarılırsa t = ρ t 1 + t Y = ρy + u t t 1 t Y Y = ρy Y + u t t 1 t 1 t 1 t Δ Y = ( ρ 1) Y + u t t 1 t = δy + u δ = ρ 1 t 1 t Δ :birinci fark işlemcisi Δ Y = ( Y Y ) t t t 1
H H Bu durumda H 0 hipotezi : ρ 1 veya H : δ 0( Seri durağan değildir, birim kök vardır 0 0 : ρ < 1 veya H : δ < 0(Seri durağandır) 1 0 τ İstatistiğinin eşik değerleri Dickey Fuller tarafından belirlenmiştir. Bu teste Dickey Fuller testi adı da verilmektedir. H0 : ρ = 1 ( δ =0) birim kök vardır, durağan değildir. hipotezini test etmek için kullanılan t istatistiği, τ istatistiği olarak bilinir. eğer τ > τ Eşik değeri seri durağandır Eğer, bir zaman serisinin birinci farkları durağan ise başlangıç (rassal yürüyüş) serisi 1.dereceden bütünleşiktir, I(1) Eğer, durağan bir seriye ulaşmadan önce ilk serinin iki kez farkı alınıyorsa, ilk seri 2.dereceden bütünleşiktir, I(2) Eğer bir zaman serisinin d kez farkının alınması gerekiyorsa, o seri d inci dereceden bütünleşik ya da I(d) dir.
Δ Y = β + β t+ δy + u Dickey-Fuller birim kök sınaması t 1 2 t 1 t için üç model kullanılır. 1. Pür Rassal Yürüyüş Modeli: Bu model trendin ve sabitin yer almadığı modeldir. Δ Y = δ Y + u H H t t 1 t : ρ 1 veya H : δ 0( Seri durağan değildir, birim kök vardı : ρ < 1 veya H : δ < 0(Seri durağandır) 0 0 1 0 şeklindeki hipotezler test edilir. 2. Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli: Modelde sabit yer almaktadır. H H Δ Y = β + δ Y + u t 1 t 1 t : ρ 1 veya H : δ 0( Seri durağan değildir, birim kök vardı : ρ < 1 veya H : δ < 0(Seri durağandır) 0 0 1 0 şeklindeki hipotezler test edilir. H 0 hipotezi kabul edilirse süreç durağan değildir.
3. Trend ve Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli: Eşitliğin sağ tarafında sabit ve deterministik trend birlikte yar almaktadır. Yani model tüm deterministik bileşenleri ve stokastik kısmı içermektedir. Δ Y = β + β t+ δy + u t 1 2 t 1 t H : ρ 1 veya H : δ 0( Seri durağan değildir, birim kök vardır) 0 0 H : ρ < 1 veya H : δ < 0(Seri durağandır) 1 0 Seri hakkında fazla bir bir bilgi yoksa 3. modelden başlanarak ilgili kritik değerlerle hipotez sınanır ve 1. Eğer H 0 reddedilirse serinin trend durağan I(0) olduğuna karar verilir. 2. H 0 hipotezi kabul edilirse de birim kökün varlığına karar verilir.
Trend Çizgisi GSYİÜ Zaman Serisi Durağan mı? H 0 : δ=0 yani ρ=1 %1, %5 ve %10 için kritik değerler : 3.5064, 2.8947, 2.5842 GSYİÜ birim kök taşır
Δ GDPt = 190.3857 + 1.4776t 0.0603GDPt 1 t = (1.8389) (1.6109) ( 1.6252) model için kritik değerler: 4.0661, 3.4614, ve 3.1567 dir. Deterministik trend yok. Birim kök vardır. Seri durağan değildir. Stokastik trend vardır. Fark alma işlemi yapılır. Eğer H 0 hipotezi reddedilseydi serinin trend durağan olduğuna karar verilecekti. GSYİÜ Serisinin İlk Farkları Durağan mı? %1 için kritik değer 3. 5073; -6.6303 test değeri ile karşılaştırıldığında H 0 red edilebilir.gsyiü verilerinin ilk farkları birim kök taşımaz, yani durağandır
ÖRNEK: 1991: 01 2004: 02 dönemine ilişkin üçer aylık toptan eşya fiyat indeksi serisinin durağan olup olmadığını birim kök testi ile araştırınız.
Serinin logaritmasının alınması ile serinin değerleri arasındaki farklar azalacağından kısmen serinin durağanlaşmasını sağlayacaktır. O yüzden TEFE değişkenin logaritması alınarak işleme başlayabiliriz. Grafiksel analiz Grafiksel görünüm ilk başta serinin ele alınan dönem içinde ortalamasının sabit olmadığı izlemini vermektedir. Serinin Otokorelasyon Katsayılarının İncelenmesi(ACF)
Otokorelasyon katsayıları incelendiğinde yaklaşık 15. gecikmeye kadar %95 güven düzeyinde otokorelasyon olmadığını söyleyen kabul bölgesinin dışına çıktığı dolayısıyla seride otokorelasyon görünümünün olduğunu göstermektedir. H 0 kabul. Seri durağan değildir. ADF Test Statistic -0.927633 1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. -4.1383-3.4952-3.1762 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTEFE) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:2 2004:2 Included observations: 53 after adjusting endpoints Variable Coefficient LNTEFE(-1) -0.056817 C 0.139173 @TREND(1991:1) 0.000395 R-squared 0.097875 Adjusted R-squared 0.061790 S.E. of regression 0.013710 Sum squared resid 0.009399 Log likelihood 153.6892 Durbin-Watson stat 2.787775 0 1 Trendli ve Sabit terimli model H : ρ 1 ( Seri durağan değildir, birim kök vardır) H : ρ < 1 (Seri durağandır) Std. Error t-statistic Prob. 0.061250-0.927633 0.3581 0.130725 1.064628 0.2922 0.000720 0.548703 0.5857 Mean dependent var 0.010859 S.D. dependent var 0.014155 Akaike info criterion -5.686385 Schwarz criterion -5.574859 F-statistic 2.712344 Prob(F-statistic) 0.076150
H H Fark durağanlık için : ρ 1 veya H : δ 0( Seri durağan değildir, birim kök vardır) 0 0 : ρ < 1 veya H : δ < 0(Seri durağandır) 1 0 Δ DY = ( ρ 1) Δ Y + u t t 1 t = δy + u δ = ρ 1 t 1 t Seri durağandır Δ DY = ( ρ 1) Δ Y + u t t 1 t ADF Test Statistic -11.40707 1% Critical Value* -4.1420 5% Critical Value -3.4969 10% Critical Value -3.1772 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LNTEFE,2) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:3 2004:2 Included observations: 52 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(LNTEFE(-1)) -1.452071 0.127296-11.40707 0.0000 C 0.026508 0.004279 6.194969 0.0000 @TREND(1991:1)-0.000390 0.000120-3.257242 0.0020
Sahte Korelasyon/Regresyon Eğer denklemdeki hem bağımlı hem de bağımsız değişkenlerde trend baskınsa, kuvvetli bir şekilde anlamlı regresyon katsayıları elde etmek mümkündür. Modelde yer alan trende sahip değişkenlerin birbirleriyle tamamen ilişkisiz olsalar dahi, R 2 (belirlilik katsayısı) için yüksek değerler tahmin edilebilir. Bu sonuçlar tamamen sahte (spurious) dir. Sahte Korelasyon/Regresyon Bu duruma en iyi örnek Hendry(1980) tarafından verilmiştir. Şöyleki: Yağış miktarı ile UK enflasyon oranı arasında bulunan kuvvetli sahte korelasyon ilişkisidir. Trende sahip değişkenler arasında bu tür nedensel ilişkiler bulunabilir. Trendin kuvvetine göre regresyon katsayılarının anlamlılığı artabilir. Ve tabi ki bu tür ilişkilerde sahte korelasyon olduğu keşfedilecektir.
Sahte Korelasyon/Regresyon Sahte regresyonun açık göstergesi (Phillips-1986 tarafından teorik olarak ispatlanmıştır) çok düşük Durbin-Watson istatistiği ile kabul edilebilir R 2 istatistiğinin birlikte ortaya çıkmasıdır. Yani, DW< R 2 KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI) KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE) KT H t = 171.4412 + 0.9672KHGt t ( 7.4809) (119.8711) 2 R = 0.9940 d = 0.5316 0.9940 > 0. 5316 Regresyonun sahte olduğu düşünülür..
KTH t = 91.7110 + 0.7704t 0.0432KTH t 1 t (1.6358) (1.2983) ( 1.3276) KHG t = 326.2089 + 2.8834t 0.1579KHG t (2.7368) (2.5243) ( 2.5751) t 1 %1 için : 4.0673 %5 için : 3.4620 %10 için : 3.2447 1.3276 ve 2.5751 %10 düzeyindeki tablo değeri ile karşılaştırıldığında her ikisi değişken de birim köklüdür, yani ikisi de durağan değildir. ÖDEV : KTH t ve KHG t durağandırlar. KTH t ve KHG t durağan olduğuna göre bu değişkenlere göre oluşturulan regresyon modeli kullanılamaz mı? HAYIR.Çünkü ilk farklarını alırken, KTH ile KHG nin orijinal düzeylerinde belirlenen uzun dönem ilişkilerini yitirebiliriz.
KTH : PCE KHG : PDI Her iki seri rassal ilerler ama aralarında bir birliktelik vardır. EŞBÜTÜNLEŞME KTH ile KHG nin her ikisi de birim köklüdür, yani ikisi de durağan değildir.(i(1)) Dikkat! Bu iki değişkenin doğrusal bileşimi durağan olabilir. u = KTH β β KHG t t 1 2 t u t nin I(0) yada durağan olduğunu bulursak KTH ile KHG değişkenlerinin eşbütünleşik olduğunu söyleriz. Bu durumda bu değişkenler aynı dalga boyundadır.
EŞBÜTÜNLEŞME Genel olarak, Y dizisi I(1), başka bir X dizisi de I(1) ise ve d aynı değerse bu iki dizi eşbütünleşik olabilir. Eşbütünleşik iseler bu iki değişkenin düzey değerleri ile yapılan regresyon anlamlıdır. Böylece uzun dönemli ilişki kaybolmamış olur. EŞBÜTÜNLEŞME KT H t = 171.4412 + 0.9672KHG t ( 7.4809) (119.8711) 2 R = 0.9940 d = 0.9940 > 0. 5316 0.5316 t Eşbütünleşik regresyon Eşbütünleşim katsayıları
EŞBÜTÜNLEŞMENİN SINANMASI Engle Granger Testi Eşbütünleşik regresyon Durbin Watson Testi HATA DÜZELTME MODELLERİ KTH ile KHG eşbütünleşiktirler dönemli bir ilişki söz konusudur yani aralarında uzun Denge Hatası u = KTH β β KHG t t 1 2 t Bu hata terimi KTH nin kısa dönem davranışını uzun dönem davranışına bağlamak için kullanılabilir.
Granger Nedensellik Testi Temel Kavramlar İktisatta sebep-sonuç (etki) ilişkisi veya nedensellik konusu önemli ve karmaşık bir konudur. Çalışmaların başarısı değişkenler arasındaki nedenselliğin tesbitine dayanmaktadır.
Ekonometrik modellerde, bir değişkenin diğer değişkenlerle bağımlılığı söz konusu olmaktadır. Y nin X'lerle olan bağımlılığı Bu bağımlılık, Y ile X'ler arasında mutlaka bir sebep-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez. Para Arzı(M) ve GSMH değişkenleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim: Bu değişkenlerden her biri diğerini (dağıtılmış) gecikmeli olarak etkiler. M GSMH GSMH M M GSMH ve GSMH M
İki değişken arasında zamana bağlı gecikmeli ilişki varken, nedenselliğin yönünün (sebep ve sonuç ilişkisinin) istatistikî olarak tesbiti konusu ile karşı karşıyayız. Nedensellik konudaki ilk çalışma Granger(1969) tarafından yapılmıştır. Bu nedenle Granger nedensellik testi adı ile anılmaktadır. Granger değişkenler arasındaki nedensellik testi zaman serisi verilerine dayanır. Testte önce şu denklemler tahmin edilir: m n GSMH = α M + β GSMH + u n t i t i j t j 1t i= 1 j= 1 M = λ M + δ GSMH + u m t i t i j t j 2t i= 1 j= 1 =Granger nedensellik testi modelleri
M nin GSMH yı tek tönlü etkilemesi (M GSMH ) i n GSMH = α M + β GSMH + u n t i t i j t j 1t i= 1 j= 1 α 0 istatistiki olarak sıfırdan farklı olması ve m M = λ M + δ GSMH + u m t i t i j t j 2t i= 1 j= 1 δ = 0 parametrelerinin sıfırdan farksız olması halinde söz konusudur j GSMH nin M yi tek tönlü etkilemesi (GSMH M ) i n GSMH = α M + β GSMH + u α n t i t i j t j 1t i= 1 j= 1 istatistiki olarak sıfırdan farksız olması ve m M = λ M + δ GSMH + u m t i t i j t j 2t i= 1 j= 1 δ 0 parametrelerinin sıfırdan farklı olması halinde söz konusudur j
M GSMH ve GSMH M m n GSMH = α M + β GSMH + u n t i t i j t j 1t i= 1 j= 1 M = λ M + δ GSMH + u m t i t i j t j 2t i= 1 j= 1 α 0 β 0 λ 0 δ 0 i j i j Aksi halde GSMH ve M birbirinden etkilenmemektedir. Granger Nedensellik Sınaması Aşamaları: n GSMH = α M + β GSMH + u n t i t i j t j 1t i= 1 j= 1 1. Cari GSMH nın bütün gecikmeli GSMH değerlerine ve varsa başka değişkenlere göre regresyonu bulunur. Bu modelde M nin gecikmeli değerleri modele dahil edilmez. Sınırlanmış hata kareler toplamı hesaplanır. 2. Aynı modele bu defa M terimleri dahil edilerek model tahminlenir ve bu sınırlanmamış modelin hata kareler toplamı bulunur.
Granger Nedensellik Sınaması Aşamaları: 3. H hipotezi oluşturulur. 0 = α i = 0 4. m ve (n k) sd ile F dağılımına uyan test istatistiği hesaplanır: m:gecikmeli M terimleri sayısı k:sınırlanmamış regresyonda tahmin edilen anakütle katsayılarının sayısı ( HKTS HKTSM)/ m F = HKTSM /( n k) 5. F>Ftab ise H 0 hipotezi reddedilir. Bu ise M nin GSMH nın nedeni olduğunu söylemektedir. ABD 1960-I den 1980-IV GSMH ve M büyüme hızı arasındaki nedensellik : Nedenselliğin Yönü F hes Değeri F tab Değeri Karar M GSMH GSMH M 2.68 0.56 2.5 2.5 H O red H 0 kabul