H09 Doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık analizi. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören

Transkript

1 H09 Doğrual kontrol itemlerinin kararlılık analizi

2 MAK Der Kapamı H01 İçerik ve Otomatik kontrol kavramı H0 Otomatik kontrol kavramı ve devreler H03 Kontrol devrelerinde geri belemenin önemi H04 Aktüatörler ve ölçme elemanları H05 Kontrol elemanları ve kontrol elemanlarının dinamik özellikleri H06 Örnek kontrol devreleri H07 1. Ara Sınav H08 Sınav oru çözümleri H09 Doğrual kontrol itemlerinin kararlılık analizi (Michailow ve Routh Hurwitz) H10 Doğrual Kontrol itemlerinin kararlılık analizi (yer eğrii) H11 Bode diyagramları ile faz ve genlik marjı kavramları H1.Ara Sınav H13 Sınav Soru çözümleri H14 Durum Değişkenleri ile kontrol

3 Stabilite Sitemin dinamik davranışı, geçici durum davranışından bulunur. Geçici durum davranışı ie itemin tranfer fonkiyonu ile incelenebilir. Bir itemin kararlı, hızlı cevap veren ve haa olmaı beklenir. Bir kontrol iteminin en önemli özelliği kararlı olup olmadığıdır. Sitem, limitli bir referan girdiye ve bozucu girdiye karşılık limitli bir cevap veriyora, kararlıdır (tabildir). Ref:

4

5 Stabilite Şekildeki bilyalara ağa ya da ola doğru verilecek hareket, bilyaların eki konumuna geri gelip gelmemeine göre kararlı olup olmadığı belirlenebilir. Dinamik bir itemin kararlılığı da benzer şekilde gözlemlenebilir. Sitemin ani darbe cevabı, item onuza giderken artıyora veya büyüyen genlikli titreşim şeklinde ie, item kararızdır. Kararız bir itemde genlik devamlı artar, ancak onuza kadar artamayacağından belirli bir yerde abit kalır. Durdurulmaza, tahrip olabilir. Kararlı bir itemin cevabı ie düzgün veya küçülen genlikli titreşim şeklinde azalır. Ref:

6 Karmaşık Düzlemde Stabilite Çözümlemei Bir itemin kutupları, tranfer fonkiyonunun paydaı olan özyapıal denkleminin kökleridir. Kapalı çevrim bir kontrol iteminin tabil olmaı için gerek ve yeter şart, item tranfer fonkiyonunun kutuplarının negatif gerçek kıımlara ahip olmaıdır. Kutupların karmaşık düzlemdeki yeri, itemin dinamik davranışı hakkında fikir de verir. Denklemin genel hali; Özyapıal denklemde kökler, =0, =-σk veya = α n ± jω n karmaşık kök çifti olur. N=0 durumunda itemin birim impul (anidarbe) giriş cevabı aşağıdaki gibidir. Bir itemin mutlak olarak kararlı olabilmei için tüm kutuplarının ol yarı düzlemde olmaı gerekir.

7 Karmaşık Düzlemde Stabilite Çözümlemei Sitemin karmaşık düzlemdeki yeri incelenire, kutuplardan bir tanei dahi ağ yarı düzlemde yer alıra, item kararız (intabil) olur. Im-Re eken takımından ola doğru uzaklaşıldığına tabilite bağıl olarak artar. Gerçek eken üzerinde yer alan kökler itemin kararlılık ınırını işaret eder.sanal ekenüzerindeki eşlenik kök çifti, önümüz abit genlikli titreşim cevabını göterir.

8 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri Routh-Hurwitz kriteri, bir polinom denklemini çözmeden pozitif gerçel kıımlı kökleri bulunup bulunmadığını belirlemek için kullanılır. Aşağıdaki özyapıal denklemin normalize edildiğini, dolayııyla da a n > 0 olduğunu varayarak, itemin kararlı olduğunu tepit için iki şart aranır. (i) Gereklilik şartı: Denklemin tüm katayılarının, a i > 0 (i=0,1,,3,,n) olmaı gerekir. Aki durumda, item ya kararız ya da ınırlı kararlıdır. Örn: +1=0 denkleminde teriminin katayıı 0 olduğundan = ±j anal kökleri vardır. Bu durum ınırlı kararlılığı ifade eder =0 denkleminde ie negatif katayılar olduğundan kararız itemleri ifade eder.

9 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri (ii) Yeterlilik Şartı: Routh tablou aşağıdaki şekilde oluşturulur.

10 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri (ii) Yeterlilik Şartı: Routh tablou aşağıdaki şekilde oluşturulur.

11 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri (ii) Yeterlilik Şartı: Tablonun birinci ütunundaki katayılar boyunca hiçbir işaret değişikliği olmuyora bütün kökler ol yarı düzlemdedir ve bu nedenle itemimiz kararlıdır. Yukarıdan aşağıya doğru ilk ütundaki katayılar kaç kere işaret değiştirmiş ie ağ yarı düzlemde o kadar ayıda kök vardır. Dolayııyla item kararızdır. İşaret değiştirmenin ınırına kadar gelinmiş ie yani ilk ütundaki katayılardan biri ıfır olmuş ama daha ileri gidilmemiş yani hiç işaret değişikliği olmamışa item ınırda kararlıdır. Ancak ilk ütunda birden fazla ıfır var ie bu durumda item yine kararızdır.

12 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri Örnek: Özyapıal denklemi aşağıdaki gibi olan itemin kararlılığını Routh- Hurwitz Kriteri ne göre araştırınız =0 Çözüm: Denklemin tüm katayıları aynı işaretli (ya da normalize edilmiş halindeki katayıların hepi pozitif )olduğuna göre item için gereklilik şartı ağlanır. Yeterlilik şartı için: Birinci ütunda biri + den -1 e geçerken ve diğeri de -1 den +8 e geçerken iki işaret değişimi vardır. Buna göre itemin ağ yarı düzlemde iki adet kökü vardır. Dolayııyla, item kararızdır.

13 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri Örnek: Özyapıal denklemi aşağıdaki gibi olan itemin kararlılığını Routh- Hurwitz Kriteri ne göre kararlılık koşulunu bulunuz. a 3 3 +a +a 1 +a 0 =0 Çözüm: Denklemin tüm katayıları aynı işaretli (ya da normalize edilmiş halindeki katayıların hepi pozitif )olduğuna göre item için gereklilik şartı için a 3 >0, a >0, a 1 >0, a 0 >0 dır Yeterlilik şartı için: a3 a ( a1a a3a0)/ a a a1 a0 0 Birinci ütunda hiçbir işaret değişimi olmamaı için a 1 a -a 0 a 3 >0 olmalıdır.

14 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri Özel Durumlar 1. Sütunda yalnızca bir elemanın ıfır olmaı: Bu durumda ıfır yerine onlu küçük bir pozitif ε değeri konulur ve tablo buna göre oluşturulur. Tablo tamamlandıktan onra ε yerine ıfır koyulur. Bu duruma göre, birinci ütunda ıfırın altındaki ve ütündeki elemanlarda bir işaret değişimi olup olmadığı incelenir. İşaret değişimi yoka, itemin bir anal kök çifti vardır. Eğer işaret değişimi vara, ağ yarı düzlemde işaret değişimi ayıı kadar kök vardır. Örnek: =0 denkleminin köklerini araştırınız.

15 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri Çözüm E 1 0 ~ E / E 1 0 0~E yaparak, bunun altında + olduğu görülür. Buna göre ağ yarı düzlemde kök yoktur ve bir anal kök çifti mevcuttur.

16 Routh Hurwitz Stabilite Kriteri. Routh tablounda aradaki bir atırın tüm elemanlarının ıfır olmaı: Bu durumda item ya kararız ya da ınırlı kararlı olur. Tüm elemanları ıfır olan bir atır, orijine göre imetrik olarak yerleşmiş köklerin varlığını ifade eder. Bu kökler aynı büyüklükte fakat zıt işaretli gerçel kökler, (± p), anal kök çifti (± jw) veya iki adet karmaşık kök çifti (a ± jb, -a ± jb)şeklinde olabilir. Bu durumda tüm elemanları ıfır olan atırın ütündeki atır elemanlarından bir yardımcı polinom elde edilir. Bu polinom orijin etrafında imetrik yerleşen kökleri içerir. Yardımcı polinomun türevi alınarak, bu türevin katayıları ıfırlı atırın ıfırları yerine konulur. Daha onra Routh tablounun geri kalan kımı tamamlanır. Eğer yardımcı polinom tek değerli ve m nci derecen ie m adet eşit ve zıt işaretli kök mevcut demektir. Yardımcı polinomun köklerinin bilinmei halinde entetik bölme yolu ile özyapıal denklemin tüm kökleri bulunabilir.

17 Bağıl Kararlılık Kararlı bir itemin kararızlık durumuna ne oranda yakın olduğunun bilinmei önemlidir. Routh Hurwitz kriterinde itemin özyapıal denkleminin katayıları değer olarak heaplanmadığından yapılan işlemlerde kararlı çıkan item, gerçekte kararız olabilir. Köklerin anal ekene yakınlığının bir ölçüü olan bağıl kararlılığın bilinmei bu noktada önem arz eder. Karmaşık düzlemde aynı düşey çizgi üzerinde bulunan kökler aynı zaman abitlerine ahiptir. Düşey çizginin ağında yer alan herhangi bir kökün zaman abiti çizgi üzerindeki köke göre daha büyük olacak ve bu kökün kararızlığa yatkınlığı, düşey çizginin olunda yer alan köklere göre daha fazla olacaktır. Sitemin en büyük zaman abiti bağıl kararlılığın ölçüüdür ve bakın köke ait zaman abitidir.

18 Bağıl Kararlılık Sanal ekeni ola kaydırılarak yeni bir polinom elde edilip yeni anal ekenin ağında kaç tane kökün olduğu Routh Hurwitz Stabilite Kriteri ne göre incelenebilir. =-σ kökünün ağında yer alan kökleri incelemek için itemin özyapıal denkleminde(alttaki denkleme bakınız) yerine =p- σ konularak Routh Hurwitz SK uygulanabilir. Örn: Bir item özyapıal denklemi K=0 olarak verildiğine ve bakın zaman abitinin 0.5 ten az olmaı itendiğine göre, K abiti bulunuz.

19 Bağıl Kararlılık Çözüm: En büyük zaman abiti 0.5 ie, =- kökünün ağında herhangi bir kökün bulunmamaı gerekir. Buna göre, σ= olup, verilen denklemde =p- σ yerine konulura, denklem (p-) 3 +9(p-) +6(p-)+K=0 p 3 +3p +p+k-4=0 halini alır. olur. Gereklilik şartı için, K>4 tür. Yeterlilik şartı için: K 1 3 K 4 /3 K 4 1.Sütunda değişim olmamaı için 4 < K 30 olur.

20 Bağıl Kararlılık K=4 olura, on atır ıfır olur ve p eken takımının orijininde veya =- de bir kök ortaya çıkar. Eğer K=30 ie, p eken takımı (=- ekeni), üzerinde anal kök çifti ortaya çıkar. Buna göre K=30 için, =- ± bj olup, b bilinmemektedir. Bu durumda K=30 değeri, bakın zaman ınırlamaı içinde titreşimli dinamik davranış göteren tek değerdir. B ve önüm oranını heaplamak için; p 3 +3p +p+k-4=(p+a)(p +b ) = p 3 +ap +b p+ab Her iki tarafın eşitliğinden, a=3, b =, ab =6 veya a=3, b= çıkar. cininden yazarak, =p-=-a-, ±ib- veya =-5, =- ± j bulunur.buradan anal kökler için önüm oranı, ξ = (1/)(a/ (a +b ))=0,57 çıkar.

21 Denetim Sitemlerinde Uygulanmaı RHSK nin kontrol itemlerine uygulamaı ınırlıdır. Çünkü, bu kriter, bağlı kararlı bir itemin kararlılığının ne şekilde iyileştirebileceğini yada kararız bir itemin ne şekilde kararlı hale getirilebil eceğini hakkında pek fazla bir fikir ileri ürmez. Ancak, kararızlığa neden olan bir iki parametre değerleri değişim etkilerini belirlemek mümkündür. Özellikle item kazancı K nın kararlı bir itemde hangi ınırlar içeriinde kalmaının belirlenmeinde yararlı olmaktadır. Örn:

22 Denetim Sitemlerinde Uygulanmaı

23 Denetim Sitemlerinde Uygulanmaı

24 Mikhailov Leonhard - Cremer Stabilite Kriteri Kapalı devre item karakteritik polinomu (özyapıal denklemi) A n n +A n-1 n-1 +A n- n- + + A +A 1 1 +A 0 =M() olduğu hatırlanıra, M(jw)=U(jw)+j V(jw) şeklinde göterilen Michailow Eğrii nin komplek koordinat iteminde (karmaşık düzlemde) w=0 dan başlayarak, w= a kadar verilen değerlerine karşılık, pozitif reel eken üzerinden başlayarak aat ibrelerinin ter yönünde piral şeklinde açılıp tüm koordinat çeyreklerini ıra ile geçip karakteritik polinomun dereceine eşit olan çeyrekte + a gitmei halinde item kararlıdır(tabildir).. çeyrek 1. çeyrek 3. çeyrek 4. çeyrek

25 Mikhailov Leonhard Cremer Stabilite Kriteri Örn: Karakteritik polinomu 3. dereceden olan doğrual bir itemin tabil olmaı için katayıları araındaki ilişkiyi bulunuz. Çözüm: Sitemin karakteritik polinomu A 3 3 +A +A 1 +A 0 dır. Mikhailov polinomunu A 3 (jw) 3 +A (jw) +A 1 (jw)+a 0 = M(jw) olarak yazılır. M(jw)=(A 0 -A w )+jw(a 1- A 3 w ) çıkar. Bu polinomun eğriinin tabilite şartlarını ağlamaı için 1.çeyrekten.çeyreğe geçerken anal ekeni pozitif kolunda kemei gerekir. Bu noktadaki frekan w 1 ile göterilire, anal ekeni keen noktada ReM(jw)=0 olacaktır. Bu durumda, ReM(jw 1 ) > 0 ; (A 0 -A w 1 )= 0 w 1 = (A 0 /A ) olarak bulunur. Bu frekanta ImM(jw 1 ) > 0 olmaı gerekliliğinden, Jw1(A 1 -A 3 w 1 )> 0; w1>0 ; A 1 -A 3 (A 0 /A )=0 A 1 A >A 3 A 0

26 Mikhailov Leonhard Cremer Stabilite Kriteri Örn: Özyapıal denklemi (karakteritik polinomu) K olarak verilen bir kontrol iteminin tabil (kararlı) olmaı için K ne olmalıdır? Çözüm: M(jw)=(K-9w )+jw (6-w ); ReM (jw)=0 ; w 1 = (K/9) ImM (jw 1 ) = w 1 (6-w 1 )>0; w 1 = (K/9) >0 K>0 6 (K/9) >0 K<34 0<K<34 olmalıdır.

27 8