Güven Aralığı Healamaları ÖRNEKLER
Standart normal dağılım ile olaılık healamaları
Standart normal dağılım ile olaılık healamaları 1 1 2 2 3 3 f ( x) dx P(( 1 ) x ( 1 )) 0.6826 f ( x) dx P(( 2 ) x ( 2 )) 0.9546 f ( x) dx P(( 3 ) x ( 3 )) 0.9973
Normal dağılım eğriinin tandardizayonu i 1 1 2 2 3 3 x i Örneklemde i f ( ) d P( 1 1) 0.6826 f ( ) d P( 2 2) 0.9546 f ( ) d P( 3 3) 0.9973 x i
Örnek 1 Bir kliniğe belli bir şikayetle gelen hataların yaşlarının normal dağılıma ahi olduğu ve ortalamaının 37.5, tandart amaının ie 7.6 olduğu varayılıra, random olarak eçilen bir hatanın 44 yaşından genç olmaı olaılığı nedir? 37.5 7.6 Z 44 yaş x 44 37.5 6.5 0.86 7.6 7.6 Standart normal dağılım tablouna baktığımızda, Z=0.86 nın 0.8051 lik bir olaılık değerine eşit olduğunu görürüz. Dolayııyla, ratgele eçilen bir hatanın 44 yaşından genç olma olaılığı %80.5 tir.
Örnek 2 Bir önceki örneğin verilerine dayanarak, ratgele eçilen bir hatanın yaşının 46 ile 54 araında olmaı olaılığı nedir? 46 37.5 8.5 Z46 1.12 7.6 7.6 54 37.5 16.5 Z54 2.17 7.6 7.6 0ile 2.17 araındaki alan 0.9850 0ile1.12araındaki alan 0.8686 Fark 0.9850 0.8686 0.1164 P(46 x54) 0.1164 %11.64
Güven Aralığı Bir örneklemden elde edilen aritmetik ortalamadan / orandan / varyantan hareket ederek, oulayon ortalamaına / oranına / varyanına yönelik tahmini ınırları verir Güven aralığındaki alt ve üt ınırların nedeni, örneklemler araındaki değişkenliktir Örneklem büyüklüğü arttıkça, güven aralığı daralır
Standart normal dağılımla güven aralığı Aritmetik ortalamaya ait teorik örnekleme dağılımının normal eğriye yakınlaştığını, normal eğri altındaki tolam alanın %95 inin de -1.96 ile +1.96 ınırları araında kaldığını hatırlatalım:
Standart normal dağılımla ortalama için güven aralığı formulü Poulayon aritmetik ortalamaı µ nün %95 güven aralığı ınırları aşağıdaki gibi ifade edilir: Genel P(( Z/2 ) ( Z/2 )) n n %90 Güven Araligi P(( 1.65 ) ( 1.65 )).90 n n %95 Güven Araligi P(( 1.96 ) ( 1.96 )).95 n n %99 Güven Araligi P(( 2.58 ) ( 2.58 )).99 n n
Örnek 1 Glaucoma rahatızlığı bulunan 60 yaşındaki 200 hatanın ortalama kan baıncı 140 ve tandart amaı 25 olarak belirlenmiştir. İlgili oulayonun artalama kan baıncı %95 olaılıkla hangi değerler araında olabilir? n 200 140 25 25 Ortalamanintandart hatai SH 1.77 n 200 P( 1.96( SH )) P(140 1.96(1.77)) Alt ınır P(140 1.96(1.77)) 136.5 Üt ınır P(140 1.96(1.77)) 143.5 136.5 143.5
Örnek 1.2 Bir önceki çalışma eğer 100 hata ile yaılmış olaydı, %95 güven aralığı ınırları ne olurdu? n 100 140 25 25 Ortalamanintandart hatai SH 2.5 n 100 P( 1.96( SH )) P(140 1.96(2.5)) Alt ınır P(140 1.96(2.5)) 135 Üt ınır P(140 1.96(2.5)) 145 135 145
Örnek 1.3 Örnek 1.2 deki değerlerle %99 güven aralığının healanmaı: n 100 140 25 25 Ortalamanintandart hatai SH 2.5 n 100 P( 1.65( SH )) P(140 1.65(2.5)) Alt ınır P(140 1.65(2.5)) 135.88 Üt ınır P(140 1.65(2.5)) 144.13 135.88 144.13
Standart normal dağılımla oranlar için güven aralığı formulü q ˆ örneklemdeki oran 1 Genel (1 ) n ˆ ˆ P(( Z ) P ( Z )) /2 /2 %90 Güven Araligi ˆ ˆ P(( 1.65 ) P ( 1.65 )).90 %95 Güven Araligi ˆ ˆ P(( 1.96 ) P ( 1.96 )).95 %99 Güven Araligi P(( 2.58 ˆ ) ( 2.58 ˆ P )).99
Standart normal dağılımla oranlar için güven aralığı: Örnek 1.4 Bir Anadolu kaabaında, 40 yaş ve ütü 175 kişi random olarak eçilmiş, %54 ünün (.54) obez olduğu tebit edilmiştir. %95 güvenle kaabadaki aynı yaş grubu oulayonunun obezite oranlarının ınırları nedir? n 175 q 0.54 1 0.54 0.46 (1 ) 0.54(0.46) ˆ 0.0377 n 175 P P((0.54 1.96 0.0377 ) (0.54 1.96 0.0377 )) 0.466 P 0.614 %46.6 P %61.4
n<30 ve σ bilinmediği durumlarda Sözkonuu değişkenin oulayondaki dağılımının normal olduğu varayımıyla, güven aralığı aşağıdaki gibi ifade edilir: x x P(( t, n1 ) ( t, n1 )) n n Yukarıdaki ifadede t, hedeflenen güven eviyeine göre, n-1 erbetlik dereceine karşılık gelen t- dağılımı (Student t) değeridir.
Student t-dağılımı Poulayon tandart amaı (σ) bilinmediği durumlarda, örneklemin tandart amaı () bir yaklaşım olarak kullanılır (σ) nın yerine () yerleştirildiğinde, normal dağılım yerine t-dağılımı devreye girer n<30 olduğu durumlarda, t-dağılımını kullanabilmek için oulayonun normal dağılıma ahi olmaı gerekir n>30 olduğu durumlarda ie, normal dağılım t- dağılımına bir yaklaşım olarak kullanılabilir (oulayon normal dağılıma ahi olmaa dahi.)
Örnek 2 Örnek 1.3 teki verilerin n=25 için öz konuu olduğunu varayalım; Bu durumda %95 güven aralığı: n 30 x 140 25 x 25 Ortalamanintandart hatai SH 4.56 n 30 P( t ( SH )) P( t ( SH )) P(140 2.045(4.56)), n1 0.5,301 Alt ınır P(140 2.045(4.56)) 130.68 Üt ınır P(140 2.045(4.56)) 149.33 130.68 149.33