016 UOMO 1. Aşama 1. Bir ABC üçgeninde BE ve CD kenarortayları birbirine dik ve BE = 18, CD = 7 ise AF kenarortayının uzunluğu kaçtır? A) 43 B) C) 45 D) 3 E) 4 Çözüm. Üçgenin ağırlık merkezi G olmak üzere, BG = 1, CG = 9 BGC dik üçgeninde Pisagor teoreminden BC = 15 elde edilir. Buna göre AF = 3 GF = 3 BC = 45 Yanıt: C.. 1 3m + 1 4n + 17 1mn = 1 denklemini sağlayan m, n pozitif tam sayıları için m + n ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A) 15 B) 17 C) 19 D) 1 E) 3 Çözüm. Denklemi düzenleyelim: 4n + 3m + 17 = 6mn, 6mn 4n 3m + = 19, (n 1)(3m ) = 19. n 1 sayısı 19 sayısının böleni olmak zorundadır. Buna göre n 1 = 1, n = 1, m = 7 ve n 1 = 19, n = 10, m = 1 Buradan n + m = 8 ve n + m = 11 elde edilir. Yanıt: C. 3. Bir kutuda renkleri kırmızı, beyaz, mavi ve yeşil olan toplam n top bulunuyor. Kırmızı topların sayısı n 3 + 0, beyaz topların sayısı n 5 + 15, mavi topların sayısı n 7 + 5 tir. Yeşil top sayısı mavi top sayısından daha az ise, kutudaki kırmızı top sayısı beyaz top sayısından ne kadar fazladır? A) 19 B) 33 C) 47 D) 61 E) 75 Çözüm. Kutudaki yeşil top sayısı x olsun. O halde n 3 + 0 + n 5 + 15 + n + 5 + x = n 7 yazabiliriz. Buradan n = 105k, k N + olmak üzere x = 34k 40 elde edilir. Sorunun şartına göre 34k 40 < 15k + 5, 19k < 45, 1 < k < 3 veya k = Buna göre kırmızı top sayısı beyaz top sayısından 35k + 0 (1k + 15) = 14k + 5 = 33 fazladır.
4. Başlangıçta 1,,...,016 şeker içeren 016 öbek vardır. Her işlemde bir öbek seçiliyor ve seçilmiş öbekten daha az şeker içermeyen bir öbekten (seçilmiş öbek dahil) seçilmiş öbekteki kadar şeker alınıp yeniyor. Birkaç işlem sonucunda tek bir öbek kaldıysa son öbekteki şeker sayısı 1,,...,1 sayılarından kaçına eşit olabilir? A) 1 B) 4 C) 6 D) 10 E) 1 Çözüm. İlk seçilen öbekte k tane şeker olsun. İlk işlem yapıldıktan sonra kalan öbeklerdeki şeker sayıları 1,,..., k 1,0,1,,,016 k Her işlem sonunda en az bir öbekteki şeker sayısı sıfırlanıyor. Sıfır ile ayrışan seriler 1 ile başladığına göre son öbekteki sayı ya 0, ya da 1 olabilir. Yanıt: A. 5. AB = 3, BC = 4, CA = 5 koşullarını sağlayan bir ABC üçgeninde BC kenarının orta noktası D dir. C köşesinden geçen iç açıortayın AB kenarını kestiği nokta E olmak üzere, AD ve EC doğruları F noktasında kesişiyor. Buna göre AEF üçgeninin alanının CDF üçgeninin alanına oranı nedir? A) 4 5 B) 7 8 C) 35 3 D) 4 3 Çözüm. İç açıortay teoreminden AE : EB = 5: 4 ve AE + EB = 3 olduğuna göre AE = 5 3, EB = 4 3 ACF üçgeninde iç açıortay teoreminden AF : FD = 5: elde edilir. F noktasından BC ve AB kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları, sırası ile, M ve N olsun. FMD~ ABD olduğuna göre FM 3 = 7, FM = 6 7, FNA~ DBA olduğuna göre Buna göre FN = 5 7, FN = 10 7 Alan( AEF) Alan( CDF) = 5 3 10 7 6 7 = 5 18 E) 5 18 6. 30 dan küçük asal sayılar kümesi P = {p 1, p,, p 10 } olmak üzerebir p P için en küçük asal sayı böleni p olan 100 den küçük pozitif tam sayıların sayısı s p ile gösteriliyor. Buna göre s p1 + s p + + s p10 kaçtır? A) 67 B) 7 C) 75 D) 79 E) 83 Çözüm. P = {,3,5,7,11,13,17,19,3,9} yazabiliriz.tüm çift sayılar ile bölündüğüne göre s = 49 3 ile bölünen 17 tane tek sayı olduğuna göre s 3 = 17 5 ile bölünen ve 3
ün katı olmayan 7 tane sayı olduğuna göre s 5 = 7 Aynı yöntemle s 7 = 4, s 11 = = s 9 = 1 elde edilir. Buna göre s p1 + s p + + s p10 = 49 + 17 + 7 + 4 + 6 = 83 7. Ardışık 3 pozitif tam sayının toplamı olarak yazılabilen ilk 1 sayının toplamı kaçtır? A) 708 B) 70 C) 744 D) 756 E) 76 Çözüm. İlk sayı 1 + + 3 = 6, ikinci sayı + 3 + 4 = 9 ve bu yöntemle sonuncu sayı 1 + + 3 = 66 O halde aranan toplam 3 + 6 + + 66 = 3( + + ) = 3 + 1 = 63 1 = 756 Yanıt: D. 8. 100 100 satranç tahtasının her birim karesi bie renge, her birim kare kendisiyle ortak kenar paylaşan en az birim kareyle aynı renkte olacak şekilde boyanıyor. Tahtadaki farklı renk sayısı en fazla kaç olabilir? A) 64 B) 450 C) 500 D) 74 E) Hiçbiri Çözüm. Her renkten en az 4 tane olmak zorundadır. Buna göre en fazla 10000: 4 = 500 renk kullanabilir. Sarranç tahtasını biçiminde 500 kareye ayırabiliriz ve her kareyi bir renge boyayabiliriz. Yanıt: C. 9. Bir ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerinde E [AF] olacak biçimde birbirinden farklı E ve F noktaları, CD kenarı üzerinde G [CH] olacak biçimde birbirinden farklı G ve H noktaları, E, F, G, H çemberdeş olacak biçimde seçiliyor. AE =, DH = 3, CH = 7 ise EF + CG kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1 Çözüm. EFGH bir ikizkenar yamuktur. Bu yamuğun G ve H köşelerinden indirilmiş yüksekliklerin ayakları, sırası ile, M ve N olsun. EN = MF = 1 olduğuna göre + EF + CG 1 = 10, EF + CG = 9 10. 3 asal sayının kareleri toplamı olarak yazılabilen ve 1 eksiği tam kare olan kaç asal sayı vardır?
A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Sonsuz çoklukta Çözüm. p > 3 asal sayısı için p 1(mod 3) Buna göre 3 asal sayı da 3 ten büyuk ise bunların kareleri toplamı 3 ile bölünür. Dolayısıyla 3 asal sayı içinde veya 3 sayıları bulunmak zorundadır. Diğer taraftan p 1 = a, p > ise p 1(mod 4) Buna göre p = + + q biçiminde olmak zorundadır. q > 3 ise p = + + q 0(mod 3) O halde sadece + + 3 = 17 sayısı sorunun şartını sağlıyor. Yanıt: A. 11. x + (x + 1) + x (x + 1) = (x + x 1) denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaçtır? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) Hiçbiri Çözüm. Denklemi düzenleyelim: x + (x + 1) = (x + x 1) x (x + 1), x + (x + 1) = (x + x 1 x x)(x + x 1 + x + x), x + x + x + 1 = x x + 1, 4x + 4x = 0, 4x(x + 1) = 0, x 1 = 0, x = 1. 1. 18 özdeş top 1,,...,19 sayılarıyla numaralanmış 19 kutuya tek numaralı kutularda tek, çift numaralı kutularda çift top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir? A) 739 B) 7315 C) 7448 D) 7505 E) 7600 Çözüm. Çift numaralı kutulardaki top sayıları k 1, k,,k 9, k i 0, i = 1,,,9 tek numaralı kutulardaki top sayıları l 1 + 1,l + 1,,l 10 + 1, l i 0, i = 1,,,10 olsun.buna göre k 1 + k + + k 9 + (l 1 + 1) + (l + 1) + + (l 10 + 1) = 18, k 1 + k + + k 9 + l 1 + l + + l 10 = 4 Son denklemin tane kökü vardır. ( 19 + 4 1 ) = ( 4 4 ) = 7315 13. Eş merkezli iki çemberin arasında kalanbölgenin alanı 36π dir. Büyük çemberin bir AB kirişi küçük çembere teğettir. A ve B noktalarından büyük çembere çizilen teğetler C de kesişiyor. CA = 10 ise ABC üçgeninin alanı nedir?
A) 8 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48 Çözüm. Çemberlerin merkezi O noktası, AB kirişinin küçük çembere teğet olduğu nokta H olsun. O halde Pisagor teoreminden BH = BO OH, elde edilir. Buna göre Alan( ABC) = 48 BH = 36, BH = 6 14. a + b + c + d + e = 0 koşulunu sağlayan a, b, c, d, e tam sayıları için a 5 + b 5 + c 5 + d 5 + e 5 ifadesi 15,18,1,30,35 sayılaından kaçına her zaman tam bölünür? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm. a 5 a(mod ), a 5 a(mod 3), a 5 a(mod 5) olduğuna göre 15 ve 30 sayıları sorunun şartını sağlıyor. 15. a bir pozitif gerçel sayı olmak üzere 1a + ve 4a + 9 sayıları ardışık iki pozitif tam sayının kareleriyse a nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farkı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 Çözüm. n N + olmak üzere, 1a + = n, 4a + 9 = (n + 1) olsun. Buna göre 4a + 9 (1a + ) = (n + 1) n, 3a + 7 = n + 1, a = n 6 3 olmak zorundadır. Son değeri, 1a + = n eşitliğinde yerine yazalım: 14n + 40 = n, (n 4)(n 10) = 0, n = 4 n = 10. O halde a = 3 veya a = 14 3 Bu değerlerin farkı 4 sayısına eşittir. Yanıt: C. 16. Bir tahtada başlangıçta 1 sayısı yazmaktadır. Ali her hamlede tahtada yazılı olan sayı n olmak üzere bu sayıyı silip yerine n 1 veya n + yazıyor. Buna göre 7 hamle sonunda tahtada yazılı olan sayı 41,67,81,97,131 sayılarından kaç tanesine eşit olabilir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm. İlk hamlede yazılan sayı en fazla 3, ikinci hamlede yazılan sayı en fazla 5 olabilir. n > 3 için n 1 > n + olduğuna göre 7 hamle sonra yazılabilen en büyük sayı 19 dur ve dolayısıyla tahtada yazılı olan sayı 131 olamaz. Diğer sayıların elde edilebileceği kolaylıkla gösterilebilir: Yanıt: D. 1,3,5,9,11,1,41; 3,5,9,17,33,65,67; 3,5,9,11,1,41,81; 3,5,7,13,5,49,97. 17. Kenar uzunluğu 1 olan bir ABCD karesinde AB ve AD kenarlarının orta noktaları sırasıyla E ve F dir. CE ve CF doğruları A merkezli ve B den geçen çemberi karenin iç bölgesinde sırasıyla K ve L noktalarında kesiyor. Buna göre KL uzunluğu nedir? A) 1 4 B) 5 C) 9 D) 4 E) Hiçbiri Çözüm. K noktasından AB kenarına indirilen dikmenin ayağı H olsun. KH = HE = a olmak üzere AKH dik üçgeninde Pisagor teoremini yazalım: (a) + (a + 1 ) = 1, 4a + a + a + 1 4 = 1, 5a + a 3 4 = 0, Buradan a = 1 1 + 15 10 a = 3 10. = 1 4 10, BH = 1 HE = 1 5 elde edilir. CKL~ CEF ve EF = olduğuna göre KL EF = CK CE = BH BE, KL = 1 5 1 = 5 18. n bir pozitif tam sayı olmak üzere, herhangi ikisinin en büyük ortak bölenleri ye eşit ve hepsinin en küçük ortak katları 016 dan küçük olacak şekilde birbirinden farklı a 1, a,, a n pozitif tam sayıları bulunabiliyorsa n en çok kaç olabilir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) Hiçbiri Çözüm. a i = b i, i = 1,, n olmak üzere b 1, b,, b n sayıları ikişerli olarak aralarında asal olmak zorundadır. b 1 b b n < 1003 olduğuna göre en fazla b 1 = 1, b =, b 3 = 3, b 4 = 5, b 5 = 7 seçeneği söz konusudur. 19. Tüm a, b, c gerçel sayıları için a + b + 3c kc(a + b) eşitsizliğinin doğru olmasını sağlayan en büyük k gerçel sayısı kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri Çözüm. A. O. G. O. eşitsizliğini uygulayalım: a + b + 3c = (a + c ) + (b + c ) ac + bc c ( a + b ) c a + b = c(a + b) c(a + b). a = c = b durumunda eşitlik söz konusudur. 0. 1,,..., n sayıları farkları 8 veya 14 olan sayılar aynı renkte olacak biçimde en az üç farklı renge boyanmışsa, n en fazla kaç olabilir? A) 17 B) 19 C) D) 5 E) Hiçbiri Çözüm. İlk 8 sayının rengi ile tüm sayıların renkleri belirlenmiş a + 8 = (a + ) + 14 olduğuna göre a ve a + sayılarının, a + 14 = (a + 6) + 8 olduğuna göre a ve a + 6 sayılarının renkleri aynı olmak zorundadır. n 0 ise 1,3,5,7 ve,4,6,8 sayıları aynı renkte olmak zorundadır ve renk sayısı iki n = 19 için 1,3,5,7 sayıları birinci,,4,8 sayıları ikinci ve 6 sayısı üçüncü renge boyanabilir. 1. AB = ve AD = koşullarını sağlayan bir ABCD dikdörtgeninde AD kenarının orta noktası M olmak üzere BM ve AC doğruları K de kesiyor. Buna göre A, B, K noktalarından geçen çemberin yarıçapı kaçtır? A) B) 1 C) D) 1 3 E) 1 3 Çözüm. m( ABK) = α, m( BAK) = β olsun. tan α = cot β = olduğuna göre α + β = 90 O halde m( AKB) = 90 ve ABK üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı 1 dir.. 016 sayısını bölüp 016 yı bölmeyen 016 dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır? A) 35 B) 47 C) 63 D) 8 E) Hiçbiri
Çözüm. 016 = 5 3 7 ve 016 = 10 3 4 7 yazabiliriz. 016 sayısını bölüp 016 yı bölmeyen 016 dan küçük sayı α 3 β 7 γ olsun. γ = için α 3 β < 4 olmak zorundadır. Bu şartı sağlayan 1 + 3 + 4 + 6 = 14 tane sayı vardır. γ = 1 için α 3 β < 88 olmak zorundadır. Bu şartı sağlayan + 4 + 0 + 1 + 3 = 10 tane sayı vardır. γ = 0 için α 3 β < 016 olmak zorundadır. Bu şartı sağlayan 5 + 7 + + 4 + 5 = 3 tane sayı vardır. Buna göre toplam 14 + 10 + 3 = 47 sayı vardır. 3. x ve y gerçel sayılar olmak üzere x xy + 5y 6y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 Çözüm. x xy + 5y 6y = (x y ) + 9 (y 3 ) yazabiliriz. x = 1 3, y = 3 için eşitlik söz konusudur. Yanıt: D. 4. Uzunlukları 1,,,0 olan 0 çubuk n torbaya, herhangi torbadaki çubuklardan üçgen yapılmayacak şekilde dağıtılabiliyorsa, n en az kaç olabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm. a < b < c olmak üzere bir torbadaki a, b, c sayıları için c a + b olmak zorundadır. O halde bir torbada {10,11,, 0} elemanlarından en fazla tanesi olabilir. Buna göre torba sayısı en az 6 olabilir. Örnek olarak {1,,3,5,8,13}, {4,6,1,18}, {7,11,19}, {9,10,0}, {14,15}, {16,17} dağılımı vardır. Yanıt: C. 5. Bir ABCD karesinde AB kenarının orta noktası E ve A noktasından DE doğrusuna inilen dikmenin ayağı F olmak üzere DF = 4 ise CF kaçtır? A) 5 5 B) 5 3 C) 5 3 D) 5 E) 5 Çözüm. AFD~EFA olduğuna göre AF = ve Pisagor teoreminden AD = 5 CDF üçgeninde kosinüsler teoremini uygulayalım: CF = 4 + ( 5) 4 5 cos( CDF) = 16 + 0 16 5 CF = 5. 1 5 = 0,
6. 1 n 100 koşulunu sağlayan her n tam sayısı için tahtaya m + n ifadesinin 101 ile bölünmesini sağlayan en küçük m pozitif tam sayısı, böyle bir m yoksa 1 yazılıyor. Buna göre tahtaya yazılan sayıların toplamı kaçtır? A) 15 B) 05 C) 500 D) 5050 E) Hiçbiri Çözüm. (101 m) m (mod 101) olduğuna göre göre tahta üzerine 1,,,50 sayıları ve 50 tane 1 sayısı yazılacaktır. Bu sayıların toplamı 1 + + + 50 50 = 49 5 = 15 Yanıt: A. 7. a + b + a b = ab(a + b 1) = 1 denklem sistemini sağlayan a, b gerçel sayıları için 1 + 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine a b eşit olabilir? A) 1 4 B) 1 3 C) 1 D) 3 E) 1 Çözüm. İkinci denklemi ile çarpalım ve denklemleri taraf tarafa toplayalım: a + b + a b ab(a + b 1) = 0, a + ab + b ab(a + b) + a b = 0, (a + b) ab(a + b) + a b = 0, (a + b ab) = 0, a + b ab = 0, 1 a + 1 b = 1. 8. Bir çember etrafında her birinde birer bilye bulunan n tane kutu bulunuyor. Her hamlede bir tane boş olmayan kutu seçiliyor ve bu kutudan bir bilye alınıp bu kutunun bir sağındaki veya bir solundaki kutuya aktarılıyor. Kaç n {6,8,14,18,1} için çift sayıda hamle sonucunda tüm bilyeleri aynı kutuya toplayabiliriz? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm. Kutuları 1,,..., n sıralayalım ve bilyeleri 1 numaralı kutuda toplayalım. l =,, k + 1 olmak üzere l ve n + l numaralı kutulardaki bilyeler için yapılan hamlelerin toplamı çift sayıdır. n = k + 1 için 1 numaralı kutu dışındaki kutular ikili gruplara ayrılabilir. n = k ise 1 ve k + 1 numaralı kutular dışındaki kutular ikili gruplara ayrılabilir ve k + 1 tek sayı ise k + 1 numaralı kutudaki bilye çift sayıda hamlede 1 numaralı
kutuya taşınabilir. Buna göre n = 8 ve n = 1 için çift sayıda hamle sonucunda tüm bilyeleri aynı kutuya toplanabilir. 9. Kenarortaylarının kesişim noktası G olan ve CA + AB = BC koşulunu sağlayan bir ABC üçgeninde s( CAG) = 15 ise s( BCG) aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 Çözüm. BC = a, AC = b, AB = c, [AD] kenarortay olmak üzere, ABC üçgeninde kenarortay uzunluğu teoremini yazalım: AD = b + c a AD = a a a 3 AD =. O halde GD = a 3 6 ve AD CD = DC DG Buradan ADC~ CDG (A.K.A) ve s( BCG) = s( DCG) = s( CAD) = s( CAG) = 15 elde edilir. Yanıt: A. 30. a ve b aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere (a + b, a b), (a + b, a ab + b ), (a b + ab, a 3 + ab + b 3 ), (a + b, a + 3ab + b ), (a + b, a b + 7ab) ikililerinden kaçı her zaman aralarında asaldır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm. a = 3, b = 1 için (a + b, a b) = (4,) = a =, b = 1 için (a + b, a ab + b ) = (3,3) = 3 (a b + ab, a 3 + ab + b 3 ) = (ab(a + b), a 3 + ab + b 3 ) = (a + b, a 3 + ab + b 3 ) = (a + b, (a + b)(a ab + b ) + ab) = (a + b, ab) = 1. (a + b, a + 3ab + b ) = (a + b, (a + b) + ab) = (a + b, ab) = 1. a = 16, b = 3 için (a + b, a b + 7ab) = (65,583) = 53 31. (x + y 5)(x + y) + 10xy = 0 eşitsizliğini sağlayan x, y gerçel sayıları için x + y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) B) 4 C) 6 D) 10 E) 1 Çözüm. Denklemi düzenleyelim: [(x + y) xy 5](x + y) + 10xy = 0, [(x + y) 5](x + y) xy(x + y 5) = 0, (x + y 5)[(x + y + 5)(x + y) xy] = 0.
Buradan x + y = 5 veya (x + y + 5)(x + y) xy = 0 olduğu elde edilir. Son denklemde x + y = a ise xy = a(a + 5) O halde x ve y sayıları u a(a + 5) au + = 0 denkleminin kööleridir. Son denklemin diskriminantının sadece 10 a 0 değerleri için negatif olmadığı kolaylıkla gösterilebilir. Buna göre x + y ifadesinin alabileceği 1 farklı tam sayı değeri vardır. 3. 1,,..., n sayıları işaretlenmiş olan bir sayı doğrusunda başlangıçta 1 sayısı üzerinde bir taş bulunuyor. Aslı ve Berk sırayla hamle yaparak bir oyun oyunuyorlar. Sırası gelen oyuncu bir pozitif tam sayı seçiyor ve taşı seçtiği kadar sağa veya sola kaydırarak bir başka işaretlenmiş noktanın üzerine yerleştiriyor. Her pozitif tam sayı en fazla bir kez seçilebiliyor ve hamle yapamayan oyunu kaybediyor. Oyun n = 5, 500, 1000, 104, 016 için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunları kaçını kazanmayı garantileyebilir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm. n = k için Aslı ilk hamlede k 1 sayısını seçer, diğer hamlelerde Berkin seçtiği sayıyı k 1 e tamamlar ( örnek olarak Berk 3 seçerse Aslı k 4 seçer ve uç noktadaki sayıya ulaşır) ve oyunu kazanır. n = 5 için Aslı ilk hamlede sayısını seçerse Berk ilk hamlede 1 sayısını, Aslı ilk hamlede den farklı sayı seçerse Berk ilk hamlede sayısını seçer ve oyunu kazanır.